1.द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformation), सम्मिश्र विश्लेषण में द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformation in Complex Analysis):

Linear Differential Equations in DE

इस आर्टिकल में सम्मिश्र विश्लेषण के मुख्य रूपान्तरण का अध्ययन करेंगे जिसे द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformation) कहते हैं।द्विरैखिक रूपान्तरण की विवेचना से पूर्व हम उन आधारभूत प्रतिचित्रणों जैसे स्थानान्तरण,घूर्णन,व्युत्क्रमण एवं आवर्धन की विवेचना करेंगे।इन रूपान्तरणों की सहायता से द्विरैखिक रूपान्तरण प्राप्त किया गया है।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Conformal Mapping in Complex Analysis

2.द्विरैखिक रूपान्तरण के साधित उदाहरण (Bilinear Transformation Solved Examples):

Example:1.सिद्ध करिये कि रैखिक रूपान्तरण w=az+b एक वृत्त जिसकी त्रिज्या r तथा केन्द्र z_{0}  का प्रतिचित्रण एक वृत्त जिसकी त्रिज्या |a| r तथा केन्द्र a z_0+b  पर होता है।
(Prove that a linear transformation w=az+b maps a circle having radius r and centre z_{0}  onto a circle having radius |a| r and centre a z_0+b .)
Solution:वृत्त का समीकरण जिसका केन्द्र z_{0}  तथा त्रिज्या r हैः

\left|z-z_0\right|^2=r^2 \\ w=a z+b \Rightarrow z=\frac{w}{a}-\frac{b}{a} \\ \left|\frac{w}{a}-\frac{b}{a}-z_0\right|^2=r^2 \\ \Rightarrow\left|w-b-a z_0\right|^2=|a|^2 r^2 \\ \Rightarrow\left|w-\left(a z_0+ b\right)\right|^2=|a|^2 r^2 
वृत्त की त्रिज्या=|a| r तथा केन्द्र=a z_0+b  है।
Example:2.माना T एक मोबियस रूपान्तरण है तथा माना z_1, z_2, z_3  तथा z_4 , z-समतल में चार बिन्दु हैं (इनमें से कोई भी z=-\frac{d}{c}  के संपाती नहीं है) यदि w=T\left(z_i\right) \quad \forall i=1,2,3,4  तब प्रदर्शित करिए कि
(Let T be a mobius transformation and let  z_1, z_2, z_3  and z_4  be four points in the z-plane (none of the coincide with z=-\frac{d}{c} ) if w=T\left(z_i\right) \quad \forall i=1,2,3,4  show that.)

\frac{\left(w_1-w_4\right)\left(w_3-w_2\right)}{\left(w_1-w_2\right)\left(w_3-w_4\right)}= \frac{\left(z_1-z_4\right)\left(z_3-z_2\right)}{\left(z_1-z_2\right)\left(z_3-z_4\right)} 
Solution:माना कि w=\frac{a z+b}{c z+d}  अभीष्ट रूपान्तरण है।चूँकि w_1, w_2, w_3, w_4  क्रमशः बिन्दुओं z_1, z_2, z_3  तथा z_4  के प्रतिबिम्ब हैं,अतः

w_1=\frac{a z_1+b}{c z_1+d},\quad w_2=\frac{a z_2+b}{c z_2+d} \\ \Rightarrow w_1-w_2=\frac{(a d-b c) \cdot\left(z_1-z_2\right)}{\left(c z_1+d\right)\left(c z_2+d\right)} 
इसी प्रकार w_2-w_3=\frac{(a d-b c)\left(z_2-z_3\right)}{\left(c z_2+d\right)\left(c z_3+d\right)} \\ w_3-w_4=\frac{(a d-b c)\left(z_3-z_4\right)}{\left(c z_3+d\right)\left(c z_4+d\right)} 
एवं w_4-w_1=\frac{(a d-b c)\left(z_4-z_1\right)}{\left(c z_4+d\right)\left(c z_1+d\right)} \\ \Rightarrow \frac{\left(w_1-w_2\right)\left(w_3-w_4\right)}{\left(w_2-w_3\right)\left(w_4-w_1 \right)} =\frac{\left(z_1-z_2\right)\left(z_3-z_4\right)}{\left(z_2-z_3\right)\left(z_4-z_1\right)} \\ \Rightarrow \frac{\left(w_1-w_4\right)\left(w_3-w_2\right)}{\left(w_1-w_2\right)\left(w_3-w_4\right)}=\frac{\left(z_1-z_4\right)\left(z_3-z_2\right)}{\left(z_1-z_2\right)\left(z_3-z_4\right)} 
Example:3.वह मोबियस रूपान्तरण ज्ञात करिये जो वृत्त |z|=1 का रूपान्तरण |w|=1 पर तथा जिसके अन्तर्गत बिन्दु z=1,-1 के क्रमशः w=1,-1 समवर्ती हैं।
(Find the mobius transformation which transforms the circle |z|=1 onto |w|=1and makes the point z=1,-1 correspond to w=1,-1 respectively.)
Solution: w=e^{i \lambda} \cdot \frac{z-\alpha}{\bar{\alpha} z-1} \cdots(1) 
जब w=1, z=1 \therefore 1=e^{i \lambda} \cdot \frac{1-\alpha}{\bar{\alpha}-1} 
जब w=-1, z=-1 \therefore-1=e^{i \lambda} \cdot \frac{-1-\alpha}{-\bar{\alpha}-1} \\ \Rightarrow-1=e^{i \lambda} \cdot \frac{1+\alpha}{1+\alpha} \cdots(3) 

(2) व (3) सेः

-e^{i \lambda} \cdot \frac{1-\alpha}{\bar{\alpha}-1}=e^{i \lambda} \cdot \frac{1+\alpha}{1+\bar{\alpha}} \\ \Rightarrow \frac{1-\alpha}{1-\bar{\alpha}}=\frac{1+\alpha}{1+\bar{\alpha}} \\ \Rightarrow \frac{1+\bar{\alpha}}{1-\bar{\alpha}}=\frac{1+\alpha}{1-\alpha} \\ \Rightarrow \alpha=\bar{\alpha} 
(1) में \bar{\alpha}=\alpha  रखने परः

w=e^{i \lambda} \cdot \frac{z-\alpha}{\alpha z-1} \cdots(4) 
जब w=1 तो z=1

1=e^{i \lambda}\left(\frac{1-\alpha}{\alpha-1}\right) \Rightarrow e^{i \lambda}=-1 
(4) से:
w=-1 \cdot \frac{z-\alpha}{\alpha z-1} \Rightarrow w=\frac{-(z-\alpha)}{\alpha z-1} \\ \Rightarrow \alpha=\frac{\alpha-z}{\alpha z-1} 
Example:4.वह मोबियस रूप ज्ञात करिये जो वृत्त |w| \leq 1  का प्रतिचित्रण वृत्त |z-1|<1 पर करता है तथा बिन्दु w=0,1 को क्रमशः z=\frac{1}{2},0  पर प्रतिचित्रित करता है।
(Find mobius transformation which maps the circle |w| \leq 1  into the circle |z-1|<1 and maps w=0,1 respectively to points z=\frac{1}{2},0 .)
Solution:द्विरैखिक रूपान्तरण

z=\frac{a w+b}{cw+d} \cdots(1) \\ |w| \leq 1  का रूपान्तरण |z|<1 में करता है
(i)w=0 रूपान्तरित होता है z=\frac{1}{2} 
(ii)w=1 रूपान्तरित होता है z=0
यदि z=\frac{1}{2}  का प्रतिलोम z_{1}  है वृत्त |z-1|=1 के सापेक्ष तब

\left(z_1-1\right)\left(\frac{1}{2}-1\right)=1^2 \\ \Rightarrow z_1=-1 
शर्त (i) व (ii) सेः
\frac{1}{2}=\frac{a \cdot o+b}{c \cdot 0+d}, \quad 0=\frac{a+b}{c+d} \\ \Rightarrow 2 b=d  तथा a=-b
इनका (1) में प्रयोग करने परः

z=\frac{-b w+b}{c w+2 b} \cdots(2) 
परन्तु w=0, w=\infty   वृत्त |w|=1 के सापेक्ष प्रतिलोम बिन्दु हैं जहाँ
z=\frac{1}{2}, z=-1  वृत्त |z-1|=1 के सापेक्ष प्रतिलोम बिन्दु हैं।
अतः w=\infty ,z=-1  में रूपांतरित होता है
(2) सेः

-1=\frac{-b+\frac{b}{w}}{c+\frac{2 b}{w}} \\ \Rightarrow-1=\frac{-b+\frac{b}{\infty}}{c+\frac{2 b}{\infty}} \\ \Rightarrow-1=-\frac{b}{c} \Rightarrow b=c 
(2) सेः

z=\frac{-b w+b}{b w+2 b} \\ \Rightarrow z=\frac{1-w}{2+w} \\ \Rightarrow 2 z+w z=1-w \\ \Rightarrow w z+w=1-2 z \\ \Rightarrow w(1+z)=1-2 z \\ \Rightarrow w=\frac{1-2 z}{1+z} \\ \Rightarrow w=-\frac{(2 z-1)}{1+z} 
Example:5.प्रदर्शित कीजिए कि प्रतिबन्ध a d-b c \neq 0  यह आश्वासन देता है कि T(z)=\frac{a z+b}{c z+d}  एक अचर फलन नहीं है।तथा इसके विपरीत क्रम भी सिद्ध कीजिए।
(Show that the restriction a d-b c \neq 0  assures that T(z)=\frac{a z+b}{c z+d}  is not a constant function and conversely):
Solution:उपपत्ति (Proof): T(z)=\frac{a z+b}{c z+d} \cdots(1) 
यदि c \neq 0  तब रूपान्तरण को निम्न प्रकार से लिख सकते हैंः

T(z)=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cz+d} 
यदि इसमें z \rightarrow- \frac{d}{c} ; |w| \rightarrow \infty  अर्थात् w-समतल का अनन्तस्थ बिन्दु z =- \frac{d}{c}  को z-समतल के बिन्दु का समवर्ती समझ सकते हैं और यदि bc-ad=0 तो ऐकिक रूपान्तरण या तो अचर फलन में समानयन हो जाती है या यह अर्थहीन हो जायेगी।अतः हम यह मान लेते हैं कि a d-b c \neq 0 
a d-b c \neq 0  होने पर रूपान्तरण (1) का प्रतिलोम रूपान्तरण निम्न प्रकार परिभाषित होगाः

z=\frac{-d w+b}{c w-a} 
इसका सारणिक (-d)(-a)-bc=ad-bc है जो रैखिक रूपान्तरण (1) के सारणिक के बराबर है।
Example:6.वह द्विरैखिक रूपान्तरण ज्ञात करिए जो बिन्दुओं z=2,1,0 को क्रमशः w=1,0,i में रूपान्तरित करता है।
(Find the bilinear transformation which transforms the points z=2,1,0 into w=1,0,i):
Solution: z_1=2, z_2=1, z_3=0, w_1=1,w_2=0, w_3=i 
उपर्युक्त मान वज्रानुपात में रखने परः

Linear Differential Equations in DE

Example:7.द्विरैखिक रूपान्तरण w =\frac{z-1}{z+1} के स्थिर बिन्दु तथा इसका सामान्य रूप का ज्ञात करिये।
(Find the invariants or fixed points and the normal form of the bilinear transformation w =\frac{z-1}{z+1} .)
Solution:निश्चित बिन्दु दिए जाते हैंः

w=\frac{z-1}{z+1} \\ \Rightarrow z =\frac{z-1}{z+1} \Rightarrow z^2+z=z-1 \\ \Rightarrow z^2=i^2 \\ \Rightarrow z=\pm i 
इस मामले में i तथा -i दो निश्चित बिन्दु हैं।सामान्य रूप ज्ञात करने के लिए
\omega=\frac{z-1}{z+1} \\ \therefore w-i =\frac{z-1}{z+1}-i तथा w+i=\frac{z-1}{z+1}+i \\ \Rightarrow \frac{w-i}{w+i} =\frac{z-1-z i-i}{z-1+z i+i} \\ \Rightarrow \frac{w-i}{w+i} =\frac{z+i^2-z i-i}{z+i^2+z i+i} \\ =\frac{z(1-i)-i(1-i)}{z(1+i)+i(1+i)} \\ =\frac{(1-i)(z-i)}{(1+i)(z+i)}=\frac{(1-i)^2(z-i)}{(1+i)(1-i)(z+i)} \\ \Rightarrow \frac{w-i}{w+i} =\frac{-i(z-i)}{z+i} 
जो कि अभीष्ट सामान्य रूप है।
Example:8.रेखा y=2x+1 का प्रतिबिम्ब निम्न रूपान्तरणों के अन्तर्गत ज्ञात करियेः
(Find the image of the line y=2x+1 under the following transformation):
Example:8(i). \omega=\frac{1}{z} 
Solution: \omega=\frac{1}{z} 
w=u+iv तथा z=x+iy रखने परः

\Rightarrow u+i v =\frac{1}{x+i y} \\ =\frac{1}{x+i y} \times \frac{x-i y}{x-i y} \\ \Rightarrow u+i v=\frac{x-i y}{x^2+y^2} 
तुलना करने परः
u=\frac{x}{x^2+y^2} \cdots(1) तथा v=\frac{-y}{x^2+y^2} \cdots(2) 
(1) में (2) का भाग देने परः

\frac{u}{v}=-\frac{x}{y} \\ \frac{u}{v}=-\frac{x}{2 x+1} \quad(y=2 x+1) \\ \Rightarrow x=-\frac{u}{v+2 u} \cdots(3) 
(2) सेः v=-\frac{(2 x+1)}{x^2+(2 x+1)^2} \quad[y=2 x+1] 
(3) से x का मान रखने परः

v=\frac{-\left[2\left(\frac{-u}{v+2u}\right)+1\right]}{x^2+\left[2 \times-\frac{u}{v+2 u}+1\right]^2} \\ =\frac{-\frac{(v)}{v+2u}}{\frac{u^2}{(v+2 u)^2}+\frac{v^2}{(v+2 u)^2}} \\ \Rightarrow u^2+v^2=-(v+2 u) \\ \Rightarrow u^2+v^2+v+2 u=0 \\ \Rightarrow(u+1)^2+\left(v+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4} 
Example:8(ii). w=\frac{i}{z}
Solution: w=\frac{i}{z}
w=u+iv तथा z=x+iy रखने परः

\Rightarrow u+i v=\frac{i}{x+i y} \\ \Rightarrow u+i v=\frac{i}{x+i y} \cdot \frac{(x-i y)}{(x-i y)} \\ \Rightarrow u+i v=\frac{y+i x}{x^2+y^2}
तुलना करने परः
u=\frac{y}{x^2+y^2} \cdots(1) तथा v=\frac{x}{x^2+y^2} \cdots(2)
(1) में (2) का भाग देने परः

\frac{u}{v}=\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{u}{v}=\frac{2 x+1}{x} \quad(y=2 x+1) \\ \Rightarrow ux=2 v x+v \Rightarrow x=\frac{v}{u-2 v} \cdots(3)
(2)  में x का मान रखने परः

v=\frac{\frac{v}{u-2 v}}{\left(\frac{v}{u-2 v}\right)^2+(2 x+1)^2}   [y=2 x+1 से ] 

=\frac{\frac{v}{u-2 v}}{\frac{v^2}{(u-2 v)^2}+\left(\frac{2 v}{u-2 v}+1\right)^2} \\ =\frac{\frac{v}{u-2 v}}{\frac{v^2+u^2}{(u-2 v)^2}} \\ \Rightarrow v^2+u^2=u-2 v \\ \Rightarrow u^2-u+v^2+2 v=0 \\ \Rightarrow (u-\frac{1}{2})^2+(v+1)^2=\frac{5}{4}
Example:8(iii). w=\frac{1}{2-z i}
Solution: w=\frac{1}{2-z i}
w=u+iv तथा z=x+iy रखने परः

\Rightarrow u+i v =\frac{1}{2-(x+i y) i} \\ \Rightarrow u+i v =\frac{1}{2-x i+y} \\ =\frac{1}{(2+y)-x i} \times \frac{(2+y)+x i}{2+y+x i} \\ \Rightarrow u+i v =\frac{2+y+x i}{(2+y)^2+x^2}
तुलना करने परः
u=\frac{2+y}{(2+y)^2+x^2} \cdots(1) तथा v=\frac{x}{(2+y)^2+x^2} \cdots(2)
(1) में (2) का भाग देने परः

\frac{u}{v}=\frac{2+y}{x} \Rightarrow \frac{u}{v}=\frac{2+2 x+1}{x}(\because y=2 x+1) \\ \Rightarrow ux=2 x v+3 v \\ \Rightarrow x=\frac{3 v}{u-2 v} \cdots(3)
(3) से x का मान (2) में रखने परः

v=\frac{x}{(2+2 x+1)^2+\left(\frac{3 v}{u-2 v}\right)^2}[\because y=2 x+1] \\ \Rightarrow v=\frac{\frac{3 v}{u-2 v}}{\left[3+2\left(\frac{3 v}{u-2 v}\right)\right]^2+\frac{9v^2}{(u-2 v)^2}} \\ \Rightarrow 1=\frac{\frac{3}{u-2 v}}{\frac{9 u^2+9 v^2}{(u-2 v)^2}}\\ \Rightarrow 9 u^2+9 v^2=3(u-2 v) \\ \Rightarrow u^2+v^2=\frac{u}{3}-\frac{2}{3} v \\ \Rightarrow u^2-\frac{u}{3}+v^2+\frac{2}{3} v=0 \\ \Rightarrow\left(u-\frac{1}{6}\right)^2+\left(v+\frac{1}{3}\right)^2=\frac{5}{36}
Example:9.पट्टी 0 \leq \operatorname{Im}(z) \leq \frac{1}{2} का प्रतिबिम्ब प्रतिचित्रण w=\frac{1}{2} के अन्तर्गत ज्ञात करिए।
(Find the image of the strip 0 \leq \operatorname{Im}(z) \leq \frac{1}{2} under the map w=\frac{1}{2})
Solution: w=\frac{1}{2}
w=u+iv तथा z=x+iy रखने परः

\Rightarrow u+i v=\frac{1}{x+i y}=\frac{x-i y}{x^2+y^2}
तुलना करने परः
u=\frac{x}{x^2+y^2}\cdots(1) तथा V=-\frac{y}{x^2+y^2} \cdots(2)
(1) में (2) का भाग देने परः

\frac{u}{v}=-\frac{x}{y} \Rightarrow x=-\frac{u}{v} y
(2) में x का मान रखने परः

v=-\frac{y}{\frac{u^2}{v^2} y^2+y^2} \Rightarrow v=\frac{-v^2}{\left(u^2+v^2\right) y} \\ y=-\frac{v}{u^2+v^2}
जब y \geq 0 तो 0>-v \Rightarrow v<0
जब y \leq \frac{1}{2} तो -\frac{v}{u^2+v^2} \leq \frac{1}{2} \\ \Rightarrow u^2+v^2 \geq -2v \Rightarrow u^{2}+(v+1)^2>1
अतः पट्टी का प्रतिचित्रण w-समतल में u^{2}+(v+1)^2>1 ,v<0 के मध्य का क्षेत्र है।
Example:10.रूपान्तरण w=z^2 के अन्तर्गत प्रदर्शित करो कि z-समतल में वृत्त |z-a|=c (a, c वास्तविक) के समवर्ती w-समतल में लिमेसां हैं।
(By the transformation w=z^2 show that the circle |z-a|=c (a,c being real) in the z-plane correspond to the limacons in the w-plane)
Solution: |z-a|=c \Rightarrow z-a=c e^{i \theta} \Rightarrow z=a+c e^{i \theta} \\ w=z^2 \Rightarrow w=\left(a+c e^{i \theta} \right)^2 \\ \Rightarrow w=a^2+2 a c e^{i \theta}+c^2 e^{2 i \theta} \\ \Rightarrow w^2-a^2+c^2=c^2+2 a c e^{i \theta}+c^2 e^{2 i \theta} \\ =c e^{i \theta}\left[c e^{i \theta} +c e^{-i \theta}+2 a\right] \\ =ce^{i \theta}[2c \cos \theta+2 a] \\ =2 c e^{i \theta} \cdot(a+c \cos \theta )
अब ध्रुव (मूलबिन्दु) को w-समतल के बिन्दु a^2-c^2 में स्थान्तरित करने परः

W=R e^{i \theta}=2 C e^{i \theta}(a+\cos \theta)
मापांक और कोणांक की तुलना करने परः

R=2 c(a+c \cos \theta) तथा \phi=\theta \\ \Rightarrow R=2 c(a+c \cos \phi)
जो कि w-समतल में लिमसां को प्रदर्शित करता है।
Example:11.यदि (w+1)^2=\frac{4}{z} तो सिद्ध करो कि w-समतल में एकक वृत्त के समवर्ती z-समतल में परवलय तथा वृत्त के भीतरी भाग के समवर्ती परवलय के बाहर के क्षेत्र हैं।
(If (w+1)^2=\frac{4}{z} then prove that the unit circle in the w-plane corresponds to a parabola in the z-plane and the inside of the circle to the out of the parabola.):
Solution: (w+1)^2=\frac{4}{z} \\ w=r e^{i \theta} , z=R e^{i \phi} रखने परः
r e^{i \theta}+1=\frac{2}{\sqrt{R}} e^{-\frac{i \phi}{2}} \\ \Rightarrow(r \cos \theta+1)+i r \sin \theta=\frac{2}{\sqrt{R}}\left(\cos \frac{1}{2} \phi-i \sin \frac{1}{2} \phi\right) \\ \Rightarrow r \cos \theta +1=\frac{2}{\sqrt{R}} \cos \frac{1}{2} \phi \cdots(1) तथा r \sin \theta=-\frac{2}{\sqrt{R}} \sin \frac{1}{2} \phi \cdots(2) 
(1) व (2) का वर्ग करके जोड़ने परः

r^2 \cos ^2 \theta+r^2 \sin ^2 \theta=\left(\frac{2}{\sqrt{R}} \cos \frac{1}{2} \phi-1\right)^2 +\frac{4}{R} \sin ^2 \frac{\phi}{2} \\ \Rightarrow r^2=\frac{4}{R} \cos ^2 \frac{\phi}{2}+1-\frac{4}{\sqrt{R}} \cos \frac{\phi}{2}+\frac{4}{R} \sin ^2 \frac{\phi}{2} \\ \Rightarrow 1+\frac{4}{R}-\frac{4}{\sqrt{R}} \cos \frac{1}{2} \phi=r^2 \cdots(3)
समतल में |w|=r=1 वक्र के z-समतल में निम्न प्रकार दिया जाता हैः
1+\frac{4}{R}-\frac{4}{\sqrt{R}} \cos \frac{1}{2} \phi=1 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{R}}=\cos \frac{1}{2} \phi \\ \Rightarrow \frac{1}{R}=\frac{1}{2}(1+\cos \phi) जो कि परवलय है।
यदि (3) में |w|=r<1,हम देखते हैं वृत्त |w|=1 के अन्दर z-समतल के संगत दिया जाता हैः

1+\frac{4}{R}-\frac{4}{\sqrt{R}} \cos \frac{1}{2} \phi< 1 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{R}}<\cos \frac{1}{2} \phi \Rightarrow R \cos ^2 \frac{1}{2} \phi>1
जो कि परवलय के बाहरी भाग को दर्शाता है।
Example:12.प्रदर्शित करो कि रूपान्तर w=\tan ^2\left(\frac{\pi \sqrt{2}}{4}\right) वृत्तीय क्षेत्र |w| \leq 1 को रूपान्तरित परवलय r=\sec^{2} \frac{\theta}{2} की परिसीमा तथा भीतरी भाग में करता है।
(Show that the transformation w=\tan ^2\left(\frac{\pi \sqrt{2}}{4}\right) transform the circular region |w| \leq 1 onto the inside and boundary of the parabola r=\sec^{2} \frac{\theta}{2})
Solution: w=\tan ^2\left(\frac{\pi \sqrt{2}}{4}\right) \\ =\frac{\sin ^2\left(\frac{\pi \sqrt{2}}{4}\right)}{\cos ^2\left(\frac{\pi \sqrt{2}}{2}\right)}=\frac{1-\cos \left(\frac{1}{2} \pi \sqrt{2}\right)}{1+\cos \left(\frac{1}{2} \pi \sqrt{2}\right)} \\ 1-\cos \left(\frac{1}{2} \pi \sqrt{2}\right)=1-\cos \left(\frac{1}{2} \pi \sqrt{r} e^{\frac{i \theta}{2}}\right) \\ = 1-\cos \left(\frac{1}{2} \pi \sqrt{r} \cos \frac{1}{2} \theta+i \frac{1}{2} \pi \sqrt{r} \sin \frac{1}{2} \theta\right) \\ = 1-\cos (a+i b) जहाँ a=\frac{1}{2} \pi \sqrt{r} \cos \frac{1}{2} \theta, b=\pi \sqrt{r} \sin \frac{1}{2} \theta \\ = 1-\cos a \cosh b+i \sin a \sinh b
इसी प्रकार 1+\cos \left(\frac{1}{2} \pi \sqrt{z}\right)=1+\cos a \cosh b- \sin a \sinh b \\ |w|^2=\left|\frac{1-\cos \left(\frac{1}{2} \pi \sqrt{z}\right)}{1+\cos \left(\frac{1}{2} \pi \sqrt{z} \right)}\right| =\frac{\left|1-\cos \frac{1}{2} \pi \sqrt{z}\right|^2}{\left|1+\cos \frac{1}{2} \pi \sqrt{z}\right|^2} \\ =\frac{(1-\cos a \cosh b)^2 +\sin ^2 a \sinh ^2 b}{(1+\cos a \cosh b)^2+\sin ^2 a \sinh ^2 b} \\ |w| \leq \frac{(1-\cos a \cosh h)^2 +\sin ^2 a \sinh ^2 b}{(1+\cos a \cosh b)^2+\sin ^2 a \sinh ^2 b} \leq 1 \\ \Rightarrow (1-\cos a \cosh b)^2+\sin ^2 a \sinh ^2 b \leq(1+\cos a \cosh b)^2+\sin^{2} a \sinh^{2} b \\ \Rightarrow \cos a \cosh b \geq 0 \Rightarrow \cos a \geq 0 \\ \Rightarrow a \leq \frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \pi \sqrt{r} \cos \frac{1}{2} \theta \leq \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow 2 \cos ^2 \frac{\theta}{2} \leq 1 \Rightarrow r \leq \sec^{2} \frac{1}{2} \theta
अतः |w| \leq 1 का क्षेत्र परवलय की परिसीमा तथा भीतरी भाग के संगत है।
Example:13.रूपान्तरण w=z^{2} की विवेचना कीजिए। अतिपरवलयों x^2-y^2=c तथा xy=d का इस रूपान्तरण में प्रतिचित्रण ज्ञात कीजिए।
(Discuss the transformation w=z^{2} .Find the images of hyperbolas x^2-y^2=c and xy=d under this transformation):
Solution: w=z^{2} \\ u+i v=(x+i y)^2=x^2-y^2+2 i xy \\ u=x^2-y^2 तथा v=xy
जब x^2-y^2=c तो u=c
जब xy=d तो v=d
अतः अतिपरवलयों का रूपान्तरण सरल रेखाओं में होता है।
Example:14.वह द्विरैखिक रूपान्तरण ज्ञात कीजिए जो एकक वृत्त |z|=1 को वास्तविक अक्ष में प्रतिचित्रण इस प्रकार करता है कि बिन्दु z=1,0,\infty क्रमशः बिन्दु w=-1,1,i पर प्रतिचित्रित होते हैं।यह भी लिखिए कि एकक वृत्त के अन्तः तथा बाह्य क्षेत्र किस प्रदेश पर प्रतिचित्रित होते हैं।
(Find the bilinear transformation which transforms the unit circle |z|=1 into the real axis in such a way that the point w=-1,1,i respectively.Also write into which region the interior and exterior of the unit circle are mapped):
Solution: z_1=0, z_2=0, z_3=\infty, w_1=1, w_2=1, w_3=i
वज्रानुपात से

|z|=1 के लिए रूपान्तरण

|z|^2=1 \Rightarrow \frac{(1+i)^2(1-\omega)^2}{4(i-\omega)^2}=1 \\ \Rightarrow (1+i)(1+i)(1-\omega)(\overline{1-\omega})=4(i-\omega)(\overline{i-\omega}) \\ \Rightarrow (1+i)(1-i)(1-\omega)(1-\overline{\omega}) =4(i-\omega)(-i-\overline{\omega}) \\ \Rightarrow 2+2 w \overline{\omega}-2 w-2 \overline{\omega}=4-4 i \overline{\omega}+4 i w +4 w \overline{\omega} \\ \Rightarrow 2 w \overline{\omega} +2(w+\overline{\omega})+4 i(w-\overline{\omega})+2=0 \\ \Rightarrow 2\left(u^2+v^2\right)+4 u-8 v+2=0 \\ \Rightarrow u^2+v^2+2 u-4 v+1=0 \\ \Rightarrow(u+1)^2+(v-2)^2=2^2
जो कि एक वृत्त है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformation), सम्मिश्र विश्लेषण में द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformation in Complex Analysis) को समझ सकते हैं।

3.द्विरैखिक रूपान्तरण के सवाल (Bilinear Transformation Questions):

Linear Differential Equations in DE

(1.)वह द्विरैखिक रूपान्तरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं z_1=2, z_2=i ,z_3=-2 को क्रमशः w_1=1, w_2=i तथा w_3=-1 में रूपान्तरित करता है।
(2.)सिद्ध करो कि रूपान्तरण w(z+i)^2=1 वृत्त |z|=1,z-समतल के आन्तरिक भाग को w-समतल में परवलय के बाह्य भाग में प्रतिचित्रित करता है।
(show that the transformation w(z+i)^2=1 maps the interior of the circle |z|=1 in the z-plane on the exterior of the parabola.
\frac{1}{e}=2(1-\cos \phi) where w=p e^{i \phi} in the w-plane.)

Answer:-(1.) w=\frac{3 z+2 i}{i z+6}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformation), सम्मिश्र विश्लेषण में द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformation in Complex Analysis) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Convergence of Series Complex Analysis

4.द्विरैखिक रूपान्तरण (Frequently Asked Questions Related to Bilinear Transformation), सम्मिश्र विश्लेषण में द्विरैखिक रूपान्तरण (Bilinear Transformation in Complex Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

इस आर्टिकल में सम्मिश्र विश्लेषण के मुख्य रूपान्तरण का अध्ययन करेंगे जिसे द्विरैखिक रूपान्तरण
(Bilinear Transformation) कहते हैं।द्विरैखिक रूपान्तरण की विवेचना से पूर्व हम उन आधारभूत