1.संख्यात्मक विश्लेषण में द्विभाजन विधि (Bisection Method in Numerical Analysis),संख्यात्मक विश्लेषण में मिथ्या-स्थिति विधि (Regula-Falsi Method in Numerical Method):

Bisection Method in Numerical Analysis

संख्यात्मक विश्लेषण में द्विभाजन विधि (Bisection Method in Numerical Analysis) के इस आर्टिकल में बीजीय तथा अबीजीय समीकरणों को द्विभाजन विधि तथा मिथ्या-स्थिति विधि के द्वारा हल करके समझने का प्रयास करेंगे।

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2.संख्यात्मक विश्लेषण में द्विभाजन विधि पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Bisection Method in Numerical Analysis):

Example:2(a).द्विभाजन विधि से x=2 तथा x=4 के मध्य समीकरण x^3-9 x+1=0 का मूल ज्ञात कीजिए।
(Find the root of the equation x^3-9 x+1=0 between x=2 and x=4 by the method of bisection.)
Solution:यहाँ f(x)=x^3-9 x+1 \\ \therefore f(x) अन्तराल [2,4] में संतत है
पुनः f(2)=2^3-9 \times 2+1=-9
तथा f(4)=4^3-9 \times 4+1=29 \\ \Rightarrow f(2) \cdot f(4)<0
\therefore f(x)=0 का मूल 2 तथा 4 के मध्य स्थित होगा।
प्रथम सन्निकटन: x_1=\frac{a+b}{2}\\ \Rightarrow x_1=\frac{2+4}{2}=3
पुनः f(3)=3^3-9 \times 3+1=1
अब चूँकि f(2).f(3)<0
\therefore मूल 2 तथा 3 स्थित होगा।
द्वितीय सन्निकटन:पुनः x_2=\frac{2+3}{2}=2.5
साथ ही f(2.5)=(2.5)^3-9 \times 2.5+1=-5.875
अब,चूँकि f(2.5).f(3)<0
मूल 2.5 तथा 3 के मध्य स्थित होगा।
तृतीय सन्निकटन:पुनः x_3=\frac{2.5+3}{2}=2.75
साथ ही f(2.75)=(2.75)^3-9 \times 2.75+1=-2.953125
\therefore मूल 2.75 तथा 3 के मध्य स्थित होगा।
चतुर्थ सन्निकटन:पुनः x_4= \frac{2.75+3}{2}=2.875
साथ ही f(2.875)=(2.875)^3-9 \times 2.8757+1=-1.111328
अब चूँकि f(2.875).f(3)<0
\therefore मूल 2.875 तथा 3 के मध्य स्थित होगा।
पंचम सन्निकटन:पुनः x_5=\frac{2.875+3}{2}=2.9375
यह f(x)=0 के वास्तविक मूल का एक अच्छा सन्निकटन मान है जो अभिसरण की शर्त को सन्तुष्ट करता है।
Example:2(b).द्विभाजन विधि द्वारा समीकरण x^4-x^3-2 x^2-6 x-4=0 का वास्तविक मूल तीन दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए जो कि 2 तथा 3 के मध्य स्थित है।
(Find the real root of the equation x^4-x^3-2 x^2-6 x-4=0 , correct to three places of decimals by Bisection method which lies between 2 and 3.)
Solution:यहाँ f(x)=x^4-x^3-2 x^2-6 x-4
\therefore f(x) अन्तराल [2,3] में संतत है।
पुनः f(2)=(2)^4-(2)^3-2(2)^2-6 \times 2-4=-16
तथा f(3)=(3)^4-(3)^3-2(3)^2-6 \times 3-4=14 \\ \Rightarrow f(2) f(3)<0 \\ \therefore f(x)=0 का मूल 2 तथा 3 के मध्य स्थित होगा।
प्रथम सन्निकटन:अब x_1=\frac{a+b}{2} \\ \Rightarrow x_1=\frac{2+3}{2}=2.5
पुनः f(2.5)=(2.5)^4-(2.5)^3-2(2.5)^2-6 \times 2.5-4 \\ =-8.0625
अब चूँकि f(2.5).f(3)<0
\therefore मूल 2.5 तथा 3 के मध्य स्थित होगा।
द्वितीय सन्निकटन:पुनः x_2=\frac{2.5+3}{2}=2.75
साथ ही f(2.75)=(2.75)^4-(2.75)^3-2(2.75)^2 -6 \times 2.75-4=0.76953125
अब चूँकि f(2.5).f(2.75)<0
\therefore मूल 2.5 तथा 2.75 के मध्य स्थित होगा।
तृतीय सन्निकटन:पुनः x_3=\frac{2.5+2.75}{2}=2.625
साथ ही f(2.625)=(2.625)^4-(2.625)^3-2(2.625)^2 -6 \times 2.625-4=-33.53125
मूल 2.625 तथा 2.75 के मध्य स्थित होगा।
चतुर्थ सन्निकटन:पुनः x_4=\frac{2.625+2.75}{2}=2.6875
अतः x=2.625,f(x)=0 के वास्तविक मूल का एक अच्छा मान है जो अभिसरण की शर्त को सन्तुष्ट करता है।
Example:2(c).समीकरण x e^x=1 के धनात्मक मूल की द्विभाजन विधि का प्रयोग कर ज्ञात कीजिए।
(Using Bisection method,find a positive root of the equation x e^x=1.)
Solution:यहाँ f(x)=x e^x-1 \\ f(0)=0 \times e^0-1=-1
तथा f(1)=1 \times e^{-1}-1=1.71828 \\ \Rightarrow f(0) f(1)<0
f(0).f(1)<0
\therefore f(x)=0 का मूल 0 तथा 1 के मध्य स्थित होगा।
प्रथम सन्निकटन:अब x_1=\frac{a+b}{2} \\ \Rightarrow x_1=\frac{0+1}{2}=0.5
पुनः f(0.5)=0.5 \times e^{0.5}-1=-0.175639
अब चूँकि f(0.5).f(1)<0
मूल 0.5 तथा 1 के मध्य स्थित होगा।
द्वितीय सन्निकटन:पुनः x_2=\frac{0.5+1}{2}=0.75\\ f(0.75)=0.75 \times e^{0.75}-1=0.587750
साथ ही f(0.75)=0.75 \times e^{0.75}-1=0.587750
अब,चूँकि f(0.5).f(0.75)<0
मूल 0.5 तथा 0.75 के मध्य स्थित होगा।
तृतीय सन्निकटन:पुनः x_3=\frac{0.5+0.75}{2}=0.625
साथ ही f(0.625)=0.625 \times e^{0.625}-1=0.167653
मूल 0.5 तथा 0.625 के मध्य स्थित होगा।
चतुर्थ सन्निकटन:पुनः x_4=\frac{0.5+0.625}{2}=0.5625
साथ ही f(0.5625)=0.5625 \times e^{0.5625}-1=-0.01278
अब चूँकि f(0.5625).f(0.625)<0
मूल 0.5625 तथा 0.625 के मध्य स्थित होगा।
पंचम सन्निकटन: x_5=\frac{0.5625+0.625}{2}=0.59375
यह f(x)=0 के वास्तविक मूल का एक अच्छा सन्निकटन मान है जो अभिसरण की शर्त को सन्तुष्ट करता है।
Example:3.मिथ्या-स्थिति विधि द्वारा समीकरण x^6-x^4-x^3-1=0 का 1.4 तथा 1.5 के मध्य वाला वास्तविक मूल चार दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
(Find the real root between 1.4 and 1.5 to four decimal places of the equation x^6-x^4-x^3-1=0 by false position method.)
Solution:मानलो f(x)=x^6-x^4-x^3-1
तब f(1)=(1)^6-(1)^4-(1)^3-1=-2 \\ f(2)=2^6-2^4-2^3-1=39
f(x)=0 का एक मूल 1 तथा 2 के मध्य स्थित है।मिथ्या-स्थिति विधि का प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) हैः
x_{n+1}=x_n-\frac{\left(x_n-x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)} \cdots(1)
जहाँ प्रत्येक चरण के लिए f\left(x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)<0
प्रथम सन्निकटन:
सूत्र (1) में n=1, x_1=1, f\left(x_1\right)=-2 ,x_2=2, f\left(x_2\right)=39 रखने पर
x_3=x_2-\frac{\left(x_2-x_1\right) f\left(x_2\right)}{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)} \\ =2-\frac{(2-1) \times 39}{39+2} \\ =2-0.9512195 \\ \approx 1.0487805 \approx 1.04878
अब f\left(x_3\right)=f(1.04878) \\ =(1.04878)^6-(1.04878)^4-(1.04878)^3-1 \\ \approx -2.03268
अतः मूल अन्तराल [1.04878,2] में स्थित होगा।
द्वितीय सन्निकटन:
पुनः (2) में n=3, x_2=1.04878, f\left(x_2\right)=-2.03268 , x_{3}=2 , f\left(x_3\right)=39 रखने पर
अब x_4=x_3-\frac{\left(x_3-x_2\right) f\left(x_3\right)}{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)} \\ =2-\frac{(2-1.04878) \times 39}{39+2.03268} \\ =2-\left(\frac{0.95122 \times 39}{41.03268}\right) \\ =2-\left( \frac{37.09758}{41.03268}\right) \\ =2-0.904098 \\ x_4 \approx 1.0959 \\ f\left(x_4\right)=f(1.0959)=(1.0559)^6-(1.0559)^4-(1.0959)^3-1 \\ \approx-2.02626
अतः मूल अन्तराल [1.0959,2] में स्थित होगा।
तृतीय सन्निकटन:
पुनः (1) में n=4, x_3=1.0959, f\left(x_3\right)=-2.02626 ,x_4=2, f\left(x_4\right)=39 रखने पर
x_5=x_4-\frac{\left(x_4-x_3\right) f\left(x_4\right)}{f\left(x_4\right)-f\left(x_3\right)} \\ =2-\frac{(2-1.0959) \times 39}{39+2.02626} \\ =2-\frac{0.9041 \times 39}{41.02626} \\ =2-\frac{35.2599}{41.02626} \\ \approx 2-0.85945 \\ x_5 \approx 1.14055 \\ f(x_5)=(1.14055)^6-(1.14055)^4-(1.14055)^3-1 \\ \Rightarrow f\left(x_5\right) \approx-1.97458
अतः मूल अन्तराल [1.97458,2] में स्थित होगा।
चतुर्थ सन्निकटन:
पुनः (1) में n=5, x_4=1.14055, f\left(x_4\right)=-1.97458 ,x_5=2, f\left(x_5\right)=39 रखने परः
x_6=x_5-\frac{\left(x_5-x_4\right) f\left(x_5\right)}{f\left(x_5\right)-f\left(x_4\right)} \\ =2-\frac{(2-1.14055) \times 39}{39+1.97458} \\=2-\frac{(2-1.14055) \times 39}{39+1.97458} \\ =2-\frac{0.85945 \times 39}{40.97458} \\ =2-\frac{33.51855}{40.97458} \\ \approx 2-0.818033 \\ \Rightarrow x_6 \approx 1.18197 \\ f\left(x_6\right)=(1.18197)^6-(1.18197)^4-(1.18197)^3-1 \\ \Rightarrow f\left(x_6\right) \approx-1.87632
अतः मूल अन्तराल [1.18197,2] में स्थित होगा।
पंचम सन्निकटन:
पुनः (1) में
n=6, x_5=1.18197, f\left(x_5\right)=-1.87632 , x_6=2, f\left(x_6\right)=39 रखने परः
x_7=x_6-\frac{\left(x_6-x_5\right) f\left(x_6\right)}{f\left(x_6\right)-f\left(x_5\right)} \\ =2-\frac{(2-1.18197) \times 39}{39+1.87632} \\ =2-\frac{0.81803 \times 39}{40.87632} \\ =2-\frac{31.90317}{40.87632} \\ \approx 2-0.78048 \\ \Rightarrow x_7 \approx 1.21952
अतः चार दशमलव स्थानों तक वास्तविक मूल लगभग 1.2195 होगा।

Bisection Method in Numerical Analysis

Example:4.मिथ्या-स्थिति विधि द्वारा निम्न समीकरणों के सही तीन दशमलव स्थानों तक वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए:
(Find the real root of the following equations correct to three decimal places by Regular-Falsi method):
Example:4(a). x^3-x^2-2=0
Solution: मानलो f(x)=x^3-x^2-2
तब f(1.75)=(1.75)^3-(1.75)^2-2=0.29688 \\ f(1.5)=(1.5)^3-(1.5)^2-2=-0.875 \\ \Rightarrow f(x)=0 का एक मूल 1.5 तथा 1.75 के मध्य स्थित है।
मिथ्या-स्थिति विधि का प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) हैः
x_{n+1}=x_n-\frac{\left(x_n-x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)} \cdots(1)
जहाँ प्रत्येक चरण के लिए f\left(x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)<0
प्रथम सन्निकटन:
सूत्र (1) मेंः
n=2, x_1=1.5, f\left(x_1\right)=-0.875 , x_2=1.75, f\left(x_2\right)=0.29688 रखने परः
x_3=x_2-\frac{\left(x_2-x_1\right) f\left(x_2\right)}{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)} \\ =1.75-\frac{(1.75-1.5) \times(0.29688)}{0.29688+0.875} \\ =1.75-\frac{0.25 \times 0.29688}{1.17188} \\=1.75-\frac{0.07422}{1.17188} \\ \approx 1.75-0.0633 \\ \Rightarrow x_3 \approx 1.6867
अब f\left(x_3\right) =(1.6867)^3-(1.6867)^2-2 \\ \Rightarrow f\left(x_3\right) \approx-0.0464
अतः मूल अन्तराल [1.6867,1.75] में स्थित होगा।
द्वितीय सन्निकटन:
पुनः (1) में
n=3, x_2=1.6867, f\left(x_2\right)=0.0464 ,x_3=1.75, f\left(x_3\right)=0.29688 रखने परः
x_4=x_3-\frac{\left(x_3-x_2\right) f\left(x_3\right)}{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)} \\ =1.75-\frac{(1.75-1.6867) \times 0.29688}{0.29688+0.0464} \\ =1.75-\frac{0.0633 \times 0.29688}{0.34328} \\ =1.75-\frac{0.01879}{0.34328} \\ \approx 1.75-0.0547 \\ \Rightarrow x_4 \approx 1.6953
अब f(x_4)=(1.6953)^3-(1.6953)^2-2=0.19816
अतः मूल अन्तराल [1.6867,1.6953] में स्थित होगा।
तृतीय सन्निकटन:
पुनः (1) मेंः
n=4, x_3=1.6867, f\left(x_3\right)=-0.0464 ,x_4=1.6953, f\left(x_4\right)=0.19816 रखने परः
x_5=x_4-\frac{\left(x_4-x_3\right) f\left(x_4\right)}{f\left(x_4\right)-f\left(x_3\right)} \\ =1.6953-\frac{(1.6953-1.6867) \times 0.19816}{0.19816+0.0464} \\ =1.6953-\frac{0.0086 \times 0.19816}{0.24456} \\ =1.6953-\frac{0.0017}{0.24456} \\ \approx 1.6953-0.00695 \\ \approx 1.6946 \\ \Rightarrow x_5 \approx 1.695
अतः तीन दशमलव स्थानों तक वास्तविक मूल लगभग 1.695 होगा।
Example:4(b). x^3-4 x+1=0
Solution:माना f(x)=x^3-4 x+1
तब f(0)=(0)-4 \times 0+1=1, \\ f(0.5)=(0.5)^3-4 \times 0.5+1=-0.875 \\ \Rightarrow f(x)=0 का एक मूल 0 तथा 0.5 के मध्य स्थित है।
मिथ्या-स्थिति विधि का प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) हैः
x_{n+1}=x_n-\frac{\left(x_n-x_n-1\right) f\left(x_n\right)}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)} \cdots(1)
प्रथम सन्निकटन:
सूत्र (1) में:
n=2, x_1=0, f\left(x_1\right)=1 , x_2=0.5, f\left(x_2\right)=-0.875 रखने परः
x_3=x_2-\frac{\left(x_2-x_1\right) f\left(x_2\right)}{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)} \\ =0.5-\frac{(0.5-0)(-0.875)}{(-0.875-1)} \\ =0.5-\frac{0.4375}{1.875} \\ \approx 0.5-0.2333 \\ \Rightarrow x_3 \approx 0.2667
अब f\left(x_3\right)=(0.2667)^3-4 \times 0.2667+1 \approx-0.0478
अतः मूल अन्तराल [0,0.2667] में स्थित होगा।
द्वितीय सन्निकटन:
पुनः (1) में:
n=3,x_2=0, f\left(x_2\right)=-1 , x_3=0.2667, f\left(x_3\right)=-0.0478 रखने परः
x_4=x_3-\frac{\left(x_3-x_2\right) f\left(x_3\right)}{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)} \\ =0.2667-\frac{(0.2667-0)(-0.0478)}{(-0.0478-1)} \\ =0.2667-\frac{0.0127}{1.0478} \\ \approx 0.2667-0.0121 \\ \Rightarrow x_4 \approx 0.2546 \\ f\left(x_4\right)=(0.2546)^3-4 \times 0.2546+1 \approx-0.0018
अतः मूल अन्तराल [0,0.2546] में स्थित होगा।
तृतीय सन्निकटन:
पुनः (1) में
n=4, x_3=0, f\left(x_2\right)=1 ,x_4=0.2546, f\left(x_4\right)=-0.0018 रखने पर:
x_5=x_4-\frac{\left(x_4-x_3\right) f\left(x_4\right)}{f\left(x_4\right)-f\left(x_3\right)} \\ =0.2546-\frac{(0.2546-0) \times-0.0018}{(-0.0018-1)} \\ =0.2546-\frac{0.0005}{1.0018} \\ \approx 0.2546-0.0005 \\ \Rightarrow x_5 \approx 0.254
अतः तीन दशमलव स्थानों तक वास्तविक मूल लगभग 0.254 होगा।
Example:4(c). x^3-9 x+1
Solution:माना f(x)=x^3-9 x+1
तब f(0.1)=(0.1)^3-9 \times 0.1+1=0.101 \\ f(0.2)=(0.2)^3-9 \times 0.2+1=-0.792
f(x)=0 का मूल 0.1 तथा 0.2 के मध्य स्थित है।
मिथ्या-स्थिति विधि का प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) हैः
x_{n+1}=x_n-\frac{\left(x_n-x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)} \cdots(1)
जहाँ,प्रत्येक चरण के लिए f\left(x_{n-1}\right) \cdot f\left(x_n\right)<0
प्रथम सन्निकटन:
सूत्र (1) में:
n=2, x_1=0.1, f\left(x_1\right)=0.101 , x_2=0.2, f\left(x_2\right)=-0.792 रखने परः
x_3=x_2-\frac{\left(x_2-x_1\right) f\left(x_2\right)}{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)} \\ =0.2-\frac{(0.2-0.1)(-0.792)}{-0.792-0.101} \\=0.2-\frac{0.1 \times 0.792}{0.893} \\=0.2-\frac{0.0792}{0.893} \\ \approx 0.2-0.0887 \\ \Rightarrow x_3 \approx 0.1113
अब f\left(x_3\right)=(0.1113)^3-9 \times 0.1113+1=-0.0003
अतः मूल अन्तराल [0.1,0.1113] में स्थित होगा।
द्वितीय सन्निकटन:
पुनः (1) में:
n=3, x_2=0.1, f\left(x_2\right)=0.101, x_3=0.1113, f\left(x_3\right) =-0.0003 रखने पर:
x_4=x_3-\frac{\left(x_3-x_2\right) f\left(x_3\right)}{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)} \\ =0.1113-\frac{(0.1113-0.1)(-0.0003)}{(-0.0003-0.101)} \\ =0.1113-\frac{0.0113 \times 0.0003}{0.1013} \\ =0.1113-\frac{0.000003}{0.1013} \\ \approx 0.1113-0.00002 \\ \Rightarrow x_4 \approx 0.11128
अतः तीन दशमलव स्थानों तक वास्तविक मूल्य 0.111 होगा।
Example:5.मिथ्या-स्थिति विधि द्वारा निम्न समीकरणों के सही तीन दशमलव स्थानों तक वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए:
(Find the real root of the following equations correct to three decimal places by using Regular-Falsi method):
Example:5(i). x e^x-3=0
Solution:माना f(x)=x e^x-3
तब f(1)=(1) e^1-3=-0.2817 \\ f(1.1)=(1.1) e^{1.1}-3=0.3046 \\ \Rightarrow f(x)=0 का मूल 1 तथा 1.1 के मध्य स्थित है।
मिथ्या-स्थिति विधि का प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) हैः
x_{n+1}=x_n-\frac{\left(x_n-x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)} \cdots(1)
जहाँ प्रत्येक चरण के लिए f\left(x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)<0
प्रथम सन्निकटन:
सूत्र (1) मेंः
n=2, x_1=1, f\left(x_1\right)=0.2817, x_2=1.1, f\left(x_2\right)=0.3046 रखने परः
x_3=x_2-\frac{\left(x_2-x_1\right) f\left(x_2\right)}{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)} \\=1.1-\frac{(1.1-1) \times 0.3046}{(0.3046+0.2817)} \\ =1.1-\frac{0.1 \times 0.3046}{0.5863} \\=1.1-\frac{0.03046}{0.5863} \\ \approx 1.1-0.0519 \\ \Rightarrow x_3\approx 1.0481
अब f\left(x_3\right)=(1.0481) e^{1.0481}-3=-0.011
अतः मूल अन्तराल [1.0481,1.1] में स्थित होगा।
द्वितीय सन्निकटन:
n=3, x_2 =1.0481, f\left(x_2\right)=-0.011 , x_3 =1.1, f\left(x_3\right)=0.3046 रखने परः
x_4=x_3-\frac{\left(x_3-x_2\right) f\left(x_3\right)}{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)} \\ =1.1-\frac{(1.1-1.0481)(0.3046)}{0.3046+0.011} \\ =1.1-\frac{0.0519 \times 0.3046}{0.3156} \\ =1.1-\frac{0.0158}{0.3156} \\ \approx 1.1-0.0501 \\ \Rightarrow x_3 \approx 1.0499 \\ f\left(x_3\right)=(1.0499) e^{1.0499}-3 =-0.00005
अतः मूल अन्तराल [1.0499,1.1] में स्थित होगा।
तृतीय सन्निकटन:
पुनः (1) में:
n=4, x_3=1.0499, f\left(x_3\right)=-0.00005 , x_4=1.1, f\left(x_4\right)=0.3046 रखने पर
x_5=x_4-\frac{\left(x_4-x_3\right) f\left(x_4\right)}{f\left(x_4\right)-f\left(x_3\right)} \\ =1.1-\frac{(1.1-1.0499)(0.3046)}{0.3046+0.0005} \\ =1.1-\frac{0.0501 \times 0.3046}{0.30465} \\ =1.1-\frac{0.0153}{0.30465} \\ \approx 1.1-0.05022 \\ \Rightarrow x_5 \approx 1.04978 \\ \Rightarrow x_5 \approx 1.050
अतः तीन दशमलव स्थानों तक वास्तविक मूल लगभग 1.050 होगा।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा संख्यात्मक विश्लेषण में द्विभाजन विधि (Bisection Method in Numerical Analysis),संख्यात्मक विश्लेषण में मिथ्या-स्थिति विधि (Regula-Falsi Method in Numerical Method) को समझ सकते हैं।

3.संख्यात्मक विश्लेषण में द्विभाजन विधि की समस्याएँ (Bisection Method in Numerical Analysis Problems):

Bisection Method in Numerical Analysis

(1.)द्विभाजन विधि का प्रयोग करते हुए f(x) \equiv 8 x^3-2 x-1=0 का वास्तविक मूल निर्धारित कीजिए।
(Apply Bisection method to determine a real root of the equation f(x) \equiv 8 x^3-2 x-1=0)
(2.)मिथ्या-स्थिति विधि द्वारा समीकरण x e^x=\cos x का वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।
(Find the root of the equation x e^x=\cos x using the Regula-Falsi method correct to four decimal places.)
उत्तर (Answers):(1.)0.665 (2.)0.5177
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर संख्यात्मक विश्लेषण में द्विभाजन विधि (Bisection Method in Numerical Analysis),संख्यात्मक विश्लेषण में मिथ्या-स्थिति विधि (Regula-Falsi Method in Numerical Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.संख्यात्मक विश्लेषण में द्विभाजन विधि (Bisection Method in Numerical Analysis),संख्यात्मक विश्लेषण में मिथ्या-स्थिति विधि (Regula-Falsi Method in Numerical Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

संख्यात्मक विश्लेषण में द्विभाजन विधि (Bisection Method in Numerical Analysis) के इस
आर्टिकल में बीजीय तथा अबीजीय समीकरणों को द्विभाजन विधि तथा मिथ्या-स्थिति विधि के
द्वारा हल करके समझने का प्रयास करेंगे।