1.निश्चित समाकलों के मूल गुणधर्म का परिचय (Introduction to Basic Properties of Definite Integrals),निश्चित समाकलों के गुणधर्म (Properties of Definite Integrals):

Basic Properties of Definite Integrals

निश्चित समाकलों के मूल गुणधर्म (Basic Properties of Definite Integrals):समाकलन की प्रक्रिया को अवकलन की प्रतिलोम प्रक्रिया के रूप में समझा जाता है।वास्तव में समाकलन गणित की खोज तल क्षेत्रों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए अनन्त श्रेणी का योग ज्ञात करने में हुई थी।निश्चित समाकलन निम्न प्रकार से ज्ञात किया जा सकता है:
(1.)योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकल
(2.)निश्चित समाकल और उसका मान विभिन्न विधियों से ज्ञात करना
(3.)निश्चित समाकल का मान विभिन्न गुणधर्मों की सहायता से ज्ञात करना।
इस आर्टिकल में निश्चित समाकल का मान विभिन्न गुणधर्मों की सहायता से ज्ञात करेंगे।

2.निश्चित समाकलों के मूल गुणधर्म (Basic Properties of Definite Integrals):

\text { (1.) } \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(t) d t \\ (2.) \int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x \\ \text { (3.) } \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b}f(x) d x \text { जहाँ } a<c<b
व्यापकीकरण: a<c_{1}<c_{2}<c_{3}< \cdots<c_{n}<b तो

\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c_{1}} f^{2}(x) d x+\int_{c_{1}}^{c_{2}} f(x) d x+\int_{c_{2}}^{c_{3}} f(x) d x+\cdots +\int_{c_{n}}^{b} f(x) d x \\ \text { (4.) } \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x
अतः \int_{0}^{a} f(x) d x=\int_{0}^{a} f(a-x) d x \\  \text { (5.) } \int_{0}^{n a} f(x) d x=n \int_{0}^{a} f(x) d x यदि f(a+x)=f(x) [अर्थात् f(x),a आवर्तनांक का आवर्ती फलन है]
\text { (6) } \int_{-a}^{a} f(x) d x=\left\{\begin{array}{l} 2 \int_{0}^{a} f(x) d x \text { यदि } f(-x)=f(x) \\ 0 \quad \quad  \quad \quad \text { यदि } f(-x)=-f(x) \end{array}\right.
f(-x)=f(x) की स्थिति में f(x) समफलन होता है तथा f(-x)=-f(x) की स्थिति में f(x) विषम फलन होता है।
\text { (7.) } \int_{0}^{2a} f(x) d x=\left\{\begin{array}{ll} 2 \int_{0}^{a} f(x) d x, \text { यदि } f(2 a-x)=f(x) \\ 0 \quad \quad  \quad \quad \text { यदि } f(2a-x)=-f(x) \end{array}\right.
(8) x निष्कासन का नियम:अगर f(a+b-x)=f(x) हो तो

\int_{a}^{b} x f(x) d x=\frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) d x
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3.निश्चित समाकलों के मूल गुणधर्म के उदाहरण (Basic Properties of Definite Integrals Examples):

निम्नलिखित समाकलों के मान ज्ञात कीजिए:
Example:1.\int_{-2}^{2}\left|1-x^{2}\right| d x
Solution:\int_{-2}^{2}\left|1-x^{2}\right| d x \\ \because 1-x^{2}=-\left(1-x^{2}\right) ; x<-1 \\ 1-x^{2}=1-x^{2} ;-1<x<1 \\ 1-x^{2}=-\left(1-x^{2}\right) ; 1<x<2 \\ \int_{-2}^{2} \left|1-x^{2}\right| d x=-\int_{-2}^{-1}\left(1-x^{2}\right) d x+\int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right) d x-\int_{1}^{2}\left(1-x^{2}\right) d x \\ =\left[-x+\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{-1} +\left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{1}+\left[-x+\frac{x^{3}}{3}\right]^{2}_{1} \\ =1-\frac{1}{3}-2+\frac{8}{3}+1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}-2+\frac{8}{3}+1-\frac{1}{3} \\ =\frac{-1+8-1-1+8-1}{3}\\ =4
Example:2.\int_{1}^{4} f(x) d x
जहाँ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 7x+3 & ; 1 \leq x \leq 3 \\ 8 x & ; 3 \leq x \leq 4 \end{array}\right.
Solution:\int_{1}^{4} f(x) d x \\ =\int_{1}^{3}(7 x+3) d x+\int_{3}^{4} 8 x d x \\ =\left[\frac{7 x^{2}}{2}+3 x\right]_{1}^{3}+\left[4 x^{2}\right]_{3}^{4} \\ =\frac{63}{2}+9-\frac{7}{2}-3+64-36 \\ =28+34 \\ = 62
Example:3.\int_{0}^{3}[x] d x
जहाँ [.] महत्तम पूर्णांक फलन है।
Solution:\int_{0}^{3}[x] d x \\ =\int_{0}^{1} 0 d x+\int_{1}^{2} 1 \cdot d x+\int_{2}^{3} 2 d x \\ =0+[x]_{1}^{2}+2[1]_{2}^{3} \\ =2-1+6-4 \\ =3
Example:4.\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x^{5} \cos ^{2} x d x
Solution:\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x^{5} \cos ^{2} x d x \\ f(x)=x^{5} \cos ^{2} x \\ \Rightarrow f(-x)=(-x)^{5} \cos ^{2}(-x) \\ =-x^{5} \cos ^{2} x \\ \Rightarrow f(-x)=-f(x)
अतः विषम फलन है फलतः \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x^{5} \cos ^{2} x d x=0
Example:5.\int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x}}{e^{\cos x}+e^{-\cos x}} d x
Solution:\int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x}}{e^{\cos x}+e^{-\cos x}} d x \\ I=\int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x}}{e^{\cos x}+e^{-\cos x}} d x \cdots(1) \\ I=\int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos (\pi-x)}}{\left.e^{\cos (\pi-x)}+e^{-\cos (\pi-x}\right)} d x [गुणधर्म IV से]

I=\int_{0}^{\pi} \frac{e^{-\cos x}}{e^{-\cos x}+e^{\cos x} }dx \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

\Rightarrow 2I=\int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x}}{e^{-\cos x}+e^{\cos x}} d x+\int_{0}^{\pi} \frac{e^{-\cos x} d x}{e^{-\cos x}+e^{\cos x}} \\ =\int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x}+e^{-\cos x}}{e^{\cos x}+e^{-\cos x}} d x \\ =\int_{0}^{\pi} d x \\ 2 I=[x]_{0}^{\pi} \\ 2 I=\pi \Rightarrow I=\frac{\pi}{2}
Example:6.\int_{-1}^{1} \log \left[\frac{2 -x}{2+x}\right] d x 
Solution: \int_{-1}^{1} \log \left[\frac{2-x}{2+x}\right] d x \\ f(x)=\log \left[\frac{2-x}{2+x}\right] \\ \Rightarrow f(-x)= \log \left[ \frac{2+x}{2-x}\right] \\ =-\log \left[\frac{2-x}{2+x}\right] \\ \Rightarrow f(-x)=-f(x)
अतः f(x),विषम फलन है अतः

\int_{-1}^{1} \log \left[\frac{2-x}{2+x}\right] d x=0

Basic Properties of Definite Integrals

Example:7.\int_{0}^{1} \log \left(\frac{1}{x}-1\right) d x 
Solution: \int_{0}^{1} \log \left(\frac{1}{x}-1\right) d x \\ I=\int_{0}^{1} \log \left(\frac{1-x}{x}\right) d x \cdots(1)\\ I=\int_{0}^{1} \log \left(\frac{x}{1-x}\right) \cdots(2) \\ \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x [गुणधर्म से]
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2I=\int_{0}^{1} \log \left(\frac{1-x}{x}\right) d x+\int_{0}^{1} \log \left(\frac{x}{1-x}\right) d x \\ =\int_{0}^{1} \left [ \log \left(\frac{1-x}{x}\right)+\log \left(\frac{x}{1-x}\right) \right ] d x \\ =\int_{0}^{1}  \log \left[\frac{(1-x) x}{x(1-x)}\right] d x \\ =\int_{0}^{1} \log 1 d x \\ 2 I=\int_{0}^{1} 0 d x \\ 2 I=0 \\ I=0
Example:8.\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}} 
Solution:\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1 + \sqrt{\tan x}} \\ \Rightarrow I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1+\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}}} \\ \Rightarrow I =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} dx \cdots(1) \\ =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}{\sqrt{\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)} +\sqrt{\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}dx \\ \left[ \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x\right] [गुणधर्म से]

I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x} +\sqrt{\sin x}}d x \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2 I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}} d x \\ \Rightarrow 2I= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 \cdot d x \\ \Rightarrow 2 I=[x]^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}} \\ \Rightarrow 2 I= \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow 2 I=\frac{2 \pi-\pi}{6} \\ \Rightarrow 2 I=\frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{12}
Example:9. \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x
Solution:\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x \\ I=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{2 \sin x}{\sin x+\cos x} d x \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x+\cos x+\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x} d x+\frac{1}{2} \int^{\frac{\pi}{3}}_{0} \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 1 \cdot d x-\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} d x \\ =\frac{1}{2}[x]_{0}^{\frac{\pi}{3}}-\frac{1}{2}\left[\log \mid \sin x+\cos x \mid\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \\ =\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2} \log \mid \sin \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{3} \mid \\ =\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2} \log \left | \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \right | \\ I=\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2} \log \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)
Example:10.\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin 2 x) d x
Solution: \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin 2 x) d x \\ \text { Put } 2 x=t \Rightarrow 2 d x=d t
तब सीमाएँ जब x=0 तो t=0
जब x=\frac{\pi}{2} तो t=\pi \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \log x d x \\ I=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \log (\sin t) d t \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \log (\sin x) d x
[गुणधर्म I से]

=\frac{1}{2} \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin x) d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin (x) d x \cdots(1) \\ I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x d x \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:

2 I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin x) d x+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x d x \\ 2 I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin x \cos x) d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{\sin 2 x}{2}\right) d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin 2 x) d x-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log 2 d x \\ 2 I=I-\log 2[x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ I=-\frac{\pi}{2} \log 2 \\ I=\frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1}{2}\right)
Example:11. \int_{0}^{\pi} \log (1-\cos x) d x
Solution: \int_{0}^{\pi} \log (1-\cos x) d x \\ I=\int_{0}^{\pi} \log (1-\cos x) d x \cdots(1) \\ I=\int_{0}^{\pi} \log \left \{ 1-\cos (\pi-x) \right \} d x \\ I=\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर:

2 I=\int_{0}^{\pi}[\log(1-\cos x)+\log (1+\cos x)] d x \\ \Rightarrow 2 I=\int_{0}^{\pi} \log \left(1-\cos ^{2} x\right) d x \\ \Rightarrow 2 I=\int_{0}^{\pi} \log \sin ^{2} x d x \\ 2 I=\int_{0}^{\pi} 2 \log \sin x d x \\ I=\int_{0}^{\pi} \log \sin x d x \\ I=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin x) d x \cdots(3) \\ I=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x \\ I=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x d x \cdots(4)
समीकरण (3) व (4) को जोड़ने पर:

2 I=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin x) d x+2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\cos x) dx\\ =2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[\log (\sin x)+\log (\cos x) \right] d x\\ \Rightarrow I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin x \cos x) d x\\ =\int_{0}^ {\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2 \sin x \cos x}{2}\right) d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \frac{\sin 2 x}{2} d x \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin 2 x -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log 2 dx \\ I=I_{1}-\log 2[x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ I=I_{1}-\frac{\pi}{2} \log 2 \cdots(5) \\ I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin 2 x d x
माना 2x=t  \Rightarrow  2 dx=dt
सीमाएँ:जब x=0 तो t=0 
जब x=\frac{\pi}{2} तो t=\pi \\ I_{1}=\frac{1}{2} \int^{\pi}_{0} \log \sin t d t \\ I_{1}=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \log(\sin x) d x \\ I_{1}=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \log (\sin x) d x=\frac{I}{2}
समीकरण (5) में मान रखने पर:

I=\left(\frac{1}{2} I\right)-\frac{\pi}{2} \log 2 \\ \Rightarrow I-\frac{1}{2} I=-\frac{\pi}{2} \log 2 \\ \Rightarrow \frac{1}{2} I=-\frac{\pi}{2} \log 2 \\ \Rightarrow I=-\pi \log 2 \\ \Rightarrow I=\pi \log \left(\frac{1}{2}\right)

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा निश्चित समाकलों के मूल गुणधर्म (Basic Properties of Definite Integrals) को समझ सकते हैं।

4.निश्चित समाकलों के मूल गुणधर्म की समस्याएं (Basic Properties of Definite Integrals Problems):

\text { (1.) } \int_{1}^{4} f(x) d x \text { जहाँ } f(x)= \begin{cases} 4 x+3,1 \leq x \leq 2 \\ 3 x+5,2 \leq x \leq 4 \end{cases} \\ \text { (2.) } \int_{0}^{2}\left|x^{2}-3 x+2\right| d x \\ \text { (3.) } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x}{\sin x+\cos x} d x \\ \text { (4) } \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log _{e}(1+\tan x) d x \\ \text { (5.) } \int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x

उत्तर (Answers):\text { (1.)} 37 \\ \text { (2.)} 1 \\ \text { (3.) } \frac{1}{\sqrt{2}} \log (\sqrt{2}+1) \\ \text { (4.)}\frac{\pi}{8} \log _{e} 2 \\ \text { (5.) } \pi \log _{e}(\frac{1}{2})
उपर्युक्त सवालों को हल करके निश्चित समाकलों के मूल गुणधर्म (Basic Properties of Definite Integrals) को ठीक से समझ सकते हैं।

5.मुख्य बिन्दु (HIGHLIGHTS):

Basic Properties of Definite Integrals

(1.)जब f(2a-x)=f(x) हो तो f(x) को समफलन नहीं मानना चाहिए तथा इसे समफलन की परिभाषा से जोड़कर नहीं देखना चाहिए।f(x) समफलन तब कहलाता है जब f(-x)=f(x)हो।
(2.)सामान्यतया जब निम्न सीमा शून्य होती है तब हम गुणधर्म (IV) का प्रयोग करते हैं अर्थात् हम x को f(a+b-x) (निम्न सीमा+उच्च सीमा-x) से प्रतिस्थापित करते हैं.परंतु कभी-कभी ऐसा करते समय समाकल्य अर्थात् f(x) का रूप परिवर्तित नहीं होता है अर्थात गुणधर्म IV का उपयोग व्यर्थ (Failure of Property-IV) हो जाता है तब हम गुणधर्म VII का प्रयोग करते हैं।
(3.)प्रतिस्थापन से समाकलन करते समय समाकलन निश्चित हो तो निम्न बातों को ध्यान में रखना चाहिए:
(i)माने हुए प्रतिस्थापन द्वारा स्वतंत्र चर को नए चर में परिवर्तित किया जाता है।
(ii)दी हुई सीमाओं को नई प्रतिस्थापित चर राशि के अनुसार बदला जाता है।
(iii)पुराने चर के अवकलन चिन्ह को नए चर के अवकलन चिन्ह में भी उसी प्रतिस्थापन द्वारा बदला जाता है।
(iv)इस विधि से समाकल मानक रूप में परिवर्तित हो जाता है और उसका मान सरलता से निकल जाता है।
(v)कभी-कभी नए प्रतिस्थापन चर राशि के लिए सीमाएं निकालना कठिन हो जाता है तो ऐसी अवस्था में समाकलन करने के पश्चात परिणाम को दिए हुए चर में परिवर्तित करके उसी की दी हुई सीमाओं से समाकलन का मान निकाल लेते हैं।

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6.निश्चित समाकलों के मूल गुणधर्म (Basic Properties of Definite Integrals) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

निश्चित समाकलों के मूल गुणधर्म (Basic Properties of Definite Integrals):समाकलन की प्रक्रिया को
अवकलन की प्रतिलोम प्रक्रिया के रूप में समझा जाता है।वास्तव में समाकलन गणित की खोज