Bilinear Transformations
1.द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformations),सम्मिश्र विश्लेषण में द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformation in Complex Analysis):
द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformations) के इस आर्टिकल में स्थानान्तरण,घूर्णन,व्युत्क्रमण एवं आवर्धन की सहायता से द्विरैखिक रूपान्तरण प्राप्त करने वाले सवालों को हल किया गया है।
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2.द्विरैखिक रूपान्तरण पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Bilinear Transformations):
Illustration:1.वह रूपान्तरण ज्ञात करें जो |z|=1 के बाहर, अर्धतल R(\omega) \geq 0 पर मैप करता है ताकि बिंदु z=1,-i,-1 क्रमशः w=i,0,-i के अनुरूप हों।
(Find transformation which maps outside |z|=1 , on the half plane R(\omega) \geq 0 so that the points z=1,-i,-1 correspond to w=i,0,-i respectively.)
Solution:माना z_1=1, z_2=-i, z_3=-1, w_1=i,w_2=0, w_3=-i \\ \Rightarrow \frac{\left(w-w_1\right)\left(w_2-w_3\right)}{\left(w_1-w_2\right)\left(w_3-w\right)}=\frac{\left(z-z_1\right)\left(z_2-z_3\right)}{\left(z_1-z_2\right)\left(z_3-z\right)}
मान रखने पर:
\frac{(w-i)(0+i)}{(i-0)(-i-w)}=\frac{(z-1)(-i+1)}{(1+i)(-1-z)} \\ \Rightarrow \frac{(w-i)}{(w+i)}=-i\left(\frac{z-1}{z+1}\right) \\=\frac{-i z+i}{z+1}\left[\because \frac{1-i}{1+i}=-i\right] \\ \Rightarrow \frac{(w-i)+(w+i)}{(\omega-i)-(w+i)}=\frac{-i z+i+z+1}{-i z-i-(z+1)} \\ \Rightarrow \frac{2 w}{-2 i}=\frac{z(1-i)+(1+i)}{-z(1+i)-(1-i)} \\ \Rightarrow w=i\left(\frac{1-i}{1+i}\right)\left[\frac{z+\frac{1+i}{1-i}}{z+\frac{1-i}{1+i}}\right] \\ =i(-i)\left(\frac{z+i}{z-i}\right) \\ \Rightarrow w=\frac{z+i}{z-i} \cdots(1)
जो कि अभीष्ट रूपान्तरण है।
(1) से:
w(z-i)=z+i \\ \Rightarrow z=i\left(\frac{w+1}{w-1}\right) \\ |z| \geq 1,\left|\frac{w+1}{w-1}\right| \cdot |i| \geq 1 में रूपान्तरित होता है।
\Rightarrow |w+1|^2 \geq |w-1|^2 \\ \Rightarrow (u+1)^2+v^2 \geq (u-1)^2+v^2 \\ \Rightarrow R(w)=u \geq 0
अतः वृत्त का बाहरी भाग,अर्धतल R(\omega) \geq 0 पर प्रतिचित्रित होता है।
निगमन (Deduction):उपर्युक्त वृत्तो |z|=r,r>1 के सापेक्ष रूपान्तरण
|i| \left|\frac{w+1}{w-1}\right|=|z|=r \\ \Rightarrow |1+w|^2=|1-w|^2 r^2 \\ \Rightarrow (1+u)^2+v^2=r^2(1-u)^2+v^2 \\ \Rightarrow u^2+v^2+2\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right) u+1=0
|z|=r का प्रतिचित्रण w-समतल में है जिसकी त्रिज्या
=\left[\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2+0-1\right]^{\frac{1}{2}}=\left(g^2+f^2-c\right)^{\frac{1}{2}} \\ =\frac{2 r}{1-r^2}
तथा केन्द्र \left(-g,-f\right)=\left(-\frac{1+r^2}{1-r^2} ,0\right)
Illustration:2.वह द्विरैखिक रूपान्तरण ज्ञात करें जो बिंदु z_1=\infty, z_2=i और z_3=0 को बिंदु w_1=0, w_2=i और w_3=\infty में प्रतिचित्रित करता है।
(Find the bilinear transformation that maps the points z_1=\infty, z_2=i and z_3=0 into the points w_1=0, w_2=i and w_3=\infty.)
Solution: \frac{\left(w-w_1\right)\left(w_2-w_3\right)}{\left(w_1-w_2\right)\left(w_3-w\right)}=\frac{\left(z-z_1\right)\left(z_2-z_3\right)}{\left(z_1-z_2\right)\left(z_3-z\right)}
उपर्युक्त मान रखने पर:
\frac{(w-0)(i-\infty)}{(0-i)(\infty-w)}=\frac{(z-\infty)(i-0)}{(\infty-i)(0-z)} \\ \Rightarrow \frac{1}{i} w=\frac{i}{2} \\ \Rightarrow w=-\frac{1}{2}
जो कि अभीष्ट रूपान्तरण है।
Illustration:3.वह द्विरैखिक रूपान्तरण ज्ञात करें जो बिंदु 0,-i,-1 को बिंदु i,1,0 में प्रतिचित्रित करता है।
(Find the bilinear transformation that maps the points 0,-i,-1 into the points i,1,0.)
Solution:उपर्युक्त मान निम्न में रखने पर:
\frac{\left(w-w_1\right) \left(w_2-w_3\right)}{\left(w_1-w_2\right)\left(w_3-w\right)}=\frac{\left(z-z_1\right)\left(z_2-z_3\right)}{\left(z_1-z_2\right)\left(z_3-2\right)} \\ \Rightarrow \frac{(w-i) \cdot(1-0)}{(i-1)(0-w)}=\frac{(z-0)(-i+1)}{(0+i)(-1-z)} \\ \Rightarrow \frac{w-i}{w-w_i}=\frac{z-z i}{-i-i z} \\ \Rightarrow-w i-w z i-1-z=w z-w z i-w z i-w z \\ \Rightarrow w i(z-1)=1+z \\ \therefore w=\frac{1+z}{i(z-1)}=-i \frac{(1+z)}{z-1} \\ \Rightarrow w=i\left(\frac{1+z}{1-z}\right)
जो कि अभीष्ट रूपान्तरण है।
Illustration:4.वह द्विरैखिक रूपान्तरण ज्ञात करें जो बिंदु z_1=i, z_2=-i और z_3=0 को बिंदु w_1=0, w_2=1 और w_3=\infty में प्रतिचित्रित करता है।
(Find the bilinear transformation that maps the points z_1=i, z_2=-i and z_3=0 into the points w_1=0, w_2=1 and w_3=\infty.)
Solution:माना द्विरैखिक रूपान्तरण है:
w=\frac{a z+b}{c z+d} \cdots(1)\\ z_1=i, w_1=0 , z_2=-i, w_2=1 तथा z_3=1 व w_3=\infty रखने पर:
\Rightarrow 0=\frac{a i+b}{c i+b} \Rightarrow a i+b=0 \\ \therefore b=-a i \cdots(2) \\ 1=\frac{a(-i)+b}{c(-i)+d} \\ \Rightarrow b-a i=d-c i \cdots(3) \\ \infty=\frac{a+b}{c+d} \quad \Rightarrow c+d=0
(2) और (3) से:
2ai=ci-d ….. (5)
(4) और (5) को हल करने पर:
c=a(1+i) तथा d=a(1+i)
(1) में b,c और d के मान रखने पर:
w=\frac{a z-a i}{a(1+i) z-a(1+i)} \\ =\frac{z-i}{(1+i) z-(1+i)} \\ \Rightarrow w =\frac{z-i}{(1+i)(z-1)}
Illustration:5.वह द्विरैखिक रूपान्तरण ज्ञात करें जो 0,i,-i को 1,-1,0 में ले जाता है।
(Find the bilinear transformation which carries 0,i,-i into 1,-1,0.)
Solution:माना z_1=0, z_2=i, z_3=-i तथा w_1=1, w_2=-1, w_3=0
ये मान निम्नलिखित में रखने पर:
\frac{\left(z-z_1\right)\left(z_2-z_3\right)}{\left(z_1-z_2\right)\left(z_3-z\right)}=\frac{\left(w-w_1\right)\left(w_2-w_3\right)}{\left(w_1-w_2\right)\left(w_3-w\right)} \\ \Rightarrow \frac{(z-0)(i+i)}{(0-i)(-i-z)}=\frac{(w-1)(-1-0)}{(1+1)(0-w)} \\ \Rightarrow \frac{2 i z}{i(z+i)}=\frac{w-1}{2 w} \\ \Rightarrow w(4 z-z-i)=-(z+i) \\ \Rightarrow w=\frac{z+i}{-3 z+i} \cdots(1)
जो कि w=f(z)=\frac{a z+b}{c z+d}, a d-bc\neq 0 का रूप है।
सम्बन्ध (1) द्विरैखिक रूपान्तरण प्रदर्शित करता है।
Illustration:6.वह द्विरैखिक रूपान्तरण ज्ञात करें जो बिंदु z_1=1+i ,z_2=-i और z_3=2-i को बिंदु w_1=0, w_2=1, w_3=i में प्रतिचित्रित करता है।
(Find the bilinear transformation which maps the points z_1=1+i ,z_2=-i and z_3=2-i into the points w_1=0, w_2=1, w_3=i.)
Solution:उपर्युक्त मानों को निम्न में रखने पर:
\frac{\left(w-w_1\right)\left(w_2-w_3\right)}{\left(w_1-w_2\right)\left(w_3-w\right)}=\frac{\left(z-z_1\right)\left(z_2-z_3\right)}{\left(z_1-z_2\right)\left(z_3-z\right)} \\ \Rightarrow \frac{(w-0)(1-i)}{(0-1)(i-w)}=\frac{[z-(1+i)](-i-2+i)}{(1+i+i)(2-i-z)} \\ \Rightarrow \frac{w-w i}{w-i}=\frac{[z-(1+i)](-2)}{(1+2 i)(2-i-z))} \\ \Rightarrow w[5-3 i-z(1+i)]=2 i(z-1-i) \\ \Rightarrow w=\frac{2 i(z-1-i)}{5-3 i-z(1+i)}
जो कि अभीष्ट रूपान्तरण है।
Illustration:7.द्विरैखिक रूपान्तरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं z=-2,0,2 को क्रमशः बिन्दुओं w=0,i,-i में प्रतिचित्रित करता है।
(Find the bilinear transformation which maps the points z=-2,0,2 into the points w=0,i,-i respectively.)
Solution:माना z_1=-2, z_2=0, z_3=2 \\ w_1=0, w_2=i, w_3=-i
वज्रानुपात में उपर्युक्त मान रखने पर:
\frac{\left(w-w_1\right)\left(w_2-w_3\right)}{(w_1-w_2)\left(w_3-w\right)}=\frac{\left(z-z_1\right) \left(z_2-z_3\right)}{\left(z_1-z_2\right)\left(z_3-z\right)} \\ \frac{(w-i)(i+i)}{(0-i)(-i-w)}=\frac{(z+2)(0-2)}{(-2-0)(2-z)} \\ \Rightarrow 2 \left(\frac{w}{w+i}\right)=\frac{z+2}{(2-z)} \\ \Rightarrow \frac{w+i}{w}=\frac{4-2 z}{2+2} \\ \Rightarrow 1+\frac{i}{w}=\frac{4-2 z}{2+2} \\ \Rightarrow \frac{i}{w}=\frac{4-2 z}{2+z}-1 \\ =\frac{2-3 z}{2+z} \\ \Rightarrow \frac{w}{i} =\frac{2+z}{2-3 z} \\ \Rightarrow w =i\left(\frac{2+z}{z-3 i}\right)
Illustration:8.द्विरैखिक रूपान्तरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं z=0,-1, \infty को क्रमशः बिन्दुओं w=-1,-2-i,i में प्रतिचित्रित करता है।
(Find the bilinear transformation which maps the points z=0,-1, \infty into the points w=-1,-2-i,i respectively.)
Solution:माना z_1=0, z_2=-1, z_3=\infty, w_1=-1, w_2=-2, w_3=i
वज्रानुपात में उपर्युक्त मान रखने पर:
\frac{\left(w-w_1\right)\left(w_2-w_3\right)}{\left(w_1-w_2\right)\left(w_3-w\right)}=\frac{\left(z-z_1\right)\left(z_2-z_3\right)}{\left(z_1-z_2\right)\left(z_3-z\right)} \\ \Rightarrow \frac{(w+1)(-2-i-i)}{(-1+2+i)(i-w)}=\frac{(z-0)(-1-\infty)}{(0+1)(\infty-z)} \\ \Rightarrow \frac{(w+1)(-2-2 i)}{(1+i)(i-w)} =\frac{-2(\infty+1)}{(\infty-2)}-1 \\ \frac{\infty+1}{\infty-z}= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n+1}{n-z} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1+\frac{1}{n}}{1-\frac{2}{n}} \\ =\frac{1}{1}=1
(1) से
\frac{w+1}{w-i}=\frac{(1+i)(-z)(1)}{2(1+i)} \\ \Rightarrow \frac{w+1}{w-i}=\frac{-z}{2} \\ \Rightarrow 2 w+2=-w z+i z \\ \Rightarrow w(2+z)=i z-2 \\ \Rightarrow w=\frac{i z-2}{2+z}
Illustration:9.निम्नलिखित द्विरैखिक रूपान्तरणों के स्थिरबिन्दु तथा सामान्य रूप ज्ञात कीजिए:
(i) w=\frac{z}{2-2} (ii) w=\frac{z-1}{z+1} (iii) w=\frac{3 i z+1}{z+1}
इन रूपान्तरणों की प्रकृति (हाइपरबोलिक,दीर्घवृत्तीय या परवलयिक) पर चर्चा कीजिए।
(Find the fixed points and the normal form of the following bilinear transformations:
(i) w=\frac{z}{2-2} (ii) w=\frac{z-1}{z+1} (iii) w=\frac{3 i z+1}{z+1}
Discuss the nature of these transformations (hyperbolic,elliptic or parabolic.)
Solution:(i)स्थिर बिन्दु दिए जाते हैं:
z=\frac{z}{2-z} \Rightarrow z(z-1)=0 \Rightarrow z=0 ,1
इस मामले में 0 तथा 1 स्थिर बिन्दु हैं।सामान्य रूप प्राप्त करने के लिए
w=\frac{z}{2-z} \\ \Rightarrow w-1=\frac{2 z-2}{2-z} \\ \therefore \frac{w}{w-1}=\frac{z}{2 z-2} \\ \Rightarrow \frac{w}{w-1}=\frac{1}{2} \cdot \frac{z}{(z-1)}
जो कि अभीष्ट सामान्य रूप है जहाँ,जो कि वास्तविक है।अतः रूपान्तरण हाइपरबोलिक है।
(ii)स्थिर बिन्दु दिए जाते हैं:
z=\frac{z-1}{z+1} \Rightarrow z^2+1=0 \Rightarrow z= \pm i
अतः i तथा -i दो स्थिर बिन्दु हैं।सामान्य रूप प्राप्त करने के लिए:
w=\frac{z-1}{z+1} \\ \Rightarrow w-i=\frac{z-1}{z+1}-i तथा w+i=\frac{z-1}{z+1}+i \\ \Rightarrow \frac{w-i}{w+i}=\frac{z-1-i z-i}{z-1+i z+i} \\ \Rightarrow \frac{w-i}{w+i}=\frac{(1-i)^2(z-i)}{(1+i)(1-i)(z+i)} \\ \Rightarrow \frac{w-i}{w+i}=-i \frac{(z+i)}{z+i}
जो कि अभीष्ट सामान्य रूप है।यहाँ \lambda=-i अर्थात् |\lambda|=1 अतः रूपान्तरण दीर्घवृत्तीय है।
(iii)स्थिर बिन्दु दिए जाते हैं:
w=\frac{3 i z+1}{2+i} \\ \Rightarrow w z+i w-3 i z-1=0 \\ \Rightarrow (w-i)(z-i)+i z+i w+i z-3 i z=0 \\ \Rightarrow (w-i)(z-i)+2 i(w-i)-2 i(z-i)=0 \\ \Rightarrow 1+\frac{2 i}{z-i}-\frac{2 i}{w-i}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{w-i}=\frac{1}{z-i}+\frac{1}{z i} \\ \Rightarrow \frac{1}{w-i}=\frac{1}{z-i}-\frac{i}{z}
जो कि सामान्य रूप है।
Illustration:10.दर्शाइए कि यदि (a-d)^2+4 b c \neq 0 है, तो रूपान्तरण
w=\frac{a z+b}{c z+d}
दो असमान संख्याएँ \alpha,\beta हैं जैसे कि
\frac{w-\alpha}{w-\beta}=\lambda \frac{z-\alpha}{z-\beta}
जहाँ \lambda एक स्थिरांक है।यह भी दर्शाइए कि w-समतल में वृत्त की त्रिज्या,z-समतल में वृत्त के संगत है,जिसका व्यास बिन्दुओं z=\alpha, z=\beta को मिलाने वाली रेखा है
\left|\frac{\alpha-\beta}{2 \cos \theta}\right| जहाँ \theta, \lambda का कोणांक है।
(show that if (a-d)^2+4 b c \neq 0 ,then the transformation
w=\frac{a z+b}{c z+d}
there are two unequal numbers \alpha,\beta such that
\frac{w-\alpha}{w-\beta}=\lambda \frac{z-\alpha}{z-\beta}
Where \lambda is a constant. Show also that the radius of the circle in the w-plane corresponding to the circle in the z-plane which has as diameter the line joining the points z=\alpha, z=\beta is
\left|\frac{\alpha-\beta}{2 \cos \theta}\right| where \theta is the argument of \lambda .)
Solution:माना वृत्त के बिन्दु P पर z है जो बिन्दुओं A,B को \alpha, \beta व्यास के रूप में जोड़ता है:
तब \angle APB = \pm \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \arg \left( \frac{z-\alpha}{z-\beta} \right) =\pm \frac{\pi}{2}
अतः \frac{z-\alpha}{z-\beta} विशुद्ध काल्पनिक है अर्थात् \frac{z-\alpha}{z-\beta} का वास्तविक भाग शून्य है।
\therefore \frac{1}{2}\left[\frac{z-\alpha}{z-\beta}+\frac{\bar{z}-\bar{\alpha}}{\bar{z}-\bar{\beta}} \right]=0 \left[\because \operatorname{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})\right] \\ \Rightarrow \frac{z-\alpha}{z-\beta}+\frac{\bar{z}-\bar{\alpha}}{\bar{z}-\bar{\beta}}=0 \cdots(1)
जो AB व्यास वाले वृत्त का समीकरण है
अब दिया हुआ रूपान्तरण है:
\frac{w-\alpha}{w-\beta}=\lambda \frac{z-\alpha}{z-\beta} \cdots(2) \\ \therefore \frac{z-\alpha}{z-\beta}=\frac{1}{\lambda} \frac{w-\alpha}{w-\beta} तथा \frac{\bar{z}-\bar{\alpha}}{\bar{z}-\bar{\beta}} =\frac{1}{\bar{\lambda}} \frac{\bar{w}-\bar{\alpha}}{\bar{w}-\bar{\beta}}
अतः वृत्त (1) का (2) के अधीन रूपान्तरण है
\frac{1}{\lambda} \frac{w-\alpha}{w-\beta}+\frac{1}{\bar{\lambda}} \frac{\bar{w}-\bar{\alpha}}{\bar{w}-\bar{\beta}}=0 \\ \Rightarrow(\lambda+\bar{\lambda}) w \bar{\omega}-(\bar{\alpha} \lambda+\bar{\beta} \bar{\lambda}) w-(\alpha \bar{\lambda}+\beta \lambda) \bar{w} +\alpha \bar{\beta} \bar{\lambda}+\beta \bar{\alpha} \lambda=0
जो कि A w \bar{w}+B w+\bar{B} \bar{w}+C=0 के रूप का है।
जहाँ A,C वास्तविक है जो कि w-समतल में R त्रिज्या के वृत्त को प्रदर्शित करता है:
=\sqrt{\left[\frac{B \bar{B}-A C}{A^2}\right]} \\ =\sqrt{\left[\frac{(\bar{\alpha} \lambda+\beta \bar{\lambda})(\alpha \bar{\lambda}+\beta \lambda)-(\lambda+\bar{\lambda})(\alpha \bar{\beta} \bar{\lambda}+\beta \bar{\alpha} \lambda)}{(\lambda+\bar{\lambda})^2}\right]} \\ =\sqrt{\left[ \frac{\alpha \bar{\alpha} \lambda \bar{\lambda}+\beta \bar{\beta} \lambda \bar{\lambda}-\alpha \bar{\beta} \lambda \bar{\lambda}-\beta \bar{\alpha} \lambda \bar{\lambda}]}{(\lambda+ \bar{\lambda})^2}\right]} \\ =\sqrt{\frac{\lambda \bar{\lambda} \cdot(\alpha-\beta) \cdot(\bar{\alpha}-\bar{\beta})}{(\lambda+ \bar{\lambda})^2}} \\ =\sqrt{\frac{|\lambda|^2 |\alpha-\beta|^2}{|\lambda+\bar{\lambda}|^2}} \\ =\frac{|\lambda| |\alpha-\beta|}{|\lambda+\bar{\lambda}|}
माना |\lambda|=r तब \lambda=r e^{i \theta}
अतः \bar{\lambda}=r e^{-i \theta} तथा \lambda+\bar{\lambda}=2z r \cos \theta \\ R=\frac{r|\alpha-\beta|}{2 r|\cos \theta|}=\left|\frac{\alpha-\beta}{2 \cos \theta}\right|
Illustration:11.द्विरैखिक रूपान्तरण ज्ञात करें जो z=1,i,-1 को क्रमशः w=i,0,-i पर प्रतिचित्रित करता है।
इस रूपान्तरण के लिए निम्न की इमेज ज्ञात करें
(i) |z| \leq 1 (ii)|z|=r(r>1)
(Find the bilinear transformation which maps z=1,i,-1 respectively onto w=i,0,-i
For this transformation find the images of)
(i) |z| \leq 1 (ii)|z|=r(r>1)
Solution:द्विरैखिक रूपान्तरण
\frac{\left(w-w_1\right)\left(w_2-w_3\right)}{\left(w_1-w_2\right)\left(w_3-w\right)}=\frac{\left(z-z_1\right)\left(z_2-z_3\right)}{\left(z-z_2\right)\left(z_3-z\right)} \\ z_1=1, z_2=i, z_3=-1 , w_1=i, w_2=0 ,w_3=-i रखने पर
\frac{(w-i)(0+i)}{(i-0)(-i-w)}=\frac{(z-1)(i+1)}{(1-i)(-1-z)} \\ \Rightarrow-\frac{w-i}{w+i}=-\frac{(1+i)(z-1)}{(1-i)(z+1)} \\ =-\frac{(1+i)^2(z-1)}{(1-i)(1+i)(z+1)} \\ \Rightarrow \frac{w-i}{w+i}=\frac{2i}{2} \frac{(z-1)}{(z+1)} \\ =i \frac{z-1}{z+1} \\=\frac{i z-i}{z+1} \\ \Rightarrow \frac{(w-i)+(w+i)}{(w+i)-(w-i)}=\frac{i z-i+z+1}{z+1-i z+i} \\ \Rightarrow \frac{w}{i}=\frac{z(1+i)+(1-i)}{z(1-i)+(1+i)} \\ \Rightarrow w=i \left(\frac{1+i}{1-i}\right)\left(\frac{z+\frac{1-i}{1+i}}{z+\frac{1+i}{1-i}}\right) \\ \Rightarrow w=i \cdot\left(\frac{z-i}{z+i} \right) \left[\because \frac{1-i}{1+i}=-i \text { तथा }\frac{1+i}{1-i}=i\right] \\ \Rightarrow w=-\frac{z-i}{z+i}
जो कि अभीष्ट रूपान्तरण है।
z=i \frac{1-w}{1+w}
प्रतिलोम रूपान्तरण है।
(i) |z| \leq 1 का प्रतिचित्रण
\left|i \frac{1-w}{1+w}\right|=|z| \leq 1 \\ |1-w| \leq |1+w| \Rightarrow(1-w)(1-\bar{w}) \leq(1+w)(1+\bar{w}) \\ \Rightarrow 1-(w+\bar{w})+w \bar{w}\leq 1+w+\bar{w}+w \bar{w} \\ \Rightarrow 2(w+\bar{w}) \geq 0 \Rightarrow 4 u \geq 0 \Rightarrow u \geq 0 जो कि w-समतल का दायाँ अर्धतल है।
(ii) |z|=r \\ \left|i \frac{1-w}{1+w}\right|=|z|=r \Rightarrow| 1-w^2 |=r^2 |1+w^2 | \\ \Rightarrow(1-w)(1-\bar{w})=r^2(1+w)(1+\bar{w}) \\ \Rightarrow 1-(w+\bar{w})+w \bar{w}=r^2+r^2(w+\bar{w})+r^2 w \bar{w} \\ \Rightarrow\left(1-r^2\right) w \bar{w}-\left(1+r^2\right)(w+\bar{w})+1-r^2=0 \\ \Rightarrow u^2+v^2-\frac{1-r^2}{1+r^2} \cdot 2 u+1=0
जो कि w-समतल में वृत्त है जिसका केन्द्र \left(\frac{1+r^2}{1-r^2},0\right) अर्थात् w=\frac{1+r^2}{1-r^2} तथा त्रिज्या=\sqrt{\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2-1}=\frac{2 r}{1-r^2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformations),सम्मिश्र विश्लेषण में द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformation in Complex Analysis) को समझ सकते हैं।
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3.द्विरैखिक रूपान्तरण (Frequently Asked Questions Related to Bilinear Transformations),सम्मिश्र विश्लेषण में द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformation in Complex Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.आवर्धन को समझाइए। (Explain Magnification):
उत्तर:फलन w=az,a>0; a \neq 1 यदि a>1 आवर्धन फलन कहलाता है और यदि a<1 संक्षिप्तीकरण (contraction) फलन,z-समतल के प्रदेश का प्रतिचित्रण w-समतल में समरूप प्रदेश है जो या तो उनका आवर्धन है या संक्षिप्तीकरण तदनुसार a>1 या a<1.
प्रश्न:2.घूर्णन से क्या आशय है? (What Do You Mean by Rotation?):
उत्तर:फलन (अचर सम्मिश्र संख्या) से दोनों घूर्णन तथा आवर्धन दोनों प्राप्त होते हैं।
स्पष्टतः घूर्णन वामावर्त या दक्षिणावर्त तदनुसार \arg \beta>0 या \arg \beta<0 तथा आवर्धक बढ़ोतरी या घटोतरी तदनुसार |\beta|>1 या |\beta|<1और यदि |\beta|=1 तब आवर्धन शून्य है तथा यदि \arg \beta=0 तब घूर्णन नहीं है।साथ ही इस रूपान्तरण के अन्तर्गत z-समतल का प्रदेश कोण = \arg \beta से घुमाना पड़ता है तथा इसका आवर्धन गुना करना पड़ता है।
प्रश्न:3.स्थिर या निश्चर बिन्दु की परिभाषा दीजिए। (Write the Definition of Fixed Points or Invariant Points):
उत्तर:एक द्विरैखिक रूपान्तरण के अन्तर्गत वे बिन्दु जो कि उनके रूपान्तरित बिन्दुओं के संपाती हों रूपान्तरण के स्थिर या निश्चर बिन्दु कहलाते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformations),सम्मिश्र विश्लेषण में द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformation in Complex Analysis) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformations)
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द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformations) के इस आर्टिकल में स्थानान्तरण,घूर्णन,
व्युत्क्रमण एवं आवर्धन की सहायता से द्विरैखिक रूपान्तरण प्राप्त करने वाले सवालों को
हल किया गया है।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
