1.बरनौली के अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli Differential equation Reducible to Linear form)-

बरनौली के अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli Differential equation Reducible to Linear form) का अर्थ है कि कई बार अवकल समीकरण रैखिक अवकल समीकरण के रूप में नहीं होती है, लेकिन आश्रित चर को किसी अन्य चर के बराबर मानकर उसको रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है।
बर्नौली अवकल समीकरण परिभाषा (Bernoulli differential equation definition)-
ऐसे समीकरण जिनको रैखिक अवकल समीकरण में बदला जा सकता है,बरनौली का अवकल समीकरण कहलाता है।
अवकल समीकरण

\left( \frac { dy }{ dx } \right) +P\left( x \right) .y=Q\left( x \right) .{ y }^{ n }.......(1)
को बरनौली का अवकल समीकरण (Bernoulli Differential Equation) कहते हैं।यह एक ऐसा समीकरण है जिसको रैखिक समीकरण में,निम्न विधि द्वारा परिवर्तित किया जा सकता है।

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2.बर्नोली अवकल समीकरणों को कैसे हल करते हैं? (How do you solve Bernoulli differential equations?)-

समीकरण (1) को { y }^{ n }से भाग देने पर-

{ y }^{ -n }\left( \frac { dy }{ dx } \right) +P{ y }^{ 1-n }=Q.......(2)
माना { y }^{ 1-n }=v\qquad (n\neq 1)
तब (1-n){ y }^{-n }\frac { dy }{ dx } =\frac { dv }{ dx }
तथा समीकरण (2) का नया रूप होगा

\frac { 1 }{ (1-n) } \frac { dv }{ dx } +P.v=Q
या \frac { dv }{ dx } +P(1-n)v=Q(1-n)
जो कि v में रैखिक अवकल समीकरण है।
यदि n=1 ,तो हम देखते हैं कि समीकरण (1) में चर पृथक हो जाते हैं और इसको चर पृथक करण विधि से हल किया जा सकता है।
विद्यार्थियों को चाहिए पहले किसी भी अवकल समीकरण को चर पृथक करण विधि, प्रतिस्थापन विधि,समघात विधि,रैखिक अवकल समीकरण विधि से क्रमशः हल करना चाहिए। यदि उनसे अवकल समीकरण हल न हो तो बरनौली अवकल समीकरण का प्रयोग करना चाहिए।

3.बरनौली के अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन के उदाहरण (Bernoulli Differential equation Reducible to Linear form Examples)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations:)
Example-1.(1-{ x }^{ 2 })(\frac { dy }{ dx } )+xy=x{ y }^{ 2 }
Solution-(1-{ x }^{ 2 })(\frac { dy }{ dx } )+xy=x{ y }^{ 2 }\\ \Rightarrow { y }^{ -2 }(\frac { dy }{ dx } )+\frac { x{ y }^{ -1 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } =\frac { x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \\ put\quad { y }^{ -1 }=v\Rightarrow -{ y }^{ -2 }(\frac { dy }{ dx } )=\frac { dv }{ dx } \\ \Rightarrow -\frac { dv }{ dx } +\frac { x }{ 1-{ x }^{ 2 } } v=\frac { x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } -\frac { x }{ 1-{ x }^{ 2 } } v=-\frac { x }{ 1-{ x }^{ 2 } }
यह रैखिक अवकल समीकरण है।

I.F.={ e }^{ \int { -\frac { x }{ 1-{ x }^{ 2 } } dx } }\\ ={ e }^{ \frac { 1 }{ 2 } \log { (1-{ x }^{ 2 }) } }\\ ={ e }^{ \log { \sqrt { (1-{ x }^{ 2 }) } } }\\ =\sqrt { (1-{ x }^{ 2 }) }
अतः दिए हुए समीकरण का हल होगा-

v(I.F.)=\int { -\frac { x }{ 1-{ x }^{ 2 } } I.F.dx } +c\\ \Rightarrow v\sqrt { (1-{ x }^{ 2 }) } =\int { -\frac { x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \sqrt { (1-{ x }^{ 2 }) } dx } +c\\ \Rightarrow v\sqrt { (1-{ x }^{ 2 }) } =\int { -\frac { x }{ \sqrt { (1-{ x }^{ 2 }) } } dx } +c\\ \Rightarrow { y }^{ -1 }\sqrt { (1-{ x }^{ 2 }) } =\frac { 1 }{ 2 } .2\sqrt { (1-{ x }^{ 2 }) } +c\\ \Rightarrow \sqrt { (1-{ x }^{ 2 }) } =y\sqrt { (1-{ x }^{ 2 }) } +cy\\ \Rightarrow cy=\sqrt { (1-{ x }^{ 2 }) } -y\sqrt { (1-{ x }^{ 2 }) } \\ \Rightarrow cy=(1-y)\sqrt { (1-{ x }^{ 2 }) }
Example-2.\sec ^{ 2 }{ y } (\frac { dy }{ dx } )+2x\tan { y } ={ x }^{ 3 }
Solution-\sec ^{ 2 }{ y } (\frac { dy }{ dx } )+2x\tan { y } ={ x }^{ 3 }\\ put\quad \tan { y } =v\Rightarrow \sec ^{ 2 }{ y } (\frac { dy }{ dx } )=\frac { dv }{ dx } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } +2xv={ x }^{ 3 }
यह रैखिक अवकल समीकरण है।

I.F.={ e }^{ \int { 2xdx } }\\ ={ e }^{ { x }^{ 2 } }
अतः दिए हुए समीकरण का हल होगा-

v(I.F.)=\int { Q\left( x \right) } .I.F.dx+c\\ \Rightarrow v{ e }^{ { x }^{ 2 } }=\int { { x }^{ 3 }{ e }^{ { x }^{ 2 } }dx } +c\\ { x }^{ 2 }=t\Rightarrow 2xdx=dt\\ \Rightarrow \tan { y } .{ e }^{ { x }^{ 2 } }=\frac { 1 }{ 2 } \int { t{ e }^{ t }dt } +c\\ \Rightarrow { e }^{ { x }^{ 2 } }\tan { y } =\frac { 1 }{ 2 } t\int { { e }^{ t }dt } -\frac { 1 }{ 2 } \frac { d }{ dt } (t)\int { { e }^{ t }dt } +c\\ \Rightarrow { e }^{ { x }^{ 2 } }\tan { y } =\frac { 1 }{ 2 } t{ e }^{ t }-\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ t }+c\\ \Rightarrow { e }^{ { x }^{ 2 } }\tan { y } =\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }{ e }^{ { x }^{ 2 } }-\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ { x }^{ 2 } }+c\\ \Rightarrow \tan { y } =\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } +c{ e }^{ -{ x }^{ 2 } }\\ \Rightarrow \tan { y } =\frac { 1 }{ 2 } ({ x }^{ 2 }-1)+c{ e }^{ -{ x }^{ 2 } }
Example-3.\left( { x }^{ 3 }{ y }^{ 3 }+xy \right) dy-dx=0
Solution-\left( { x }^{ 3 }{ y }^{ 3 }+xy \right) dy-dx=0\\ \Rightarrow \left( { x }^{ 3 }{ y }^{ 3 }+xy \right) dy=dx\\ \Rightarrow \frac { dx }{ dy } ={ x }^{ 3 }{ y }^{ 3 }+xy\\ \Rightarrow \frac { dx }{ dy } -xy={ x }^{ 3 }{ y }^{ 3 }\\ \Rightarrow { x }^{ -3 }\frac { dx }{ dy } -{ x }^{ -2 }y={ y }^{ 3 }\\ put\quad { x }^{ -2 }=v\Rightarrow -2{ x }^{ -3 }\left( \frac { dx }{ dy } \right) =\frac { dv }{ dy } \\ \Rightarrow -\frac { 1 }{ 2 } \frac { dv }{ dy } -vy={ y }^{ 3 }\\ \Rightarrow \frac { dv }{ dy } +2vy=-2{ y }^{ 3 }
यह रैखिक अवकल समीकरण है।

I.F.={ e }^{ \int { 2ydy } }\\ ={ e }^{ { y }^{ 2 } }

अतः दिए हुए समीकरण का हल होगा-

v(I.F.)=\int { Q\left( y \right) (I.F.)dy } +c\\ \Rightarrow v{ e }^{ { y }^{ 2 } }=\int { -2{ y }^{ 3 }{ e }^{ { y }^{ 2 } }dy } +c\\ \Rightarrow { x }^{ -2 }{ e }^{ { y }^{ 2 } }=\int { -2{ y }^{ 3 }{ e }^{ { y }^{ 2 } }dy } +c\\ put\quad { y }^{ 2 }=t\Rightarrow 2ydy=dt\\ \Rightarrow { x }^{ -2 }{ e }^{ { y }^{ 2 } }=-\int { t{ e }^{ t }dy } +c\\ \Rightarrow { x }^{ -2 }{ e }^{ { y }^{ 2 } }=-t\int { { e }^{ t }dt } +\frac { d }{ dt } (t)\int { { e }^{ t }dt } +c\\ \Rightarrow { x }^{ -2 }{ e }^{ { y }^{ 2 } }=-t{ e }^{ t }+{ e }^{ t }+c\\ \Rightarrow { x }^{ -2 }{ e }^{ { y }^{ 2 } }=-{ y }^{ 2 }{ e }^{ { y }^{ 2 } }+{ e }^{ { y }^{ 2 } }+c\\ \Rightarrow { x }^{ -2 }=-{ y }^{ 2 }+1+c{ e }^{ -{ y }^{ 2 } }\\ \Rightarrow { x }^{ -2 }=(1-{ y }^{ 2 })+c{ e }^{ -{ y }^{ 2 } }

Example-4.\frac { dy }{ dx } =\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1 }{ 2xy }
Solution-\frac { dy }{ dx } =\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1 }{ 2xy } \\ \Rightarrow y\frac { dy }{ dx } =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2x } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 2x } +\frac { 1 }{ 2x } \\ \Rightarrow y\frac { dy }{ dx } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 2x } =\frac { { x } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2x } \\ put\quad { y }^{ 2 }=v\Rightarrow 2y\frac { dy }{ dx } =\frac { dv }{ dx } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \frac { dv }{ dx } -\frac { v }{ 2x } =\frac { x }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2x } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } -\frac { v }{ x } =x+\frac { 1 }{ x }
यह रैखिक अवकल समीकरण है।

IF={ e }^{ \int { -\frac { 1 }{ x } dx } }\\ ={ e }^{ -\log { x } }\\ =\frac { 1 }{ x }
अतः दिए हुए समीकरण का हल होगा-

v(IF)=\int { Q\left( x \right) } (IF)dx+c\\ { y }^{ 2 }\frac { 1 }{ x } =\int { \left( x+\frac { 1 }{ x } \right) \left( \frac { 1 }{ x } \right) dx } +c\\ \Rightarrow \frac { { y }^{ 2 } }{ x } =\int { \left( 1+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) dx } +c\\ \Rightarrow \frac { { y }^{ 2 } }{ x } =x-\frac { 1 }{ x } +c\\ \Rightarrow { y }^{ 2 }={ x }^{ 2 }-1+cx\\ \Rightarrow { y }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+cx-1
Example-5.\frac { dy }{ dx } +\frac { y }{ x } \log { y } =\frac { y }{ { x }^{ 2 } } \left( \log { y } \right)
Solution-\frac { dy }{ dx } +\frac { y }{ x } \log { y } =\frac { y }{ { x }^{ 2 } } \left( \log { y } \right) \\ put\quad \log { y } =t\Rightarrow y={ e }^{ t }\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } =\frac { dt }{ dx } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =y\frac { dt }{ dx } \Rightarrow \frac { dy }{ dx } ={ e }^{ t }\frac { dt }{ dx } \\ \Rightarrow { e }^{ t }\frac { dt }{ dx } +\frac { { te }^{ t } }{ x } =\frac { { te }^{ t } }{ { x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { dt }{ dx } +\frac { t }{ x } =\frac { { t } }{ { x }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { dt }{ dx } =\frac { { t } }{ { x }^{ 2 } } -\frac { t }{ x }
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { dt }{ t } =\left( \frac { { 1 } }{ { x }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ x } \right) dx\\ \Rightarrow \log { t } =-\frac { 1 }{ x } -\log { x } +c\\ \Rightarrow \log { \left( \log { y } \right) } =-\frac { 1 }{ x } -\log { x } +c

Example-6.xy-\frac { dy }{ dx } ={ y }^{ 3 }{ e }^{ -{ x }^{ 2 } }
Solution-xy-\frac { dy }{ dx } ={ y }^{ 3 }{ e }^{ -{ x }^{ 2 } }\\ \Rightarrow -\frac { dy }{ dx } +xy={ y }^{ 3 }{ e }^{ -{ x }^{ 2 } }\\ \Rightarrow -{ y }^{ -3 }\frac { dy }{ dx } +x{ y }^{ -2 }={ e }^{ -{ x }^{ 2 } }\\ put\quad { y }^{ -2 }=v\Rightarrow -2{ y }^{ -3 }(\frac { dy }{ dx } )=\frac { dv }{ dx } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \frac { dv }{ dx } +vx={ e }^{ -{ x }^{ 2 } }\\ \Rightarrow \frac { dv }{ dx } +2vx=2{ e }^{ -{ x }^{ 2 } }
यह रैखिक अवकल समीकरण है।

IF={ e }^{ \int { 2xdx } }={ e }^{ { x }^{ 2 } }
अतः दिए हुए समीकरण का हल होगा-

v.(IF)=\int { Q\left( x \right) .(IF)dx } +c\\ \Rightarrow { y }^{ -2 }({ e }^{ { x }^{ 2 } })=\int { { 2e }^{ -{ x }^{ 2 } }{ e }^{ { x }^{ 2 } }dx } +c\\ \Rightarrow { y }^{ -2 }({ e }^{ { x }^{ 2 } })=\int { 2dx } +c\\ \Rightarrow { y }^{ -2 }({ e }^{ { x }^{ 2 } })=2x+c\\ \Rightarrow { e }^{ { x }^{ 2 } }=2x{ y }^{ 2 }+c{ y }^{ 2 }\\ \Rightarrow { e }^{ { x }^{ 2 } }={ y }^{ 2 }(2x+c)
उपर्युक्त उदाहरणों के हल द्वारा बरनौली के अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli Differential equation Reducible to Linear form) को समझा जा सकता है।

4.बरनौली के अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन के सवाल (Bernoulli Differential equation Reducible to Linear form questions)-

(1)\qquad x\frac { dy }{ dx } +y\log { y } =xy{ e }^{ { x } }\\ (2)\qquad \frac { dy }{ dx } =2y\tan { x } +{ y }^{ 2 }\tan ^{ 2 }{ x } \\ (3)\qquad 3\frac { dy }{ dx } +\frac { 2y }{ x+1 } =\frac { { x }^{ 3 } }{ { y }^{ 3 } } \\ (4)\qquad \frac { dy }{ dx } ={ e }^{ { x }-y }({ e }^{ { x } }-{ e }^{ { y } })\\ (5)\qquad \frac { dy }{ dx }+\frac { 2 }{ 3 } y=\frac { x }{ \sqrt { y } } \\ (6)\qquad \frac { dy }{ dx } +\frac { 1 }{ x } =\frac { { e }^{ { y } } }{ { x }^{ 2 } } \\ (7)\qquad \frac { dy }{ dx } +x\sin { 2y } ={ x }^{ 2 }\cos ^{ 2 }{ y }

इन सवालों को स्वयं करेंगे तो बरनौली के अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli Differential equation Reducible to Linear form) ठीक से समझ में आ जाएगा।

5.बर्नौली अवकल समीकरण व्यापक हल (Bernoulli differential equation general solution)-

जब n = 0 समीकरण को प्रथम क्रम रैखिक अवकल समीकरण के रूप में हल किया जा सकता है।जब n = 1 समीकरण को चर के पृथक्करण का उपयोग करके हल किया जा सकता है।और इसे एक रेखीय अवकल समीकरण में बदल लिया जाता है(और फिर उस हल कर सकते हैं)।

6.बर्नौली अवकल समीकरण अनुप्रयोग (Bernoulli differential equation application)-

श्रोडिंगर समीकरण महत्वपूर्ण आंशिक अवकल समीकरणों में से एक है और भौतिक, जैविक और इंजीनियरिंग के विभिन्न क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।यह nonlinear प्रकाशिकी, प्लाज्मा भौतिकी, गणितीय जीव विज्ञान, क्वांटम यांत्रिकी, और कई अन्य विषयों के अध्ययन में प्रकट होता है।

7.रैखिक अवकल समीकरण (linear differential equation)-

गणित में, एक रेखीय अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसे अज्ञात फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव में एक रैखिक बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो कि फॉर्म का एक समीकरण है
यह एक साधारण अवकल समीकरण (ODE) है। एक रेखीय अवकल समीकरण भी एक रैखिक आंशिक अवकल समीकरण (PDE) हो सकता है, यदि अज्ञात फ़ंक्शन कई चर पर निर्भर करता है, और समीकरण में दिखाई देने वाले डेरिवेटिव आंशिक डेरिवेटिव हैं।
एक रेखीय अवकल समीकरण या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली जैसे कि संबंधित सजातीय समीकरणों में लगातार गुणांक होते हैं जिन्हें क्वाडरेचर द्वारा हल किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि समाधान समाकल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।यह गैर-स्थिर गुणांकों के साथ क्रम एक के रैखिक समीकरण के लिए भी सही है। गैर-स्थिर गुणांकों के साथ क्रम दो या उच्चतर का समीकरण, सामान्य रूप से, चतुर्भुज द्वारा हल नहीं किया जा सकता है।

8.द्वितीय क्रम बर्नौली अवकल समीकरण (Second order bernoulli differential equation)-

इस रूप में अवकल समीकरणों को बर्नौली समीकरण कहा जाता है।पहले ध्यान दें कि यदि n = 0 या n = 1 है तो समीकरण रैखिक है और हम पहले से ही जानते हैं कि इन मामलों में इसे कैसे हल किया जाए।इसलिए, इस खंड में हम इन दोनों के अलावा n के मूल्यों के लिए समाधान देख रहे हैं अर्थात् n=2 द्वितीय क्रम का बरनौली अवकल समीकरण कहलाता है।

9.बर्नौली अवकल समीकरण इतिहास (Bernoulli differential equation history)-

इसका नाम जैकब बर्नौली के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1695 में इस पर चर्चा की थी।बर्नौली समीकरण विशेष हैं क्योंकि वे ज्ञात सटीक समाधानों के साथ गैर-रेखीय अवकल समीकरण हैं।बर्नौली समीकरण का एक प्रसिद्ध विशेष मामला लॉजिस्टिक डिफरेंशियल समीकरण है।

10.बरनौली के अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Equation reducible to linear form Equation of Bernoulli)-

इस खंड में हम फार्म में अंतर समीकरणों पर एक नज़र डालने जा रहे हैं,
y′+p(x)y=q(x){ y }^{ n }y′+p(x)y=q(x){ y }^{ n }
जहां p (x) p (x) और q (x) q (x) उस अंतराल पर न सतत् फलन हैं जिस पर हम काम कर रहे हैं और { n }^{ n } एक वास्तविक संख्या है। इस रूप में अवकल समीकरणों को बर्नौली समीकरण कहा जाता है।

11. दो चर में रेखीय समीकरण के लिए समानयन समीकरण (Equations reducible to linear equations in two variables)-

रेखीय रूप में फिर से समानयन होने वाले समीकरणों की एक जोड़ी को हल करने के लिए: उन समीकरणों को खोजें जो दोनों समीकरणों में दोहराते हैं। … नए चर के लिए रैखिक समीकरणों की नई जोड़ी को हल करें। नए चर के मानों को वापस लाएँ और प्रारंभिक चर के लिए हल करें।

12.रेखीय रूप में अवकल समीकरणों को भी रूप में जाना जाता है (Differential equations reducible to linear form is also known as)-

अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन।प्रपत्र equation (y) \frac { dy }{ dx } + Pf (y) = Q… (i) के समीकरण। जहां P और Q x के स्थिरांक या फलन हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर के द्वारा बरनौली के अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli Differential equation Reducible to Linear form)‌ को स्पष्ट रूप से समझ सकते हैं।

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