1.द्विपद प्रायिकता बंटन (Binomial Probability Distribution),यादृच्छिक चर का माध्य (Mean of a Random Variable):

Binomial Probability Distribution

द्विपद प्रायिकता बंटन (Binomial Probability Distribution) के इस आर्टिकल में द्विपद बंटन की प्रत्याशित आवृत्तियाँ, माध्य,प्रमाप विचलन,विषमता का परिघात गुणांक आदि पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.द्विपद प्रायिकता बंटन के साधित उदाहरण (Binomial Probability Distribution Solved Examples):

Example:9.निम्नलिखित के द्विपद विस्तार लिखिए:
Example:9(i). (q+p)^4
Solution: (q+p)^4 \\ =q^4+{}^4 C_1 q^3 p+{}^4 C_2 q^2 p^2+{}^4 C_3 q p^3+p^4 \\ =q^4+4 q^3 p+6 q^2 p^2+4 q p^3+p^4
Example:9(ii). (p+q)^6
Solution: (p+q)^6 \\ =p^6+{}^6 C_1 p^5 q+{}^6 C_2 p ^4 q^2+{}^6 C_3 p^3 q^3+{}^6 C_4 p^2 q^4+{}^6 C_5 p q^5+q^6 \\ =p^6+6 p^5 q+15 p^4 q^2+20 p^3 q^3+15 p^3 q^4 +6 p q^5+q^6
Example:9(iii). N(p+q)^n जहाँ n=8,N=256, p=q=\frac{1}{2}
Solution: N(p+q)^n जहाँ n=8,N=256, p=q=\frac{1}{2} \\ =256\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^8 \\ =256\left[\left(\frac{1}{2}\right)^8+{}^8 C_1 \left(\frac{1}{2}\right)^7\left(\frac{1}{2}\right)+{}^8 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^6\left(\frac{1}{2}\right)^2\right. +{}^8 C_3\left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^3+{}^8 C_4\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^4+{}^8 C_5\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^5+{}^8 C_6\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^6+\left.{}^8 C_7\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^7+\left(\frac{1}{2}\right)^8\right] \\=256\left[\frac{1}{256}+\frac{8}{256}+\frac{28}{256}+\frac{56}{256}+\frac{70}{256}+\frac{56}{256}+\frac{28}{256}+\frac{8}{256}+\frac{1}{256}\right] \\=1+8+28+56+70+56+28+8+1
=1,8,28,70,56,28,8,1
Example:9(iv). N(q+p)^n जहाँ q का मान p के मान से दो दो गुना है n=6 और N=729
Solution: N(q+p)^n
माना p=\frac{1}{x}, q=\frac{2}{x}, n=6, N=729
p+q=1 \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{2}{x}=1 \Rightarrow x=3 \\=729\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3} \right)^6 \\ =729\left[\left(\frac{2}{3}\right)^6+{}^6 C_1 \left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{1}{3}\right)+ {}^6 C_2 \left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{3}\right)^2+{}^6 C_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3} \right)^3\right. +{}^6 C_4 \left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^4+\left.{}^6 C_5 \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^5+\left(\frac{1}{3}\right)^6\right] \\= 729\left[\frac{64}{3^6}+6 \times \frac{32}{3^5} \cdot \frac{1}{3}+15 \times \frac{16}{3^4} \times \frac{1}{3^2}\right. +20 \frac{8}{3^3} \cdot \frac{1}{3^3}+15 \cdot\left(\frac{4}{3^2}\right)\left(\frac{1}{34}\right) \left.+6\left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{1}{35}\right)+\frac{1}{36}\right] \\ = \frac{46656}{3^6}+\frac{139968}{3^6}+\frac{174960}{3^6}+\frac{160 \times 729}{3^6}+\frac{60 \times 729}{3^6}+\frac{12 \times 729}{3^6}+\frac{1 \times 729}{3^6}
=64,192,240,160,60,12,1
Example:10(i). छः पासे 729 बार फेंके जाते हैं।कितनी बार आप कम से कम तीन पासों पर पाँच या छः आने की प्रत्याशा करते हैं?
Solution:पासे पर पाँच या छः आने की प्रायिकता p=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3} \\ q=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}, N=729
अतः छः पासों को 729 बार फेंकने पर तीन पासों पर पाँच या छः आने की प्रत्याशा
=729\left[{}^6 C_3\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right)^3+{}^6 C_4 \left(\frac{1}{3} \right)^4\left(\frac{2}{3}\right)^2+{}^6 C_5\left(\frac{1}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}\right)^6\right] \\ =729\left[20 \times \frac{1}{27} \times \frac{8}{27}+15 \times \frac{1}{81} \times \frac{4}{9}+6 \times \frac{1}{243} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{729}\right] \\=729\left[\frac{160}{729} +\frac{60}{729}+\frac{12}{729}+\frac{1}{729}\right] \\ =160+60+12+1=233
Example:10(ii).4-4 बच्चों वाले 2000 परिवारों में से आप कितने परिवारों में निम्न की प्रत्याशा रखेंगे? लड़के लड़कियों के लिए समान सम्भावना मानिए।
Example:10(ii)(क).कम से कम एक लड़का
Solution:लड़का होने की प्रायिकता p=\frac{1}{2}
लड़की होने की प्रायिकता q=\frac{1}{2}
4-4 बच्चों वाले 2000 परिवारों में कम से कम 1 लड़का होने की प्रत्याशा
=2000\left[{}^4 C_1\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^3+{}^4 C_2 \left(\frac{1}{2} \right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2+{}^4 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \right)^4\right] \\ =2000\left[\frac{4}{16}+\frac{6}{16}+\frac{4}{16}+\frac{1}{16}\right] \\ =\frac{2000}{16}(4+6+4+1)=125 \times 15=1875
Example:10(ii)(ख).2 लड़के
Solution:4-4 बच्चों वाले 2000 परिवारों में 2 लड़के होने की प्रत्याशा
=2000 \cdot {}^4 C_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ =2000 \times 6 \times \frac{1}{16}=750
Example:10(ii)(ग).1 या 2 लड़कियाँ
Solution:4-4 बच्चों वाले 2000 परिवारों में 1 या 2 लड़कियाँ होने की प्रत्याशा
=2000 \left[{}^4 C_1 \left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^3+{}^4 C_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2\right] \\ =2000\left[4 \times \frac{1}{16}+\frac{6}{16}\right] \\ =\frac{2000}{16}(4+6)=1250
Example:10(ii)(घ).कोई लड़की नहीं
Solution:4-4 बच्चों वाले 2000 परिवारों में कोई लड़की न होने की प्रत्याशा
=2000 \quad {}^n C_0\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^4 \\ =2000 \times \frac{1}{16} =125

Binomial Probability Distribution

Example:11.यह मानते हुए कि आधी जनसंख्या शाकाहारी है अतः किसी व्यक्ति के शाकाहारी होने की सम्भावना \frac{1}{2} है;और यह मानते हुए कि 100 अन्वेषकों में से प्रत्येक में से प्रत्येक,10 व्यक्तियों का प्रतिदर्श लेकर उनसे यह पूछता है कि वे शाकाहारी है या नहीं,कितने अन्वेषक यह रिपोर्ट करेंगे कि तीन या इससे कम लोग शाकाहारी होंगे?
(Assuming that half the population is vegetarian so that the chance of an individual being a vegetarian is \frac{1}{2} and assuming that 100 investigators can take a sample of 10 individuals to see whether they are vegetarians,how many investigators would you expect to report that three people or less were vegetarians?)
Solution:शाकाहारी व्यक्ति होने की प्रायिकता p=\frac{1}{2}
शाकाहारी न होने की प्रायिकता q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
10 में से तीन या इससे कम लोग शाकाहारी होने की प्रत्याशा
=100\left[{}^{10} C_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^7+{}^{10} C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^8\right.\left.+{}^{10} C_1 \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^9+\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right] \\ =100\left[\frac{120}{1024}+\frac{45}{1024}+\frac{10}{1024}+\frac{1}{1024}\right] \\ =\frac{100 \times 176}{1024}=17.25
=या 17
Example:12.एक ऐसे द्विपद बंटन के लिए निम्न माप निकालिए जिनमें n=60- (क)माध्य (ख)प्रमाप विचलन (ग)विषमता का परिघात गुणांक (घ)शीर्षत्व माप
(Calculate the following measures for a binomial distribution with and n=60-(a)mean, (b)standard deviation, (c) Moment coefficient of skewness, and (d)Measure of kurtosis.)
Solution: p=\frac{7}{10}, q =1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10} n=60
(क)समान्तर माध्य
\overline{X}=np \\ \Rightarrow \overline{X}=60 \times \frac{7}{10}=42
(ख)प्रमाप विचलन (\sigma)=\sqrt{n p q} \\ =\sqrt{60 \times \frac{7}{10} \times \frac{3}{10}} \\ =\sqrt{\frac{126}{10}}=\sqrt{12.6} \\ =3.549 \\ \Rightarrow \sigma \approx 3.55
(ग)विषमता का परिघात गुणांक
तृतीय परिघात \mu_3=n p q(q-p)\\ =60 \times \frac{7}{10} \times \frac{3}{10}\left(\frac{3}{10}-\frac{7}{10}\right) \\ =12.6\left(-\frac{4}{10}\right) \\ \mu_3 =-5.04 \\ \beta_1=\frac{(q-p)^2}{n p q} \\ =\frac{\left(\frac{3}{10}-\frac{7}{10}\right)^2}{60 \times \frac{7}{10} \times \frac{3}{10}} =\frac{0.16}{12.6}=0.012698412
विषमता का परिघात गुणांक
=-\sqrt{\beta_1} \\ =-\sqrt{0.01269812} \\ =-0.112687 \\ \approx-0.1127 \\ \sqrt{\beta_1} का चिन्ह वही होगा जो \mu_3 का होगा।
(घ)शीर्षत्व माप
\beta_2=3+\frac{1-6 p q}{n p q}\\ =3+\frac{1-6 \times \frac{7}{10} \times \frac{3}{10}}{60 \times \frac{7}{10} \times \frac{3}{10}} \\ =3+\frac{1-1.26}{12.6} \\ =3-\frac{.26}{12-6} \\=\frac{37.8-0.26}{12.6} \\ =\frac{37.54}{12.6}=2.979365 \\ \Rightarrow \beta_2 \approx 2.9794
Example:13.सिक्कों की 128 उछालों में पुतलियों की संख्या का आवृत्ति बंटन निम्न प्रकार है।सिक्कों को सुडौल मानते हुए एक द्विपद बंटन की रचना कीजिए।आसंजित बंटन के माध्य एवं प्रमाप विचलन क्या हैं?
(The following is the frequency distribution of 128 throws of seven coins,according to the numbers of heads.Fit a binomial distribution under the hypothesis that the coins are biased. What is the mean and standard deviation of the fitted distribution?)

\begin{array}{|ccccccccc|c|} \hline \text{No. of Heads } : & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \text{Total} \\ \text{Throws} : & 7 & 6 & 19 & 35 & 30 & 23 & 7 & 1 & 128 \\ \hline \end{array}
Solution:यहाँ पर n=7,N=128 परन्तु p या q नहीं दिया है।p ज्ञात करने के लिए समान्तर माध्य ज्ञात करना होगा:

\begin{array}{|ccc|} \hline x & f & f x \\ \hline 0 & 7 & 0 \\ 1 & 6 & 6 \\ 2 & 19 & 38 \\ 3 & 35 & 105 \\ 4 & 30 & 120 \\ 5 & 23 & 115 \\ 6 & 7 & 42 \\ 7 & 1 & 7 \\ \hline \text { Total } &128 & 433 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य (\overline{X}) =\frac{\Sigma f x}{\Sigma f} \\ =\frac{488}{128} \\=3.3828 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 3.38 \\ \overline{X}=n p \\ p=\frac{\overline{X}}{n} \\ p=\frac{3.38}{7}
या p=\frac{1}{2} तथा np=7 \times \frac{1}{2}=3.5 \\ q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
द्विपद विस्तार
128[p+q)^7 \\ =128\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^7 \\ =128\left[\left(\frac{1}{2}\right)^7+{}^7 C_1\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^7+{}^7 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2} \right)^2\right.+{}^7 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^3+{}^7 C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^4+\left. {}^7 C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^5+{}^7 C_6 \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^6+\left(\frac{1}{2}\right)^7\right] \\ =128\left[\frac{1}{128}+7 \times \frac{1}{128}+21 \times \frac{1}{128}+35 \times \frac{1}{128}+35 \times \frac{1}{128}+21 \times \frac{1}{128}+7 \times \frac{1}{128}+\frac{1}{128}\right] \\ =1+7+21+35+35+21+7+1
=1,7,21,35,35,21,7,1
प्रमाप विचलन (\sigma)=\sqrt{n p q} \\ =\sqrt{7 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{7}{4}}=\sqrt{1.75} \\ \Rightarrow \sigma=1.3228 \\ \Rightarrow \sigma \approx 1.32
Example:14.आठ सिक्कों के एक समुच्चय को 256 बार उछाला जाता है और पुतलियों की संख्या लिख ली जाती है।परिणाम निम्न सारणी में दिए हुए हैं।पुतलियों की प्रेक्षित संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए,और इस आधार पर कि द्विपद बंटन लागू हो रहा है ;सैद्धान्तिक आवृत्तियाँ निकालिये:
(A set of eight coins is tossed 256 times.Number of heads observed is recorded and the results are given below.Find the mean of observed number of heads and on the hypothesis that binomial distribution holds good,calculate the theoretical frequencies):

\begin{array}{|ccc|} \hline \text{No. of Heads at each throw} & \text{frequency} \\ \hline 0 & 2 \\ 1 & 6 \\ 2 & 38 \\ 3 & 52 \\ 4 & 59 \\ 5 & 56 \\ 6 & 32 \\ 7 & 10 \\ 8 & 1 \\ \hline \end{array}
Solution:यहाँ पर n=8,N=256 परन्तु p तथा q नहीं दिया गया है।p ज्ञात करने के लिए समान्तर माध्य ज्ञात करना होगा:

\begin{array}{|ccc|} \hline x & f & f x \\ \hline 0 & 2 & 0 \\ 1 & 6 & 6 \\ 2 & 38 & 76 \\ 3 & 52 & 156 \\ 4 & 59 & 236 \\ 5 & 56 & 280 \\ 6 & 32 & 192 \\ 7 & 10 & 70 \\ 8 & 1 & 8 \\ \hline \text { Total } & 250 & 1024 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f} \\ =\frac{1024}{256} \\ \Rightarrow \overline{X}=4
परन्तु \overline{X}=n p \\ \Rightarrow p=\frac{\overline{X}}{n} \\ p=\frac{4}{8} \\ \Rightarrow=\frac{1}{2} \\ q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
सैद्धान्तिक आवृत्ति बंटन
N(p+q)^n \\ =256\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^8 \\ =256\left[\left(\frac{1}{2}\right)^8+{}^8 C_1\left(\frac{1}{2}\right)^7\left(\frac{1}{2}\right)+{}^8 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^6\left(\frac{1}{2} \right)^2\right. +{}^8 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)^3+{}^8 C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^4 +{}^8 C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^5+{}^8 C_6 \left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^6 \left.+{}^8 C_7 \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2} \right)^7+\left(\frac{1}{2}\right)^8\right]\\= 256\left[\frac{1}{256}+8 \times \frac{1}{256}+28 \times \frac{1}{256}+56 \times \frac{1}{256}+28 \times \frac{1}{256}+8 \times \frac{1}{256}+\frac{1}{256}\right] \\=\frac{256}{256}[1+8+28+56+28+8+1]
अतः सैद्धान्तिक आवृत्तियाँ:1,8,28,56,28,8,1
Example:15.पाँच पासों में से प्रत्येक के 6 पहलुओं पर 1,2,…..,6 अंकित है।ये पासे 96 बार फेंके जाते हैं और 1,2 और 3 प्राप्त करने की संख्या नीचे दी गई है।एक द्विपद बंटन की रचना कीजिए।
(The six faces of five dice are each marked as 1,2,…..,6.These dice were thrown together 96 times and the number of times 1,2 or 3 was actually obtained is given below.Fit a binomial distribution):

\begin{array}{|ccccccc|} \hline \text{No. of dice}\\ \text{showing} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{observed} & 1 & 10 & 24 & 35 & 18 & 8 \\ \text{Frequency} \\ \hline \end{array}
Solution:पासे पर 1,2 या 3 आने की प्रायिकता
p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},n=5, N=96
द्विपद बंटन N(p+q)^n \\ \\=96\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^5 \\ =96\left[\left(\frac{1}{2}\right)^5+{}^5 C_1\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)+{}^5 C_2\right.\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^2+{}^5 C_3\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^3+ \left.{}^5 C_4 \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^4+\left(\frac{1}{2}\right)^5\right] \\ =96\left(\frac{1}{32}+\frac{5}{32}+\frac{10}{32}+\frac{10}{32}+\frac{5}{32}+\frac{1}{32}\right) \\ =3+15+30+30+ 15+3
=3,15,30,30,15,3
Example:16.पाँच सिक्के 192 बार उछाले गए।प्रत्येक उछाल में ऊपर आई हुई पुतलियों की संख्या निम्न प्रकार है।यह मानते हुए कि उक्त बंटन पर द्विपद नियम लागू होता है,प्रत्याशित आवृत्तियों का परिकलन कीजिए:
(Five coins are tossed simultaneously 192 times.The number of heads observed at each throw is given below.Assuming that the distribution follows the binomial law,calculate the expected frequencies):

\begin{array}{|ccccccc|} \hline \text{No. of Heads} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{observed} & 2 & 20 & 48 & 70 & 36 & 16 \\ \text{Frequency} \\ \hline \end{array}
Solution: n=5, N=192, p=\frac{1}{2}, q=1- \frac{1}{2}=\frac{1}{2}
द्विपद बंटन
N(p+q)^n \\ =192\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^5 \\ =192\left[\left(\frac{1}{2}\right)^5+{}^5 C_1\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)+{}^5 C_2\right.\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^2+{}^5 C_3\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^3+{}^5 C_4\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^4 \left.+\left(\frac{1}{2}\right)^5\right] \\ =192\left[\frac{1}{32}+\frac{5}{32}+\frac{10}{32}+\frac{10}{32}+\frac{5}{32}+\frac{1}{32}\right] \\ =6+30+60+60+30+6
अतः प्रत्याशित आवृत्तियाँ=6,30,60,60,30,6
Example:17.एक बेडोल छः भुज वाले पासे को फेंकने पर 10 उछालों में से 5 सम अंकों के आने की 4 सम अंक आने से दोगुनी प्रत्याशा है।10-10 उछालों के 1000 समुच्चयों में किसी भी सम अंक के न आने की क्या प्रत्याशा होगी?
(An irregular six-faced dice is thrown and the expectation that in 10 throws it will give 5 even numbers is twice the expectation that it will give 4 even numbers.How many times in 10,000 sets of 10 throws would you expect to give no even numbers?):
Solution:5 सम अंक आने की प्रायिकता=p
4 सम अंक आने की प्रायिकता=q
{}^{10}C_5 \quad p^5 q=2 \times {}^{10}C_4 \quad p^4 q^6 \\ \Rightarrow 252p=2 \times 210 q \\ q=\frac{252}{2 \times 210} p \\ \Rightarrow q=\frac{3}{5} p \\ p+q=1 \Rightarrow \frac{3}{5} p+p=1 \\ \Rightarrow \frac{8}{5} p=1 \Rightarrow p=\frac{5}{8} \\ q=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}
अतः सम अंक न आने की प्रायिकता लगभग=1 होगी।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विपद प्रायिकता बंटन (Binomial Probability Distribution),यादृच्छिक चर का माध्य (Mean of a Random Variable) को समझ सकते हैं।

3.द्विपद प्रायिकता बंटन पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Binomial Probability Distribution):

Binomial Probability Distribution

(1.)छः भुज वाले 12 पासे 4096 बार फेंके गये और 4,5 या 6 को सफलता माना गया।सफलता की आवृत्तियाँ निम्नांकित हैं:
\begin{array}{|cc|} \hline \text{सफलता} & \text{आवृत्ति} \\ \hline 0 & - \\ 1 & 7 \\ 2 & 60 \\3 & 198 \\ 4 & 430 \\ 5 & 731 \\ 6 &948 \\ 7 & 847 \\ 8 & 536 \\ 9 & 257 \\ 10 & 71 \\ 11 & 11 \\ 12 & - \\ \hline \end{array}
वास्तविक माध्य और प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए और प्रत्याशित बंटन के लिए माप परिकलित कीजिए।अपने परिकलनों को स्वच्छ सारणी-रूप में दर्शाइए।
(2.)192 परिवारों में जिनके लिए सूरजमुखी (albinos) बच्चे के उत्पन्न होने की सम्भावना 0.25 समझी जाती है,प्रथम तीन बच्चों में सूरजमुखी बच्चों का बंटन निम्न प्रकार था:
\begin{array}{|rrrrr|} \hline \text{सूरजमुखी बच्चों की संख्या} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \text{परिवारों की संख्या} & 77 & 90 & 20 & 5 \\ \hline \end{array}
यह मानते हुए कि द्विपद नियम लागू होता है सैद्धान्तिक आवृत्तियों को ज्ञात कीजिए और \chi^2– परीक्षण का प्रयोग करके आसंजन सौष्ठव (goodness of fit) की जाँच कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)प्रत्याशित आवृत्तियाँ:1,12,66,220,495,792,924,792,495,22,66,1
\overline{X}=6.14, \sigma=1.71
(2.)प्रत्याशित आवृत्तियाँ:81,81,27,3
\chi^2=4.346
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विपद प्रायिकता बंटन (Binomial Probability Distribution),यादृच्छिक चर का माध्य (Mean of a Random Variable) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.द्विपद प्रायिकता बंटन (Frequently Asked Questions Related to Binomial Probability Distribution),यादृच्छिक चर का माध्य (Mean of a Random Variable) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

द्विपद प्रायिकता बंटन (Binomial Probability Distribution) के इस आर्टिकल में द्विपद बंटन
की प्रत्याशित आवृत्तियाँ, माध्य,प्रमाप विचलन,विषमता का परिघात गुणांक आदि पर आधारित
सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।