1.परिमित अन्तर कलन (Calculus of Finite Difference),अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Calculus):

Calculus of Finite Difference

परिमित अन्तर कलन (Calculus of Finite Difference) के इस आर्टिकल में परिमित तथा अन्तर संकारकों पर आधारित विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.परिमित अन्तर कलन पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Calculus of Finite Difference):

Illustration:12.दिया हुआ है (Given) $u_0=3, u_1=12, u_2=81, u_3=2000, u_4=100, u_5=8, \Delta^5 u_0$
ज्ञात कीजिए (Find $\Delta^5 u_0$ )
Solution: $\Delta^5 u_0=(E-1)^5 u_0 \\ =\left(E^5-5 E^4+10 E^3-10 E^2+5 E-1\right) u_0 \\ =E^5 u_0-5 E^4 u_0+10 E^3 u_0-10 E^2 u_0+5 E u_0-u_0 \\ =u_5-5 u_4+10 u_3-10 u_2+5 u_1-u_0 \\ = 8-5 \times 100+10 \times 2000-10 \times 81+5 \times 12-3 \\ =8-500+20000-810+60-3 \\ =18755 \\ \Rightarrow \Delta^5 u_0=18755$
Illustration:14(i).सिद्ध कीजिए कि (Prove that)

$\overset{\infty}{\underset{x=0}{\sum}} u_{2 x}=\frac{1}{2} \overset{\infty}{\underset{x=0}{\sum}} u_x+\frac{1}{4}\left(1-\frac{\Delta}{2}+\frac{\Delta^2}{4} \cdots\right) u_0$
Solution: $\overset{\infty}{\underset{x=0}{\sum}} u_{2 x}=\frac{1}{2} \overset{\infty}{\underset{x=0}{\sum}} u_x+\frac{1}{4}\left(1-\frac{\Delta}{2}+\frac{\Delta^2}{4}-\right) u_0 \\ \text { R.H.S } \frac{1}{2} \overset{\infty}{\underset{x=0}{\sum}} u_x+\frac{1}{4}\left(1-\frac{\Delta}{2}+\frac{\Delta^2}{4} \cdots \right) u_0 \\ =\frac{1}{2}\left[1+E+E^2+E^3+\cdots\right] u_0+\frac{1}{4}\left(1+\frac{\Delta}{2}\right)^{-1} u_0 \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1-E}\right] u_0+\frac{1}{4} \times 2(2+\Delta)^{-1} u_0 \\ =\frac{1}{2}(1-E)^{-1} u_0+\frac{1}{2}(2+\Delta)^{-1} u_0 \\=\frac{1}{2}\left[(1-E)^{-1}+(1+E)^{-1}\right] u_0 \\ =\frac{1}{2}\left[1+E+E^2+E^3+E^4 \ldots \ldots 1-E+E^2-E^3+\cdots \right] u_0 \\ =\frac{1}{2}\left[2+2 E^2+2 E^4+\ldots\right] u_0 \\ =\frac{1}{2} \times 2\left(1+E^2+E^4+\cdots\right) u_0 \\ =\left(u_0+E^2 u_0+E^4 u_0+\cdots\right) \\ =u_0+u_2+u_4+\cdots \\ =\overset{\infty}{\underset{x=0}{\sum}} u_{2 x}=\text { L.H.S }$
Illustration14(ii).यदि (if) $\Delta^3 u_x=0$
सिद्ध कीजिए (prove that)

$u_{x+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(u_x+u_{x+1}\right)-\frac{1}{16}\left(\Delta^2 u_{x+1}+\Delta^2 u_{x}\right)$
Solution: $u_{x+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(u_x+u_{x+1}\right)-\frac{1}{16} \left(\Delta^2 u_{x+1} +\Delta^2 u_x\right) \\ \text{L.H.S.} u_{x+\frac{1}{2}}=E^{\frac{1}{2}} u_x \\ =(1+\Delta)^{\frac{1}{2}} u x \\ =\left(1+\frac{1}{2} \Delta-\frac{1}{8} \Delta^2\right) u_x$
( $\Delta^2$ तक विस्तार करने पर क्योंकि $\Delta^3 u_x=0$ )

=$u_x+\frac{1}{2} \Delta u_x-\frac{1}{8} \Delta^2 u_x \cdots(1)$
पुनः $\Delta^3 u_x=\Delta^2 u_x+1-\Delta^2 u_x=0 \\ \therefore \Delta^2 u_{x+1}=\Delta^2 u_x$ 
तथा $\Delta u_x=u_{x+1}-u_x$
ये मान (1) में रखने पर:

=$u_x+\frac{1}{2} \left(u_{x+1}-u_x \right)-\frac{1}{8}\left(\frac{\Delta^2 u_x}{2}+\frac{\Delta^2 u_{x+1}}{2}\right)\\ =u_x+\frac{1}{2} u_{x+1}-\frac{1}{2} u_x-\frac{1}{16}\left(\Delta^2 u_x+\Delta^2 u_{x+1}\right) \\=\frac{1}{2}\left(u_x+u_{x+1}\right)-\frac{1}{16}\left(\Delta^2 u_x+\Delta^2 u_{x+1}\right) \\ =\text { R.H.S.}$
Illustration:16.निम्न श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए:
(Sum to n term of the following series):

$1.2 \Delta x^n-2.3 \Delta^2 x^n+3.4 \Delta^3 x^n-4.5 \Delta^4 x^n +\ldots \ldots$
Solution: $1.2 \Delta x^n-2.3 \Delta^2 x^n+3.4 \Delta^3 x^n-4.5 \Delta^4 x^n +\ldots \ldots \\ x^{n+m} x^n=0$ यदि $m \geq 1$
माना $S=1.2 \Delta x^n-2.3 \Delta^2 x^n+3.4 \Delta^3 x^n-4.5 \Delta^4 x^n+\ldots \ldots \quad \cdots(1) \\ \Delta S=1.2 \Delta^2 x^n-2.3 \Delta^3 x^n+3.4 \Delta^4 x^n-4.5 \Delta^5 x^n+\ldots \ldots \quad \cdots(2)$
(1) व (2) को जोड़ने पर:

$(\Delta+1)S=1.2 \Delta x^n-2.2 \Delta^2 x^n+2.3 \Delta^3 x^n-2.4 \Delta^4 x^n+ \ldots \ldots \\ =2 \Delta\left(1-2 \Delta+3 \Delta^2-4 \Delta^3+\ldots\right) x^n \\ \Rightarrow (\Delta+1) S=2 \Delta\left(1-2 \Delta+3 \Delta^2-4 \Delta^3+\ldots\right) x^n \cdots(3)$
पुनः $S_1=1-2 \Delta+3 \Delta^2-4 \Delta^3+\ldots \infty \quad \cdots(4) \\ \therefore \Delta S_1=\Delta-2 \Delta^2+3 \Delta^3-4 \Delta^4+\ldots \infty \quad \cdots(5)$
(4) व (5) को जोड़ने पर:

$(1+\Delta) S_1 =1-\Delta+\Delta^2-\Delta^3+\ldots \infty \\ =(1+\Delta)^{-1} \\ =\frac{1}{1+\Delta} \\ \Rightarrow S_1 =\frac{1}{(1+\Delta)^2}$
(3) से:

$(\Delta+1)S=2 \Delta(1+\Delta)^{-2} x^n \\ =\frac{2 \Delta}{(1+\Delta)^2} x^n \\ \Rightarrow S=\frac{2 \Delta}{\left(1+\Delta\right)^3} x^n \\ S=2 \Delta(1+\Delta)^{-3} x^n \\ =2 \Delta E^{-3} x^n \\ =2(E-1) E^{-3} x^n \\ =2(E-1)(x-3)^n \\ =2 E(x-3)^n-2(x-3)^n \\ \Rightarrow S=2(x-2)^n-2(x-3)^n$
Illustration:17.निम्न श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए
(Find the sum of the following series):

$(n-1)^2 \quad {}^n C_1+(n-3)^2 \quad {}^n C_3+(n-5)^2 \quad {}^n C_5+\ldots$
Solution: $(n-1)^2 \quad {}^n C_1+(n-3)^2 \quad {}^n C_3+(n-5)^2 \quad {}^n C_5+\ldots \\ ={}^n C_1 E^{-1} n^2+{}^n C_3 E^{-3} n^2+{}^n C_5 E^{-5} n^2+\ldots \ldots \\ =\left[\left({}^n C_1 E^{-1}+{}^n C_3 E^{-3}+{}^n C_5 E^{-5}+ \ldots \ldots\right) x^2\right]_{x=n} \\ =\left[ \left[ \frac{1}{2} \left(1+ E^{-1} \right)^n-\frac{1}{2}(1-E^{-1})^n\right] x^2\right]_{x=n} \\ \left[\frac{1}{2}\left[(\Delta+2)^n -\Delta^n\right] E^{-n} x^2\right]_{x=n} \\ = \left[\frac{1}{2}\left[(\Delta+2)^n-\Delta^n\right](x-n)^2 \right]_{x=n} \\ =\frac{1}{2}\left[(\Delta+2)^n-\Delta^n\right] 0^2 \\ =\frac{1}{2}\left[2^n 0^2+n 2^{n-1} \Delta 0^2+\frac{1}{2} n(n-1) 2^{n-2} \Delta^2 0^2+\cdots\right] \\ =\frac{1}{2}\left[n 2^{n-1}+n(n-1) 2^{n-2}\right] \text{etc.} \\ =n 2^{n-2}+n^2 \cdot 2^{n-3}-n 2^{n-3} \\ =n 2^{n-3}(2-1)+n^2 \cdot 2^{n-3} \\ =n \cdot 2^{n-3}+n^2 2^{n-3} \\ =n(n+1) 2^{n-3}$

Calculus of Finite Difference

Illustration:19(iii).निम्न फलन तथा इनके उत्तरोत्तर अन्तरों को क्रमगुणित संकेतन में व्यक्त कीजिए:
(Express the following functions and their successive difference in factorial notation):

$3 x^3-5 x^2+7 x-10$
Solution: $f(x)=3 x^3-5 x^2+7 x-10 \equiv A x^{(3)}+B x^{(2)}+C x^{(1)}+D \\ \Rightarrow 3 x^3-5 x^2+7 x-10 \equiv A x(x-1)(x-2)+B x(x-1) +C x+D \\ \text { put } 3(0)^3-5(0)^2+7(0)-10=D \\ \Rightarrow D=-10 \\ \text{ put } x=1 \\ 3(1)^3-5(1)^2+7 \times 1-10=C+D \\ \Rightarrow 3-5+7-10=C-10 \\ \Rightarrow C=10-5 \Rightarrow C=5 \\ \text { put } x=2 \\ 3(2)^3-5(2)^2+7 \times 2-10=2 B+2 C+D \\ \Rightarrow 24-20+14-10=2 B+2 \times 5-10 \\ \Rightarrow 8=2 B \Rightarrow B=4$
दोनों पक्षों के $x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
A=3
अतः क्रमगुणित संकेतन में अभीष्ट बहुपद होगा:

$\Rightarrow f(x)=3 x^3-5 x^2+7 x-10 \equiv 3 x^{(3)}+4 x^{(2)}+5 x^{(1)}-10$
पुनः उत्तरोत्तर अन्तर ज्ञात करने के लिए सूत्र $\Delta x^{(n)}=n x^{(n-1)}$ काम में लेने पर:

$\Delta f(x) =3 \Delta x^{(3)}+4 \Delta x^{(2)}+5 \Delta x^{(1)}-\Delta(10) \\ =3 \times 3 x^{(2)}+4 \times 2 x^{(1)}+5 \times 1 x^{(0)}-0 \\ \Rightarrow \Delta f(x) =9 x^{(2)}+8 x^{(1)}+5 \\ \Delta^2 f(x)= \Delta(\Delta f(x)) \\ =\Delta\left(9 x^{(2)}+8 x^{(1)}+5\right) \\ =9 \Delta x^{(2)}+8 \Delta x^{(1)}+ \Delta(5) \\ =9 \times 2 x^{(1)}+8 \times 1 x^{(0)}+0 \\ \Rightarrow \Delta^2 f(x) =18 x^{(1)}+8 \\ \Delta^3 f(x) =\Delta\left(\Delta^2 f(x)\right) \\ =\Delta\left(18 x^{(1)}+8\right) \\ =18 \Delta x^{(1)}+ \Delta(8) \\ =18 \times x^{(0)}+0 \\ \Rightarrow \Delta^3 f(x) =18 \\ \Delta^4 f(x) =\Delta\left( \Delta^3 f(x)\right) \\ =\Delta(18) \\ \Rightarrow \Delta^4 f(x)=0$
Illustration:20(iv). फलन ज्ञात करो जिसका प्रथम अन्तर है:
(Find the function whose first difference is):

$x^2+5 x$
Solution:माना $\Delta f(x)=x^2+5 x \equiv A x(x-1)+Bx+C \\ x^2+5 x=A x^2-A x+B x+C \\ \Rightarrow A=1, \quad-A+B=5, C=0 \\ \Rightarrow-1+B=5 \\ \Rightarrow B=6 \\ \Delta f(x)= x^{(2)}+6 x^{(1)} \\ f(x)=\frac{x^{(3)}}{3}+\frac{6 x^{(2)}}{2}+C^{\prime} \\ \Rightarrow f(x)= \frac{x(x-1)(x-2)}{3}+3 x(x-1)+C^{\prime} \\ =\frac{1}{3}\left(x^3-3 x^2+2 x\right)+3 x^2-3 x+C^{\prime} \\ =\frac{1}{3} x^3-x^2+ \frac{2}{3} x+3 x^2-3 x+C^{\prime} \\ \Rightarrow f(x)=\frac{1}{3} x^3+2 x^2-\frac{7}{3} x+C^{\prime}$
Illustration:21. $u_x$ ज्ञात कीजिए (Find $u_x$ if)
Illustration:21(i). $\Delta u_x=x(x-1)$
Solution: $\Delta u_x=x(x-1) \\ \Rightarrow \Delta u_x=x^{(2)} \\ \Rightarrow u_x=\frac{x^{(3)}}{3}+B \\ \Rightarrow u_x=\frac{1}{3} x(x-1)(x-2)+B$
Illustration:21(ii). $\Delta u_x={}^x C_n$
Solution: $\Delta u_x={}^x C_n \\ =\frac{x!}{n!(x-n)!} \\ =\frac{x(x-1)(x-2)(x-3) \ldots(x-n+1)(x-n)!}{n!(x-n)!} \\ =\frac{x(x-1)(x-2)(x-3) \ldots(x-n+1)}{n!} \\ \Rightarrow \Delta u_x=\frac{x^{(n)}}{n!} \\ \Rightarrow u_x=\frac{x^{(n+1)}}{(n+1) n!} \\ \Rightarrow u_x={}^x C_{n+1}$
Illustration:22.निम्नतम कोटि का बहुपद क्या होगा,जो निम्न मानों को ग्रहण करता है:
(What is the lowest degree polynomial which takes the following values):

Solution:अन्तर सारणी (Difference Table)

$\begin{array}{|llllll|} \hline x & f(x) & \Delta f(x) & \Delta^2 f(x) & \Delta^3 f(x) & \Delta^4 f(x) \\ \hline 0 & 0 & & & & \\ & & 7 & & & \\ 1 & 7 & & 12 & & \\ & & 19 & & 6 & \\ 2 & 26 & & 18 & & 0 \\ & & 37 & & 6 & \\ 3 & 63 & & 24 & & 0 \\ & & 61 & & 6 & \\ 4 & 124 & & 30 & & 0 \\ & & 91 & & 6 & \\ 5 & 215 & & 36 & & 0 \\ & & 127 & & 6 & \\ 6 & 342 & & 42 & & \\ & & 169 & & & \\ 7 & 511 & & & & \\ \hline \end{array}$
हम जानते हैं कि

$f(x)=f(0)+\frac{\Delta f(0)}{1!} x^{(1)}+\frac{\Delta^2 f(0)}{2!} x^{(2)}+\ldots +\frac{\Delta^3 f(0)}{3!}x^{(3)}+\ldots$
सारणी से $\Delta f(0), \Delta^2 f(0), \Delta^3 f(0)$ इत्यादि मान रखने पर:

$f(x)=0+\frac{7}{1!} x^{(1)}+\frac{12}{2!} x^{(2)}+\frac{6}{3!} x^{(3)} +\frac{0}{4!} x^{(4)} \\ =7 x^{(1)}+6 x^{(2)}+x^{(3)} \\ =7 x+6 x(x-1)+x(x-1)(x-2) \\ =7 x+6 x^2-6 x+x^3-3 x^2+2 x \\ \Rightarrow f(x)=x^3+3 x^2+3 x$
Illustration:24.सिद्ध कीजिए (Prove that)

$(x \Delta)^{(n)} u_x=(x+n-1)^{(n)} \Delta^n u_x$
Solution:$(x \Delta)^{(n)} u_x=(x+n-1)^{(n)} \Delta^n u_x$
इसे हम आगमन सिद्धान्त से सिद्ध करेंगे:
जब n=1 तो

$(x \Delta) u_x=x \Delta u_x$
जो कि सत्य है।
जब n=2 तो

$\text { L.H.S. }(x \Delta)^{(2)} u_x=(x \Delta)(x \Delta^{-1}) u_x \\ =(x \Delta)\left(x \Delta u_x\right)-x \Delta u_x \\ =x \Delta\left(x \Delta u_x\right)-x \Delta u_x \\ =x\left[(x+1) \Delta^2 u_x +1 \cdot \Delta u_x\right]-x \Delta u_x \\ =(x+1)^{(2)} \Delta^2 u_x \\ \text { R.H.S. }(x+1)^2 \Delta^2 u_x$
L.H.S.=R.H.S.
अतः कथन n=2 के लिए सत्य है।
जब n=3

$\text { L.H.S. }(x \Delta)^{(3)} u_x=(x \Delta)(x \Delta-1)(x \Delta-2) u_x \\ =(x \Delta-2) \cdot x \Delta(x \Delta-1) u_x \\ =(x \Delta-2)(x+1)^2 \cdot \Delta^2 u_x \\ =x \Delta(x+1)^{(2)} \Delta^2 u_x-2(x+1)^2 \Delta^2 u_x \\ =(x+2)^{(3)} \Delta^3 u_x+2 (x+1) \Delta^2 u_x -2(x+1)^{(2)} \Delta^2 u_x \\ =(x+2)^{(3)} \Delta^3 u_x \\ \text { R.H.S. }=(x+2)^{(3)} \Delta^3 u_x \\ \text { L.H.S. }=\text { R.H.S. }$
अतः कथन n=3 के लिए सत्य है।
माना कि उक्त कथन n के लिए सत्य है।अब हमें उक्त कथन n+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

$(x \Delta)^{(n+1)} u_x=(x+n)^{(n+1)} \Delta^{n+1} u_x \\ \text { L.H.S. } (x \Delta)^{(n+1)} u_x \\ =(x \Delta)(x \Delta-1) \ldots(x \Delta n-\overline{n-1})(x \Delta-n) u_x \\ =(x \Delta-n)\left(x \Delta\right)^n u_x \\ =(x \Delta-n)\left[(x+n-1)^{(n)} \cdot \Delta^n\right] u_x \\ =x \Delta\left[(x+n-1)^{(n)} \Delta^n u_x\right]-n(x+n-1)^n \Delta^n u_x \\ =x\left[(x+n)^{(n)} \cdot \Delta^{n+1} u_x+n(x+n-1)^{(n-1)} \Delta^n u_x\right] -n(x+n-1)^{(n)} \Delta^n u_x \\ =(x+n)^{(n+1)} \Delta^{n+1} u_x+n(x+n-1)^{(n)} \Delta^n u_x -n(x+n-1)^{(n)} \Delta^n u_x \\ =(x+n)^{(n+1)} \Delta^{n+1} u_x \\ =\text{R.H.S.}$
अतः उक्त कथन सत्य सिद्ध हुआ।
Illustration:25 (v).निम्नलिखित के मान की गणना कीजिए
(Calculate the value of the following):

$\Delta 0^n$
Solution: $\Delta 0^n \\ \Delta^n x^m=(x+n)^m-{}^n C_1(x+n-1)^m+{}^n C_2 (x+n-2)^m \ldots \ldots+{}^n C_{(n-1)} (-1)^{n-1} (x+1)^m+(-1)^n x^m$
Put x=0,n=1 तथा m=n

$\Delta 0^n=1^m - {}^1 C_1 0^n \\ \Rightarrow \Delta 0^n=1$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा परिमित अन्तर कलन (Calculus of Finite Difference),अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Calculus) को समझ सकते हैं।

3.परिमित अन्तर कलन पर आधारित सवाल (Questions Based on Calculus of Finite Difference):

Calculus of Finite Difference

सिद्ध करो (Prove that)

(1.)$\overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum}} \Delta^2 f_k=\Delta f_n-\Delta f_0$
(2.)$\Delta^r y_k= \nabla^r y_{k+r}$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर परिमित अन्तर कलन (Calculus of Finite Difference),अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Calculus) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.परिमित अन्तर कलन (Frequently Asked Questions Related to Calculus of Finite Difference),अन्तर संकारकों के गुणधर्म तथा सम्बन्ध (Properties and Relations of Difference Calculus) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

परिमित अन्तर कलन (Calculus of Finite Difference) के इस आर्टिकल में परिमित
तथा अन्तर संकारकों पर आधारित विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।