Arithmetic and Geometric Progression
1.समान्तर तथा गुणोत्तर श्रेढ़ी (Arithmetic and Geometric Progression),समान्तर तथा गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Arithmetic and Geometric Series Class 11):
समान्तर तथा गुणोत्तर श्रेढ़ी (Arithmetic and Geometric Progression) में समान्तर व गुणोत्तर श्रेढ़ी के व्यापक पद व पदों का योगफल का अध्ययन किया जाता है।इससे पूर्व आर्टिकल में व्यापक पद व प्रथम n पदों का योगफल का अध्ययन कर चुके हैं।इस आर्टिकल में कुछ विशिष्ट उदाहरणों द्वारा इन्हें ओर समझेंगे।
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2.समान्तर तथा गुणोत्तर श्रेढ़ी पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Arithmetic and Geometric Progression):
Example:1.दर्शाइए कि किसी समान्तर श्रेणी के (m+n)वें तथा (m-n)वें पदों का योग mवें पद का दुगुना है।
Solution:a_n=a+(n-1) d \\ a_{m+n}=a+(m+n-1) d \ldots(1) \\ a_{m-n}=a+(m-n-1) d \ldots(2)
प्रश्नानुसार: a_{m+n}+a_{m-n} =a+(m+n-1) d+a+(m-n-1) d \\ =2 a+(m+n-1+m-n-1) d \\ =2 a+(2 m-2) d \\ =2 a+2(m-1) d \\ =2[a+(m-1) d] \\ \Rightarrow a_{n+n}+a_{m-n} =2 a m
Example:2.यदि किसी समान्तर श्रेणी की तीन संख्याओं का योग 24 है तथा उनका गुणनफल 440 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:माना समान्तर श्रेढ़ी की तीन संख्याएँ a-d,a,a+d हैं।
a-d+a+a+d=24 \\ \Rightarrow 3 a=24 \\ \Rightarrow a=8 \\ (a-d)(a)(a+d)=440 \\ a\left(a^2-d^2\right)=440
a का मान रखने परः
\Rightarrow 8\left(8^2-d^2\right)=440 \\ \Rightarrow 64-d^2=\frac{440}{8} \\ \Rightarrow 64-d^2=55 \\ d^2=64-55 \\ \Rightarrow d^2=9 \\ \Rightarrow d=\pm \sqrt{9} \\ \Rightarrow d=\pm 3
जब a=8 तथा d=3 तो संख्याएँ
a-d=8-3=5,a=8,a+d=8+3=11
5,8,11
जब a=8 तथा d=-3 तो संख्याएँ
a-d=8-(-3)=8+3=11,a=8,a+d=8-3=5
11,8,5
Example:3.माना कि किसी समान्तर श्रेणी के n, 2n तथा 3n पदों का योगफल क्रमशः S_1,S_{2} तथा S_{3} है तो दिखाइए कि S_3=3\left(S_2-S_1\right)
Solution:S_1=S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \ldots(1) \\ S_2=S_{2 n}=\frac{8 n}{2}[2 a+(2 n-1) d] \ldots(2) \\ S_3=S_{3 n}=\frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d] \ldots(3) \\ S_3=3\left(S_2-S_1\right) \\ \text { R.H.S }=3\left(S_2-S_1\right) \\ \Rightarrow 3\left[\left(S_2-S_1\right)\right]
(1) व (2) से मान रखने परः
3\left[\frac{2 n}{2}\{2 a+(2 n-1) d\}-\frac{n}{2}\{2 a+(n-1) d\}\right] \\ = \frac{3 n}{2}[4 a+2(2 n-1) d-2 a-(n-1) d] \\ = \frac{3 n}{2}[4 a+4 n d-2 d-2 a-n d+d] \\ = \frac{3 n}{2}[2 a+3 n d-d] \\ = \frac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d] \\ \Rightarrow 3\left(S_2-S_1\right)=S_3 [(3) से]
Example:4.200 तथा 400 के मध्य आनेवाली उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 7 से विभाजित हो।
Solution:200 तथा 400 के मध्य 7 से विभाजित संख्याएँः
203,210,217,…,399
a=203, d=7,a_{n}=399 \\ a_{n}=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 399=203+(n-1)(7) \\ \Rightarrow 399-203=(n-1) \times 7 \\ \Rightarrow \frac{196}{7}=n-1 \\ \Rightarrow n-1=28 \\ \Rightarrow n=28+1 \\ \Rightarrow n=29 \\ S_n=\frac{n}{2}[a+l] \\ S_{29}=\frac{29}{2}[203+399] \\ =\frac{29}{2} \times 602 \\ \Rightarrow S_{29}=8729
Example:5.1 से 100 तक आनेवाले उन सभी पूर्णांकों का योगफल ज्ञात कीजिए जो 2 या 5 से विभाजित हों।
Solution:1 से 100 तक 2 या 5 से विभाजित होनेवाली संख्याएँ
2,4,6,8,…100
a=2, d=2, a_n=100 \\ a_{n}=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 100=2+(n-1) 2 \\ \Rightarrow \frac{98}{2}=n-1 \\ \Rightarrow n=49+1 \Rightarrow n=50 \\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ S_{50}=\frac{50}{2}[2 \times 2+(50-1) \times 2] \\ S_{50} =25[4+98] \\ =25 \times 102 \\ S_{50} =2550 \ldots(1)
5,10,15,20,25,….,100
a=5, d=5, a_{n}=100 \\ \Rightarrow 100=5+(n-1) \times 5 \\ \Rightarrow \frac{100-5}{5}=n-1 \\ \Rightarrow n-1=19 \\ \Rightarrow n=20 \\ S_{20}=\frac{20}{2}[2 \times 5+(20-1) \times 5] \\ =10[10+95] \\ =10 \times 105 \\ S_{20}=1050 \ldots(2)
10,20,30,…,100
a=10, d=10, a_n=100\\ 100=10+(n-1) 10\\ \frac{100-10}{10}=n-1 \Rightarrow n-1=9\\ \Rightarrow n=10 \\ S_{10}=\frac{10}{2}[2 \times 10+(10-1) \times 10]\\ =5[20+90]\\ =5 \times 110 \\ S_{10}=550 \ldots(3)
(1) व (2) को जोड़कर (3) घटाने परः
S_{50}+S_{20}-S_{10} =2550+1050-550 \\ = 3050
Example:6.दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए,जिनको 4 से विभाजित करने पर शेषफल 1 हो।
Solution:13,17,21,…,97
a=13, d=17-13=4, a_n=97\\ a_n=a+(n-1) d\\ \Rightarrow 97=13+(n-1) \times 4\\ \Rightarrow 97-13=(n-1) \times 4 \\ \Rightarrow n-1=\frac{84}{4} \\ \Rightarrow n-1=21 \\ \Rightarrow n=22 \\ S_n =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ S_{22} =\frac{22}{2}[2 \times 13+(22-1) \times 4] \\ =\frac{22}{2}[26+84] \\ =\frac{22}{2} \times 110 \\ \Rightarrow S_{22} =1210
Example:7.सभी के लिए f(x+y)=f(x).f(y) को सन्तुष्ट करता हुआ f एक ऐसा फलन है कि f(1)=3 एवं \sum_{x=1}^n f(x)=120 तो n का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: f(1)=3 \\ \sum_{x=1}^m f(x)=120 \\ f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(n)=120 \\ f(1)=3 \\ f(x+y)= f(x)-f(y) \\ f(2)=f(1+1)=f(1) \cdot f(1) =(3)(3) \\ f(2)=9 \\ f(3)=f(1+2)=f(1) \cdot f(2) =3(9)\\f(3)=27 \\ f(4)=f(1+3)=f(1) \cdot f(3) \\ =3(27)=81 \\ 3+9+27+81=120
अतः n=4
Example:8.गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग 56 है।यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1,7,21 घटाएँ तो हमें एक समान्तर श्रेणी प्राप्त होती है।संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:- a=5, r=2, S_{n}=316 \\ S_n=\frac{9\left(r^n-1\right)}{r-1} \\ \Rightarrow 315 =\frac{5\left(2^n-1\right)}{2-1} \\ \Rightarrow \frac{315}{5}=2^n-1 \\ \Rightarrow 63+1=2^n \\ \Rightarrow 2^n=64 \\ \Rightarrow 2^n=2^6 \\ \Rightarrow n =6 \\ a_n =a^{n-1} \\ =5(2)^{6-1} \\ =5 \times 2^5 \\ =5 \times 32 \\ \Rightarrow a_n =160, n=6
Example:9. किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 1 है। तीसरे एवं पाँचवें पदों का योग 90 हो तो गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
Solutoion:- a=1, a_3+a_5=a r^2+a r^4=90 \\ \Rightarrow (1) \cdot r^2+1(r)^4=90 \\ \Rightarrow r^2+r^4=90 \\ \Rightarrow r^4+r^2-90=0 \\ \Rightarrow r^4+10 r^2-9 r^2-90=0 \\ \Rightarrow r^2\left(r^2+10\right)-9\left(r^2+10\right)=0 \\ \Rightarrow \left(\gamma^2-9\right) \left(r^2+10\right)=0 \\ r^2+10=0 \Rightarrow r^2=-10
\Rightarrow r^2-9=0 \\ \Rightarrow r=\pm \sqrt{9} \\ \Rightarrow r=\pm 3Example:10. किसी गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग 56 है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1,7, 21 घटाएँ तो हमें एक समान्तर श्रेणी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:माना गुणोत्तर श्रेणी के तीन पद a,b,c हैं।
a+b+c=56 …. (1)
a-1,b-7,c-21 समान्तर श्रेढ़ी में है।
2(b-7)=a-1+c-21
2b-14=a-1+c-21
a+c-2b=8 …. (2)
(1) को 2 से गुणा करने परः
2a+2c+2b=112 …. (3)
a+c-2b=8 …… (2)
जोड़ने पर
3a+3c=120
a+c=40 ….. (4)
a+c का मान (1) में रखने परः
40+b=56
b=56-40
b=16
a,b,c गुणोत्तर श्रेणी में हैं अतः
b^2 =a c \\ ac=16^2 \Rightarrow a c=256 \cdots(5) \\ a-c =\sqrt{(a+c)^2-4 a c} \\ =\sqrt{(40)^2-4 \times 256} \\ =\sqrt{1600-1024} \\ =\sqrt{576} \\ \begin{array}{cc} \Rightarrow a-c =24 \ldots(6) \\ a+c =40 \ldots(4) \text { जोड़ेपर } \\ \hline 2 a =64 \end{array} \\ a =32
a का मान (4) में रखने परः
c=8
अतः तीन संख्याएँ हैंः8,16, 32
Example:11.किसी गुणोत्तर श्रेणी के पदों की संख्या सम है।यदि उसके सभी पदों का योगफल,विषम स्थानों पर रखे गए पदों के योगफल का 5 गुना है तो सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
Solution:माना सम पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी निम्न हैः
a, a r, a r^2, a r^2, \cdots a r^{n-1} \\ S_n=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} \ldots(1)
विषम स्थान पर स्थित पदः
a, a r^2, a r^4, \cdots, a r^{n-2}
विषम स्थानों पर पदों का योगफलः
\frac{S_n}{2}=\frac{a\left[\left(r^2\right)^{\frac{n}{2}}-1\right]}{r^2-1} \\ S_{\frac{n}{2}}= \frac{a\left(r^n-1\right)}{r^2-1} \cdots(2)
प्रश्नानुसारः \frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}=\frac{5 a\left(r^n-1\right)}{r^2-1} \\ \Rightarrow \frac{1}{r-1}=\frac{5}{(r-1)(r+1)} \\ \Rightarrow r+1=5 \Rightarrow r=4
Example:12.एक समान्तर श्रेणी के प्रथम चार पदों का योगफल 56 है।अन्तिम चार पदों का योगफल 112 है।यदि इसका प्रथम पद 11 है,तो पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:माना समान्तर श्रेणी में n पद हैं।
प्रथम चार पदों का योगः
a+a+d+a+2 d+a+3 d=56 \\ \Rightarrow 4 a+6 d=56 \\ \Rightarrow 4 \times 11+6 d=56 \\ \Rightarrow 6 d=56-44 \\ \Rightarrow 6 d=12 \Rightarrow d=\frac{12}{6}=2
अन्तिम चार पदों का योगः
a+(n-4) d+a+(n-3) d+a+(n-2) d +a+(n-1) d=112 \\ \Rightarrow 4 a+4 n d-10 d=112 \\ \Rightarrow 4 \times 11+4 n \times 2-10 \times 2=112 \\ \Rightarrow 44-20+8 n=112 \\ \Rightarrow 8 n=112-24 \\ \Rightarrow 8 n=88 \\ \Rightarrow n=\frac{88}{8} \\ \Rightarrow n=11
Example:13.यदि \frac{a+b x}{a-b x}=\frac{b+c x}{b-c x}=\frac{c+d x}{c-d x}(x \neq 0) हो तो दिखाइए कि a,b,c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Solution: \frac{a+b x}{a-b x}=\frac{b+c x}{b-c x}=\frac{c+d x}{c-d x} \\ \Rightarrow \frac{a+b x+a-b x}{a+b x-a+b x}=\frac{b+c x+b-c x}{b+c x-b+c x}=\frac{c+d x+c-d x}{c+d x-c+d x} (योगान्तरानुपात से)
\frac{2 a}{2 b x}=\frac{2 b}{2 c x}=\frac{2 c}{2 d x} \\ \Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d} \\ \Rightarrow b^2=a c, c^2=b d
अतः a,b,c,d गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Example:14.किसी गुणोत्तर श्रेणी में S, n पदों का योग, P उनका गुणनफल तथा R उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि
Solution:माना गुणोत्तर श्रेणी हैः
a, a r, a r^2, a r^3, \cdots, a r^{n-1}\\ S=a \frac{\left(r^n-1\right)}{r-1} \\ \Rightarrow S^{n}= \frac{a^n \left(r^n-1\right)^n}{(r-1)^{n}} \cdots(1) \\ p=a \times a r \times a r^2 \times a r^3 \times \ldots \times ar^{n-1} \\ =a^{1+1+1+\ldots \ldots+n \text { पद }} r^{1+2+3+\ldots \ldots+n-1 \text { पद }}\\ =a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}} \\ \Rightarrow p^2=a^{2 n} r^{n(n-1)} \ldots(2) \\ R=\frac{1}{a}+\frac{1}{a r}+\frac{1}{a r^2}+\frac{1}{a r^{3}}+\cdots+\frac{1}{a r^{n-1}}\\ =\frac{\frac{1}{a} \left [ \left ( \frac{1}{r}\right)^{n}-1 \right]}{\left ( \frac{1}{r}-1\right)}\\ =\frac{1}{a} \frac{\left(r^n-1\right)}{r^{n}} \times \frac{r}{r-1}\\ =\frac{r}{a} \cdot \frac{\left(r^n-1\right)}{r^n(r-1)}\\ R^n=\frac{r^n}{a^n} \cdot \frac{\left(r^n-1\right)^n}{r^{n^2}(r-1)^n} \cdots(3)
(2) व (3) को गुणा करने परः
P^2 R^n=\frac{a^{2 n} r^{n(n-1)} \cdot r^n\left(r^n-1\right)^{n}}{a^{n} r^{n^2}(r-1)^n} \\=\frac{a^{2 n-n} \cdot r^{n^2-n-n^2+n} \cdot (r^{n}-1)^n}{(r-1)^n}\\ =\frac{a^n\left(r^n-1\right)^n}{\left(r-1\right)^{n}} \\ \Rightarrow P^2 R^n=S^{n} [(1) से]
Hence Proved
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समान्तर तथा गुणोत्तर श्रेढ़ी (Arithmetic and Geometric Progression),समान्तर तथा गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Arithmetic and Geometric Series Class 11) को समझ सकते हैं।
3.समान्तर तथा गुणोत्तर श्रेढ़ी की समस्याएँ (Arithmetic and Geometric Progression Problems):
(1.)यदि समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a,द्वितीय पद b तथा अन्तिम पद c हो तो सिद्ध कीजिए कि श्रेढ़ी का योगफल \frac{(a+c)(b+c-2 a)}{2(b-a)} होगा।
(2.)a,b,c गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं तो सिद्ध कीजिएः
\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)=(a b+b c)^2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समान्तर तथा गुणोत्तर श्रेढ़ी (Arithmetic and Geometric Progression),समान्तर तथा गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Arithmetic and Geometric Series Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.समान्तर तथा गुणोत्तर श्रेढ़ी (Arithmetic and Geometric Progression),समान्तर तथा गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Arithmetic and Geometric Series Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः
प्रश्नः1. अनुक्रम और श्रेणी की मुख्य बातें लिखिए। (Write Down the HIGHLIGHTS of the Sequence and Series):
उत्तरः(1.)अनुक्रम से हमारा तात्पर्य है, “किसी नियम के अनुसार एक परिभाषित (निश्चित) क्रम में संख्याओं की व्यवस्था”। पुनः हम एक अनुक्रम को एक फलन के रूप में परिभाषित कर सकते हैं,जिसका प्रान्त प्राकृत संख्याओं का समुच्चय हो अथवा उसका उपसमुच्चय {1,2,3,….,k} के प्रकार का हो।वे अनुक्रम जिनमें पदों की संख्या सीमित होती है “परिमित अनुक्रम” कहलाते हैं।यदि कोई अनुक्रम परिमित नहीं है तो उसे अपरिमित अनुक्रम कहते हैं।
(2.)मान लीजिए a_1, a_2, a_3,\cdots \cdots एक अनुक्रम है तो a_1+a_2+a_3+\cdots \cdots के रूप में व्यक्त किया गया योग श्रेणी कहलाता है जिस श्रेणी के पदों की संख्या सीमित होती है उसे परिमित श्रेणी कहते हैं।
(3.)किसी अनुक्रम पद समान नियतांक से लगातार बढ़ते या घटते हैं, समान्तर श्रेणी होती है।नियतांक को समान्तर श्रेणी का सार्व अन्तर कहते हैं।सामान्यतः हम समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a, सार्व अन्तर d तथा अन्तिम पद l से प्रदर्शित करते हैं।समान्तर श्रेणी का व्यापक पद या nवाँ पद a_n=a+(n-1) d है।समान्तर श्रेणी के n पदों का योगफल S_{n} निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता हैः
S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]=\frac{n}{2}(a+l)
(4.)कोई दो संख्याओं a तथा b का समान्तर माध्य A, \frac{a+b}{2} होता है अर्थात् अनुक्रम a,A,b समान्तर श्रेणी (A.P.) में है।
(5.)किसी अनुक्रम को गुणोत्तर श्रेणी या G.P. कहते हैं, यदि कोई पद अपने पिछले पद से एक अचर अनुपात में बढ़ता है।इस अचर गुणांक को सार्व अनुपात कहते हैं।साधारणतः हम गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम पद को a तथा सार्व अनुपात r से सांकेतिक करते हैं।गुणोत्तर श्रेणी का व्यापक पद या nवाँ पद a_{n}=a r^{n-1} होता है।गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग S_n=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} या \frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r} यदि r \neq 1 होता है।
(6.)कोई दो धनात्मक संख्याएँ a तथा b का गुणोत्तर माध्य \sqrt{ab} है अर्थात् अनुक्रम a,G,b गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
प्रश्नः2.अनन्त गुणोत्तर श्रेणी का योगफल कैसे ज्ञात करते है? (How to Find the Sum of Infinite Geometric Series?):
उत्तरःमाना कि एक अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्व अनुपात r है जहाँ – 1<r<1 अर्थात् है।तब इस गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योगफल दिया जाता है।
S_{\infty}=a\left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right)=\frac{a}{1-r}-\frac{a r^n}{1-r} \\ \lim_{n \rightarrow \infty} S_n=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a}{a-r}-\frac{a r^n}{1-r}\right) \\ S_{\infty}=\frac{a}{1-r} \left[\because \mid x \mid<1 \text { तथा } \lim _{n \rightarrow \infty} r=0 \text { यदि } \mid x \mid<1 \right]
प्रश्नः3.अनन्त गुणोत्तर श्रेणी के योगफल की मुख्य बातें लिखिए।(Write HIGHLIGHTS of the Sum of the Infinite Geometric Progression):
उत्तरः(1.)यदि \mid x \mid \geq 1 तब अनन्त गुणोत्तर श्रेणी का योगफल अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है।अतः अनन्त गुणोत्तर श्रेणी के योगफल का उपर्युक्त सूत्र r का संख्यात्मक मान 1 से कम अर्थात् \mid x \mid < 1 पर ही सार्थक है।
(2.)उपर्युक्त सूत्र के प्रयोग से किसी प्रमेय संख्या को, आवर्ती दशमलव विस्तार रूप से भिन्नात्मक रूप में व्यक्त किया जा सकता है।किसी परिमेय संख्या को दशमलव रूप में व्यक्त करने पर यदि दशमलव के बाद कोई एक अंक या अंकों का समूह अनन्त बार आता है तो इसे आवर्ती दशमलव विस्तार कहते हैं।जैसे 2.454545….को 2.\overline{45}के रूप में लिखते हैं।आवर्ती दशमलव में पुनरावृत्ति वाले अंक समूह पर एक रेखा (bar) या बिन्दु (dot) लगाकर लिखा जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समान्तर तथा गुणोत्तर श्रेढ़ी (Arithmetic and Geometric Progression),समान्तर तथा गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Arithmetic and Geometric Series Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
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