1.बेज प्रमेय (Bayes Theorem),प्रायिकता में बेज प्रमेय (Bayes Theorem in Probability):

Bayes Theorem

बेज प्रमेय (Bayes Theorem) गणितज्ञ जाॅन बेज द्वारा बनाया गया सूत्र है।उन्होंने प्रतिलोम प्रायिकता ज्ञात करने की समस्या का समाधान सप्रतिबन्ध प्रायिकता में उपयोग द्वारा किया है।इसलिए उनके द्वारा बनाए गए सूत्र को उनके नाम से ‘बेज प्रमेय (Bayes Theorem)’ के नाम से जाना जाता है जो उनकी मृत्यु के पश्चात् 1763 ईस्वी में प्रकाशित हुआ था।
बेज प्रमेय (Bayes Theorem Formula) सूत्र: 

P\left(\frac{E_{i}}{A}\right)=\frac{P\left(E_{i}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{i}}\right)}{\sum_{j=1}^{n} P(E_{j}) \cdot P\left(\frac{A}{E_{j}}\right)}
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2.बेज प्रमेय के साधित उदाहरण (Bayes Theorem Examples):

Example:1.यह ज्ञात है कि एक महाविद्यालय के छात्रों में से 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% छात्रावास में नहीं रहते हैं।पूर्ववर्ती वर्ष के परिणाम सूचित करते हैं कि छात्रावास में रहनेवाले छात्रों में से 30% और छात्रावास में न रहनेवाले छात्रों में से 20% ने A-ग्रेड लिया।वर्ष के अन्त में महाविद्यालय के एक छात्र को यादृच्छया चुना गया और यह पाया गया कि उसे A-ग्रेड मिला है।इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह छात्रावास में रहनेवाला है?
Solution:माना छात्रावास में रहनेवाले और छात्रावास में न रहनेवाले छात्रों की घटनाएँ E_{1} तथा E_{2} है।
छात्रावास में रहनेवाले छात्रों की प्रायिकता: 

P\left(E_{1}\right)=60 \%=\frac{60}{100}=0.6
छात्रावास में न रहनेवाले छात्रों की प्रायिकता:

P\left(E_{2}\right)=40 \%=\frac{40}{100}=0.4
छात्रावास में रहनेवाले तथा A-ग्रेड लेने वाले छात्रों की प्रायिकता:

P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=30 \%=\frac{30}{100}=0.3
छात्रावास में न रहनेवाले तथा A-ग्रेड मिलनेवाले छात्रों की प्रायिकता:

P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=20 \%=\frac{20}{100}=0.2
छात्रावास में रहनेवाले तथा A-ग्रेड प्राप्त छात्रों की प्रायिकता:

P\left(\frac{E_{1}}{A}\right) =\frac{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)}{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)+P\left(E_{2}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)} \\ =\frac{0.6 \times 0.3}{0.6 \times 0.3+0.4 \times 0.2} \\ =\frac{0.18}{0.18+0.08} \\=\frac{0.18}{0.26} \\=\frac{18}{26} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_{1}}{A}\right)=\frac{9}{13}
Example:2.एक बीमा कम्पनी ने 2000 स्कूटर चालकों,4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा किया।स्कूटर चालक,कार चालक तथा ट्रक चालक से दुर्घटना होने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.01,0.03 व 0.15 है।बीमित व्यक्तियों में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है।उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है?
Solution:माना E_{1}=स्कूटर चालक का बीमा होना
E_{2}=कार चालक का बीमा होना
E_{3}=ट्रक चालक का बीमा होना
A=व्यक्तियों (चालकों) के दुर्घटनाग्रस्त होने की घटना
बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों,4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है।
कुल चालकों की संख्या=2000+4000+6000=12000
स्कूटर चालकों के बीमा होने की प्रायिकता:

P\left(E_{1}\right)=\frac{2000}{12000}=\frac{1}{6}
कार चालकों के बीमा होने की प्रायिकता:

P\left(E_{2}\right)=\frac{4000}{12000}=\frac{1}{3}
ट्रक चालकों के बीमा होने की प्रायिकता

P\left(E_{3}\right)=\frac{6000}{12000}=\frac{1}{2}

स्कूटर चालकों के दुर्घटना होने की प्रायिकता:

P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=0.01

कार चालकों के दुर्घटना होने की प्रायिकता:

P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=0.03

ट्रक चालकों के दुर्घटना होने की प्रायिकता

P\left(\frac{A}{E_{3}}\right)=0.15

बीमित व्यक्तियों में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है।उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता

P\left(\frac{E_{1}}{A}\right)=\frac{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)}{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A_{1}}{E_{1}}\right)+P\left(E_{2}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)+P\left(E_{3}\right) P\left(\frac{A}{E_{3}}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{6} \times 0.01}{\frac{1}{6} \times 0.01+\frac{1}{3} \times 0.03+\frac{1}{2} \times 0.15} \\ =\frac{\frac{0.01}{6}}{\frac{0.01+0.06+0.45}{6}} \\=\frac{0.01}{0.52} \\ =\frac{1}{52}
Example:3.एक बहुविकल्पी प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है।माना कि विद्यार्थी के प्रश्न के उत्तर ज्ञात होने की प्रायिकता तथा अनुमान लगाने की प्रायिकता है।यह मानते हुए कि विद्यार्थी के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता \frac{1}{4} है,इस बात की क्या प्रायिकता है कि विद्यार्थी प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है?
Solution:माना घटनाएँ: E_{1}= विद्यार्थी उत्तर जानता है।
E_{2}=विद्यार्थी अनुमान लगाता है।
माना उत्तर सही देने की घटना A है।

P\left(E_{1}\right)=\frac{3}{4}, P\left(E_{2}\right)=\frac{1}{4} \\ P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=1, P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=\frac{1}{4}
बेज प्रमेय (Bays Theorem) से:
अभीष्ट प्रायिकता: 

P\left(\frac{E_{1}}{A}\right)=\frac{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)}{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)+P\left(E_{2}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)} \\ =\frac{\frac{3}{4} \times 1}{\frac{3}{4}\times 1+\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}} \\ =\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}+\frac{1}{16}} \\ =\frac{\frac{3}{4}}{\frac{12+1}{16}}=\frac{3}{4} \times \frac{16}{13} \\ =\frac{12}{13}
Example:4.कल्पना कीजिए कि 5% पुरुषों और 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं।एक सफेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छया चुना गया है।इस व्यक्ति के पुरुष होने की क्या प्रायिकता है?यह मानते हुए कि पुरुषों तथा महिलाओं की संख्या समान है।
Solution:माना E_{1}:पुरुष होने की घटना
E_{2}=महिला होने की घटना
A:बाल सफेद होने की घटना

P(E_{1})=P\left(E_{2}\right)=\frac{1}{2} \\ P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=\frac{5}{100}=0.05 \\ P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=\frac{0.25}{100}=0.0025
चुना गया व्यक्ति सफेद बालों वाला है,इसके पुरुष होने की प्रायिकता:
बेज प्रमेय (Bays Theorem) से:

P\left(\frac{E_{1}}{A}\right)=\frac{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)}{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)+P\left(E_{2}\right) P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{2} \times 0.05}{\frac{1}{2} \times 0.05+\frac{1}{2} \times 0.0025} \\ =\frac{ \frac{0.05}{2}}{\frac{1}{2}(0.05+0.0025)} \\ =\frac{0.05}{0.0525} \\ =\frac{500}{525} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_{1}}{A}\right) =\frac{20}{21}

Bayes Theorem

Example:5.दो दल एक निगम के निदेशक मण्डल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में है।पहले तथा दूसरे दल के जीतने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.6 व 0.4 है।इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक नए उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता 0.7 और यदि दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता 0.3 है।प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नया उत्पाद दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ किया गया था।
Solution:माना घटनाएँ
E_{1}=पहले दल की जीत
E_{2}=दूसरे दल की जीत
A:नया उत्पाद शुरू करने की घटना
\frac{A}{E_{1}}=पहला दल नया उत्पाद शुरू करेगा
\frac{A}{E_{2}}=दूसरा दल नया उत्पाद शुरू करेगा
पहले दल के जीतने की प्रायिकता:

P\left(E_{1}\right)=0.6
दूसरे दल के जीतने की प्रायिकता:

P\left(E_{2}\right)=0.4
पहला दल जीतता है तो नए उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता:

P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=0.7
दूसरा दल जीतता है तो नए उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता:

P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=0.3
नया उत्पाद दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ करने की प्रायिकता:

P\left(\frac{E_{2}}{A}\right)=\frac{P\left(E_{2}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)}{P\left(E_{2}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)+P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)} \\ =\frac{0.4 \times 0.3}{0.4 \times 0.3+0.6 \times 0.7} \\ =\frac{0.12}{0.12+0.42} \\=\frac{0.12}{0.54} \\=\frac{12}{54} \\ P\left(\frac{E_{2}}{A}\right)=\frac{2}{9}
Example:6.माना कोई लड़की एक पासा उछालती है।यदि उसे 5 या 6 का अंक प्राप्त होता है तो वह सिक्के को तीन बार उछालती है और चित्तो की संख्या नोट करती है यदि उसे 1,2,3 या 4 का अंक प्राप्त होता है तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती है कि उस पर चित्त या पट प्रकट हुआ है।यदि उसे तथ्यतः एक चित्त प्राप्त होता हो तो उसके द्वारा उछाले गए पासे पर 1,2,3 या 4 प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है?
Solution:माना घटनाएँ
E_{1}=पासे को उछालने पर 5 या 6 का प्राप्त होना
E_{2}=पासे को उछालने पर 1,2,3,4 का प्राप्त होना

A= सिक्का उछालने पर चित्त प्राप्त होना
पासे पर 5 या 6 अंक प्राप्त होने की प्रायिकता

P\left(E_{1}\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
पासे पर 1,2,3,4 अंक प्राप्त होने की प्रायिकता:

P\left(E_{2}\right)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
जब पासे पर 5 या 6 अंक प्राप्त करती है तो सिक्का तीन बार उछालती है।
अतः कुल तरीके={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
तथ्यतः एक चित्त प्राप्त होने के तरीके={HTT,THT,TTH}
अतः एक चित्त प्राप्त होने की प्रायिकता=\frac{3}{8} \\ P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=\frac{3}{8}
जब पासे पर 1,2,3,4 अंक प्राप्त करती है तब सिक्के को एक बार उछालती है।
अतः एक चित्त प्राप्त होने की प्रायिकता=\frac{1}{2}\\ P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=\frac{1}{2}
बेज प्रमेय (Bays Theorem) से:
अभीष्ट प्रायिकता:

P\left(\frac{E_{2}}{A}\right)=\frac{P\left(E_{2}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)}{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)+P\left(E_{2}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)} \\ =\frac{\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{8}+\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}} \\ =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}+\frac{1}{3}} \\ =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3+8}{24}} \\ =\frac{1}{3} \times \frac{24}{11} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_{2}}{A}\right) =\frac{8}{11}
Example:7.52 पत्तों की एक भलीभाँति फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता खो जाता है।शेष पत्तों में दो पत्ते निकाले जाते हैं जो ईंट के पत्ते हैं।खो गए पत्ते के ईंट का पत्ता होने की क्या प्रायिकता है?
Solution:माना E_{1}=खो गया पत्ता ईंट का होने की घटना
E_{2}=खो गया पत्ता ईंट का न होने की घटना
A=ताश की गड्डी में दो पत्ते निकालने की घटना

P\left(E_{1}\right)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4} \\ P\left(E_{2}\right)=\frac{39}{52}=\frac{3}{4}
जब ईंट का पत्ता खो गया है तो शेष 51 पत्तों से दो ईंट के पत्ते निकालने की प्रायिकता:

P\left(\frac{A}{E_{1}}\right) =\frac{^{12} C_{2}}{^{51} C_{2}} \\ =\frac{12 \times 11}{51 \times 50} \\ \Rightarrow P\left(\frac{A}{E_{1}}\right) =\frac{22}{425}
जब खो गया पत्ता ईंट का नहीं है तो शेष 51 पत्तों से दो ईंट के पत्ते निकालने की प्रायिकता:

P\left(\frac{A}{E_{2}}\right) =\frac{^{13}C_{2}}{^{51}C_{2}}=\frac{13 \times 12}{51 \times 50} \\ =\frac{26}{425}
खो गए पत्ते के ईंट के होने की प्रायिकता:
बेज प्रमेय (Bays Theorem) से:

P\left(\frac{E_{1}}{A}\right)=\frac{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)}{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)+P\left(E_{2}\right) P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{4} \times \frac{22}{425}}{\frac{1}{4} \times \frac{22}{425}+\frac{3}{4} \times \frac{26}{425}} \\ =\frac{\frac{22}{1700}}{\frac{22}{1700}+\frac{78}{1700}} \\ =\frac{22}{1700} \times \frac{1700}{100} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_{1}}{A}\right)=\frac{11}{50}
Example:8.एक थैले में 3 लाल और 7 काली गेंदें हैं।एक-एक करके बिना प्रतिस्थापन के दो गेंदों का यादृच्छया चयन किया गया है।यदि द्वितीय चयनित गेंद लाल प्राप्त होती हो तो क्या प्रायिकता है कि प्रथम चयनित गेंद भी लाल है?
Solution:माना E_{1}=प्रथम गेंद का लाल गेंद निकालने की घटना
E_{2}=प्रथम गेंद के काली निकालने की घटना
A=द्वितीय गेंद का लाल प्राप्त होने की घटना

P\left(E_{1}\right)=\frac{3}{10}, P\left(E_{2}\right)=\frac{7}{10} \\ P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=\frac{2}{9} \\ P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}
बेज प्रमेय (Bays Theorem) से:

P\left(\frac{E_{1}}{A}\right)=\frac{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)}{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)+P\left(E_{2}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)} \\ =\frac{\frac{3}{10} \times \frac{2}{9}}{\frac{3}{10} \times \frac{2}{9}+\frac{7}{10} \times \frac{1}{3}} \\ =\frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{15}+\frac{7}{30}} \\ =\frac{\frac{1}{15}}{\frac{2+7}{30}}=\frac{1}{15} \times \frac{30}{9} \\ P\left(\frac{E_{1}}{A}\right)=\frac{2}{9}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बेज प्रमेय (Bayes Theorem) को समझ सकते हैं।

3.बेज प्रमेय के सवाल (Bayes Theorem Questions):

Bayes Theorem

(1.)एक व्यक्ति के बारे में ज्ञात है कि वह 4 में से 3 बार सत्य बोलता है।वह एक पासे को उछालता है और बतलाता है कि उस पर आने वाली संख्या 6 है।इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर आनेवाली संख्या वास्तव में 6 है।
(2.)माना कि एक एच.आई.वी. परीक्षण की विश्वसनीयता निम्नलिखित प्रकार से निर्दिष्ट की गई है।एच.आई.वी. के परीक्षण 99% सही पता लगाता है यानि एच.आई.वी. नेगेटिव बताता है जबकि 1% परीक्षित व्यक्तियों के लिए एच.आई.वी. पोजिटिव बताता है।एक बड़ी जनसंख्या जिसमें 0.1% व्यक्ति एच.आई.वी. ग्रसित है,में से एक व्यक्ति यादृच्छया चुना जाता है और उसका परीक्षण किए जाने पर रोग विज्ञानी एच.आई.वी. की उपस्थिति बताता है क्या प्रायिकता है कि वह व्यक्ति वास्तव में एच.आई.वी. ग्रस्त है?
उत्तर (Answers):(1.) \frac{3}{8}
(2.) \frac{90}{1089}=0.083 लगभग
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बेज प्रमेय (Bayes Theorem) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.बेज प्रमेय (Bayes Theorem) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Bayes Theorem,Bayes Theorem in Probability,Bayes Theorem Formula,Bayes Theorem Examples
सुविचार
अपनों से कभी गुस्से में मत बोलो और अपने कभी गुस्से में बोले तो उसे कभी दिल पर मत लो।अपने कभी नहीं छूटेगें।

 

बेज प्रमेय (Bayes Theorem) गणितज्ञ जाॅन बेज द्वारा बनाया गया सूत्र है।उन्होंने प्रतिलोम प्रायिकता ज्ञात
करने की समस्या का समाधान सप्रतिबन्ध प्रायिकता में उपयोग द्वारा किया है।इसलिए उनके द्वारा बनाए गए
सूत्र को उनके नाम से ‘बेज प्रमेय (Bayes Theorem)’ के नाम से जाना जाता है