1.बरनौली के समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli Equation Reducible to Linear),बरनौली के अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli’s Differential Equation Reducible to Linear Form):

बरनौली के समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli Equation Reducible to Linear) करने पर अवकल समीकरण को रैखिक अवकल समीकरण की विधि से हल किया जा सकता है।निम्न उदाहरणों से यह स्पष्ट हो जाएगा।
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2.बरनौली के समीकरण का रैखिक रूप में समानयन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Bernoulli Equation Reducible to Linear):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों का हल ज्ञात कीजिएः
(Solve the following differential equations):
Example:2. x\left(\frac{d y}{d x}\right)+y=x^3 y^6
Solution: x\left(\frac{d y}{d x}\right)+y=x^3 y^6
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

y^{-6}\left(\frac{d y}{d x}\right)+\frac{y^{-5}}{x}=x^2 \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

y^{-5}=v \Rightarrow-5 y^{-6}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

-\frac{1}{5} \frac{d v}{d x}+\frac{v}{x}=x^2 \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}-\frac{5 v}{x}=-5 x^2
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.=e^{\int \frac{-5}{x} d x}=e^{-5 \log x}=\frac{1}{x^5}
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः

v \cdot \text{(I.F.)}=\int \text{(I.F.)} \cdot Q dx+c \\ \Rightarrow \frac{v}{x^5}=\int \frac{1}{x^5} \times -5 x^2 d x+c \\ \Rightarrow \frac{1}{x^5 y^5}=-5 \int x^{-3} d x+c \\ =\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{x^2}+c \\ \Rightarrow c x^5 y^5+\frac{5}{2} x^3 y^5=1
Example:3. 2\left(\frac{d y}{d x}\right)-y \sec x=y^3 \tan x
Solution: 2\left(\frac{d y}{d x}\right)-y \sec x=y^3 \tan x
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

2 y^{-3}\left(\frac{d y}{dx}\right)-y^{-2} \sec x=\tan x \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

-y^{-2}=v \Rightarrow 2 y^{-3}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

\frac{d v}{d x}+\sec x=\tan x
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.=e^{\int \sec x dx}=e^{\log \tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)} \\ \Rightarrow \text {I.F.}=\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः

v \cdot \text {I.F.}=\int \text {I.F.} Q dx+c \\ v \tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)=\int \tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \tan x dx+c_{1} \\ \Rightarrow-y^{-2} \tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)=\int(\sec x+\tan x) \tan x dx+c_{1} \left[\because \tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\sec x+\tan x\right] \\ =\int \left(\sec x \tan x+\tan ^2 x\right) d x+c_{1} \\ =\int \sec x \tan x d x+\int \sec ^2 x d x-\int 1 dx+c_{1} \\ =\sec x+\tan x-x+c_{1} \\ =\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)-x+c_{1} \\ \Rightarrow y^{-2} =-1+(c+x) \cot \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)
Example:4. x\left(\frac{d y}{d x}\right)+y=y^2 \log x
Solution: x\left(\frac{d y}{d x}\right)+y=y^2 \log x
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

y^{-2}\left(\frac{d y}{d x}\right)+\frac{y^{-1}}{x}=\frac{\log x}{x} \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

y^{-1}=v \Rightarrow -y^{-2}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

-\frac{d v}{d x}+\frac{v}{x}=\frac{\log x}{x} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}-\frac{v}{x}=-\frac{\log x}{x}
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.=e^{\int \frac{-1}{x} d x}=e^{-\log x}=\frac{1}{x}
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः
v \cdot \text{I.F.}=\int \text{I.F} \cdot Q d x+e \\ \frac{y^{-1}}{x}=\int \frac{1}{x} \cdot\left(-\frac{\log x}{x}\right) d x+c \\ \text{put} \log x=t \Rightarrow x=e^t तथा \frac{1}{x} dx=dt \\ \frac{y^{-1}}{x} = -\int t e^{-t} d t+c \\ = -t \int e^{-t} d t+\int\left[\frac{d}{d t}(t) \int e^{-t} d t\right] d t+c \\ =t e^{-t}+e^{-t}+c \\ =\frac{\log x}{x}+\frac{1}{x}+c \\ \Rightarrow y^{-1}=\log x+\log e+c x \\ \Rightarrow y^{-1}=\log e x+c x \\ \Rightarrow \left[\log (e x)+cx\right] y=1
Example:5. 2 \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}
Solution: 2 \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

2 y^{-2}\left(\frac{d y}{d x}\right)-\frac{y}{x}=\frac{1}{x^2} \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

y^{-1}=v \Rightarrow-y^{-2}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

\Rightarrow-2 \frac{d v}{d x}-\frac{v}{x}=\frac{1}{x^2} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}+\frac{v}{2 x}=-\frac{1}{2 x^2}
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.=e^{\int \frac{1}{2 x} d x}=e^{\frac{1}{2} \log x}=\sqrt{x}
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः

I.F.=\int \text{I.F.} \cdot Q d x+c \\ \Rightarrow y^{-1} \sqrt{x} =\int \sqrt{x} \cdot\left(-\frac{1}{2 x^2}\right) d x+C \\ =-\frac{1}{2} \int x^{-\frac{3}{2}} d x+c \\ =\frac{1}{\sqrt{x}}+C \\ \Rightarrow x =y(1+c \sqrt{x})
Example:6. \left(\frac{d y}{d x}\right)+y \cos x=y^n \sin 2 x
Solution: \left(\frac{d y}{d x}\right)+y \cos x=y^n \sin 2 x
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

y^{-n}\left(\frac{d y}{d x}\right)+y^{-n+1} \cos x=\sin 2 x
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

y^{-n+1}=v \Rightarrow(-n+1) y^{-n} \frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

\left(\frac{1}{-n+1}\right) \frac{d v}{d x}+v \cos x=\sin 2 x \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}+(-n+1) v \cos x=(-n+1) \sin 2 x
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.=e^{\int (-n+1) \cos x dx}=e^{(-n+1) \sin x}
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः

v \cdot \text{I.F.}=\int(\text{I.F.}) \cdot Q d x+c \\ y^{1-n} \cdot e^{(-n+1)} \sin x=\int e^{(-n+1) \sin x} \cdot(-n+1) \sin 2x dx+c \\ =\int e^{(-n+1) \sin x} \cdot(-n+1) 2 \sin x \cos x dx+c \\ \text { put }(-n+1) \sin x=t \Rightarrow(-n+1) \cos x d x=d t \\ =\frac{2 }{(-n+1)} \int e^t t d t+c \\ =\frac{2 }{(-n+1)} t e^t-2 e^t+c \\ = 2\frac{(-n+1)}{(-n+1)} \sin x \quad e^{(-n+1) \sin x}-\frac{2 }{(-n+1)} e^{(-n+1) \sin x}+c \\ \Rightarrow y^{1-n}=2 \sin x-\frac{2}{(-n+1)}+c e^{(n-1) \sin x} \\ \Rightarrow y^{1-n}=2 \sin x+\frac{2}{(n-1)}+c e^{(n-1) \sin x}
Example:7. x\left(\frac{d y}{d x}\right)+y \log y=x y e^x
Solution: x\left(\frac{d y}{d x}\right)+y \log y=x y e^x
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)+\frac{\log y}{x}=e^x \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

\log y=v \Rightarrow \frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

\frac{d v}{d x}+\frac{v}{x}=e^x
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.= e^{\int \frac{1}{x} d x}=e^{\log x}=x
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः

V \cdot \text{(I.F)}=\int \text{(I.F)} \cdot Q d x+c \\ \Rightarrow(\log y) x=\int x \cdot e^x d x+c \\ \Rightarrow x \log y=x e^x-e^x+c \\ \Rightarrow x \log y=e^x(x-1)+c
Example:8. x^2 y-x^3\left(\frac{d y}{d x}\right)=y^4 \cdot \cos x
Solution: x^2 y-x^3\left(\frac{d y}{d x}\right)=y^4 \cdot \cos x
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

y^{-4}\left(\frac{d y}{d x}\right)-\frac{y^{-3}}{x}=-\frac{\cos x}{x^3} \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

y^{-3}=v \Rightarrow-3 y^{-4} \frac{d y}{d x}=\frac{dv}{dx}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

-\frac{1}{3}\left(\frac{d v}{d x}\right)-\frac{v}{x}=-\frac{\cos x}{x^3} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}+\frac{3 v}{x}=\frac{3 \cos x}{x^3}
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.=e^{\int \frac{3}{x} d x}=e^{3 \log x}=x^3
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः

v \cdot \text{I.F.}=\int \text{I.F.} \cdot Q d x+c \\ \Rightarrow y^{-3} x^3=\int x^3 \cdot \frac{3 \cos x}{x^3} d x+c \\ \Rightarrow x^3 y^{-3}=3 \sin x+c
Example:9. \left(\frac{d y}{d x}\right)=2 y \tan x+y^2 \tan ^2 x
Solution: \left(\frac{d y}{d x}\right)=2 y \tan x+y^2 \tan ^2 x
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\left(\bar{y}^2\right) \frac{d y}{d x}-2 y^{-1} \tan x=\tan ^2 x \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

y^{-1}=v \Rightarrow -y^{-2}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

-\frac{d v}{d x}-2 v \tan x=\tan ^2 x \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}+2 v \tan x=-\tan ^2 x
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.=e^{\int 2 \tan x d x}=e^{2 \log \sec x}=\sec ^2 x
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः

v \cdot \text{I.F.}=\int \text{I.F.} \cdot Q d x+C \\ \Rightarrow y^{-1} \sec ^2 x=\int \sec ^2 x\left(-\tan ^2 x\right) d x+c \\ \Rightarrow y^{-1} \sec ^2 x=-\frac{1}{3} \tan ^3 x+c

Example:10. 3 \frac{d y}{d x}+\frac{2 y}{x+1}=\frac{x^3}{y^2}
Solution: 3 \frac{d y}{d x}+\frac{2 y}{x+1}=\frac{x^3}{y^2}
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

3 y^2\left(\frac{d y}{d x}\right)+\frac{2 y^3}{x+1}=x^3 \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

y^3=v \Rightarrow 3 y^2\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

\frac{d v}{d x}+\frac{2 v}{x+1}=x^3
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.=2 e^{2 \int \frac{1}{x+1}} dx=2 e^{\log (x+1)}=(x+1)^2
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः

v\cdot \text{I.F.} =\int \text{I.F.} \cdot Q d x+C \\ y^3(x+1)^2 =\int(x+1)^2 x^3 d x+C \\ =\int x^5 d x+2 \int x^4 d x+\int x^3 d x+C \\ \Rightarrow y^3(x+1)^2 =\frac{1}{6} x^5+\frac{2}{5} x^5+\frac{1}{4} x^4+C
Example:12. y\left(2 x y+e^x\right) d x-e^x d y=0
Solution: y\left(2 x y+e^x\right) d x-e^x d y=0 
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=2 x y^2 e^{-x}+y \\ \Rightarrow y^{-2} \frac{d y}{d x}-y^{-1}=2 x e^{-x} \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

y^{-1}=v \Rightarrow -y^{-2} \frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

-\frac{d v}{d x}-v=2 x e^{-x} \Rightarrow \frac{d v}{d x}+v=-2 x e^{-x}
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.=e^{\int 1 \cdot d x}=e^x
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः

V \cdot \text{(I.F.)}=\int \text{(I.F.)} \cdot Q d x+c_1 \\ \Rightarrow y^{-1} e^x=\int e^x\left(-2 x e^{-x}\right) d x+c_1 \\ \Rightarrow y^{-1} e^x=-x^2+c_{1} \\ \Rightarrow e^x=-y\left(x^2+c\right) \quad[ \because C_{1}=-c] \\ \Rightarrow e^x+y\left(x^2+c\right)=0
Example:15. \frac{d y}{d x}=e^{x-y}\left(e^x-e^y\right)
Solution: \frac{d y}{d x}=e^{x-y}\left(e^x-e^y\right)
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

e^y \frac{d y}{d x}+e^x e^y=e^{2 x} \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

e^y=v \Rightarrow e^y\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

\frac{d v}{d x}+v e^x=e^{2 x}
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.=e^{\int e^x dx}=e^{e^x}
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः

v \text{(I.F.)}=\int \text{(I.F.)} Q d x+c \\ \Rightarrow e^y \cdot e^{e^x} =\int e^{e^x} \cdot e^{2 x}+c \\ =e^x e^{e^x}-e^{e^x}+c \\ \Rightarrow e^y =e^x-1+c e^{-e^x}
Example:16. \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x} \log y=\frac{y}{x^2}(\log y)^2
Solution: \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x} \log y=\frac{y}{x^2}(\log y)^2
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{1}{y(\log y)^2} \frac{d y}{d x}+\frac{(\log y)^{-1}}{x}=\frac{1}{x^2} \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

(\log y)^{-1}=v \Rightarrow-\frac{1}{y(\log y)^2} \frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

-\frac{d v}{d x}+\frac{v}{x}=\frac{1}{x^2} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}-\frac{v}{x}=-\frac{1}{x^2}
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.=e^{\int-\frac{1}{x} d x}=e^{-\log x}=\frac{1}{x}
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः

v \cdot (\text {I.F.})=\int (\text {I.F.}) \cdot Q d x+C \\ \Rightarrow \frac{1}{\log y} \cdot \frac{1}{x}=\int \frac{1}{x}\left(-\frac{1}{x^2}\right) d x+C \\ \Rightarrow \frac{1}{x \log y}=\frac{1}{2 x^2}+C
Example:17. \frac{d y}{d x}+x \sin 2 y=x^3 \cos ^2 y
Solution: \frac{d y}{d x}+x \sin 2 y=x^3 \cos ^2 y
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\sec ^2 y \frac{d y}{d x}+2 x \tan y=x^3 \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

\tan y=v \Rightarrow \sec ^2 y \frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

\frac{d v}{d x}+2 x v=x^3
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.=e^{\int 2x d x}=e^{x^2}
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः

V \cdot (\text{I.F.})=\int(\text{I.F.}) \cdot Q d x+c \\ \Rightarrow e^{x^2} \tan y=\int e^{x^2} \cdot x^3 d x+c \\ \Rightarrow e^{x^2 \tan y}=\frac{1}{2}\left(x^2-1\right) e^{x^2}+c \\ \Rightarrow \tan y=\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)+c e^{-x^2}
Example:19. \frac{d y}{d x}+\frac{2 y}{3}=\frac{x}{\sqrt{y}}
Solution: \frac{d y}{d x}+\frac{2 y}{3}=\frac{x}{\sqrt{y}}
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\sqrt{y} \frac{d y}{d x}+\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}=x \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

y^{\frac{3}{2}}=v \Rightarrow \frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

\frac{2}{3} \frac{d v}{d x}+\frac{2}{3} v=x \Rightarrow \frac{d v}{d x}+v=\frac{3}{2} x
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.=e^{\int 1 \cdot d x}=e^x
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः

v \cdot(\text{I.F.})=\int(\text{I.F.}) \cdot Q d x+c \\ \Rightarrow y^{\frac{3}{2}} \cdot e^x=\int e^x \cdot \frac{3}{2} x d x+c \\ \Rightarrow y^{\frac{3}{2}} e^x=\frac{3}{2} x e^x-\frac{3}{2} e^x+c \\ \Rightarrow y^{\frac{3}{2}} e^x=\frac{3}{2} e^x(x-1)+c
Example:20. \frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}
Solution: \frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

e^{-y}\left(\frac{d y}{d x}\right)+\frac{e^{-y}}{x}=\frac{1}{x^2} \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण (Bernoulli’s equation) हैं।अतः माना

e^y=v \Rightarrow-e^{-y} \frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगाः

\Rightarrow-\frac{d v}{d x}+\frac{v}{x}=\frac{1}{x^2} \Rightarrow \frac{d v}{d x}-\frac{v}{x}=-\frac{1}{x^2}
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है,जिसका

I.F.=e^{-\frac{1}{x} d x}=e^{-\cos x}=\frac{1}{x}
इसलिए दिए हुए समीकरण का हल होगाः

v \cdot (\text{I.F.})=\int \text{I.F.} \cdot(Q) d x+C \\ e^{-y} \cdot \frac{1}{x}=\int \frac{1}{x}\left(-\frac{1}{x}\right) d x+c \\ \Rightarrow \frac{e^{-y}}{x}=\frac{1}{2 x^2}+c \\ \Rightarrow 2 x=2c x^2 e^y+e^y
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बरनौली के समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli Equation Reducible to Linear),बरनौली के अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli’s Differential Equation Reducible to Linear Form) को समझ सकते हैं।

3.बरनौली के समीकरण का रैखिक रूप में समानयन पर आधारित सवाल (Questions Based on Bernoulli Equation Reducible to Linear):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों का हल ज्ञात कीजिएः
(Solve the following differential equations):

(1.) y-x\left(\frac{d y}{d x}\right)=a\left[y^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)\right]
(2.) \left(x^2+y^2+2 x\right) d x+2 y d y=0
(3.) \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x-1}=x y^{\frac{1}{3}}
उत्तर (Answers): (1.) x+a=y(c+a x)
(2.) y^2=c e^{-x}-x^2
(3.) \sqrt{\left(x^2-1\right)}=y\left[c-\frac{1}{3}\left(x^2-1\right)^{\frac{3}{2}}\right]
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बरनौली के समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli Equation Reducible to Linear),बरनौली के अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli’s Differential Equation Reducible to Linear Form) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.बरनौली के समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Frequently Asked Questions Related to Bernoulli Equation Reducible to Linear),बरनौली के अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli’s Differential Equation Reducible to Linear Form) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

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Bernoulli Equation Reducible to Linear

बरनौली के समीकरण का रैखिक रूप में समानयन
(Bernoulli Equation Reducible to Linear)

Bernoulli Equation Reducible to Linear