1.समान्तर माध्य और हरात्मक माध्य (Arithmetic Mean and Harmonic Mean),मध्यका तथा बहुलक (Median and Mode):

Arithmetic Mean and Harmonic Mean

समान्तर माध्य और हरात्मक माध्य (Arithmetic Mean and Harmonic Mean) के इस आर्टिकल में हरात्मक माध्य,समान्तर माध्य,मध्यका तथा बहुलक पर आधारित विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.समान्तर माध्य और हरात्मक माध्य के साधित उदाहरण (Arithmetic Mean and Harmonic Mean Solved Examples):

Example93.आप 900 कि. मी. की यात्रा रेलगाड़ी द्वारा 60 कि. मी. प्रति घण्टा औसत गति से;3000 कि. मी. जहाज द्वारा 25 कि. मी. प्रति घण्टा की गति से;400 कि. मी. हवाई जहाज द्वारा 350 कि. मी. प्रति घण्टा की गति से तथा 15 कि. मी. कार द्वारा 25 कि. मी. प्रति घण्टा की गति से पूरी करते हैं।आपकी सम्पूर्ण दूरी की औसत गति ज्ञात कीजिए।
(You take a trip travelling 900 kms. by train at an average speed of 60 kms. per hour, 3000 kms. by ship at an average speed of 25 kms. per hour.Find out the average speed for the whole distance.)
Solution:औसत गति की गणना करने के लिए समान्तर माध्य के स्थान पर हरात्मक माध्य ज्ञात करना चाहिए।अतः प्रश्न में औसत गति ज्ञात करने हेतु हरात्मक माध्य की गणना करेंगे।
Calculation Table of Weighted Harmonic Mean

I Formula:
h(w)=\text { Reciprocal of }\left[\frac{\Sigma \text { (Rec X }) W}{\Sigma W}\right] \\ =\text { Reciprocal of }\left(\frac{136.75}{4315}\right) \\ =\frac{4315}{13675}=31.5539 \\ h(w) \approx 31.55 kms per hour
II Formula:
h(w)=\frac{\Sigma W}{\frac{W_1}{a}+\frac{W_2}{b}+\frac{W_3}{c}+\frac{W_4}{d}} \\ =\frac{4315}{\left[\frac{900}{60}+\frac{3600}{25}+\frac{400}{350}+\frac{15}{25}\right]} \\ =\frac{4315}{15+120+\frac{8}{7}+\frac{3}{5}} \\ =\frac{4315}{\frac{525+4200+40+21}{35}} \\ =4315 \times \frac{35}{4786} \\ =\frac{151025}{4786} \\ =31.553 \\ h(w) \approx 31.55 kms per hour
Example:94(b).बम्बई शहर की जनसंख्या 1991 वर्ष में 3,000 लाख थी।2009 वर्ष में यह 5,200 लाख हो गई।जनसंख्या वृद्धि की वार्षिक चक्रवृद्धि दर का परिकलन कीजिए।
(The population of Bombay was 3,000 lakhs in 1991.It became 5,200 lakhs in 2009 year.Calculate the percentage compound rate of growth per annum.)
Solution:Given P_0=3000 लाख , P_n=5200 लाख , N=18
Rate=\sqrt[n]{\frac{P_n}{P_0}}-1 \\ = \sqrt[18 ]{\frac{5200 \text { lakh }}{3000 \text { lakh }}}-1 \\ =\text{AL} \left[\frac{\log 26-\log 15}{18}\right]-1 \\ = \text{AL} \left[\frac{1.4150-1.1761}{18}\right]-1 \\ = \text{AL} \left[\frac{0.2389}{18}\right]-1 \\ =\text{AL} (0.0132)-1 \\ = 1.030-1 \\ = 0.03
Rate of Increase=0.03×100
=3%
Example:95.आंशिक असममित वितरणों से सम्बन्धित निम्नवत सूचनाओं से समान्तर माध्य,मध्यका (M) तथा बहुलक (Z) के अनुमानित मूल्य ज्ञात कीजिए:
(From the following information relating to moderately asymmetrical distributions,find out the estimated values of Arithmetic Mean,Median or Mode):
Example:95(i). \overline{X}=24.6, Z=26.1 Find the value of Median
Solution: \overline{X}=24.6, Z=26.1, M= ? \\ Z=3 M-2 \overline{X} \\ \Rightarrow 26.1=3 M-2 \times 24.6 \\ \Rightarrow \frac{26.1 + 2 \times 24.6}{3}=M \\ \Rightarrow M =\frac{26.1+49.2}{3} \\=\frac{75.3}{3} \\ \Rightarrow M =25.1
Example:95(ii).M=42.8, Z=40.0 find the value of Mean

Solution: M=42.8, Z=40.0, \overline{X}=? \\ Z=3 M-2 \overline{X} \\ 40=3 \times 42.8-2 \overline{X} \\ \Rightarrow 2 \overline{X}=128.4-40 \\ \Rightarrow \overline{X}=\frac{128.4-40}{2} \\ \Rightarrow \overline{X}=\frac{88.4}{2} \\ \Rightarrow \overline{X}=44.2
Example:95(iii). \overline{X}=15.6, M=15.73 find the value of Mode
Solution: \overline{X}=15.6, M=15.73, Z= ? \\ Z =3 M-2 \overline{X} \\ =3 \times 15.73-2 \times 15.6 \\ =47.19-31.2 \\ =15.99 \\ \Rightarrow Z=15.99
Example:96.निम्नलिखित समंकों से एक खिलौने का औसत मूल्य तथा एक रुपये में क्रय किए गए खिलौने की औसत संख्या ज्ञात कीजिए:
(From the following data find out the average price paid per toy and the average number of toys purchased per rupees):

Solution:Calculation Table of Average

एक खिलौने का औसत मूल्य=\frac{\frac{2}{5}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{5}{9}+\frac{3}{4}}{5} \\ =\frac{\frac{72+90+60+100+135}{180}}{5} =\frac{457}{900} \\ =0.507 \\ \approx Re. 0.50
एक रुपये में क्रय किए गए खिलौने का औसत=\left(\frac{5}{2}+\frac{2}{1}+\frac{3}{1}+\frac{9}{5}+\frac{4}{3}\right) \div \frac{1}{5} \\ =\frac{75+60+90+54+40}{30 \times 5} \\ =\frac{319}{150} \\ =2.1266 \\ \approx 2 Toys  

Arithmetic Mean and Harmonic Mean

Example:97(i).यदि एक श्रेणी की कुल मदों का मूल्य 500 तथा समान्तर माध्य 20 हो तो श्रेणी में मदों की संख्या बतलाइए।
(If total value of all items in a series is 500 and its arithmetic mean is 20,find out number of items.)
Solution: \Sigma f x=500, \overline{X}=20, N= ? \\ \Rightarrow \overline{X} =\frac{\Sigma f x}{N} \\ \Rightarrow N =\frac{\Sigma f x}{\overline{X}} \\ =\frac{500}{20} \\ \Rightarrow N =25
Example:97(ii).यदि श्रेणी का काल्पनिक माध्य 110,कुल संख्या 120,काल्पनिक माध्य से विचलनों का उनकी आवृत्तियों से गुणनफल का योग 138 तथा समान्तर माध्य 121.5 है तो वर्गान्तर (वर्ग विस्तार) ज्ञात कीजिए।
(If in a series assumed mean is 110,total number of items is 120,sum of the product of the deviations from assumed mean with their respective frequencies is 138 and the arithmetic mean is 121.5,find magnitude of the class intervals.)
Solution: A=110, N=120, \Sigma f d x=138, \\ \overline{X}=121.5, i=? \\ \overline{X}= A+\frac{\Sigma f d x}{N} \times i \\ 121.5=110+\frac{138}{120} \times i \\ \Rightarrow 121.5-110=\frac{138}{120} \times i \\ \Rightarrow \frac{11.5 \times 120}{138}=i \\ \Rightarrow \frac{1380}{138}=i \\ \Rightarrow i=10
Example:97(iii).300 विद्यार्थियों के औसत प्राप्तांक 40 थे।बाद में यह पाया गया कि A के 66 अंकों के स्थान पर 60 अंक,B के 14 के स्थान पर 41 अंक लिख दिए गए थे तथा C के 60 अंकों को सम्मिलित ही नहीं किया गया था।इस सूचना के आधार पर सही औसत प्राप्तांक का निर्धारण कीजिए।
(The mean marks of 300 students were 40.Later on it was discovered that 66 marks of A were read as 60,14 marks of B were read as 41 and 60 marks of C were not included.Find the corrected mean on the basis of this information.)
Solution:Calculation Table Corrected Mean

Incorrect \Sigma f x=\overline{X} \times N
Incorrect \overline{X}=40, N=300
Incorrect \Sigma f x=300 \times 40=12000
correct \Sigma f x =12000+140-101 =12039
correct \overline{X}=\frac{\operatorname{correct} \Sigma fx}{N}\\ =\frac{12039}{300} \\ \Rightarrow \text{Correct } \overline{X}=40.13 marks
Example:97(iv).एक 75 मदों वाले वर्ग का समान्तर माध्य,बहुलक तथा मध्यका की गणना करने पर क्रमशः 27,34 तथा 29 प्राप्त हुए।बाद में पता चला कि एक मद का मूल्य गलती से 53 के स्थान पर 43 पढ़ लिया गया था।इस अशुद्धि का पता चल जाने पर उपर्युक्त तीनों माध्यों पर क्या प्रभाव पड़ेगा,परीक्षण कीजिए।
(The arithmetic mean, the mode and the median of a group of 75 items were calculated to be 27,34 and 29 respectively.It was later on discovered that one observation was wrongly read as 43 instead of 53.Examine to what extent the above calculated values of the three averages will be affected by the discovery of this error?)
Solution:N=75,Z=34,M=29
बहुलक Z=34 व मध्यका M=29 का कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा क्योंकि 34 व 29 मद 53 वाले मद में नहीं पड़ता है।
Example:101(i).एक कक्षा में 50 विद्यार्थियों ने परीक्षा दी।परीक्षा में जो उत्तीर्ण हुए उनके परिणाम इस प्रकार हैं:
(50 students took up a test.The result of those who passed the test is given below):

यदि सभी 50 विद्यार्थियों का माध्य 5.16 प्राप्तांक है तो उन विद्यार्थियों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए जो अनुत्तीर्ण रहे।
(If the average for all the 50 students is 5.16 marks, find the average of those who failed.)
Solution:Calculation Table of Mean

उत्तीर्ण विद्यार्थियों का माध्य

\overline{X}_1 =\frac{\Sigma f x}{N} \\ =\frac{237}{40} \\ \Rightarrow \overline{X}_1 =5.925
अनुत्तीर्ण छात्रों की संख्या

N_2=N-N_1 \\ \Rightarrow N_2=50-40=10 \\ \overline{X}=5.16, N=50
सामूहिक समान्तर माध्य (Combined Arithmetic Mean)

\overline{X}_1=\frac{\overline{X}_1 N_1+\overline{X}_2 N_2}{N_1+N_2} \\ \Rightarrow 5.16=\frac{5.925 \times 40+\overline{X}_2 \times 10}{50} \\ \Rightarrow 5.16 \times 50=237 +\overline{X}_2 \times 10 \\ \Rightarrow 258-237=\overline{X}_2 \times 10 \\ \Rightarrow \overline{X}_2=\frac{21}{10} \Rightarrow \overline{X}_2=2.1
Example:101(iii).एक कारखाने में जिसमें दो पारियों में क्रमशः 60 एवं 40 श्रमिक कार्य करते हैं।इन 100 श्रमिकों का औसत वेतन 38 रु. है,सुबह की पारी में कार्यरत 60 श्रमिकों का औसत वेतन 40 रु. है।शाम की पारी में कार्यरत 40 श्रमिकों का औसत वेतन ज्ञात कीजिए।
(The mean wages of 100 employees working in a factory running in two shifts of 60 and 40 workers respectively is Rs. 38 ,the mean of 60 employees working in morning shift is Rs. 40.Find the mean wages of 40 employees working in the evening shift.)
Solution: N_1=60, N_2=40, N=100 \\ \overline{X}=38, \overline{X}_1=40, \overline{X}_2=? 
सामूहिक समान्तर माध्य (Combined Arithmetic Mean)

\overline{X}=\frac{\overline{X}_1 N_1+\overline{X}_2 N_2}{N_1+N_2} \\ \Rightarrow 38=\frac{40 \times 60+40 \overline{X}_2}{60+40} \\ \Rightarrow 38 \times 100=2400+40 \overline{X}_2 \\ \Rightarrow 3800-2400=40 \overline{X}_2 \\ \Rightarrow \overline{X}_2=\frac{1400}{40} \\ \Rightarrow \overline{X}_2 =35 Rs.
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समान्तर माध्य और हरात्मक माध्य (Arithmetic Mean and Harmonic Mean),मध्यका तथा बहुलक (Median and Mode) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

3.समान्तर माध्य और हरात्मक माध्य के सवाल (Arithmetic Mean and Harmonic Mean Questions):

Arithmetic Mean and Harmonic Mean

(1.)एक सामान्य रूप में असममित बंटन (moderately asymmetrical distribution) में निम्नलिखित केन्द्रीय माप ज्ञात कीजिए:
(क)मध्यका (median);यदि समान्तर माध्य 20 और बहुलक 18 है।
(ख)बहुलक (Mode); यदि समान्तर माध्य=15.6 और मध्यका=15.73
(ग)समान्तर माध्य;यदि बहुलक और मध्यका क्रमशः 22 और 21.4 है।
उत्तर (Answers): (क) M=34.3 (ख) z=15.99 (ग) \overline{X}=21.1

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समान्तर माध्य और हरात्मक माध्य (Arithmetic Mean and Harmonic Mean),मध्यका तथा बहुलक (Median and Mode) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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4.समान्तर माध्य और हरात्मक माध्य (Frequently Asked Questions Related to Arithmetic Mean and Harmonic Mean),मध्यका तथा बहुलक (Median and Mode) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समान्तर माध्य और हरात्मक माध्य (Arithmetic Mean and Harmonic Mean) के इस आर्टिकल
में हरात्मक माध्य,समान्तर माध्य,मध्यका तथा बहुलक पर आधारित विशिष्ट सवालों को हल
करके समझने का प्रयास करेंगे।