1.अंकगणित में औसत (Average in Arithmetic),औसत (Average):

Average in Arithmetic

अंकगणित में औसत (Average in Arithmetic) के इस आर्टिकल में आंकिक संख्याओं का औसत ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे और उन्हें समझेंगे।
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2.अंकगणित में औसत के साधित उदाहरण (Average in Arithmetic Solved Examples):

Example:1.प्रथम दस सम संख्याओं का औसत क्या होगा?
(a) 10 (b) 12.5 (c)9 (d) 11
Solution:क्रमागत n सम प्राकृत संख्याओं का औसत
=n+1=10+1=11
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:2.आठ क्रमिक संख्याओं का औसत 6.5 है।उनमें से सबसे छोटी तथा सबसे बड़ी संख्याओं का औसत होगा:
(a) 4 (b) 6.5 (c) 7.5 (d) 9
Solution:आठ क्रमिक संख्याओं का औसत
\frac{x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+\cdots+(x+7)}{8}=6.5 \\ \Rightarrow \frac{8 x+28}{8}=6 \cdot 5 \\ \Rightarrow 8 x=6.5 \times 8-28 \\ \Rightarrow 8 x=52-28 \\ \Rightarrow x=\frac{24}{8}=3
सबसे छोटी संख्या x=3
सबसे बड़ी संख्या x+7=3+7=10
औसत=\frac{3+10}{2}=6.5
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:3.100 तक सभी विषम संख्याओं का औसत क्या है?
(a) 30 (b) 50 (c) 20 (d) 10
Solution:100 तक की सभी विषम संख्याओं का औसत=\frac{n+1}{2}=\frac{99+1}{2}=50
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:4.तीन क्रमिक संख्याओं का औसत,उनमें पहली संख्या की एक-तिहाई से 12 अधिक है तदनुसार उन तीनों में अन्तिम संख्या कौनसी है?
(a)15 (b) 17 (c)19 (d)आँकड़े अपर्याप्त हैं
Solution:तीन क्रमिक विषम संख्याएँ=x,x+2,x+4
\frac{1}{3} x+12=\frac{x+x+2+x+4}{3} \\ \Rightarrow \frac{x+36}{3}=\frac{3 x+6}{3} \\ \Rightarrow 3 x-x=36-6 \\ \Rightarrow 2 x=30 \Rightarrow x=\frac{30}{2}=15
अन्तिम संख्या=x+4=4+15=19
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:5.30 परिणामों का औसत 20 है तथा अन्य 20 परिणामों का औसत 20 है।सभी परिणामों का औसत क्या है?
(a) 24 (b) 48 (c) 25 (d) 50
Solution:सभी परिणामों का औसत
=\frac{30 \times 20+20 \times 20}{40} \\ =\frac{600+400}{400}=\frac{1000}{40} \\ =25
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:6. 1^2, 2^2, 3^2, 4^2,5^2, 6^2, 7^2 का माध्य है
(a) 40 (b) 20 (c) 30 (d) 10
Solution:प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों के योग का औसत=\frac{(n+1)(2 n+1)}{6} \\ =\frac{(7+1)(2 \times 7+1)}{6} \\ =\frac{8 \times 15}{6}=20
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:7.चार संख्याओं में से पहली तीन संख्याओं का औसत चौथी संख्या का तीन गुना है।यदि चारों संख्याओं का औसत 5 हो,तो चौथी संख्या होगी
(a) 4.5 (b) 5 (c) 2 (d) 4
Solution:चारों संख्याओं का योग=5×4=20
माना चौथी संख्या x है
प्रश्नानुसार \frac{20-x}{3}=3 x \\ \Rightarrow 20-x=9 x \\ \Rightarrow 10 x=20 \\ \Rightarrow x=\frac{20}{10} \\ \Rightarrow x=2
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:8.प्रथम 50 प्राकृतिक संख्याओं का औसत है
(a)25.30 (b) 25.50 (c) 25 (d) 12.25
Solution:प्रथम 50 प्राकृतिक संख्याओं का औसत=\frac{n+1}{2} \\ =\frac{50+1}{2}=25.50
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:9.7 छात्रों के अकों का औसत 14 है।6 छात्रों के अंक 18,12,15,13,11,17 है,तो सातवें छात्र के अंक हैं:
(a) 11 (b) 12 (c) 14 (d) 13
Solution:माना सातवें छात्र के अंक=x
x+18+12+15+3+117=14 \times 7 \\ \Rightarrow x+86=98 \\ \Rightarrow x=98-86 \\ \Rightarrow x=12
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:10.6 संख्याओं का औसत 8 है।उसमें कौन-सी सातवीं संख्या जोड़ी जाए कि उनका औसत 10 हो जाए।
(a) 22 (b) 26 (c) 18 (d) 24
Solution:माना सातवीं संख्या=x
x+6 \times 8=10 \times 7 \\ \Rightarrow x=70-48 \\ \Rightarrow x=22
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:11.50 प्रेक्षणों का माध्य 36 था।बाद में पता चला कि एक प्रेक्षण 48 को गलती से 23 ले लिया गया है,संशोधित (नया) माध्य है
(a) 35.2 (b) 36.1 (c) 36.5 (d) 39.1
Solution: \frac{50 \times 36-23+48}{50} \\ =\frac{1800-23+48}{50}=36.5
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:12.12 पार्सलों का औसत भार 1.8 किग्रा है।एक नये पार्सल को सम्मिलित करने से औसत भार में 50 ग्राम की कमी हो जाती है।नये पार्सल का भार कितना है?
(a) 1.50 किग्रा (b)1.10 किग्रा (c) 1.15 किग्रा (d) 1.01 किग्रा
Solution:माना नये पार्सल का भार=x
\frac{12 \times 1.8+x}{13}=1.75 \\ \Rightarrow \frac{21.6+x}{13}=1.75 \\ x=22.75-21.6 \\ \Rightarrow x=1.15 किग्रा
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:13.किसी कक्षा के 15 विद्यार्थियों की औसत आयु 15 वर्ष है।इनमें से 5 विद्यार्थियों की औसत आयु 14 वर्ष है तथा अन्य 9 विद्यार्थियों की औसत आयु 16 वर्ष है।15वें विद्यार्थी की आयु है
(a) 11 वर्ष (b) 15 वर्ष (c) 15 \frac{2}{7} वर्ष (d) 14 वर्ष
Solution:माना 15वें विद्यार्थी की आयु=x
\frac{5 \times 14+9 \times 16+x}{15}=15 \\ \Rightarrow 70+144+x=225 \\ \Rightarrow x=225-214 \\ \Rightarrow x=11
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:14.पाँच संख्याओं का औसत 25 है।यदि चार संख्याएँ 30,29,25 तथा 20 हैं,तो तीन बड़ी संख्याओं का औसत है
(a) 26 (b) 27 (c) 28 (d) 29
Solution:माना पाँचवी संख्या=x
\frac{x+30+29+25+20}{5}=25 \\ \Rightarrow x+104=125 \\ \Rightarrow x=125-104 \\ \Rightarrow x=21
तीन बड़ी संख्याओं का औसत=\frac{30+29+25}{3} \\ =\frac{84}{3}=28
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:15.50 प्रेक्षणों का औसत 36 था।बाद में पता चला कि उनमें एक प्रेक्षण को 48 की बजाय 84 और एक अन्य को 32 की बजाय 23 लिख दिया गया था।तदनुसार सही औसत है
(a)35.46 (b)35.64 (c) 36.44 (d) 36.54
Solution:
\frac{50 \times 36+48-84+32-23}{50} \\ =\frac{1800+88-84+32-23}{50} \\ =35.46
अतः विकल्प (a) सही है।

Average in Arithmetic

Example:16.किसी कक्षा के 15 छात्रों का औसत वजन 1.5 किग्रा बढ़ जाता है जब 40 किग्रा वजन के एक छात्र की जगह नया छात्र आ जाता है।नये छात्र का वजन (किग्रा में) कितना है?
(a) 64.5 (b)5.6 (c)60.5 (d) 62.5
Solution:माना नये छात्र का वजन=x
x=1.5 \times 15+40 \\ \Rightarrow x=22.5+40=62.5
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:17.11 प्रेक्षणों का औसत 60 है।प्रथम पाँच का औसत 58 तथा अन्तिम पाँच का 56 है।छठवा प्रेक्षण है
(a) 90 (b) 110 (c) 85 (d) 100
Solution:माना छठवा प्रेक्षण=x
\frac{5 \times 58+x+5 \times 56}{11}=60 \\ \Rightarrow \frac{290+x+280}{11}=60 \\ \Rightarrow x+570=660 \\ \Rightarrow x=660-570 \\ \Rightarrow x=90
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:18.A,B,C का औसत भार 45 किग्रा है।यदि A और B का औसत भार 40 किग्रा तथा B और C का 43 किग्रा हो,तो B का भार होगा:
(a) 17 किग्रा (b) 20 किग्रा (c) 26 किग्रा (d) 31 किग्रा
Solution:B का भार=40×2+43×2-45×3
=80+86-135
\Rightarrow B का भार=31 किग्रा
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:19.नौ आमों का वजन 50,60,65,62,67,70,64,45,48 ग्राम हो, तो उनका औसत वजन है
(a) 62 ग्राम (b) 60.5 ग्राम (c) 60 ग्राम (d) 59 ग्राम
Solution:औसत=\frac{50+60+65+62+67+70+64+45+48}{9} \\ =\frac{531}{9}=59
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:20.11 पूर्णांकों का औसत 30 है।यदि ये संख्याएँ एक क्रम में आयोजित की जाए,तो प्रथम पाँच का औसत 25 और अन्तिम पाँच का औसत 28 है,तो छठवीं संख्या है?
(a) 75 (b) 70 (c) 65 (d) 60
Solution:माना छठवीं संख्या=x
\frac{5 \times 25+x+5 \times 28}{11}=30 \\ \Rightarrow \frac{125+x+140}{11}=30 \\ \Rightarrow \frac{265+x}{11}=30 \\ \Rightarrow x=330-265 \\ \Rightarrow x=65
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:21.X और Y की औसत मासिक आय ₹ 5050 है।Y और Z की औसत मासिक आय ₹ 6250 है तथा X और Z की औसत मासिक आय ₹ 5200 है।X की मासिक आय होगी:
(a) ₹ 4050 (b) ₹ 3500 (c) ₹ 4000 (d) ₹ 5000
Solution: \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}=5050+ \\ \Rightarrow \frac{2(x+y+z)}{2}=16500 \\ \Rightarrow x+y+z=16500
X की मासिक आय=16500-6250×2
=16500-12500=4000
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:22.25 संख्याओं का औसत 18 है।प्रथम 12 संख्याओं का औसत 14 तथा अन्तिम 12 संख्याओं का औसत 17 हो,तो तेरहवीं संख्या होगी
(a)72 (b) 78 (c) 85 (d) 28
Solution:माना तेरहवीं संख्या=x
\frac{12 \times 14+x+12 \times 17}{25}=18 \\ \Rightarrow \frac{168+x+204}{25}=18 \\ \Rightarrow \frac{x+372}{25}=18 \\ \Rightarrow x=450-372 \\ \Rightarrow x=78
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:23.किसी परिवार के 6 पुत्रों की औसत आयु 8 वर्ष है।पुत्रों और उनके माता-पिता को मिलाकर उनकी औसत आयु 22 वर्ष है।यदि पिता उनकी माता से 8 वर्ष बड़े हैं,तो माता की आयु (वर्षों में) है
(a) 44 (b)52 (c)60 (d)68
Solution:माना माता की आयु=x
6 \times 8=8 \times 22-x-x-8 \\ \Rightarrow x+x=176-48-8 \\ \Rightarrow 2 x=120 \\ \Rightarrow x=\frac{120}{2}=60
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:24.प्रथम आठ प्राकृतिक संख्याओं का औसत क्या है?
(a) 3 \frac{1}{2} (b) 4 \frac{1}{2} (c) 5 \frac{1}{2} (d) 6 \frac{1}{2}
Solution:प्रथम प्राकृत संख्याओं का औसत=\frac{n+1}{2} \\ \Rightarrow \frac{8+1}{2}=\frac{9}{2}=4 \frac{1}{2}
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:25.A,B तथा C का औसत साप्ताहिक वेतन ₹ 4000 तथा B,C और D का ₹ 5000 है।यदि A का साप्ताहिक वेतन ₹ 2750 है,तो D का साप्ताहिक वेतन होगा
(a) ₹ 5750 (b) ₹ 4750 (c) ₹ 5280 (d) ₹ 3800
Solution:B,C का वेतन=A,B तथा C का वेतन-A का वेतन
=4000×3-2750=12000-2750
B,C का वेतन=9250
D का वेतन=B,C तथा D का वेतन-B,C का वेतन
=5000×3-9250
=15000-9250
=5750
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:26.एक कक्षा में 100 विद्यार्थियों का औसत वजन 46 किग्रा है।लड़कों का औसत वजन 50 किग्रा है तथा लड़कियों का 40 किग्रा है।लड़कों की संख्या है
(a) 60 (b)55 (c) 50 (d) 65 (e)इनमें से कोई नहीं
Solution:माना लड़कों की संख्या=x
लड़कियों की संख्या=100-x
x \times 50+40(100-x)=46 \times 100 \\ \Rightarrow 50 x+4000-40 x=4600 \\ \Rightarrow 10 x=600 \\ \Rightarrow x=\frac{610}{10}=60
अतः विकल्प (a) सही है।
Example:27.A,B तथा C की औसत दैनिक आय ₹ 450 है।यदि A तथा B की औसत दैनिक आय ₹ 400 एवं B तथा C की औसत आय ₹ 430 है,तो B की दैनिक आय होगी
(a) ₹ 300 (b) ₹ 310 (c) ₹ 375 (d) ₹ 425
Solution:B की दैनिक आय=A तथा B की आय+B तथा C की आय-A,B तथा C की आय
=400×2+430×2-450×3
=800+860-1350
=1660-1350
=310
अतः विकल्प (b) सही है।
Example:28.तीन परिणामों का औसत 46 है।पहले दो परिणामों का औसत 25 है,तीसरा परिणाम है:
(a)98 (b) 80 (c) 88 (d) 78
Solution:तीसरा परिणाम=46×3-25×2
=138-50 =88
अतः विकल्प (c) सही है।
Example:29.सप्ताह के पहले चार दिनों का औसत तापक्रम 39°C था और पूरे सप्ताह का औसत तापक्रम 40° था,तो सप्ताह के अन्तिम तीन दिनों का औसत तापक्रम क्या था?
(a) 40.9^{\circ} C (b) {39.9 }^{\circ} C (c) {42.1}^{\circ} C (d) 41.3^{\circ} C
Solution:सप्ताह के अन्तिम तीन दिनों का औसत=\frac{40^{\circ} \times 7-39^{\circ} \times 4}{3} \\ =\frac{280^{\circ}-156^{\circ}}{3} \\ =\frac{124^{\circ}}{3} \\ =41.3^{\circ} \mathrm{C}
अतः विकल्प (d) सही है।
Example:30.यदि 55,60 और 45 विद्यार्थियों के तीन समूहों के औसत अंक क्रमशः 50,55 और 60 हैं,तो सभी विद्यार्थियों को मिलाकर औसत अंक लगभग हैं
(a) 54.68 (b) 53.33 (c) 55 (d)इनमें से कोई नहीं
Solution:सभी विद्यार्थियों के औसत अंक
=\frac{55 \times 50+60 \times 55+45 \times 60}{56+60+45} \\ =\frac{2750+3300+2700}{160} \\ =\frac{850}{160} \\ \approx 54.68
अतः विकल्प (a) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अंकगणित में औसत (Average in Arithmetic),औसत (Average) को समझ सकते हैं।

3.अंकगणित में औसत के सवाल (Average in Arithmetic Questions):

Average in Arithmetic

(1.)40 परिणामों का औसत 50 है और 60 अन्य परिणामों का औसत 55 है।सभी परिणामों का औसत कितना है?
(a) 50 (b) 53 (c) 62 (d) 83
(2.)12 प्रेक्षणों का औसत 8 पाया गया।बाद में देखा गया कि मूल से एक प्रेक्षण का मान 10 के स्थान पर 13 लिखा गया था।प्रेक्षणों का वास्तविक औसत है
(a) 7 (b) 17.5 (c) 7.75 (d) 8
उत्तर (Answers):(1.)(b) (2.)(c)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अंकगणित में औसत (Average in Arithmetic),औसत (Average) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अंकगणित में औसत (Frequently Asked Questions Related to Average in Arithmetic),औसत (Average) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अंकगणित में औसत (Average in Arithmetic) के इस आर्टिकल में आंकिक
संख्याओं का औसत ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे और उन्हें समझेंगे।