1.त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 12 (Area of Triangle Class 12),कक्षा 12 में त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle in Class 12):

Area of Triangle Class 12

त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 12 (Area of Triangle Class 12) के इस आर्टिकल में त्रिभुज का क्षेत्रफल सारणिक के रूप में व्यक्त करके और फिर उसका विस्तार करके ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 12 के उदाहरण (Area of Triangle Class 12 Examples):

Example:1.निम्नलिखित प्रत्येक में दिए गए शीर्ष बिन्दुओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Example:1(i).(1,0),(6,0),(4,3)
Solution: \left(x_1, y_1\right)=(1,0),\left(x_2, y_2\right)=(6,0),\left(x_3, y_3\right)=(4,3)
त्रिभुज का क्षेत्रफल

\Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right| \\ =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{array}\right|
द्वितीय स्तम्भ के अनुसार प्रसरण करने पर:
=\frac{1}{2}\left[-0\left| \begin{array}{ll} 6 & 1 \\ 4 & 1 \end{array} \right| +0\left| \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{array} \right|-3 \left| \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 6 & 1 \end{array} \right|\right] \\ =\frac{1}{2}[-3(1-6)]=\frac{1}{2} \times -3 \times -5 \\ \Rightarrow \Delta=\frac{15}{2}  वर्ग इकाई 
Example:1(ii).(2,7),(1,1),(10,8)
Solution: \left(x_1, y_1\right)=(2,7),\left(x_2, y_2\right)=(1,1),\left(x_3 , y_3\right)=(10,8)
त्रिभुज का क्षेत्रफल
\Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right| \\ =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 10 & 8 & 1\end{array}\right| \\ C_1 \rightarrow C_1-C_2, C_2 \rightarrow C_2-C_3 संक्रिया से:

=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr}-5 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 7 & 1\end{array}\right|
द्वितीय पंक्ति के अनुसार प्रसरण करने पर:
=\frac{1}{2}\left[ -0\left|\begin{array}{ll} 6 & 1 \\ 7 & 1 \end{array}\right|+0 \left| \begin{array}{ll} -5 & 1 \\2 & 1\end{array} \right|-1 \left| \begin{array}{ll}-5 & 6 \\2 & 7\end{array}\right|\right] \\ =\frac{1}{2}[-1(-5 \times 7-6 \times 2)] \\=\frac{1}{2}[-(-35-12)] \\ \Delta=\frac{47}{2} वर्ग इकाई (क्षेत्रफल धनात्मक होता है)

Example:1(iii). (-2,-3),(3,2),(-1,8)
Solution: \left(x_1, y_1\right)=(-2,-3),\left(x_2, y_2\right)=(3,2),\left(x_3, y_2\right)=(-1,8)
त्रिभुज का क्षेत्रफल
\Delta =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right| \\=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} -2 & -3 & 1 \\3 & 2 & 1 \\-1 & -8 & 1\end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 \text { तथा } R_2 \rightarrow R_2-R_3 संक्रिया से:

=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}-5 & -5 & 0 \\ 4 & 10 & 0 \\ -1 & -8 & 1\end{array}\right|
द्वितीय पंक्ति के अनुसार प्रसरण करने पर:
=\frac{1}{2}\left[0\left|\begin{array}{cc}4 & 10 \\ -1 & -8\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{cc}-5 & -5 \\ -1 & -8\end{array}\right|+1 \left| \begin{array}{cc}-5 & -5 \\ 4 & 10\end{array}\right|\right] \\ =\frac{1}{2}[1(-5 \times 10-4 \times -5)] \\ =\frac{1}{2}(-50+20) \\ =-\frac{30}{2} \\ \Delta=15 वर्ग इकाई (क्षेत्रफल धनात्मक होता है)

Example:2.दर्शाइए कि बिन्दु A(a,b+c),B(b,c+a),C(c,a+b) संरेख हैं।
Solution:  \left(x_1, y_1\right)=A\left(a, b+c\right),\left(x_2, y_2\right)=B\left(b,c+a\right),\left(x_3, y_3\right)=C\left(c,a+b\right)
त्रिभुज का क्षेत्रफल
\Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right| \\ =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}a & b+c & 1 \\b & c+a & 1 \\c & a+b & 1 \end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 \text { तथा } R_2 \rightarrow R_2 \rightarrow R_2-R_3 संक्रिया से:
तृतीय स्तम्भ के अनुसार प्रसरण करने पर:

=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} a-b & b-a & 0 \\ b-c & c-b & 0 \\ c & a+b & 1\end{array}\right| \\ =\frac{1}{2}\left[0\left|\begin{array}{cc}b-c & c-b \\c & a+b\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{cc} a-b & b \\c & a+b\end{array}\right|+1 \left|\begin{array}{cc}a-b & b-a \\b-c & c-b \end{array}\right|\right] \\=\frac{1}{2}[(a-b)(c-b)-(b-a)(b-c)] \\ =\frac{1}{2}\left(a c-a b-b c+b^2-b^2+b c+a b-a c\right) \\ =\frac{1}{2} \times 0 \\ \Rightarrow \Delta=0
त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होने पर तीनों बिन्दु संरेख होते हैं।अतः उक्त बिन्दु संरेख हैं।
Example:3.प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है जहाँ शीर्ष बिन्दु निम्नलिखित हैं:
Example:3(i).(k,0),(4,0),(0,2)
Solution:  \left(x_1, y_1\right)=\left(k,0\right),\left(x_2, y_2\right)=(4,0),\left(x_3, y_3\right)=(0,2)
त्रिभुज का क्षेत्रफल

\Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1\end{array} \right| \\\Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}k & 0 & 1 \\4 & 0 & 1 \\0 & 2 & 1\end{array}\right| = \pm 4
द्वितीय स्तम्भ के अनुसार प्रसरण करने पर:

=\frac{1}{2}\left[-2(k \times 1-1 \times 4) \right]= \pm 4 \\ =\frac{1}{2}[-2(k-4)]= \pm 4 \\ -k+4= \pm 4
धनात्मक चिन्ह लेने पर

-k+4=+4 \Rightarrow-k=4-4 \\ k=0
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:
-k+4=-4 \\ \Rightarrow-k=-4-4 \\ -k=-8 \Rightarrow k=8 \\ k=0,8
Example:3(ii).(-2,0),(0,4),(0,k)
Solution: \left(x_1, y_1\right)=(-2,0),\left(x_2, y_2\right)=(0,4),\left(x_3, y_3\right)=(0,k)
त्रिभुज का क्षेत्रफल

\Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right| \\ \frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & k & 1\end{array}\right|= \pm 4
प्रथम स्तम्भ के अनुसार प्रसरण करने पर:

\frac{1}{2}\left[-2\left|\begin{array}{ll}4 & 1 \\ k & 1\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ k & 1\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 4 & 1\end{array}\right|\right]= \pm 4 \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left[-2(4 \times 1-1 \times k) \right ]= \pm 4 \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \times-2(4-k)= \pm 4 \\ \Rightarrow -4+k= \pm 4
धनात्मक चिन्ह लेने पर:

-4+k=+4 \\ \Rightarrow k=4+4 \\ k=8
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

Area of Triangle Class 12

Example:4(i).सारणिकों का प्रयोग करके (1,2) और (3,6) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(x_1, y_1\right)=(1,2),\left(x_2, y_2\right)=(3,6), \left(x_3, y_3\right)=(x, y)
उक्त बिन्दु रेखा पर हैं अतः संरेख हैं।फलतः त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा:
त्रिभुज का क्षेत्रफल
\Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right| \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \\ x & y & 1\end{array}\right|=0 \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 \text { तथा } R_2 \rightarrow R_2-R_3 संक्रिया से:

\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}-2 & -4 & 0 \\ 3-x & 6-y & 0 \\ x & y & 1\end{array}\right|=0
तृतीय स्तम्भ के अनुसार प्रसरण करने पर:

0\left|\begin{array}{cc}3-x & 6-y \\ x & y\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{cc}-2 & -4 \\ x & y\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc}-2 & -4 \\ 3-x & 6-y\end{array}\right|=0 \\ \Rightarrow-2(6-y)+4(3-x)=0 \\ \Rightarrow-12+2 y+12-4 x=0 \\ \Rightarrow-4 x+2 y=0 \\ \Rightarrow-2(2 x-y)=0 \\ \Rightarrow 2 x-y=0
जो कि रेखा का अभीष्ट समीकरण है।
Example:4(ii).सारणिकों का प्रयोग करके (3,1) और (9,3) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(x_1, y_1\right)=(3,1),\left(x_2, y_2\right)=(9,3),\left(x_3, y_3\right)=(x, y)
उक्त तीनों बिन्दु रेखा पर हैं अतः संरेख हैं। फलतः त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
त्रिभुज का क्षेत्रफल
\Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right| \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}3 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ x & y & 1\end{array}\right|=0 \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 \text { तथा } R_2 \rightarrow R_2-R_3 संक्रिया से:

\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}-6 & -2 & 0 \\ 9-x & 3-y & 0 \\ x & y & 1\end{array}\right|=0
तृतीय स्तम्भ के अनुसार प्रसरण करने पर:

0\left|\begin{array}{cc}9-x & 3-y \\ x & y\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{cc}-6 & -2 \\ x & y\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc}-6 & -2 \\ 9-x & 3-y\end{array}\right|=0 \\ \Rightarrow-6(3-y)+2(9-x)=0 \\ \Rightarrow-18+6 y+18-2 x=0 \\ \Rightarrow-2 x+6 y=0 \Rightarrow-2(x-3 y)=0 \\ \Rightarrow x-3 y=0
जो कि रेखा का अभीष्ट समीकरण है।
Example:5.यदि शीर्ष (2,-6),(5,4) और (k,4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई हो तो k का मान है:
(A)12 (B)-2  (C)-12,-2  (D)12,-2
Solution: \left(x_1, y_1\right)=(2,-6),\left(x_2 , y_2\right)=(5,4),\left(x_3, y_3\right)=(k, 4)
त्रिभुज का क्षेत्रफल
\Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right| \\ =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}2 & -6 & 1 \\ 5 & 4 & 1 \\ k & 4 & 1\end{array}\right|= \pm 35 \\ R_1 \rightarrow R_1 \rightarrow R_2 \text { तथा } R_2 \rightarrow R_2-R_3 संक्रिया से:

\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}-3 & -10 & 0 \\ 5-k & 0 & 0 \\ k & 4 & 1\end{array}\right|= \pm 35
तृतीय स्तम्भ के अनुसार प्रसरण करने पर:

\frac{1}{2}\left[0\left|\begin{array}{cc}5-k & 0 \\ k & 4\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{cc}-3 & -10 \\ k & 4\end{array}\right|+1 \left| \begin{array}{cc}-3 & -10 \\ 5-k & 0\end{array}\right|\right]= \pm 35 \\ \frac{1}{2}\left[-3 \times 0+10(5-k)\right]= \pm 35 \\ \Rightarrow 10(5-k)= \pm 70 \\ \Rightarrow 5-k= \pm 7
धनात्मक चिन्ह लेने पर:

5-k=7 \\ \Rightarrow k=5-7=-2
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

5-k=-7 \\ \Rightarrow k=7+5=12, k=-2,12
अतः विकल्प (D) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 12 (Area of Triangle Class 12),कक्षा 12 में त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle in Class 12) को समझ सकते हैं।

3.त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 12 की समस्याएँ (Area of Triangle Class 12 Problems):

Area of Triangle Class 12

(1.)वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जबकि तीन बिन्दु \left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right) तथा \left(x_1+x_2, y_1+y_2\right) संरेख हैं।
(2.)यदि (2, \lambda) ;(3,2 \lambda) तथा (7,3 \lambda) संरेख हों तो \lambda का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answer):(2.) \lambda=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 12 (Area of Triangle Class 12),कक्षा 12 में त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Area of Triangle Class 12),कक्षा 12 में त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 12 (Area of Triangle Class 12) के इस आर्टिकल में त्रिभुज का
क्षेत्रफल सारणिक के रूप में व्यक्त करके और फिर उसका विस्तार करके ज्ञात करना सीखेंगे।