1.बरनौली परीक्षण (Bernoulli Trials),बरनौली परीक्षण सूत्र (Bernoulli Trials Formula):

Bernoulli Trials

किसी यादृच्छिक प्रयोग के परीक्षणों को बरनौली परीक्षण (Bernoulli Trials) कहते हैं यदि वे निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करते हैं:
(i)परीक्षणों की संख्या निश्चित (परिमित) होनी चाहिए।
(ii)परीक्षण स्वतंत्र होने चाहिए।
(iii)प्रत्येक परीक्षण के तथ्यत: दो ही परिणाम सफलता या असफलता होने चाहिए।
(iv)प्रत्येक परीक्षण में किसी परिणाम की प्रायिकता समान रहनी चाहिए।
उदाहरण के लिए एक सिक्के को 100 बार उछालने के परीक्षण पर विचार करते हैं।यह परीक्षण 100 बरनौली परीक्षणों (Bernoulli Trials) की स्थिति है क्योंकि जब हम एक सिक्के को उछालते हैं या एक पासे को फेंकते हैं या कोई अन्य प्रयोग करते हैं तब यह एक परीक्षण कहलाता है।इन बरनौली परीक्षणों (Bernoulli Trials) में से प्रत्येक परीक्षण का परिणाम सफलता (माना सिक्के की उछाल पर चित आना) या असफलता (पट आना) के रूप में प्राप्त होता है।इन सभी 100 उछालों में सफलता की प्रायिकता (p) एक समान है।साथ ही सिक्के की उत्तरोत्तर उछालें स्वतंत्र प्रयोग होती है।
(1.)द्विपद बंटन (Binomial Distribution):
माना एक यादृच्छिक प्रयोग की n बार पुनरावृत्ति की गई है।अतः यह एक n-बरनौली परीक्षणों (Bernoulli Trials) वाला प्रयोग है,जहाँ प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र है तथा प्रत्येक परीक्षण में घटना के घटित होने को सफलता को S व घटित नहीं होने को असफलता को F से निरूपित करते हैं।
माना प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता (p) व असफलता की प्रायिकता (q=1-p) अचर है।
तब मिश्र प्रायिकता प्रमेय से n-बरनौली परीक्षणों (Bernoulli Trials) वाले प्रयोग में r सफलताओं तथा शेष (n-r) असफलताओं की प्रायिकता
P(X=r)=P(r सफलताएँ).P[(n-r) असफलताएँ]
=P(SSS…r बार FFF….(n-r)बार)
=P(S) P(S) P(S)….P(S) P(F) P(F) P(F)….P(F)
=ppp…p qqq….q

P(X=r)=p^{r} q^{n-r}
यह संबंध n-बरनौली परीक्षणों (Bernoulli Trials) वाले प्रयोग में एक विशेष क्रम में r सफलताओं व (n-r) असफलताओं को दर्शाता है। परंतु n परीक्षणों में से r सफलताएं {}^{n} C_{r} विधियों से प्राप्त की जा सकती है तथा इन प्रत्येक विधियों में प्रायिकता p^{r} q^{n-r} समान रहती है।अतः n-बरनौली परीक्षणों (Bernoulli Trials) में r सफलताओं की प्रायिकता:
P(X=r)={}^{n}C_{r} \cdot p^{r} q^{n-r};r=1,2,3,….,n तथा q=1-p
n-बरनौली परीक्षणों (Bernoulli Trials) वाले एक प्रयोग में सफलताओं संख्या X का बंटन निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:

\sum_{r=0}^{n} P(X=r) =\sum^{n}_{r=0} \quad ^{n}C_{r} \cdot p^{r} q^{n-r} \\=^{n}C_{0} p^{0} q^{n}+^{n}C_{1} p^{1} q^{n-1}+\cdots+^{n}C_{n} p^{n} q^{n-1}=(q+p)^{n}=1
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2.बरनौली परीक्षण के उदाहरण (Bernoulli Trials Examples):

Example:1.यदि एक न्याय्य सिक्के को 10 बार उछाला गया हो तो निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए:
(i)तथ्यतः छ: चित
(ii)कम से कम छ: चित
(iii)अधिकतम छ: चित
Solution:(i)तथ्यतः छ: चित
माना सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता p है।तब p=\frac{1}{2} \\ q=1-p=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
माना सिक्के को 10 बार उछालने पर चितो की संख्या को X से निरूपित करते हैं।
P(तथ्यतः छ: चित)=P(X=6)={}^{10}C_{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{10-6} \\ =\frac{10 !}{6 ! 4 !} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{6} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{4} \\ =\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 ! \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{10} \\ =10 \times 3 \times 7 \times \frac{1}{1024} \\ \Rightarrow P(X=6) =\frac{105}{512}
(ii)कम से कम छ: चित
P(कम से कम छ: चित)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)

={}^{10} C_{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{10-6}+^{10} C_{7}\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\left(\frac{1}{2}\right)^{10-7}+^{10} C_{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{10-8}+^{10} C_{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{10-9}+^{10} C_{10}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\left(\frac{1}{2}\right)^{10-10} \\=\frac{10 !}{6 ! 4 !} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{10}+\frac{10 !}{7 ! 3 !}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}+\frac{10 !}{8 ! 2 !}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}+\frac{10 !}{9 ! 1 !}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}+\left(\frac{1}{2}\right)^{10} \\ = \frac{210}{1024}+\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 !}{7 ! \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{1024}+ \frac{10 \times 9 \times 8 !}{8 ! \times 2 \times 1} \times \frac{1}{1024}+\frac{10 \times 9 !}{9 !} \times \frac{1}{1024}+\frac{1}{1024} \\ =\frac{210}{1024}+\frac{120}{1024}+\frac{45}{1024}+\frac{10}{1024}+\frac{1}{1024} \\ =\frac{(210+120+45+10+1)}{1024} \\ P(X \geq 6) =\frac{386}{1024} \\ \Rightarrow P(X \geq 6) =\frac{193}{512}
(iii)अधिकतम छ: चित
P(अधिकतम छ: चित)=P(X \leq 6)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)

={}^{10} C_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{10-0}+{ }^{10} C_{1}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{10-1}+{ }^{10} C_{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{10-2}+{ }^{10} C_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{10-3}+{ }^{10} C_{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{10-4}+{}^{10}C_{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{10-5}+{}^{10}C_{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{10-6} \\=\frac{1}{1024}+\frac{10 !}{9 !}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}+\frac{10 !}{8 ! 2 !}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}+\frac{10 !}{7 ! 3 !}\left(\frac{1}{2}\right)^{10} +\frac{10 !}{6 ! 4 !}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}+\frac{10 !}{5 ! 5 !}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}+\frac{10 !}{6 ! 4 !} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{10} \\ =\frac{1}{1024}+\frac{10}{1024}+\frac{45}{1024}+\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 !}{7 ! \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{1024} +\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 ! \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{1024}+\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{5 ! \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{1024}+\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 ! \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{1024} \\=\frac{1}{1024}+\frac{10}{1024}+\frac{45}{1024}+\frac{120}{1024}+\frac{210}{1024}+\frac{252}{1024}+\frac{210}{1024} \\=\frac{1+10+45+120+210+252+210}{1024} \\ =\frac{848}{1024} \\ \Rightarrow P(X \leq 6)=\frac{53}{64}
Example:2.एक कलश में 5 सफेद,7 लाल और 8 काली गेंदे है।यदि चार गेंदे एक-एक करके प्रतिस्थापन सहित निकाली जाती है तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि
(i)सभी सफेद गेंदे हों
(ii)केवल तीन गेंद सफेद हों
(iii)कोई भी सफेद गेंद न हों
(iv)कम से कम तीन सफेद गेंदे हों।
Solution:एक कलश में 5 सफेद,7 लाल और 8 काली गेंदे कुल 20 गेंदे हैं।तब सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता p=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}
सफेद गेंद न निकालने की प्रायिकता q=1-p=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}
(i)सभी सफेद गेंदे हों
सभी सफेद गेंदे होने की प्रायिकता=\left(\frac{1}{4}\right)^{4}
(ii)केवल तीन गेंद सफेद हो
केवल तीन गेंद सफेद होने की प्रायिकता={}^4 C_{1}\left(\frac{1}{4}\right)^{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{1} \\ =4 \times 3\left(\frac{1}{4}\right)^{4}=3\left(\frac{1}{4}\right)^{3} 
(iii)कोई भी गेंद सफेद न हो
कोई भी सफेद गेंद न निकालने की प्रायिकता=\left(\frac{3}{4}\right)^{4}
(iv)कम से कम तीन गेंद सफेद हों
कम से कम तीन सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता={}^{4}C_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \times \left(\frac{3}{4}\right)^{1} +\left(\frac{1}{4}\right)^{4} \\ =\left(\frac{1}{4}\right)^{3}\left[3+\frac{1}{4}\right] \\ =\left(\frac{1}{4}\right)^{3} \left(\frac{13}{4}\right) \\ =13\left(\frac{1}{4}\right)^{4}
Example:3.एक बाधा दौड़ में एक खिलाड़ी को 10 बाधाएँ पार करनी है।खिलाड़ी के द्वारा प्रत्येक बाधा को पार करने की प्रायिकता \frac{5}{6} है।इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह 2 से कम बाधाओं को गिरा देगा (पार नहीं कर पाएगा)?
Solution:खिलाड़ी के बाधा को गिराने की प्रायिकता p=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6} \\ q=\frac{5}{6}
P(2 से कम बाधाओं को गिरा देगा)

=P(X<2) 

=P(X=0)+P(X=1)

={}^{10} C_{0}\left(\frac{1}{6}\right)^{0}\left(\frac{5}{6}\right)^{10-0}+{}^{10} C_{1} \left(\frac{1}{6}\right)^{1}\left(\frac{5}{6}\right)^{10-1} \\ =\left(\frac{5}{6}\right)^{10}+10 \times \frac{1}{6} \times\left(\frac{5}{6}\right)^{9} \\ =\left(\frac{5}{6}\right)^{9} \left[\frac{5}{6}+\frac{10}{6}\right] \\ =\left(\frac{5}{6}\right)^{9} \times \frac{15}{6} \\ P(X<2) =\frac{5^{10}}{2 \times 6^{9}}
Example:4.पाँच पासों को एक साथ फेंका गया है।यदि एक पासे पर सम अंक आने को सफलता माना जाए तो अधिकतम 3 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए.
Solution:एक पासे पर तीन सम संख्याएँ 2,4,6 हैं।
प्रतिदर्श समष्टि S={1,2,3,4,5,6}
एक पासे पर सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \\ q=1-p=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
P(अधिकतम 3 सफलताएँ)

=P(X \leq 3) \\ =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) \\ ={}^{5} C_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{5-0}+{}^{5} C_{1} \left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{5-1} +{}^{5} C_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{5-2}+{}^{5} C_{3} \left(\frac{1}{2}\right)^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{5-3} \\ =\left(\frac{1}{2}\right)^{5}+5 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{5}+10 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{5}+10 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{5} \\ =\frac{1}{32}+\frac{5}{32}+\frac{10}{32}+\frac{10}{32} \\ =\frac{26}{32} \\ \Rightarrow P(X \leq 3)=\frac{13}{16}

Bernoulli Trials

Example:5.10% खराब अंडों वाले एक ढेर से 10 अंडे उत्तरोत्तर प्रतिस्थापन के साथ निकाले गए हैं।इस बात की क्या प्रायिकता है कि 10 अंडों के प्रतिदर्श में कम से कम एक अंडा खराब है।
Solution:एक अंडा खराब होने की प्रायिकता p=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}
एक अंडा खराब न होने की प्रायिकता q=1-p=1-\frac{1}{10} =\frac{9}{10}
P(कम से कम एक अंडा खराब होगा)=P\left ( X \geq 1 \right ) =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)

=1-P(X=0)

=1-{}^{10} C_{0}\left(\frac{1}{10}\right)^{0}\left(\frac{9}{10}\right)^{10-0} \\ \Rightarrow P(X=1)=1-\left(\frac{9}{10}\right)^{10}
Example:6.एक व्यक्ति एक लाॅटरी के 50 टिकट खरीदता है जिसमें उसके प्रत्येक में जीतने की प्रायिकता \frac{1}{100} है।इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह
(i)कम से कम एक बार
(ii)तथ्यतः एक बार
(iii)कम से कम दो बार
इनाम जीत लेगा।
Solution:प्रत्येक टिकट जीतने की प्रायिकता p=\frac{1}{100}
प्रत्येक टिकट के हारने की प्रायिकता q=1-p=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}
(i)कम से कम एक बार इनाम जीतने की प्रायिकता

=[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+………..+P(X=50)]-P(X=0)

=1-P(X=0)

=1-{}^{50} C_{0}\left ( \frac{1}{100} \right )^{0}\left(\frac{99}{100}\right)^{50-0} \\=1-\left(\frac{99}{100}\right)^{50} \\ P(X \geq 1)=1-\left(\frac{99}{100}\right)^{50}
(ii)तथ्यतः एक बार इनाम जीत लेगा

P(X=1)={}^{50} C_{1}\left(\frac{1}{100}\right)^{1}\left(\frac{99}{100}\right)^{50-1} \\ =50 \times \frac{1}{100} \times\left(\frac{99}{100}\right)^{49} \\ \Rightarrow P(X=1)=\frac{1}{2}\left(\frac{99}{100}\right)^{49}
(iii)कम से कम दो बार इनाम जीत लेगा

=[P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+………..+P(X=50)]

=[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+………..+P(X=50)]-[P(X=0)+P(X=1)]

=1-[P(X=0)+P(X=1)]

=1-{}^{50} C_{0}\left(\frac{1}{100}\right)^{0}\left(\frac{99}{100}\right)^{50-0}-{}^{50} C_{1} \left(\frac{1}{100}\right)^{1}\left(\frac{99}{100}\right)^{50-1} \\ =1-\left(\frac{99}{100}\right)^{50}-50 \times \frac{1}{100} \times\left(\frac{99}{100}\right)^{49} \\ =1-\left(\frac{99}{100}\right)^{50}-\frac{1}{2} \times\left(\frac{99}{100}\right)^{49} \\ =1-\left(\frac{99}{100}\right)^{49}\left[\frac{99}{100}+\frac{1}{2}\right] \\ =1-\left(\frac{99}{100}\right)^{49} \left[\frac{99+50}{100}\right] \\ =1-\left(\frac{99}{100}\right)^{49} \left(\frac{149}{100}\right) \\ \Rightarrow P(X \geq 2)=1-\left(\frac{99}{100}\right)^{49} \left(\frac{149}{100}\right)
Example:7.किसी कारखाने में बने एक बल्ब की 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता 0.05 है प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस प्रकार के 5 बल्बों में से
(i)एक भी नहीं
(ii)एक से अधिक नहीं
(iii)एक से अधिक
(iv)कम से कम एक
150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएंगे।
Solution:बल्ब के फ्यूज न होने की प्रायिकता q=1-0.05 \\ q=1-\frac{5}{100}=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}
बल्ब के फ्यूज होने की प्रायिकता p=\frac{1}{20}
(i)एक भी बल्ब 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज नहीं होगा

P(X=0)={}^{5}C_{0}\left(\frac{1}{20}\right)^{0}\left(\frac{19}{20}\right)^{5-0} \\ \Rightarrow P(X=0)=\left(\frac{19}{20}\right)^{5}
(ii)एक से अधिक बल्ब नहीं,150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएंगे

P\left ( X \leq 1 \right )=P(X=0)+P(X=1)={}^{5}C_{0}\left(\frac{1}{20}\right)^{0}\left(\frac{19}{20}\right)^{5-0}+{}^{5}C_{1}\left(\frac{1}{20}\right)^{1}\left(\frac{19}{20}\right)^{5-1} \\ =\left(\frac{19}{20}\right)^{5}+\frac{1}{4}\left(\frac{19}{20}\right)^{4} \\ =\left(\frac{19}{20}\right)^{4}\left[\frac{19}{20}+\frac{1}{4}\right] \\ =\left(\frac{19}{20}\right)^{4}\left[\frac{19+5}{20}\right] \\ =\left(\frac{19}{20}\right)^{4} \left ( \frac{24}{20} \right ) \\ \Rightarrow P(X \leq 1)=\left(\frac{6}{5}\right)\left(\frac{19}{20}\right)^{4}
(iii)एक से अधिक बल्ब 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएंगे

P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)-P(X=0)-P(X=1)

=1-[P(X=0)+P(X=1)]

=1-\left(\frac{6}{5}\right)\left(\frac{19}{20}\right)^{4}
(iv)कम से कम एक बल्ब 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएगा

P(X \geq 1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)-P(X=0)

=1-P(X=0)

=1-{}^{5}C_{0}\left(\frac{1}{20}\right)^{0}\left(\frac{19}{20}\right)^{5-0} \\ \Rightarrow P(X \geq 1) =1-\left(\frac{19}{20}\right)^{5}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बरनौली परीक्षण (Bernoulli Trials),बरनौली परीक्षण सूत्र (Bernoulli Trials Formula) को समझ सकते हैं।

3.बरनौली परीक्षण के सवाल (Bernoulli Trials Questions):

Bernoulli Trials

(1.)पासे के एक जोड़े को 7 बार फेंका गया है।यदि ‘पासों पर प्राप्त अंकों का 7 होना’ सफलता माना जाए तो क्या प्रायिकता है:
(i)कोई सफलता नहीं
(ii)छ: सफलताएँ
(iii)कम से कम छ: सफलताएँ
(iv)अधिकतम छ: सफलताएँ
(2.)एक न्याय्य सिक्के को 5 बार उछाला गया है।कम से कम 3 चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उत्तर: \text { (1) (i) }\left(\frac{5}{6}\right)^{7} \text { (ii) } \frac{35}{6^{7}} \text { (iii) } \frac{1}{6^{5}} \text { (iv) } 1-\left(\frac{1}{6}\right)^{7} \text { (2.) } \frac{1}{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बरनौली परीक्षण (Bernoulli Trials),बरनौली परीक्षण सूत्र (Bernoulli Trials Formula) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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4.बरनौली परीक्षण (Bernoulli Trials),बरनौली परीक्षण सूत्र (Bernoulli Trials Formula) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

किसी यादृच्छिक प्रयोग के परीक्षणों को बरनौली परीक्षण (Bernoulli Trials) कहते हैं यदि वे निम्नलिखित
शर्तों को संतुष्ट करते हैं:(i)परीक्षणों की संख्या निश्चित (परिमित) होनी चाहिए।
(ii)परीक्षण स्वतंत्र होने चाहिए।