1.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in 3D Geometry),थ्री डाइमेन्शनल ज्योमेट्री में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in Three Dimensional Coordinate Geometry):

Central Conicoids in 3D Geometry

त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in 3D Geometry) में दीर्घवृत्तज,एक पृष्ठी अतिपरवलयज,द्विपृष्ठी अतिपरवलयज की स्पर्श रेखा,स्पर्श तल,स्पर्शिता का प्रतिबन्ध इत्यादि के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज के साधित उदाहरण (Central Conicoids in 3D Geometry Solved Examples):

Example:1.वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए ताकि समतल lx+my+nz=p दीर्घवृत्तज \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2+z^2}{c^2}=1 को स्पर्श करे।स्पर्श बिन्दु भी ज्ञात कीजिए।
(Find the condition that the plane lx+my+nz=p may be a tangent plane to the ellipsoid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2+z^2}{c^2}=1.Find also point of contact.)
Solution:समतल lx+my+nz=p…(1)
दीर्घवृत्तज \therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{c^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \cdots(2)
को बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर स्पर्श करता है। परन्तु सूत्रानुसार बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर सकेन्द्र शांकवज के स्पर्श तल का समीकरण होता है: \because \frac{\alpha x}{a^2}+\frac{\beta y}{c^2}+\frac{ \gamma z}{c^2}=1 \cdots(3)
चूँकि समीकरण (1) व (3) एक ही समतल को प्रदर्शित करेंगे इसलिए ये समरूप होंगे।अतः

\frac{\frac{\alpha}{a^2}}{l}=\frac{\frac{\beta}{c^2}}{m}=\frac{\frac{\gamma}{c^2}}{n}=\frac{1}{p}\\ \Rightarrow \alpha=\frac{l a^2}{p}, \beta=\frac{m c^2}{p}, \gamma=\frac{n c^2}{p}
चूँकि स्पर्श बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma)  दीर्घवृत्तज पर स्थित है।

\frac{1}{a^2}\left(\frac{l a^2}{p}\right)^2+\frac{1}{c^2}\left(\frac{m c^2}{p}\right)^2+\frac{1}{c^2} \left(\frac{n c^2}{p^2}\right)=1 \\ \Rightarrow \frac{l^2 a^4}{a^2}+\frac{m^2 c^4}{c^2}+\frac{n^2 c^4}{c^2}=p^2 \\ \Rightarrow p^2=a^2 l^2+c^2\left(m^2+n^2\right)
तथा स्पर्श बिन्दु \left(\frac{a^2 l}{p}, \frac{c^2 m}{p}, \frac{c^2 n}{p}\right)
Example:2(a).रेखा x+9y-3z=0=3x-3y+6z-5 से जानेवाले तथा 2 x^2-6 y^2+3 z^2=5 को स्पर्श करने वाले स्पर्श तलों का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Find the equation to the tangent planes to the conicoid 2 x^2-6 y^2+3 z^2=5 which passes through the line x+9y-3z=0=3x-3y+6z-5)
Solution:दी हुई सरल से जानेवाले किसी समतल का समीकरण होगा:

x+9 y-3 z+\lambda(3 x-3 y+6 z-5)=0 \\ (1+3 \lambda) x+(9-3 \lambda) y+(-3+6 \lambda) z-5 \lambda=0 \cdots(1)
माना कि शांकवज को पर स्पर्श करता है।
अब सूत्रानुसार शांकवज के किसी बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर स्पर्श तल का समीकरण होगा:

\frac{\alpha x}{\frac{5}{2}} + \frac{-\beta y}{-\frac{5}{8}}+\frac{\gamma z}{\frac{5}{3}}=1 \cdots(2)
(1) तथा (2) एक ही समतल को प्रदर्शित करते हैं इसलिए समरूप होने चाहिए।अतः

\frac{\frac{\alpha}{\frac{5}{2}}}{1+3\lambda}=\frac{\frac{\beta}{-\frac{5}{6}}}{9-3\lambda}= \frac{\frac{\gamma} {\frac{5}{3}}}{-3+6 \lambda}=\frac{1}{5 \lambda} \\ \alpha=\frac{5(1+3 \lambda)}{10 \lambda}, \beta=\frac{-5(9-3 \lambda)}{30 \lambda}, \gamma=\frac{5(-3+6 \lambda)}{15 \lambda}
चूँकि बिन्दु अतिपरवलयज पर स्थित है अतः

\left[\frac{5(1+3 \lambda)}{10 \lambda}\right]^2-6\left[\frac{-5(9-3 \lambda)}{30 \lambda}\right]^2 +3\left[\frac{5(-3+6 \lambda)}{15 \lambda}\right]^2=5\\ \Rightarrow \frac{(1+3 \lambda)^2}{2 \lambda^2} -\frac{(9-3 \lambda)^2}{6 \lambda^2}+\frac{(-3+6 \lambda)^{2}}{3 \lambda^2}=5\\ \Rightarrow \frac{ 3\left(1+6 \lambda+9 \lambda^2\right)-\left(81-54 \lambda+9 \lambda^2\right)+2\left(9+36 \lambda^2-36 \lambda\right)}{6 \lambda^2}=5\\ \Rightarrow 3+18 \lambda+27 \lambda^2-81+54 \lambda -9 \lambda^2+18+72 \lambda^2-72 \lambda=30 \lambda^2 \\ \Rightarrow 60 \lambda^2-60=0 \\ \Rightarrow \lambda^2=1 \Rightarrow \lambda=\pm 1
अतः अभीष्ट स्पर्शतलों के समीकरण होंगे:

(1+3) x+(9-3) y+(-3+6) z-5=0 \\ \Rightarrow 4 x+6 y+3 z-5=0 \\ (1+3 \times-1) x+(9-3 \times -1) y+(-3+6 \times-1) z-5 \times -1=0 \\ \Rightarrow-2 x+12 y-9 z+5=0 \\ \Rightarrow 2 x-12 y+9 z-5=0
Example:2(b).सिद्ध करो कि दीर्घवृत्तज \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 के उन स्पर्श समतलों के समीकरण जो रेखा u=lx+my+nz-p=0,u'=l'x+m'y+n'z-p'=0 से जाते हैं निम्न समीकरण द्वारा दर्शाए जाते हैं:
(Prove that the equation to the tangent planes to the ellipsoid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 which pass through the line u=lx+my+nz-p=0,u'=l'x+m'y+n'z-p'=0 is u^2\left(a^2 l^{\prime 2}+b^2 m^{\prime 2}+c^2 n^{\prime 2}-p^{\prime 2}\right)-2 u u^{\prime} \left(a^2 l l^{\prime}+b^2 m m^{\prime}+c^2 n n^{\prime}-p p^{\prime}\right)+ u^{\prime 2}\left(a^2 l^2+b^2 m^2+c^2 n^2-p^2\right)=0)
Solution:दी हुई सरल रेखाओं से जाने वाले किसी समतल का समीकरण होगा:

u+\lambda u^{\prime}=0 \cdots(1) \\ (l x+m y+n z-p)+\lambda\left(l^{\prime} x+m^{\prime} y+ n^{\prime} z-p^{\prime}\right)=0 \\ \Rightarrow\left(l+\lambda l^{\prime}\right) x+\left(m+\lambda m^{\prime}\right) y+\left(n+\lambda n^{\prime}\right) z=p+\lambda p^{\prime} \cdots(2)
माना कि यह दीर्घवृत्तज को (\alpha, \beta, \gamma) पर स्पर्श करता है। अब सूत्रानुसार दीर्घवृत्तज के किसी बिन्दु पर स्पर्श तल का समीकरण होगा:

\frac{x \alpha}{a^2}+\frac{y \beta}{b^2}+\frac{z \gamma}{c^2}=1 \cdots(3)
(2) तथा (3) एक ही समतल को प्रदर्शित करते हैं इसलिए समरूप होने चाहिए।अतः

\frac{\frac{\alpha}{a^2}}{\left(l+\lambda \ell^{\prime}\right)}=\frac{\frac{\beta}{b^2}}{\left(m+ \lambda m^{\prime}\right)}=\frac{\frac{\gamma}{c^2}}{(n+\lambda n^{\prime})}=\frac{1}{p+\lambda p^{\prime} } \\ \Rightarrow \alpha=\frac{a^2\left(l+\lambda l^{\prime}\right)}{p+\lambda p^{\prime}}, \beta= \frac{b^2(m+\lambda m^{\prime})}{p+\lambda p^{\prime}},\gamma=\frac{c^2\left(n+\lambda n^{\prime}\right)}{p+\lambda p^{\prime}}
चूँकि बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) दीर्घवृत्तज पर स्थित हैं अतः

\frac{1}{a^2}\left[\frac{a^2\left(l+\lambda l^{\prime}\right)}{p+\lambda p^{\prime}}\right]^2 +\frac{1}{b^2} \left[\frac{b^2 \left(m+\lambda m^{\prime}\right)}{p+\lambda p^{\prime}}\right]^{2}+ \frac{1}{c^2} \left[\frac{c^2\left(n+\lambda n^{\prime}\right)}{p+\lambda p^{\prime}}\right]^{2} =1 \\ \Rightarrow a^2\left(l+\lambda l^{\prime}\right)^{2}+b^2 \left(m+\lambda m^{\prime}\right)^{2} +c^2\left(n+ \lambda n^{\prime}\right)^{2} =\left( p+\lambda p^{\prime} \right)^{2}
[(1) से \lambda=-\frac{u}{u^{\prime}} रखने पर]

Central Conicoids in 3D Geometry

Example:3.वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए कि रेखा \frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} दीर्घवृत्तज \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 के बिन्दु पर स्पर्श रेखा हो।
(Find the condition that the line \frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n} should be tangent line to the ellipsoid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 at the point (\alpha, \beta, \gamma) which lies on the ellipsoid):
Solution:चूँकि (\alpha, \beta, \gamma) दीर्घवृत्तज \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1  पर स्थित हैं।

\frac{\alpha^2}{a^2}+\frac{\beta^2}{b^2}+\frac{\gamma^2}{c^2}=1 \ldots(1)
(\alpha, \beta, \gamma) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:
\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-r}{n}=r (मान लो)
यह दीर्घवृत्तज को बिन्दुओं (\alpha+l r,\beta+m r, \gamma+n r)  में प्रतिच्छेदित करेगी जहाँ r के मान निम्न समीकरण से प्राप्त होते हैं :

\left(\frac{l^2}{a^2}+\frac{m^2}{b^2}+\frac{n^2}{c^2}\right)r^2+2\left(\frac{\alpha l}{a^2}+\frac{\beta m}{b^2}+\frac{\gamma n}{c^2}\right)r=0 \cdots(3)
r का मान स्वतः ही शून्य है इसलिए प्रतिच्छेदन बिन्दुओं में एक बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) है।सरल रेखा (2) एक स्पर्श रेखा होगी यदि r का दूसरा मान भी शून्य हो जिसके लिए आवश्यक प्रतिबन्ध

\frac{\alpha l}{a^{2}}+\frac{\beta m}{b^{2}}+\frac{\gamma n}{c^2}=0
Example:4.यदि दीर्घवृत्तज \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 का स्पर्शतल अक्षों से (\alpha, \beta, \gamma) अन्तः खण्ड काटता है तो सिद्ध करो कि \frac{a^2}{\alpha^2}+\frac{b^2}{\beta^2}+\frac{c^2}{\gamma^2}=1
(If the tangent plane to the ellipsoid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 cuts off intercepts (\alpha, \beta, \gamma) from the axes, show that  \frac{a^2}{\alpha^2}+\frac{b^2}{\beta^2}+\frac{c^2}{\gamma^2}=1.)
Solution:दीर्घवृत्तज का समीकरण 

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \ldots(1)
माना स्पर्श बिन्दु (x_{1}, y_{1}, z_{1}) हैं तो

\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}+\frac{z_1^2}{c^2}=1 \ldots(2)
स्पर्श तल का समीकरण:

\frac{x_1 x}{a^2}+\frac{y_{1} y}{b^2}+\frac{z_1 z}{c^2}=1
x-अक्ष पर अन्तःखण्ड =\alpha तथा y=0,z=0

\frac{x_1 \alpha}{a^2}=1 \Rightarrow x_1=\frac{a^2}{\alpha}
इसी प्रकार y_1=\frac{b^2}{\beta} \\ z_1=\frac{c^2}{\gamma}
(x_{1}, y_{1}, z_{1}) का मान समीकरण (2) में रखने पर:

\frac{a^4}{\alpha^2 a^2}+\frac{b^4}{b^2 \beta^2}+\frac{c^4}{c^2 \gamma^2}=1 \\ \Rightarrow \frac{a^2}{\alpha^2}+\frac{b^2}{\beta^2}+\frac{c^2}{\gamma^2}=1
Example:5.सिद्ध कीजिए कि ऐसे बिन्दुओं का बिन्दुपथ जिनसे तीन परस्पर लम्बवत तल इस प्रकार खींचे जाते हैं जो दीर्घवृत्त \frac{z^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, z=0 को स्पर्श करते  एक गोला x^2+y^2+z^2= a^2+b^2 हैं। 
(Prove that the locus of the points from which three mutually perpendicular planes can be drawn the ellipse \frac{z^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, z=0 is the sphere x^2+y^2+z^2=a^2 +b^2.)
Solution:दीर्घवृत्तज का स्पर्श तल

l x+m y+n z=p……(2)
समतल (2),z=0 समतल को निम्न रेखा पर मिलता है :

lx+my=p, z=0
lx+my=p, z=0,xy-समतल है।यदि समतल (2),दीर्घवृत्त (1) को स्पर्श करता है तो रेखा lx+my=p, z=0 दीर्घवृत्त \Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 को xy-समतल में स्पर्श करती है और स्पर्शिता का प्रतिबन्ध

p^2=a^2 l^2+b^2 m^2
अतः (2) से दीर्घवृत्त (1) पर किसी समतल का समीकरण है:

lx+m y+n z=\sqrt{\left(a^2 l^2+b^2 m^2\right)} \ldots(3)
(3) से दीर्घवृत्त पर परस्पर तीन लम्बवत समतलों के समीकरण:

l_1 x+m_1 y+n_1 z=\sqrt{\left(a^2 l_1^2+b^2 m_1^2\right)} \\ l_2 x+m_2 y+n_2 z=\sqrt{\left(a^2 l_2^2+b^2 m_2^2\right)} \\ l_2 x+m_3 y+n_3 z=\sqrt{\left(a^2 l_3^2+b^2 m_3^2\right)}
वर्ग करके जोड़ने पर:
\left(l_1 x+m_1 y+n_1z\right)^2+\left(l_2 x+m_2 y+n_2 z\right)^2+\left(l_{3} x+m_{3} y+n_3z \right)^2=a^2 l_1^2+b^2 m_1^2+a^2 l_2^2+b^2 m_2^2+a^2 l_3^2+b^2 m_3^2 \\ \left(l_1^2 +l_2^2+l_3^2\right) x^2+\left(m_1^2+m_2^2+m_3^2\right) y^2+ \left(n_1^2+n_2^2+ n_3^2\right) z^2+2\left(l_1 m_1+l_2 m_2+l_3 m_3\right) x y+2\left(m_1 n_1+m_2 n_2+m_3 n_3\right) y z+ 2\left(n_1 l_1+n_2 l_2+n_3 l_{3}\right) z x=a^2 \left ( l_1^2+1_2^2+l_3^2 \right )+b^2\left(m_1^2+m_2^2 +m_3^2\right)\\ \Rightarrow(1) x^2+(1) y^2+(1) z^2+2(0) x y+2(0) y z+2(0) z x=a^2(1)+b^2 (1)\\ \left[: \Sigma l^2=1, \Sigma l_{1} m_1=0 \text { इत्यादि }\right]\\ \Rightarrow x^2+y^2+z^2=a^2+b^2
Example:6.दीर्घवृत्तज \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 के स्पर्श तल ABC का स्पर्श बिन्दु P हो तथा PD, PE, PF क्रमशः P से अक्षों पर लम्ब की लम्बाईयाँ हों तो सिद्ध करो कि
(If P be the point of contact of a tangent plane ABC to the ellipsoid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 and PD,PE, PF are perpendicular from P on the axes, prove that

(i)OD.OA=a^{2}  (ii)OE.OB=b^{2} (iii)OF.OC=c^{2}
A,B,C वह बिन्दु है जहाँ P पर स्पर्श तल निर्देशांक अक्षों को काटती है।
(A, B, C being the points where the tangent plane at P meets the co-ordinates axes.)
Solution:दीर्घवृत्तज \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
के बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर स्पर्श समतल ABC का समीकरण

\frac{\alpha x}{a^2}+\frac{\beta y}{b^2}+\frac{\gamma z}{c^2}=1 \cdots(1) \\ OA=\frac{a^2}{\alpha} , \quad O B=\frac{b^2}{\beta} तथा OC=[/\katex]\frac{c^2}{\gamma}[/katex]
PD, PE, PF x-अक्ष पर P से अक्षों पर लम्ब हैं

O D=\alpha, O E=\beta तथा O F=\gamma

(i) O D. OA=\alpha \cdot \frac{a^2}{\alpha}=a^2
(ii) O B. O E=\beta \cdot \frac{b^{2}}{\beta}=b^2
(iii) O F.O C=\gamma \cdot \frac{c^2}{\gamma^2}=c^2
Example:7.सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) से शांकवज a x^2+b y^2+c z^2=1 पर खींचे गए स्पर्श तलों पर मूलबिन्दु से डाले गए लम्ब, शंकु (\alpha x+\beta y+\gamma z)^{2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} को जनित करते हैं।सिद्ध करो कि इस शंकु का व्युत्क्रम शंकु \left(a x^2+b y^2+c z^2\right)\left(a \alpha^2+b \beta^2+c \gamma^2-1\right) -(a \alpha x+b \beta y+c \gamma z)^2=0 है।
(Tangent planes are drawn to the conicoid through the point (\alpha, \beta, \gamma) .Prove that the perpendiculars to them from the origin generate the cone (\alpha x+\beta y+\gamma z)^{2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}. Prove that the reciprocal of this Cone is the cone \left(a x^2+b y^2+c z^2\right)\left(a \alpha^2+b \beta^2+c \gamma^2-1\right) -(a \alpha x+b \beta y+c \gamma z)^2=0)
Solution: (\alpha, \beta, \gamma)  से गुजरने वाले किसी समतल का समीकरण

l(x-\alpha)+m(y-\beta)+n(z-\gamma)=0 \\ l x+m y+n z=l \alpha+m \beta+n \gamma \cdots(1)
यदि यह दिए हुए शांकवज का स्पर्श तल हो तब

\frac{l^2}{a}+\frac{m^2}{b}+\frac{n^2}{c}=(l \alpha+m \beta+n \gamma)^2 \ldots(2)
(1) के लम्बवत शांकवज के केन्द्र से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:

\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n} \cdots(3)
(2) व) (3) से l,m,n का विलोपन करने पर:

\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=(\alpha x+\beta y+\gamma z)^2
शंकु के व्युत्क्रम शंकु का समीकरण

\left(a x^2+b y^2+c z^2\right)\left(a \alpha^2+b \beta^2+c \gamma^2-1\right) -\left(a \alpha x+b \beta y+c \gamma z\right)^2=0
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in 3D Geometry),थ्री डाइमेन्शनल ज्योमेट्री में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in Three Dimensional Coordinate Geometry) को समझ सकते हैं।

3.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज पर आधारित सवाल (Questions Based on Central Conicoids in 3D Geometry):

Central Conicoids in 3D Geometry

(1.)दीर्घवृत्तज \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 के स्पर्श तल ज्ञात कीजिए जो कि समतल lx+my+nz=p के समान्तर स्पर्शतलों की दूरी 2r हो तो सिद्ध कीजिए कि वह रेखा जो मूलबिन्दु से गुजरती है और समतलों के लम्बवत है, वह शंकु  x^2\left(a^2-r^2\right)+y^2\left(b^2-r^2\right)+z^2\left(c^2-r^2\right)=0 पर होगी।
(Obtain the tangent planes to the ellipsoid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 which are parallel to the planes lx+my+nz=p If 2r is the distance between two parallel tangent planes to the ellipsoid, Prove that the line through the origin and perpendicular to the planes lies on the cone x^2\left(a^2-r^2\right)+y^2\left(b^2-r^2\right)+z^2\left(c^2-r^2\right)=0.)
(2.)दीर्घवृत्तज \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 के दो लम्ब स्पर्श-समतलों की प्रतिच्छेद रेखा एक स्थिर बिन्दु (0,0,k) में से गुजरती है। सिद्ध कीजिए कि यह रेखा शंकु x^2\left(b^2+c^2-k^2\right)+y^2\left(c^2+ a^2-k^2\right)+ (z-k)^2\left(a^2+b^2\right)=0 पर स्थित होती रहती है।
(If the line of  intersection of two perpendicular tangent planes to the ellipsoid whose equation referred to rectangular axes is \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 pass through the fixed point (0,0,k) show that it lies on the cone x^2\left(b^2+c^2-k^2\right)+y^2\left(c^2+a^2-k^2\right)+ (z-k)^2\left(a^2+b^2\right)=0)

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4.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in 3D Geometry),थ्री डाइमेन्शनल ज्योमेट्री में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in Three Dimensional Coordinate Geometry) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in 3D Geometry)
में दीर्घवृत्तज,एक पृष्ठी अतिपरवलयज,द्विपृष्ठी अतिपरवलयज की स्पर्श रेखा,स्पर्श तल,
स्पर्शिता का प्रतिबन्ध इत्यादि के बारे में अध्ययन करेंगे।