Arithmetic Average in Statistics

Mathematics Satyam August 27, 2023 Statistics No Comments

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1 1.सांख्यिकी में समान्तर माध्य (Arithmetic Average in Statistics),सांख्यिकी में माध्य (Mean in Statistics):

1.1 2.सांख्यिकी में समान्तर माध्य के उदाहरण (Arithmetic Average in Statistics Examples):

1.2 3.सांख्यिकी में समान्तर माध्य के सवाल (Arithmetic Average in Statistics Questions):

1.2.1 4.सांख्यिकी में समान्तर माध्य (Frequently Asked Questions Related to Arithmetic Average in Statistics),सांख्यिकी में माध्य (Mean in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.2 प्रश्न:1.सांख्यिकीय माध्यों के प्रकार बताइए। (State different types of statistical averages):

1.2.3 प्रश्न:2.समान्त माध्य के किन्हीं दो दोषों को बताइए। (State any two demerits of arithmetic mean):

1.2.4 प्रश्न:3.समान्त माध्य तथा भारित समान्तर माध्य में अन्तर बताइए। (Differentiate between arithmetic mean and weighted arithmetic mean):

1.2.4.1 Arithmetic Average in Statistics

2 सांख्यिकी में समान्तर माध्य (Arithmetic Average in Statistics)

2.1 Arithmetic Average in Statistics

1.सांख्यिकी में समान्तर माध्य (Arithmetic Average in Statistics),सांख्यिकी में माध्य (Mean in Statistics):

Arithmetic Average in Statistics

सांख्यिकी में समान्तर माध्य (Arithmetic Average in Statistics) गणितीय माध्यों में सबसे उत्तम माना जाता है और यह केन्द्रीय प्रवृत्ति का सम्भवतः सबसे लोकप्रिय माप है।इसकी लोकप्रियता इसी तथ्य से स्पष्ट है कि यह माध्य “औसत” शब्द का पर्यायवाची बन गया है।
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2.सांख्यिकी में समान्तर माध्य के उदाहरण (Arithmetic Average in Statistics Examples):

Example:11.50 सटोरियों का लाभ तथा हानि (रुपयों में) निम्न प्रकार है:
(Gains and losses (in Rs.) of 50 speculators is given below):
4 speculators (सटोरियों) gain between 300 and 400
6 speculators gain between Rs. 200 and 300
8 speculators gain between Rs. 100 and 200
12 speculators gain between Rs. 0 and 100
10 speculators lose (हानि) between Rs. 0 and 100
7 speculators lose between Rs. 100 and 200
3 speculators lose between Rs. 200 and 300
जीतने वाले सटोरियों का औसत लाभ,हारने वालों की औसत हानि तथा पूरे समूह का विशुद्ध लाभ या हानि ज्ञात कीजिए।
(Find out the average gain of gainers,average loss of losers and mean net profit or loss of the whole group.)
Solution:Calculation Table of Mean

$\begin{array}{ |p{3cm}||p{3.5cm}|p{1.5cm}|p{1cm}|} \hline {\text{Gain and loss}} & No. of speculators & Mid value(X) & fx \\ \hline 300-400 & 4 & 350 & 1400 \\ 200-300 & 6 & 250 & 1500 \\ 100-200 & 8 & 150 & 1200 \\ 0-100 & 12 & 50 & 600 \\ 0 to -100 & 10 & -50 & -500 \\ -100 to -200 & 7 & -150 & -1050 \\ -200 to -300 & 3 & -250 & -750 \\ \hline \text{Total} & 50 & & 2400 \\ \hline \end{array}$

Loss of Lossers $\bar{X}=\frac{-500-1050-750}{10+7+3} =-\frac{2300}{20}$ =Rs. 1115

Mean of Gainers $\bar{X}=\frac{1400+1500+1200+1600}{4+6+8+12} \\ =\frac{4700}{30}=156.666 \\ \approx Rs. 156 .67$
Example:12.निम्न आँकड़ों (आयु वर्ष में) से समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए:
(calculate arithmetic mean from the following data (age in years)):
$\begin{array}{ |p{3cm}||p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline More than & 0 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 \\ \hline No.of Persons & 100 & 95 & 85 & 71 & 51 & 16 & 1 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean by Short-cut Method

$\begin{array}{ |p{2cm}||p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{1cm}|} \hline {\text{Class}} & Mid value(X) & frequency(f) & dx=X-A (A=17.5) & f dx \\ \hline 0-5 & 2.5 & 5 & -15 & -75 \\ 5-10 & 7.5 & 10 & -10 & -100 \\ 10-15 & 12.5 & 14 & -5 & -70 \\ 15-20 & 17.5 & 20 & 0 & 0 \\ 20-25 & 22.5 & 35 & 5 & 175 \\ 25-30 & 27.5 & 15 & 10 & 150\\ 30-35 & 32.5 & 1 & 15 & 15 \\ \hline \text{Total} & & 100 & & 95 \\ \hline \end{array}$

$\bar{X}=A+\frac{\sum f d x}{N} \\ =17.5+\frac{95}{100} \\ =17.5+8.95 \\ \bar{X} \approx 18.45$ years
Example:13.निम्न आँकड़ों से समान्तर माध्य ज्ञात करें
(calculate arithmetic mean from the following data):
$\begin{array}{ |p{4cm}||p{4cm}|} \hline {\text{ [wages (in Rs.)]}} & \text{No. of Workers} \\ मजदूरों की संख्या & \text{ मजदूरी रुपयों में} \\ \text{48 से कम } (less than 48)& 5 \\ \text{56 से कम } (less than 56) & 12 \\ 48-64 & 29 \\ \txet{64 तथा अधिक } (64 and above) & 31 \\ 72-80 & 8 \\ \text{80 तथा अधिक } (80 and above) & 19 \\ \text{88 तथा अधिक } (88 and above) & 5 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation of Arithmetic Mean by Step Deviation Method

$\begin{array}{ |p{1.5cm}||p{2.5cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{1cm}|} \hline {\text{Wages}} & No. of Workers(f) & M.V.(X) & dx' (A=68 /i=8) & f dx' \\ \hline 40-48 & 5 & 44 & -3 &-15 \\ 48-56 & 22 & 60 & -1 & -22 \\ 64-72 & 4 & 08 & 0 & 0 \\ 72-80 & 8 & 76 & 1& 8 \\ 80-88 & 14 & 84 & 2 & 28 \\ 88-96 & 5 & 92 & 3 & 15 \\ \hline \text{Total} & & 65 & & 0 \\ \hline \end{array}$

\bar{X}=A+\frac{\sum f d x^{\prime}}{N} \times i \\ =68+\frac{0}{65} \times 8 \\ \Rightarrow \bar{X} =68

Arithmetic Average in Statistics

Example:14.निम्न श्रेणी का माध्य हो तो रिक्त स्थान का मूल्य ज्ञात कीजिए:
(If the mean, for this series, then find out the value of the blank place):
मजदूरी रुपयों में [wages (in rupees)]
कर्मचारियों की संख्या (No. of workers)

$\begin{array}{ |p{3cm}||p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline {\text{wages (in rupees)}} & 50 & 58 & 60 & 65 & 70 & ? & 80 & 100 \\ \hline \text{No. of workers} & 2 & 20 & 5 & 35 & 8 & 10 & 16 & 4 \\ \hline \end{array}$

Solution:Calculation Table of Mean

$\begin{array}{ |p{2cm}||p{3cm}|p{2cm}|} \hline Wages(X) & No. of Workers(f) & fx \\ \hline 50 & 2 & 100 \\ 58 & 20 & 1160 \\ 60 & 5 & 300 \\ 65 & 35 & 2275 \\ 70 & 8 & 560 \\ x & 10 & 10x \\ 80 & 16 & 1280 \\ 100 & 4 & 400\\ \hline \text{Total} & 100 & 6075+10x \\ \hline \end{array}$

$\bar{X}=\frac{\sum fx}{N} \\ 68.25=\frac{6075+10 x}{100} \\ \Rightarrow 6825=6075+10 x \\ \Rightarrow 10 x=6825-6075 \\ \Rightarrow 10 x=750 \\ \Rightarrow x=\frac{750}{10} \\ \Rightarrow x=75$
Example:15.यदि निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का माध्य 47.95 हो तो अज्ञात आवृत्ति ज्ञात कीजिए:
(If the mean of the following distribution is 49.75,find the unknown frequency):
वर्ग (Class)
$\begin{array}{ |p{3cm}||p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|} \hline \text{ (Class) वर्ग} & 10-25 & 25-40 & 40-55 & 55-70 & 70-85 & 85-100 \\ \hline आवृत्ति \text{ (frequency)} & 6 & 20 & 44 & a & 3 & 1 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Mean

$\begin{array}{ |p{2cm}||p{3cm}|p{2cm}|p{2cm}|} \hline Class & Frequency(f) & M.V. & fx \\ \hline 10-25 & 6 & 17.5 & 105 \\ 25-40 & 20 & 32.5 & 650 \\ 40-55 & 44 & 47.5 & 2090 \\ 55-70 & a & 62.5 & 62.5a \\ 70-85 & 3 & 77.5 & 232.5 \\ 85-100 & 1 & 82.5 & 82.5 \\ \hline \text{Total} & 74+a & & 3160+62.5a \\ \hline \end{array}$

$\bar{X}=\frac{\sum f x}{4} \\ 47.95=\frac{3160+62.5 a}{74+a} \\ \Rightarrow 3548.3+47.95 a= 3160+62.5 a \\ \Rightarrow 62.5 a-47.95 a=3548.3-3160 \\ \Rightarrow 14.55 a=388.3 \\ \Rightarrow a=\frac{388.3}{14.53}=26.687 \\ \Rightarrow a \approx 26$
Example:17.दो कारखानों में छह प्रकार के श्रमिक कार्यरत हैं,जिनके पारिश्रमिक की विभिन्न दरें जो निम्नतम हैं:
(six types of workers are employed in two workshops at different rates of wages as follows):

$\begin{array}{ |p{2cm}||p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\text{Types of Workers}} & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Workshop A}} & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Workshop B}}\\ \hline & Wage rate per Worker & No. of Worker & Wage rate per Worker & No. of Worker \\ \hline Mechanic & 10.00 & 2 & 12.00 & 18 \\ Fitter & 14.00 & 14 & 12.00 & 50 \\ Elecrician & 16.00 & 14 & 12.00 & 8 \\ carpenter & 12.00 & 7 & 14.00 & 12 \\ smith & 12.00 & 6 & 14.00 & 10 \\ clerk & 8.00 & 1 & 20.00 & 2 \\ \hline \end{array}$
इन दोनों में से कौनसे कारखाने में पारिश्रमिक की प्रति श्रमिक दर अधिक है तथा कितनी?
(In which of the two workshops is the average rate of wages per worker higher and by how much?):
Solution: $\begin{array}{ |p{2cm}||p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\text{Types of Workers}} & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Workshop A}} & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Workshop B}} & & \\ \hline & Wage rate per Worker(X_{1}) & No. of Worker(W_{1}) & Wage rate per Worker(X_{2}) & No. of Worker(W_{2}) & W_{1} X_{1}& W_{2} X_{2}\\ \hline Mechanic & 10.00 & 2 & 12.00 & 18 & 20 & 216\\ Fitter & 14.00 & 14 & 12.00 & 50 & 196 & 600 \\ Elecrician & 16.00 & 14 & 12.00 & 8 & 320 & 136 \\ carpenter & 12.00 & 7 & 14.00 & 12 & 84 & 168 \\ smith & 12.00 & 6 & 14.00 & 10 & 72 & 140 \\ clerk & 8.00 & 1 & 20.00 & 2 & 8 & 40 \\ \hline \text{Total} & & 50 & & 100 & 700 & 1300 \\ \hline \end{array}$

Curde Result of warkshop A = $\frac{\sum W_1 X_1}{\sum W_1} \\ =\frac{700}{50}$ =14 Rs.

Crude Result of work shop B = $\frac{\sum W_2 X_2}{\sum W_2} \\ =\frac{1300}{100}$ =Rs. 13
A is higher by Rs. 1

3.सांख्यिकी में समान्तर माध्य के सवाल (Arithmetic Average in Statistics Questions):

Arithmetic Average in Statistics

(1.)नीचे एक फैक्ट्री के पगारों की आवृत्ति दी हुई है
(The following is the wage-distribution in a factory):

$\begin{array}{|p{3cm}||p{1cm}|p{1.2cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|} \hline {\text{ (Monthly wages)}} & 50-80 & 80-100 & 100-110 & 11-120 & 120-130 & 130-150 & 150-180 & 180-200 \\ \hline \text{ (frequency)} & 50 & 127 & 140 & 240 & 176 & 135 & 20 & 3 \\ \hline \end{array}$
(i)मध्यका द्वारा औसत पगार ज्ञात कीजिए।
(Determine the average wage through median)
(ii)अगर कुछ धन इकट्ठा करना है और यह निश्चय किया गया हो कि वे मजदूर जो 120 रु. से कम पगार पा रहे हैं अपनी पगारों का 5% और जो 120 रुपए या अधिक पगारें पा रहे हैं वे 10% अंशदान करेंगे तो बतलाइए कितना धन इकट्ठा हो जाएगा?
(A fund is to be raised and it is decided that workers getting less than Rs. 120 should contribute 5% of their wages and that those of getting more than Rs. 120,should contribute 10% of their wages. What sum will be collected?)
(2.)निम्नलिखित समंकों के समान्तर माध्य और मध्यका ज्ञात कीजिए और माध्यों के पारस्परिक सम्बन्ध के आधार पर बहुलक का अनुमान कीजिए:
(From the following data calculate the arithmetic mean and median and on the basis of empirical relationship between averages,estimate the modal value):

$\begin{array}{ |p{3cm}||p{3cm}|} \hline Marks & No of students \\ \hline \text{Less than } & 7 \\ Less than 10 & 20 \\ 5-15 & 38 \\ 15 and above & 55 \\ 20-25 & 20 \\ 25 and above & 5 \\ 35 and above & 1 \\ \hline \end{array}$
उत्तर (Answers):(1.)M=Rs.115.77,sum of collected=Rs. 7261
(2.) $\bar{X}$ =15.45,M=15.83,Z=16.60

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4.सांख्यिकी में समान्तर माध्य (Frequently Asked Questions Related to Arithmetic Average in Statistics),सांख्यिकी में माध्य (Mean in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.सांख्यिकीय माध्यों के प्रकार बताइए। (State different types of statistical averages):

उत्तर:सांख्यिकीय माध्यों के प्रकार
I.स्थिति सम्बन्धी माध्य (averages of position)
(1.)भूयिष्ठक या बहुलक (Mode)
(2.)मध्यका (Median)
II.गणित सम्बन्धी माध्य (mathematical average)
(1.)समान्तर माध्य (arithmetic average or mean)
(2.)गुणोत्तर माध्य (geometric mean)
(3.)हरात्मक माध्य (harmonic mean)
(4.)द्विघात या वर्गीकरण माध्य (quadratic mean)
III.व्यापारिक माध्य (business average)
(1.)चल माध्य (moving average)
(2.)प्रगामी माध्य (progressive average)
(3.)संग्रथित माध्य (composite average)

प्रश्न:2.समान्त माध्य के किन्हीं दो दोषों को बताइए। (State any two demerits of arithmetic mean):

उत्तर:(1.)श्रेणी की आकृति से समान्तर माध्य ज्ञात करना सम्भव नहीं:जिस प्रकार श्रेणी की आकृति को देखकर बहुलक या मध्यका का अनुमान लगाया जा सकता है,समान्तर माध्य का लगाना सम्भव नहीं होगा।
(2.)श्रेणी की सभी मदों का वास्तविक मूल्य ज्ञात होना:समान्तर माध्य की गणना के लिए श्रेणी के सभी मूल्यों का ज्ञात होना आवश्यक है।यदि श्रेणी के एक मद का मूल्य भी ज्ञात नहीं है,तो समान्तर माध्य ज्ञात नहीं किया जा सकता है।

प्रश्न:3.समान्त माध्य तथा भारित समान्तर माध्य में अन्तर बताइए। (Differentiate between arithmetic mean and weighted arithmetic mean):

उत्तर:समान्तर माध्य:जब समंक श्रेणी के समस्त मदों को समान महत्त्व दिया जाता है मदों के मूल्यों के योग में मदों की संख्या का भाग दिया जाता है।इसे ही सरल समान्तर माध्य कहते हैं।
भारित समान्तर माध्य:समान्तर माध्य में दोष यह है कि समस्त मदों को समान महत्त्व दिया जाता है किन्तु कभी-कभी समंक श्रेणी के विभिन्न मदों में काफी भिन्नता होती है।उनमें आवश्यकतानुसार महत्त्व देना आवश्यक हो जाता है।इसके लिए प्रत्येक मद को उसकी व्यक्तिगत महत्ता के आधार पर भार (weight) प्रदान किया जाता है।इसके लिए प्रत्येक मद के मूल्य को उसके द्वारा दिए गए भार से गुणा कर देते हैं।इस प्रकार गुणनफल के योग में भारों के योग का भाग देने पर प्राप्त होने वाली संख्या भारित समान्तर माध्य कहलाती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सांख्यिकी में समान्तर माध्य (Arithmetic Average in Statistics),सांख्यिकी में माध्य (Mean in Statistics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Arithmetic Average in Statistics

सांख्यिकी में समान्तर माध्य
(Arithmetic Average in Statistics)