Central Conicoids in 3D
1.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in 3D),थ्री डाइमेन्शनल ज्योमेट्री में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in Three Dimensional Coordinate Geometry):
त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in 3D) का निम्नलिखित मानक समीकरण जो कि द्विघाती व्यापक समीकरण का एक विशिष्ट रूप है,द्वारा व्यक्त सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoid) कहलाता है।इसमें यह गुण है कि मूलबिन्दु से गुजरने वाली इसकी समस्त जीवाएँ मूलबिन्दु पर समद्विभाजित होती है।
A x^2+B y^2+C z^2=1 \cdots(1)
क्योंकि यदि पृष्ठ (1) पर कोई बिन्दु P\left(x_1, y_1, z_1\right) लें तो
A x_1^2+B y_1^2+C z_1^2=1 \cdots(2)
इस सम्बन्ध से यह भी प्रदर्शित होता है कि बिन्दु P के संगत एक बिन्दु Q\left(-x_{1},-y_{1},-z_{1}\right) भी पृष्ठ (1) पर स्थित है।P और Q को मिलनेवाली जीवा मूलबिन्दु (0,0,0) पर निस्सन्देह समद्विभाजित होती है।चूँकि बिन्दु P\left(x_1, y_1, z_1\right) स्वेच्छ है,हम कह सकते हैं कि पृष्ठ (1) की समस्त जीवाएँ जो मूलबिन्दु से गुजरती है वे मूलबिन्दु पर समद्विभाजित होती है।इसलिए हम मूलबिन्दु को पृष्ठ (1) का केन्द्र (Centre) कहते हैं और इसी कारण पृष्ठ (1) को सकेन्द्र शांकवज कहते हैं।
मानक समीकरण (1) निम्न तीन प्रकार के सकेन्द्र शांकवज व्यक्त करता है जिनकी प्रकृति x^2, y^2, z^2 के गुणांक के चिन्हों पर निर्भर करती है।
(1.)यदि गुणांक A,B,C सभी धनात्मक हैं तो सकेन्द्र शांकवज दीर्घवृत्तज (ellipsoid) कहलाता है और यदि ये सभी ऋणात्मक हैं तो सकेन्द्र शांकवज कल्पित दीर्घवृत्तज (Imaginary Ellipsoid) कहलाता है।
(2.)यदि गुणांक A,B, C में से कोई दो धनात्मक हैं तथा एक ऋणात्मक है तो सकेन्द्र शांकवज एक पृष्ठी अतिपरवलयज (Hyperboloid of One Sheet) कहलाता है।
(3.)यदि गुणांक A,B,C में से कोई दो ऋणात्मक तथा एक धनात्मक है तो सकेन्द्र शांकवज द्विपृष्ठी अतिपरवलयज (Hyperboloid of Two Sheets) कहलाता है।
दीर्घवृत्तज,एक पृष्ठी अतिपरवलयज तथा द्विपृष्ठी अतिपरवलयज के मानक समीकरण क्रमशः निम्न रूप में लिखे जाते हैं:
(i) \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,दीर्घवृत्तज (Ellipsoid)
(ii) \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,एक पृष्ठी अतिपरवलयज (Hyperboloid of One Sheet)
(iii) \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,द्वि पृष्ठी अतिपरवलयज (Hyperboloid of Two Sheets)
एक सरल रेखा और सकेन्द्र शांकवज का प्रतिच्छेदन (Intersection of a line and a Conicoid)
मान लो रेखा तथा सकेन्द्र शांकवज के समीकरण हैं:
\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n}=r (मान लो)…..(1)
A x^2+B y^2+C z^2=1 \ldots(2)
सरल रेखा (1) पर किसी बिन्दु के निर्देशांक होंगे:
(\alpha+l r, \beta+m r, \gamma+n r)
यदि यह बिन्दु शांकवज पर स्थित है तो r का मान निम्न समीकरण से प्राप्त होगा:
A(\alpha+l r)^2+B(\beta+m r)^2+C(\gamma+m r)^2=1 \\ \Rightarrow \left(A l^2+B m^2+Cn^2\right) r^2+2(A \alpha l+B \beta m+C \gamma n) r+\left(A \alpha^2+B \beta^2+C \gamma^2-1\right)=0 \cdots(3)
समीकरण (3),r में द्विघात समीकरण है।इसलिए यह r के दो मान देगा जिन्हें माना कि r_1 तथा r_2 हैं तब \left(\alpha+l r_1, \beta+m r_1, \gamma+n r_1\right) तथा \left(\alpha+l r_2, \beta+m r_2, \gamma+n r_2\right) दो प्रतिच्छेदन बिन्दु हैं।
अतः प्रत्येक सरल रेखा सकेन्द्र शांकवज को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करती है।समीकरण (3) के मूलों के वास्तविक,संपाती तथा अधिकल्पित होने के अनुसार ये बिन्दु वास्तविक,संपाती तथा काल्पनिक होंगे।
सकेन्द्र शांकवज A x^2+B y^2+C z^2=1 के किसी बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर स्पर्श-तल का समीकरण (Equation of the tangent plane at a point):
सकेन्द्र शांकवज के किसी बिन्दु पर स्पर्श-तल का समीकरण ज्ञात करना।
(To find the equation of the tangent plane to the Conicoid A x^2+B y^2+C z^2=1 at the point (\alpha, \beta, \gamma) .)
चूँकि बिन्दु सकेन्द्र शांकवज पर स्थित है।
A \alpha^2+B \beta^2+C \gamma^2=1 \cdots(1)
(\alpha, \beta, \gamma) से गुजरने वाली किसी सरल रेखा के समीकरण होंगे
\frac{x-\alpha}{l}=\frac{y-\beta}{m}=\frac{z-\gamma}{n}=r (मान लो)
यह शांकवज (1) को बिन्दुओं (\alpha+l r,\beta+m r, \gamma+n r) में प्रतिच्छेदित करेगी जहाँ r के मान निम्न समीकरण से प्राप्त होते हैं :
\left(A l^2+B m^2+C n^2\right) r^2+2\left(A \alpha l+ B \beta m+C \gamma n\right) r=0 \cdots(3)
r का एक मान स्वतः ही शून्य है इसलिए प्रतिच्छेदन बिन्दुओं में से एक बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) ही है।सरल रेखा (2) एक स्पर्श रेखा होगी यदि r का दूसरा मान भी शून्य हो जिसके लिए आवश्यक प्रतिबन्ध होगा:
A \alpha l+B \beta n+C \gamma n=0 \cdots(4)
इस प्रकार सरल रेखा (2) सकेन्द्र शांकवज की बिन्दु पर स्पर्श-रेखा होगी यदि प्रतिबन्ध (4) को सन्तुष्ट करती है।
अब बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर सकेन्द्र शांकवज का स्पर्श तल (2) तथा (4) में से l,m,n को विलुप्त करने पर प्राप्त होगा अतः
A \alpha(x-\alpha)+B \beta(y-\beta)+C \gamma(z-\gamma)=0 \\ \Rightarrow A \alpha x+B \beta y+C \gamma z=1 \cdots(5)
जो कि बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर सकेन्द्र शांकवज का स्पर्श-तल है।
विशेष स्थिति (Particular Case):(5) में A=\frac{1}{a^2}, B=\frac{1}{b^2},C=\frac{1}{c^2} प्रतिस्थापित करने पर बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर दीर्घवृत्तज \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 के स्पर्श-तल का अभीष्ट समीकरण होगा:
\frac{\alpha x}{a^2}+\frac{\beta y}{b^2}+\frac{\gamma z}{c^2}=1
स्पर्शिता का प्रतिबन्ध (Condition of Tangency):
समतल lx+my+nz=p को सकेन्द्र शांकवज A x^2+B y^2+c z^2=1 का स्पर्श-तल होने के लिए प्रतिबन्ध ज्ञात करना
(To find the condition that the plane lx+my+nz=p is a tangent plane to the conicoid A x^2+B y^2+c z^2=1.)
माना कि समतल lx+my+nz=p… (1)
सकेन्द्र शांकवज A x^2+B y^2+c^2=1 \cdots(2)
को बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर स्पर्श करता है।
परन्तु सूत्रानुसार बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर सकेन्द्र शांकवज के स्पर्श-तल का समीकरण होता है:
A \alpha x+B \beta y+C \gamma z=1 \cdots(3)
चूँकि समीकरण (1) तथा (3) एक ही समतल को प्रदर्शित करेंगे इसलिए ये समरूप होंगे।अतः
\frac{A \alpha}{l}=\frac{B \beta}{m}=\frac{C \gamma}{n}=\frac{1}{p} \cdots(4) \\ \Rightarrow \alpha=\frac{1}{A p}, \beta=\frac{m}{B p}, \gamma=\frac{n}{c p}
चूँकि स्पर्श बिन्दु शांकवज पर स्थित है।
\therefore A\left(\frac{l^2}{A^2 p^2}\right)+B\left(\frac{m^2}{B^2 p^2}\right)+C\left(\frac{n^2}{C^2 p^2}\right)=1 \\ \Rightarrow \frac{l^2}{A}+\frac{m^2}{B}+\frac{n^2}{C}=p^2 \cdots(5)
जो कि अभीष्ट प्रतिबन्ध है।यहाँ स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक होंगे:
\left(\frac{l}{A p}, \frac{m}{B p}, \frac{n}{C p}\right)
उपप्रमेय (Corollary):
समतल l x+m y+n z=\pm \sqrt{\frac{l^2}{A}+\frac{m^2}{B}+\frac{n^2}{C}}
l,m,n के प्रत्येक वास्तविक मानों के लिए शांकवज A x^2+B y^2+C z^2=1 का स्पर्श-तल है।ये आपस में समान्तर हैं।
विशेष स्थिति (Particular Case):यदि समतल lx+my+ny=p, दीर्घवृत्तज \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 स्पर्श करता हो तो अभीष्ट प्रतिबन्ध a^2 l^2+b^2 m^2+a^2 n^2=p^2 होगा तथा स्पर्श बिन्दु \left(\frac{a^2 l}{p},\frac{b^2 m}{p}, \frac{c^2 n}{p}\right) होगा।
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2.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Central Conicoids in 3D):
Example:1.सरल रेखा \frac{x+5}{-3}=y-4=\frac{z-1}{7} और सकेन्द्र शांकवज 12 x^2-17 y^2+7 z^2=7 के प्रतिच्छेदन बिन्दु ज्ञात कीजिए:
(Find the points of intersection of the line \frac{x+5}{-3}=y-4=\frac{z-1}{7} and the conicoid 12 x^2-17 y^2+7 z^2=7.)
Solution: \frac{x+5}{-3}=\frac{y-y}{1}=\frac{z-11}{7}=r (माना)….(1)
12 x^2-17 y^2+7 z^2=7 \cdots(2)
सरल रेखा (1) पर किसी बिन्दु के निर्देशांक होंगे:
(-3r-5,r+4,7r+11)
यदि यह बिन्दु शांकवज पर स्थित है तो r का मान निम्न समीकरण से प्राप्त होगा:
12(-3 r-5)^2-17(r+4)^2+7(7 r+11)^2=7 \\ \Rightarrow 12\left(9 r^2+25+30 r\right)-17\left(r^2+8 r+16\right) +7\left(49 r^2+121+154 r\right)=7 \\ \Rightarrow 108 r^2+300+360 r-17 r^2-136 r-272+343 r^2+847+1078 r=7 \\ \Rightarrow 434 r^2+1302 r+868=0 \\ \Rightarrow r^2+3 r+2=0 \\ \Rightarrow r^2+2 r+r+2=0 \\ \Rightarrow[r[r+2)+1(r+2)]=0 \\ \Rightarrow(r+1)(r+2)=0 \\ \Rightarrow r=-1,-2
जब r=-1 तो (-3r-5,r+4,7r+11)=(-2,3,4)
जब r=-2 तो (-3r-5,r+4,7r+11)=(1,2,-3)
Example:2.प्रदर्शित कीजिए कि एक बिन्दु का बिन्दुपथ जिसकी बिन्दुओं (a,0,0) तथा (-a,0,0) से दूरियों का योग अचर (=2k) हो,एक दीर्घवृत्तज है:
(Show that the locus of a point, the sum of whose distances from points (a,0,0) and (-a,0,0) is constant (=2k) is the ellopsoid of revolution):
\frac{x^2}{k^2}+\frac{y^2+z^2}{k^2-a^2}=1
Solution:माना बिन्दु के निर्देशांक (x,y,z) हैं।
प्रश्नानुसार
\sqrt{(x-a)^2+(y-0)^2+(z-a)^2}+\sqrt{(x+a)^2+(y-0)^2+(z-0)}=2 k \\ \Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+y^2+z^2}=2 k-\sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
(x+a)^2+y^2+z^2=4 k^2+(x-a)^2+y^2+z^{2}-4 k \sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2} \\ \Rightarrow x^2+2 a x+a^2=4 k^2+x^2-2 a x+a^2-4 k \sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2} \\ \Rightarrow 4 k \sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}=4 k^2-4 a x \\ \Rightarrow k \sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}=k^2-a x
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
Example:3(a).दीर्घवृत्तज \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2+z^2}{b^2}=1 के बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर स्पर्श समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Find the equation to the tangent plane at (\alpha, \beta, \gamma) to the ellopsoid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2+z^2}{b^2}=1.)
Solution:दीर्घवृत्तज \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2+z^2}{b^2}=1 के बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर स्पर्श समतल का समीकरण:
Example:3(b): a x^2+b y^2+c z^2=1 के बिन्दु (\alpha, \beta, \gamma) पर स्पर्शी समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Obtain the equation of the tangent plane at the point (\alpha, \beta, \gamma) of a x^2+b y^2+c z^2=1)
Solution:सकेन्द्र शांकवज a x^2+b y^2+c z^2=1 के बिन्दु a x^2+b y^2+c z^2=1 पर स्पर्श समतल का समीकरण
A \alpha x+B \beta y+c \gamma z=1 \\ a \alpha x+b \beta y+c \gamma z=1
Example:4(a).सकेन्द्र शांकवज 7 x^2+5 y^2+3 z^2=60 के स्पर्श तलों के समीकरण ज्ञात करो जो कि समतल 2x+3y-z=0 के समान्तर है।
(Find the equation to the tangent planes to the central conicoid 7 x^2+5 y^2+3 z^2=60 which are parallel to the plane 2x+3y-z=0)
Solution:दिए हुए समतल के समान्तर समतल का समीकरण
2x+3y-z=p… (1)
यदि यह समतल सकेन्द्र शांकवज को स्पर्श करता है तो:
7 x^2+5 y^2+3 z^2=60 \\ \Rightarrow \frac{7}{60} x^2+\frac{5}{60} y^2+\frac{3}{60} z^2=1 \\ \Rightarrow \frac{7}{60} x^2+\frac{1}{12} y^2+\frac{1}{20} z^2=1
स्पर्शता का प्रतिबन्ध:
\frac{l^2}{A}+\frac{m^2}{B}+\frac{n^2}{C}=p^2 \\ \frac{2^2}{7 / 60}+\frac{3^2}{ 1 / 12}+\frac{(-1)^2}{1 / 20}=p^2 \\ \frac{4 \times 60}{7}+\frac{9 \times 12}{1}+\frac{1 \times 20}{1}=p^2 \\ \Rightarrow \frac{240}{7}+\frac{108}{1}+\frac{20}{1}=p^2 \\ \Rightarrow \frac{240+756+140}{7}=p^2 \\ \Rightarrow \frac{1136}{7}=p^2 \\ \Rightarrow p=\pm \sqrt{\frac{1136}{7}}
अतः स्पर्श समतलों के समीकरण होंगे
2 x+3 y-z=\pm \sqrt{\frac{1136}{7}}
Example:4(b).शांकवज a x^2+b y^2+c z^2=1 के स्पर्श तलों के समीकरण ज्ञात करो जो कि समतल lx+my+nz=0 के समान्तर हैं।
(Find the equation to the tangent planes of the conicoid a x^2+b y^2+c z^2=1 which are parallel to the plane lx+my+nz=0)
Solution:दिए हुए समतल के समान्तर समतल का समीकरण
lx+my+nz=p… (1)
यह समतल शांकवज को स्पर्श करता है तो:
a x^2+b y^2+c z^2=1 \cdots(2)
स्पर्शता का प्रतिबन्ध:
\frac{l^2}{A}+\frac{m^2}{B}+\frac{n^2}{C}=p^2 \\ \Rightarrow \frac{l^2}{a}+\frac{m^2}{b}+\frac{n^2}{c}=p^2 \\ \Rightarrow p=\pm \sqrt{\frac{l^2}{a}+\frac{m^2}{b}+\frac{n^2}{c}}
p का मान (1) में रखने पर स्पर्श समतल का समीकरण:
l x+m y+n z=\pm \sqrt{\left(\frac{l^2}{a}+\frac{m^2}{b}+\frac{n^2}{c}\right)}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in 3D),थ्री डाइमेन्शनल ज्योमेट्री में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in Three Dimensional Coordinate Geometry) को समझ सकते हैं।
3.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज के सवाल (Central Conicoids in 3D Questions):
(1.)सकेन्द्र शांकवज 3 x^2-6 y^2+9 z^2+17=0 के स्पर्श तलों के समीकरण ज्ञात करो जो कि समतल x+4y-2z=0 के समान्तर है।
(Find the equation of the tangent planes to the surface 3 x^2-6 y^2+9 z^2+17=0 parallel to the plane x+4y-2z=0)
(2.)स्पर्श समतलों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x+9y-3z=0=8x-3y+6z-5 से जाते हैं और अतिपरवलयज 2 x^2-6 y^2+3 z^2=5 को स्पर्श करते हैं।
(Find the equations to the tangent planes to the hyperboloid 2 x^2-6 y^2+3 z^2=5 which passes through the line x+9y-3z=0=3x-3y+6z-5)
उत्तर (Answers):(1)3x+12y-6z=\pm 17
(2.) 4x+6y+3z=5,2x-12y+9z=5
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in 3D),थ्री डाइमेन्शनल ज्योमेट्री में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in Three Dimensional Coordinate Geometry) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:-Reduction of 2nd Degree Equation in 3D
4.त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in 3D),थ्री डाइमेन्शनल ज्योमेट्री में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in Three Dimensional Coordinate Geometry) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.क्या दीर्घवृत्तज में मूलबिन्दु पृष्ठ का केन्द्र होता है? (Is the Origin the Centre of Surface in Ellipsoid?):
उत्तर:यदि (\alpha,\beta,\gamma) समीकरण \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \cdots(1)
को सन्तुष्ट करते हैं तो (-\alpha,-\beta,-\gamma) भी इसको सन्तुष्ट करेंगे। बिन्दु (\alpha,\beta,\gamma) तथा (-\alpha,-\beta,-\gamma) मूलबिन्दु से जानेवाली सरल रेखा पर हैं तथा मूलबिन्दु से बराबर दूरी पर है अतः मूलबिन्दु से जानेवाली प्रत्येक जीवा मूलबिन्दु पर समद्विभाजित होती है।फलतः मूलबिन्दु पृष्ठ (1) का केन्द्र है।
प्रश्न:2.दीर्घवृत्तज में मुख्य समतल एवं मुख्य अक्ष किसे कहते हैं? (What is Principal Planes and Principal Axes in Ellipsoid?):
उत्तर:यह स्पष्ट है कि जब भी P(\alpha,\beta,\gamma) पृष्ठ (1) पर है तो बिन्दु P(\alpha,\beta,\gamma) भी पृष्ठ (1) पर है।का मध्य बिन्दु (\alpha,\beta,\gamma), xy-समतल (z=0) पर है। साथ ही रेखा इस समतल के लम्बवत है।अतः z=0 समतल उन सभी जीवाओं को समद्विभाजित करता है जो कि इस समतल के लम्बवत हैं।इसलिए पृष्ठ (1),xy-समतल के अनुलक्ष में सममित है।इसी प्रकार हम यह दर्शा सकते हैं कि पृष्ठ (1),x=0 तथा y=0 समतलों के अनुलक्ष सममित है।ये तीनों तलों की दो-दो जोड़ों में प्रतिच्छेदन रेखाएँ मुख्य अक्ष (Principal Axes) कहलाती है।
प्रश्न:3.क्या दीर्घवृत्तज में पृष्ठ परिबद्ध है? (Is Surface Closed in Ellipsoid?):
उत्तर:यदि |x|> a तब समीकरण (1) से \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=ऋणात्मक राशि, यह तभी सम्भव है जबकि y^{z},z^{2} या तो दोनों ऋणात्मक हों या एक ऋणात्मक हो (पर दूसरे से संख्यात्मक मान में बड़ा हो) अर्थात् या तो y,z दोनों अधिकल्पित हों या दोनों में से एक अधिकल्पित हो।अतः यह निष्कर्ष निकलता है कि,a से बड़ा नहीं हो सकता है और इसलिए पृष्ठ (1) समान्तर समतलों y=b तथा y=-b के अन्तर्गत और z=c तथा z=-c के अन्तर्गत ही स्थित है।अतः समीकरण (1) से परिबद्ध पृष्ठ परिबद्ध है।
प्रश्न:4.दीर्घवृत्तज में अक्षों की लम्बाई से क्या तात्पर्य है? (What is Meant by the Length of the Axes in Ellipsoid?):
उत्तर:x-अक्ष (अर्थात् y=0,z=0) पृष्ठ (1) को (a,0, 0) तथा (-a,0, 0) पर प्रतिच्छेदित करता है। अतः पृष्ठ (1),x-अक्ष पर 2a लम्बाई काटता है।इसी प्रकार यह दर्शाया जा सकता है कि y-अक्ष तथा z-अक्ष पृष्ठ (1) क्रमशः 2b और 2c लम्बाई काटता है।यह लम्बाईयाँ 2a,2b,2c जो मुख्य अक्षों पर पृष्ठ द्वारा काटी जाती है,दीर्घवृत्तज (1) के अक्षों की लम्बाईयाँ कहलाती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिविमीय निर्देशांक ज्यामिति में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in 3D),थ्री डाइमेन्शनल ज्योमेट्री में सकेन्द्र शांकवज (Central Conicoids in Three Dimensional Coordinate Geometry) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
