1.केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Central Difference Interpolation Formula):

Central Difference Interpolation

केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Central Difference Interpolation Formula) में मुख्यतः गाॅस पश्च एवं अग्र अन्तर्वेशन सूत्र,स्टरलिंग अन्तर्वेशन सूत्र तथा बेसल अन्तर अन्तर्वेशन सूत्रों के आधार पर अन्तर सारणी के मध्य के समीप चर का मान ज्ञात किया जाता है।इस आर्टिकल में इन सूत्रों पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
(1.)गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Backward Interpolation Formula):

y_{u}=y_{0}+u \Delta y_{-1}+\frac{(u+1) u}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{(u+1) u(u-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-2}+\frac{(u+2)(u+1) u(u-1)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\cdots
जहाँ (Where) u=\left(\frac{x-x_{0}}{h}\right)
(2.)गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula):

y_{u}=y_{0}+u \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1}+ \frac{u\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)\left(u^{2}-2^{2}\right)}{5 !} \Delta^{5} y_{-2}+\cdots
जहाँ (Where) u=\left(\frac{x-x_{0}}{h}\right)
(3.)स्टरलिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula):

y_{u}=y_{0}+u \frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2}+\frac{u^{2}}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1^{2} \right)}{3 !} \frac{\Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}}{2}+\frac{u^{2}\left(u^{2}-1^{2}\right)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\cdots
जहाँ (Where) u=\left(\frac{x-x_{0}}{h}\right)
(4.)बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula):

y_{u}=\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{1}\right)+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+\frac{u\left(u-\frac{1}{2}\right)(u-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{4 !}\left[\frac{\Delta^{4} y_{-2}+\Delta^{4} y_{-1}}{2}\right]+\cdots
जहाँ (Where) u=\left(\frac{x-x_{0}}{h}\right)
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2.केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र के उदाहरण (Central Difference Interpolation Formula Examples):

Example:1.निम्नलिखित सारणी में दोनों (बेसल व स्टरलिंग) सूत्रों द्वारा अलग-अलग का मान ज्ञात कीजिए:
(Evaluate from the following table by both Bessel and Stirling’s formulae separately):

Solution: x_{0}=15 को मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=0.01,x=1.7475 के लिए

u=\left(\frac{x-x_{0}}{h}\right)=\frac{1.7475-1.74}{0.01}=\frac{0.0075}{0.01}=0.75
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

स्टरलिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula):

y_{u}=y_{0}+u \left ( \frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2} \right )+\frac{u^{2}}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+ \frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right)}{3 !} \left [ \frac{\Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}}{2} \right ]+\frac{u^{2} \left(u^{2}-1^{2}\right)}{4 !} \Delta^{4} y_{-2}+\frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right)\left(u^{2}-2^{2}\right)}{5 !} \left[\frac{\Delta^{5} y_{-2}+\Delta^{5} y_{-3}}{2}\right]+\cdots\\ y_{0.75}=0.175520+(0.75)\left[\frac{-0.001746-0.001764}{2}\right]+\frac{(0.75)^{2}}{2} \times 0.000018+\frac{0.75\left(0.75^{2}-1^{2}\right)}{6}\left[\frac{-0.000002+0}{2}\right] \\ =0.175520+0.75 \times(-0.001755)+0.5625 \times 0.000009 +\frac{0.75(0.5625-1)}{6} \times(-0.000001) \\ =0.175520-0.00131625+0.000005062-0.25 \times (-0.21875)(-0.000001) \\ =0.175520-0.00131625+0.000005062-0.000000054 \\ =0.174208758 \\ y_{1.7475}\approx 0.1742088
बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula):

y_{u}=\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{1}\right)+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+\frac{u\left(u-\frac{1}{2}\right)(u-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1}+\frac{u\left(u^{2}-1\right)(u-2)}{4 !}\left[\frac{\Delta^{4} y_{-2}+\Delta^{4} y_{-1}}{2}\right]+\frac{\left(u-\frac{1}{2}\right)(u+1)u(u-1)(u-2)}{5!} \Delta^{5} y_{-2}+\cdots \\ y_{0.75}=\left ( \frac{0.175520+0.173774}{2} \right )+\left ( 0.75-\frac{1}{2} \right )(-0.001746)\frac{(0.75)(0.75-1)}{2} \left ( \frac{0.000018+0.000016}{2} \right )+\frac{(0.75-\frac{1}{2})(0.75)(0.75-1)}{6} \times (-0.000002) \\ =(0.174647)+(0.25)(-0.001746)+(0.75)(-0.25) \times 0.0000085+(0.25)(0.75)(-0.25) \times(-0.000001) \\ =0.174647-0.0004365-0.000001593+0.000000046 \\ \Rightarrow y_{0.75}=0.174208953 \\ \Rightarrow y_{1.7475} \approx 0.1742089
Example:2.सिद्ध करो कि (Prove that)

\delta\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\mu g(x) \cdot \delta f(x)-\mu f(x) \cdot \delta g(x)}{g(x-\frac{h}{2}) \cdot g(x+\frac{h}{2})}
Solution:\delta\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\mu g(x) \cdot \delta f(x)-\mu f(x) \cdot \delta g(x)}{g(x-\frac{h}{2}) \cdot g(x+\frac{h}{2})} \\ \text { L.H.S. }= \delta\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}}\right)\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \left [ \frac{f(x+\frac{h}{2})}{g(x+\frac{1}{2})}-\frac{f(x-\frac{h}{2})}{g(x-\frac{1}{2})} \right ] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left[\frac{f(x+\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2}) g(x+\frac{h}{2})}{g(x+\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2})}\right] \\ =\frac{1}{4} \frac{ \begin{matrix}f(x+\frac{h}{2}) \cdot g(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2}) g(x+\frac{h}{2}) +f(x+\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2})\\-f(x-\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2})+f(x+\frac{h}{2}) g(x+\frac{h}{2})+f(x+\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2}) \\-f(x-\frac{h}{2}) g(x+\frac{h}{2})+f(x-\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2})g(x+\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2}) \end{matrix}}{g(x+\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2})}  \\ = \frac{1}{4} \frac{ \begin{matrix}g(x+\frac{h}{2})\left \{ f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2}) \right \}\\+g(x-\frac{h}{2})\left \{ f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2}) \right \} \\ -f(x+\frac{h}{2})\left \{ g(x+\frac{h}{2})-g(x-\frac{h}{2}) \right \} \\ -f(x-\frac{h}{2})\left \{ g(x+\frac{h}{2})-g(x-\frac{h}{2}) \right \}\end{matrix} }{g(x+\frac{h}{2}) g(x-\frac{h}{2})}  \\ \Rightarrow \frac{1}{4}\frac{\left[f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2}) g(x+\frac{h}{2})+g(x-\frac{h}{2})-(f(x+\frac{h}{2})+f(x-\frac{h}{2}))g(x+\frac{h}{2})-g(x-\frac{h}{2})\right]}{g(x+\frac{h}{2})-g(x-\frac{h}{2})}\\ \Rightarrow \frac{1}{4}\frac{\left[\left(E^{\frac{h}{2}}-E^{-\frac{h}{2}}\right) f(x) \cdot\left(E^{\frac{h}{2}}+E^{-\frac{h}{2}}\right) g(x)-\left(E^{\frac{h}{2}}+E^{-\frac{h}{2}}\right) f(x) \cdot \left(E^{\frac{h}{2}}+E^{-\frac{h}{2}}\right)g(x)\right]}{g(x+\frac{h}{2})-g(x-\frac{h}{2})} \\ \Rightarrow \frac{\left(\frac{E^{\frac{h}{2}}-E^{-\frac{h}{2}}}{2}\right) f(x) \cdot\left(\frac{E^{\frac{h}{2}}+E^{-\frac{h}{2}}}{2}\right) g(x)-\left(\frac{E^{\frac{h}{2}}+E^{-\frac{h}{2}}}{2}\right) f(x) \cdot \left(\frac{E^{\frac{h}{2}}-E^{-\frac{h}{2}}}{2}\right) g(x)}{g(x+\frac{h}{2})-g(x-\frac{h}{2})}\\ \Rightarrow \frac{\mu g(x) \cdot \delta f(x)-\mu f(x) \cdot \delta g(x)}{g(x-\frac{h}{2}) \cdot g(x+\frac{h}{2})}

Central Difference Interpolation

Example:3.सिद्ध कीजिए कि (Prove that):

\mu^{-1}=1-\frac{1}{8} \delta^{2}+\frac{3}{128} \delta^{4} \cdots
Solution:\mu^{-1}=1-\frac{1}{8} \delta^{2}+\frac{3}{128} \delta^{4} \cdots \\ \mu =\frac{1}{2}\left[E^{\frac{1}{2}}+E^{-\frac{1}{2}}\right] \\ =\frac{1}{2}\left[E^{\frac{h D}{2}}+E^{-\frac{h D}{2}}\right]\left[\because E=e^{h D}\right] \\ =\cos \left(\frac{h D}{2}\right) \\ =\sqrt{1+\sinh ^{2}\left(\frac{h D}{2}\right)} \\ =\sqrt{1+\left(\frac{\delta}{2}\right)^{2}} \left[\because \sinh \left(\frac{h D}{2}\right)=\frac{\delta}{2}\right] \\ \frac{1}{\mu}=\left(1+\frac{\delta^{2}}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow \mu^{-1}=1-\frac{1}{2}\left(\frac{\delta^{2}}{4}\right)+\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-1\right)}{2 !} \frac{\delta^{4}}{16}+\cdots \\ =1-\frac{1}{8} \delta^{2}+\frac{3}{128} \delta^{4}-\cdots \\ \Rightarrow \mu^{-1}=1-\frac{1}{8} \delta^{2}+\frac{3}{128} \delta^{4}- \cdots
Example:4.सामान्य संकेतन से सिद्ध कीजिए कि:
(With usual notations prove that):

y_{-n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) \nabla^{k} y_{0}
Solution: y_{-n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) \nabla^{k} y_{0} \\ \text { L.H.S } y_{-n} =E^{-n} y_{0} \\ =(1-\nabla)^{n} y_{0} \\ =\left(1-n \nabla+\frac{n(n-1)}{2 !} \nabla^{2}-\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\nabla^{3}+\cdots+y_{0} \right) \\=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \nabla^{k} y_{0} \\ \Rightarrow y_{-n} =\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \nabla^{k} y_{0}
Example:5.गाॅस,स्टरलिंग तथा बेसल सूत्रों द्वारा आंकड़ों से y_{11} ज्ञात कीजिए:
(Use Gauss, Striling and Bessel formulae to find y_{11} from the following data):

y_{0}=3010, y_{5}=2710, y_{10}=2285, y_{15}=1860, y_{20}=1560, y_{25}=1510 ,y_{30}=1835
Solution:x_{0}=15 को मूलबिन्दु लेने पर तथा प्रश्नानुसार h=5,x=11 के लिए

u=\frac{x-x_{0}}{h}=\frac{11-15}{5}=-\frac{4}{5}=-0.8
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss Forward Interpolation Formula):

y_{u}=y_{0}+u \Delta y_{-1}+\frac{(u+1) u}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+\frac{ u(u^{2}-1)}{3 !} \Delta^{3} y_{-1}+\cdots \\ y_{(-0.8)}=1860+(-0.8)(-300)+\frac{(-0.8)(-0.8-1) }{2}(125)+\frac{(-0.8)\left[(-0.8)^{2}-1\right]}{6}\times 125 \\ =1860+240+0.4 \times 1.8 \times 125+\frac{0.8 \times 1.64 \times 125}{6}\\ =1860+240+90+27.3333\\ y_{(-0.8)}=2217.3333 \\ y_{11}=2217
स्टरलिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling Interpolation Formula):

y_{u}=y_{0}+u\left(\frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2}\right)+\frac{u^{2}}{2 !} \Delta^{2} y_{-1}+ \frac{u\left(u^{2}-1^{2}\right)}{3 !} \frac{\Delta^{3} y_{-1}+\Delta^{3} y_{-2}}{2}+\cdots \\ y(-0.8)=1860+(-0.8)\left(\frac{-360-425}{2}\right)+\frac{(-0.8)^{2}}{2} \times 125+\frac{(-0.8)\left[(-0.8)^{2}-1\right]}{6} \times \left(\frac{125+125}{2}\right) \\ =1860+0.4 \times 725+0.32 \times 125+\frac{0.8 \times 1.64 \times 125}{6}\\ = 1860+290+40+27.3333 \\ \Rightarrow y(-0.8)=2217.3333 \\ \Rightarrow y_{11} \approx 2217
बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel Interpolation Formula):

y_{u} =\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{1}\right)+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_{0}+\frac{u(u-1)}{2 !}\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+ \frac{u\left(u-\frac{1}{2}\right)(u-1) }{3 !} \Delta^{3} y_{-1}+\cdots\\ y(-0.8)=\frac{1}{2}(1860+1560)+(-0.8-\frac{1}{2})(-300)+\frac{(-0.8)(-0.8-1)}{2}\left[\frac{125+250}{2}\right] +\frac{(-0.8)(-0.8-\frac{1}{2})(-0.8-1)}{6} \times 125 \\ =1710+1.3 \times 300+0.4 \times 1.8 \times 18.75-\frac{0.8 \times 1.3 \times 1.8 \times 125}{6} \\ =1710+390+135-39 \\ \Rightarrow y(-0.8)=2196 \\ \Rightarrow y_{11} \approx 2196
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Central Difference Interpolation Formula) को समझ सकते हैं।

3.केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र के सवाल (Central Difference Interpolation Formula Questions):

Central Difference Interpolation

(1.)सिद्ध कीजिए (Prove that):

\delta[f(x) g(x)]=\mu f(x) \delta g(x)+\mu g(x) \delta f(x)
(2.)यदि तीसरें अन्तर अचर हैं तो सिद्ध कीजिए:
(If third differences are constant, prove that):

y_{x+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(y_{x}+y_{x+1}\right)-\frac{1}{16}\left(\Delta^{2} y_{x-1}+\Delta^{2} y_{x}\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Central Difference Interpolation Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Central Difference Interpolation Formula) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Central Difference Interpolation Formula) में मुख्यतः गाॅस पश्च एवं
अग्र अन्तर्वेशन सूत्र, स्टरलिंग अन्तर्वेशन सूत्र तथा बेसल अन्तर अन्तर्वेशन सूत्रों के आधार पर
अन्तर सारणी के मध्य के