1.समाकलन द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल (Area Under Simple Curves by Integral),समाकलन द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल कक्षा 12 (Area Under Simple Curves by Integral Class 12):

Area Under Simple Curves by Integral

समाकलन द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल (Area Under Simple Curves by Integral) किसी वक्र का भाग जो रेखाओं एवं अक्षों द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है,पर आधारित सवालों में क्षेत्रफल ज्ञात करना सीखेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Definite Integral by Use of Properties

2.समाकलन द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल के साधित उदाहरण (Area Under Simple Curves by Integral Solved Examples):

Example:1.वक्र y^2=x ,रेखाओं x=1,x=4 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Area Under Simple Curves by Integral

Solution:परवलय y^2=x ,रेखाओं x=1,x=4 एवं x-अक्ष से घिरा छायांकित भाग है अतः
अभीष्ट बहुभुज PQMLP का क्षेत्रफल
=\int_1^4 y d x \\ =\int_1^4 \sqrt{x} d x \\ =\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_1^4 \\ =\frac{4^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{1^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \\=\frac{8}{\frac{3}{2}}-\frac{1}{\frac{3}{2}} \\ =\frac{16}{3}-\frac{2}{3} \\ =\frac{14}{3} वर्ग ईकाई
Example:2.प्रथम चतुर्थांश में वक्र y^2=9 x, x=2, x=4 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Area Under Simple Curves by Integral

Solution:परवलय y^2=9 x, x=2, x=4 एवं x-अक्ष से घिरा क्षेत्र छायांकित है अतः
अभीष्ट छायांकित बहुभुज का क्षेत्रफल
=\int_2^4 y d x \\ =\int_2^4 \sqrt{9 x} d x \\ =3 \left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]^4_2 \\ =2\left[4^{\frac{3}{2}}-2^{\frac{3}{2}}\right] \\ =2[8-2 \sqrt{2}] \\ =(16-4 \sqrt{2}) वर्ग इकाई
Example:3.प्रथम चतुर्थांश में x^2=4 y, y=2, y=4 एवं y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Area Under Simple Curves by Integral

Solution:प्रथम चतुर्थांश में x^2=4 y, y=2, y=4 एवं y-अक्ष से घिरा हुआ क्षेत्र छायांकित भाग है अतः
अभीष्ट छायांकित बहुभुज PLMN का क्षेत्रफल=\int_2^4 x d y \\ =\int_2^4 \sqrt{4 y} d y \\ =2\left[\frac{y^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_2^4 \\ =2 \times \frac{2}{3}\left(4^{\frac{3}{2}}-2^{\frac{3}{2}}\right) \\ =\frac{4}{3}(8-2 \sqrt{2}) \\ =\frac{(32-8 \sqrt{2})}{3}
Example:4.दीर्घवृत्त \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Area Under Simple Curves by Integral

Solution:दीर्घवृत्त \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 दोनों अक्षों के प्रति सममित है।अतः दीर्घवृत्त से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल=4× (ABOA) का क्षेत्रफल
=4 \int_0^4 y dx \\ =4 \int_0^4 3 \sqrt{1-\frac{x^2}{16}} d x \\ =\frac{12}{4} \int_0^4 \sqrt{16-x^2} d x \\ =3\left[\frac{x}{2} \sqrt{16-x^2}+\frac{16}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{4}\right)\right]_0^4 \\ =3\left[0+8 \sin ^{-1}\left(\frac{4}{4}\right)-0\right] \\ =3 \times 8 \sin ^{-1}(1)=24 \times \frac{\pi}{2}\\ =12 \pi वर्ग इकाई
Example:5.दीर्घवृत्त \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Area Under Simple Curves by Integral

Solution:दीर्घवृत्त दोनों अक्षों के प्रति सममित है।अतः दीर्घवृत्त से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल=4× (AOBA) का क्षेत्रफल
=4 \int_0^2 y dy \cdots(1) \\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1 \\ \frac{y^2}{9}=1-\frac{x^2}{4} \\ \Rightarrow y^2=\frac{9}{4}\left(4-x^2\right) \\ \Rightarrow y=\frac{3}{2} \sqrt{4-x^2}
y का मान (1) में रखने पर:
=4 \times \frac{3}{2} \int_0^2 \sqrt{4-x^2} d x \\ =6\left[\frac{x}{2} \sqrt{4-x^2}+\frac{4}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right]^2 \\ =6\left[0+2 \sin ^{-1}\left(\frac{2}{2}\right)-0\right] \\ =6 \times 2 \sin ^{-1}(1) \\ =12 \times \frac{1}{2} \\ =6 \pi वर्ग इकाई
Example:6.प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x^2+y^2=4 ,रेखा x=\sqrt{3} y एवं x-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Area Under Simple Curves by Integral

Solution:प्रथम चतुर्थांश में x^2+y^2=4 वृत्त,रेखा x=\sqrt{3} y एवं x-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्र छायांकित भाग है।
वृत्त तथा रेखा का प्रतिच्छेद बिन्दु
x^2+y^2=4 \cdots(1) \\ x=\sqrt{3} y \cdots(2)
(1) व (2) से:
(\sqrt{3} y)^2+y^2=4 \\ \Rightarrow 3 y^2+y^2=4 \\ \Rightarrow 3 y^2+y^2=4 \\ \Rightarrow 4 y^2=4 \Rightarrow y^2=1
(2) से x=\sqrt{3} \times 1=\sqrt{3}
अतः प्रतिच्छेद बिन्दु (\sqrt{3} ,1 )
अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल=OQP का क्षेत्रफल+QAP का क्षेत्रफल
=\int_0^{\sqrt{3}} y dx(\text { रेखा से })+\int_{\sqrt{3}}^2 y d x(\text { (वृत्त से) }) \\ =\int_0^{\sqrt{3}}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) d x+\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4-x^2} d x \\ =\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\sqrt{3}}+\left[\frac{x}{2} \sqrt{4-x^2}+\frac{4}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right]^2_{\sqrt{3}} \\ =\frac{1}{2 \sqrt{3}}(\sqrt{3})^2+\left[0+2 \sin ^{-1}\left(\frac{2}{2} \right) -\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4-3}-2 \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right] \\ =\frac{\sqrt{3}}{2}+2 \sin ^{-1}(1)-\frac{\sqrt{3}}{2}-2 \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ =2 \times \frac{\pi}{2}-2 \times \frac{\pi}{3}=\frac{6 \pi-4 \pi}{6} \\ =\frac{2 \pi}{6} \\=\frac{\pi}{3} वर्ग इकाई
Example:7.छेदक रेखा x=\frac{a}{\sqrt{2}} द्वारा वृत्त x^2+y^2=a^2 के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Area Under Simple Curves by Integral

Solution:वृत्त x^2+y^2=a^2 तथा x=\frac{a}{\sqrt{2}} द्वारा प्रतिच्छेदित छोटा भाग,छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है जो बायीं ओर का भाग है।
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल=2×(APQA) का क्षेत्रफल
=2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^a y dx \text{ (वृत्त से) } \\ =2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^a \sqrt{a^2-x^2} d x \\ =2\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^a \\ =2\left[0+\frac{a^2}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{a}{a}\right)-\frac{a}{2 \sqrt{2}} \sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}-\frac{a^2}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{a}\right)\right] \\ =2\left[\frac{a^2}{2} \sin ^{-1}(1)-\frac{a}{2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{a^2}{2}}-\frac{a^2}{2} \sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})\right] \\ =2\left[\frac{a^2}{2} \times \frac{\pi}{2}-\frac{a}{2 \sqrt{2}} \times \frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{a^2}{2} \cdot \frac{\pi}{4}\right] \\ =2\left[\frac{\pi a^2}{4}-\frac{\pi a^2}{8}-\frac{a^2}{4}\right] \\ =2\left[\frac{\pi a^2}{8}-\frac{a^2}{4}\right] \\ =2 \times \frac{a^2}{4}\left(\frac{\pi}{2}-1\right) \\ =\frac{a^2}{2}\left(\frac{\pi}{2}-1\right) वर्ग इकाई
Example:8.यदि वक्र x=y^2 एवं रेखा x=4 से घिरा हुआ क्षेत्रफल रेखा x=a द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित होता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।

Area Under Simple Curves by Integral

Solution:परवलय y^2=x तथा x=4 से घिरा हुआ क्षेत्र का क्षेत्रफल=2×(CONC) का क्षेत्रफल
=2 \int_0^4 y d x \\ =2 \int_0^4 \sqrt{x} d x \\ =2\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^4 \\ =2 \times \frac{2}{3} \left[4^{\frac{3}{2}}-0\right] \\ =\frac{4}{3} \times 8 \\ =\frac{32}{3} वर्ग इकाई
परवलय y^2=x तथा रेखा x=a से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल=2×(AOMA) का क्षेत्रफल
=2 \int_0^a y d x \\ =2 \int_0^a \sqrt{x} d x \\ =2\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^a =\frac{4}{3}\left[a^{\frac{3}{2}}\right]
प्रश्नानुसार
क्षेत्रफल AOBA=\frac{1}{2} ×क्षेत्रफल ODCO
=\frac{4}{3} a^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2} \times \frac{32}{3} \\ \Rightarrow a^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2} \times \frac{32}{3} \times \frac{3}{4} \\ \Rightarrow a^{\frac{3}{2}}=4 \\ \Rightarrow a=4^{\frac{2}{3}} इकाई
Example:9.परवलय y=x^2 एवं y=|x| से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Area Under Simple Curves by Integral

Solution: y=|x| दो रेखाओं y=x तथा y=-x को दर्शाता है।अतः परवलय x^2=y तथा y=x एवं x^2=y व y=-x से घिरे क्षेत्र को छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।छायांकित भाग y-अक्ष के प्रति सममित है।
अब परवलय व रेखा का प्रतिच्छेद बिन्दु
x^2=y \cdots(1)
y=x ………(2)
(1) व (2) से:
x^2=x \Rightarrow x^2-x=0 \\ \Rightarrow x=0, x=1
अतः y=0,y=1
अभीष्ट क्षेत्रफल=2×(प्रथम चतुर्थांश में छायांकित भाग)
=2 \int_0^1 y dx \text{ (सरल रेखा से) } -2 \int_0^1 y d x \text{ (परवलय से) } \\ =2 \int_0^1 x d x-2 \int_0^1 x^2 d x \\ =2 \cdot\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1-2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 \\ =2\left[\frac{1^2}{2}-0\right]-2\left[\frac{1^3}{3}-0\right] \\ =2 \times \frac{1}{2}-2 \times \frac{1}{3} \\ =1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} वर्ग इकाई
Example:10.वक्र x^2=4 y एवं रेखा x=4y-2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Area Under Simple Curves by Integral

Solution:परवलय y=\frac{x^2}{4} तथा रेखा x=4y-2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।दोनों का प्रतिच्छेद बिन्दु
y=\frac{x^2}{4} \cdots(1)\\ 4 y=x+2 \cdots(2) \\ \left(\frac{x+2}{4}\right)=\frac{x^2}{4} \Rightarrow x^2-x-2=0 \\ x^2-2 x+x-2=0 \\ \Rightarrow x(x-2)+1(x-2)=0 \\ \Rightarrow (x+1)(x-2)=0 \\ \Rightarrow x=1,2
जब x=-1 तो (2) से y=\frac{1}{4}
जब x=2 तो (2) से y=1
रेखा अक्षों को काटती है:
x=0 तो y=\frac{1}{2} ,y=0 तो x=-2
\left(0, \frac{1}{2}\right) , (-2,0)
अतः अभीष्ट छायांकित भाग AOBA का क्षेत्रफल
= \int_{-1}^2 y d x \text { (रेखा से) } -\int_{-1}^2 y d x \text { (परवलय से) } \\ =\int_{-1}^2\left(\frac{x+2}{4}\right) d x-\int_{-1}^2\left(\frac{x^2}{4}\right) d x \\ =\frac{1}{4}\left[\frac{x^2}{2}+2 x\right]_{-1}^2-\left[\frac{x^3}{12}\right]_{-1}^2 \\ =\frac{1}{4}\left[\frac{2^2}{2}+2 \times 2-\frac{(-1)^2}{2}-2(-1)\right]-\left[\frac{2^3}{12}-\frac{(-1)^3}{12}\right] \\ =\frac{1}{4}\left[2+4-\frac{1}{2}+2\right]-\left[\frac{8}{12}+\frac{1}{12}\right] \\ =\frac{1}{4} \times \frac{15}{2}-\frac{8}{12}-\frac{1}{12} \\ =\frac{15}{8}-\frac{8}{12}-\frac{1}{12} \\ =\frac{45-16-2}{24} \\ =\frac{27}{24} \\ =\frac{9}{8} वर्ग इकाई
Example:11.वक्र y^2=4 x एवं रेखा x=3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Area Under Simple Curves by Integral

Solution:परवलय y^2=4 x तथा रेखा x=3 द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल=2×(AMOA) का क्षेत्रफल
=\int_0^3 y d x \\ =2 \int_0^3 \sqrt{4 x} d x \\ =4\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^3 \\ =4 \times \frac{2}{3} \left[3^{\frac{3}{2}}-0 \right] \\ =\frac{8}{3} \times 3 \sqrt{2} \\ =8 \sqrt{2} वर्ग इकाई
प्रश्न 12 एवं 13 में सही उत्तर का चयन कीजिए:
Example:12.प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x^2+y^2=4 एवं रेखाओं x=0,x=2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
(A)\pi (B) \frac{\pi}{2} (C)\frac{\pi}{3} (D)\frac{\pi}{4}

Area Under Simple Curves by Integral

Solution:प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x^2+y^2=4 एवं रेखाओं x=0 तथा x=2 द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र,छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है अतः
अभीष्ट क्षेत्रफल AOBA=
=\int_0^2 y d x \\ =\int_0^2 \sqrt{4-x^2} d x \\ =\left[\frac{x}{2} \sqrt{4-x^2}+\frac{4}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right]_0^2 \\ =0+2 \sin ^{-1}\left(\frac{2}{2}\right)-(0)-2 \sin ^{-1}(0) \\ =2 \sin ^{-1}(1) \\ =2 \times \frac{\pi}{2} \\ =\pi वर्ग इकाई
अतः विकल्प (A) सही है।
Example:13.वक्र y^2=4 x ,y-अक्ष एवं रेखा y=3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
(A) 2 (B) \frac{9}{4} (c) \frac{9}{3} (D) \frac{9}{2}

Area Under Simple Curves by Integral

Solution:परवलय y^2=4 x ,y-अक्ष एवं रेखा y=3 से घिरा हुआ क्षेत्र का क्षेत्रफल छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।
परवलय एवं रेखा का प्रतिच्छेद बिन्दु
y^2=4 x \cdots(1)
y=3 ………(2)
(1) व (2) से:
(3)^2=4 x \Rightarrow x=\frac{9}{4}
अतः \left(\frac{9}{4}, 3\right) प्रतिच्छेद बिन्दु है।
अभीष्ट क्षेत्रफल AOBA
=\int_0^3 x d y \\ =\int_0^3 \frac{y^2}{4} d y \\ =\frac{1}{4}\left[\frac{y^3}{3}\right]_0^3 \\ =\frac{1}{12} \times\left(3^3-0\right) \\ =\frac{1}{12} \times 27 \\ =\frac{9}{4}
अतः विकल्प B सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा समाकलन द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल (Area Under Simple Curves by Integral),समाकलन द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल कक्षा 12 (Area Under Simple Curves by Integral Class 12) को समझ सकते हैं।

3.समाकलन द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Area Under Simple Curves by Integral):

Area Under Simple Curves by Integral

(1.)परवलय y^2=4ax और उसके नाभिलम्ब के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(2.)वक्र y^2=2y-x तथा y-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.) \frac{8}{3} a^2 वर्ग इकाई (2.) \frac{4}{3} वर्ग इकाई
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समाकलन द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल (Area Under Simple Curves by Integral),समाकलन द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल कक्षा 12 (Area Under Simple Curves by Integral Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Indefinite Integrals in Class 12th

4.समाकलन द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल (Frequently Asked Questions Related to Area Under Simple Curves by Integral),समाकलन द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल कक्षा 12 (Area Under Simple Curves by Integral Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.समाकलनों के विशिष्ट अनुप्रयोग क्या हैं? (What Are the Typical Applications of Integrals?):

उत्तर:साधारण वक्रों के अन्तर्गत,सरल रेखाओं एवं वृत्तों, परवलयों तथा दीर्घवृत्तों की चापों के बीच घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए समाकलनों का विशिष्ट अनुप्रयोग किया जाता है।

प्रश्न:2.समाकल द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करते हैं? (How is the Area Under Ordinary Curves Determined by an Integral Method?):

उत्तर:वक्र y=f(x),x-अक्ष एवं कोटियों x=a तथा x=b से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल निम्नलिखित प्रकार किया जाता है:
A=\int_a^b d A=\int_a^b y d x=\int_a^b f(x) d x

प्रश्न:3.वक्र x=g(y) का y-अक्ष एवं रेखाओं y=C व y=d से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र लिखो।  (Write the Formula to Find Area of the Region Bounded by x-axix and y=c and y=d Lines of the Curve x=g(y).)

उत्तर: A=\int_c^d x d y=\int_c^d g(y) d y
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समाकलन द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल (Area Under Simple Curves by Integral),समाकलन द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल कक्षा 12 (Area Under Simple Curves by Integral Class 12) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

समाकलन द्वारा साधारण वक्रों के अन्तर्गत क्षेत्रफल (Area Under Simple Curves by Integral)
किसी वक्र का भाग जो रेखाओं एवं अक्षों द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है,पर आधारित सवालों में क्षेत्रफल
ज्ञात करना सीखेंगे।