1.त्रिभुज और समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 9वीं (Area of Triangle and Parallelogram 9th),समान्तर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल कक्षा 9 (Area of Parallelograms and Triangles Class 9):

Area of Triangle and Parallelogram 9th

त्रिभुज और समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 9वीं (Area of Triangle and Parallelogram 9th) के इस आर्टिकल में एक ही समान्तर भुजाओं व समान आधार पर स्थित त्रिभुजों व समान्तर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.त्रिभुज और समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 9वीं के साधित उदाहरण (Area of Triangle and Parallelogram 9th Solved Illustrations):

Illustration:1.सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की माध्यिका उसको समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

Area of Triangle and Parallelogram 9th

Solution:दिया है (Given): \triangle ABC जिसमें AD भुजा BC की माध्यिका है।
सिद्ध करना है (To Prove): \triangle ABD का क्षेत्रफल= \triangle ADC का क्षेत्रफल
रचना (Construction):A से BC पर AM \perp BC खींचा।
उपपत्ति (Proof):AD भुजा BC की माध्यिका है।
\therefore D,BC का मध्यबिन्दु है।
यानी BD=DC
\triangle ABD का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times आधार × ऊँचाई
\Rightarrow \operatorname{area}(\triangle ABD)=\frac{1}{2} \times BD \times AM \cdots(1) \\ \triangle ADC का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times DC \times AM
DC=BD रखने पर:
\Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle ADC)=\frac{1}{2} \times BD \times AM \cdots(2)
(1) व (2) से:
\operatorname{area}(\triangle ABD)=\operatorname{area}(\triangle ADC)
Illustration:2. \triangle ABC की माध्यिकाएँ BE और CF,G पर प्रतिच्छेद करती है।सिद्ध कीजिए कि:
\operatorname{ar}(\triangle GBC)=ar(चतुर्भुज AFGE)

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Solution:दिया है (Given): \triangle ABC की माध्यिकाएँ BE और CF परस्पर G पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है (To Prove): \operatorname{ar}(\triangle GBC)=ar(चतुर्भुज AFGE)
उपपत्ति (Proof): \triangle ABC की माध्यिका BE है (दिया है)
\therefore \operatorname{ar}(\triangle BCE)=\operatorname{ar}(\triangle ABE)
[ \because \triangle की माध्यिका इसे समान क्षेत्रफल वाली दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।]
\Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle BGC)+\operatorname{ar}(\triangle CGE)=\operatorname{ar}\text{(चतुर्भुज AFGE)}+\operatorname{ar}(\triangle BGF) \cdots(1)
इसी प्रकार CF, \triangle ABC की एक माध्यिका है (दिया है)
\therefore \operatorname{ar}(\triangle BCF)=\operatorname{ar}(\triangle ACF) \\ \Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle BGC)+\operatorname{ar}(BGF)=ar(चतुर्भुज AFGE)+\operatorname{ar}(\triangle CGE) \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:
2 \times \operatorname{ar}(\triangle GBC)+\operatorname{ar}(\triangle CGE)+\operatorname{ar}(\triangle BGF)=2 \times \text {ar(चतुर्भुज AFGE)}+\operatorname{ar}(\triangle BGF)+\operatorname{ar}(\triangle CGE) \\ \Rightarrow 2 \times \operatorname{ar}(\triangle GBC)=2 \times \operatorname{ar} \text { (चतुर्भुज AFGE)} \\ \Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle GBC)= \operatorname{ar} \text { (चतुर्भुज AFGE)}
Illustration:3.चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं।यदि BO=OD हो,तो सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC और ADC के क्षेत्रफल समान होते हैं।

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Solution:दिया है (Given):चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं और BO=OD
सिद्ध करना है (To Prove): \operatorname{ar}(\triangle ABC)=\operatorname{ar}(\triangle ADC)
उपपत्ति (Proof): \because BO=OD (दिया है)
\therefore O,BD का मध्य-बिन्दु है।
\therefore \triangle ABD में AO माध्यिका है।
\because त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल की दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
\therefore \operatorname{ar}(\triangle AOB)=\operatorname{ar}(\triangle AOD) \cdots(1)
इसी प्रकार, \triangle CBD में CO एक माध्यिका है।
\therefore \operatorname{ar}(\triangle COB)=\operatorname{ar}(\triangle COD) \cdots(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर:
\operatorname{ar}(\triangle AOB)+a r(\triangle COB)=\operatorname{ar}(\triangle AOD)+ \operatorname{ar}(\triangle COD) \\ \Rightarrow \operatorname{ar}(ABC)=\operatorname{ar}(\triangle ADC)
Illustration:4.के आधार BC पर D एक बिन्दु है।AD को E तक बढ़ाया गया है और DE=AD काटा गया है।दिखाइए कि \operatorname{ar}(\triangle BCE)=\operatorname{ar}(\triangle ABC)

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Solution:दिया है (Given): \triangle ABC के आधार BC पर D एक बिन्दु है तथा DE=AD
सिद्ध करना है (To Prove): \operatorname{ar}(\triangle BCE)=\operatorname{ar}(\triangle ABC)
उपपत्ति (Proof): \triangle ABE में
AD=DE (दिया है)
\therefore BD, \triangle ABE की माध्यिका है।
\Rightarrow \operatorname{ar}(ABD)=\operatorname{ar}(\triangle EBD) \cdots(1)
[ \because एक माध्यिका \triangle को समान क्षेत्रफल की दो त्रिभुजों में बाँटती है।]
इसी प्रकार \triangle ACE में CD एक माध्यिका है।
\therefore \operatorname{ar}(\triangle ACD)=\operatorname{ar}(\triangle ECD) \cdots(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर:
\operatorname{ar}(\triangle ABD)+\operatorname{ar}(\triangle ACD)=\operatorname{ar}(\triangle EBD)+\operatorname{ar}(\triangle ECD) \\ \Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle ABC)= \operatorname{ar}(\triangle BCE)
Illustration:5.एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं और चतुर्भुज को चार समान क्षेत्रफल वाली त्रिभुजों में बाँटते हैं।सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
Solution:दिया है (Given):चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं।ABCD चार एक समान क्षेत्रफल वाली त्रिभुजों में बँटा है।

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सिद्ध करना है (To Prove):चतुर्भुज ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
उपपत्ति (Proof): \because \operatorname{ar}(\triangle AOB)=\operatorname{ar}(\triangle BOC) \\ \Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle COD)=\operatorname{ar}(\triangle AOD)\cdots(1) (दिया है)
अब \operatorname{ar}(\triangle ABC)=\operatorname{ar}(\triangle AOB)+\operatorname{ar}(\triangle BOC) \\ =\operatorname{ar}(\triangle AOB)+\operatorname{ar}(\triangle AOD)
\Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle ABC)=\operatorname{ar}(\triangle ABD)
चूँकि \triangle ABC और \triangle ABD के क्षेत्रफल बराबर हैं और वे एक ही आधार पर स्थित हैं।
ये एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
\Rightarrow AB \| DC
इसी प्रकार AD \| BC
अतः चतुर्भुज ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
Illustration:6.सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।
Solution:दिया है (Given):समचतुर्भुज ABCD है जिसके विकर्ण AC और BD हैं।
सिद्ध करना है (To Prove):समचतुर्भुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times AC \times BD

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उपपत्ति (Proof):समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल= \triangle ABD का क्षेत्रफल+\triangle CBD का क्षेत्रफल
=\frac{1}{2} \times BD \times AO+\frac{1}{2} \times BD \times OC
[समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्बवत है]
=\frac{1}{2} BD(AO+OC) \\ =\frac{1}{2} \times BD \times AC \\ =\frac{1}{2} \times विकर्णों की लम्बाईयों का गुणनफल
Illustration:7.एक समबाहु त्रिभुज है।O त्रिभुज के अभ्यन्तर में कोई बिन्दु है और O से भुजाओं पर लम्ब खींचे गए हैं।सिद्ध कीजिए कि इन लम्ब रेखाखण्डों का योग अचर है।

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Solution:दिया है (Given): \triangle ABC एक समबाहु त्रिभुज है।O त्रिभुज के अभ्यन्तर में कोई बिन्दु है।O से \triangle ABC की भुजाओं BC,AB और AC पर क्रमशः लम्ब OD,OE और OF डाले गए हैं। 
सिद्ध करना है (To Prove):OD+OE+OF=अचर
रचना (Construction):O को A,B और C से मिलाया। AH \perp BC खींची।
उपपत्ति (Proof):चूँकि एक समबाहु त्रिभुज है।
\therefore AB=BC=CA
\operatorname{ar}(\triangle A O B)=\frac{(AB)(OE)}{2}\left[ \because AB=BC\right]  \\ \Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle AOB)=\frac{(BC)(OE)}{2} \cdots(1)\\ \operatorname{ar}(\triangle BOC)= \frac{(BC)(OD)}{2} \cdots(2)\\ \operatorname{ar}(\triangle COA)=\frac{(CA)(OF)}{2} \left[ \because CA=BC\right]\\ \operatorname{ar}(\triangle C O A)=\frac{1}{2} \times BC \times OF \cdots(3)
समीकरण (1),(2) और (3) को जोड़ने पर:
\operatorname{ar}(\triangle AOB)+\operatorname{ar}(\triangle BOC)+\operatorname{ar}(\triangle COA) \\ =\frac{(BO)(OE)}{2}+\frac{(BC)(OD)}{2}+\frac{(BC)(OF)}{2} \\ \Rightarrow \frac{1}{2}(BC)(AH)=\frac{1}{2} BC(OE+OD+OF) \\ \Rightarrow AH=OE+OD+OF
AH जो कि एक त्रिभुज के लिए अचर है।
Illustration:8.सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड इसे दो बराबर समान्तर चतुर्भुजों में विभाजित करता है।

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Solution:दिया है (Given):एक समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसमें M और N क्रमशः इसकी सम्मुख भुजाओं AB और CD के मध्य-बिन्दु हैं।
सिद्ध करना है (To Prove):ar(समान्तर चतुर्भुज AMND)=ar(समान्तर चतुर्भुज MBCN)
उपपत्ति (Proof):ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
\therefore AB=DC और AB \| DC
\Rightarrow \frac{1}{2} AB=\frac{1}{2} DC और AM \| DN
\Rightarrow AM=DN और AM \| DN
\Rightarrow \square AMND एक समान्तर चतुर्भुज है।
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि \square MBCN एक समान्तर चतुर्भुज है।
समान्तर चतुर्भुज AMND और समान्तर चतुर्भुज MBCN बराबर आधारों AM और MB पर हैं (M,AB का मध्य-बिन्दु है) और एक ही समान्तर रेखाओं AB और DC के बीच में हैं।
इसलिए ar(समान्तर चतुर्भुज AMND)=ar(समान्तर चतुर्भुज MBCN)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिभुज और समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 9वीं (Area of Triangle and Parallelogram 9th),समान्तर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल कक्षा 9 (Area of Parallelograms and Triangles Class 9) को समझ सकते हैं।

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3.त्रिभुज और समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 9वीं (Frequently Asked Questions Related to Area of Triangle and Parallelogram 9th),समान्तर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल कक्षा 9 (Area of Parallelograms and Triangles Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.त्रिभुज के क्षेत्रफल से क्या आशय है? (What Do You Mean by Area of a Triangle?):

उत्तर:त्रिभुज के क्षेत्रफल से अभिप्राय उसके त्रिभुजाकार प्रदेश के परिमाण से है।

प्रश्न:2.समान्तर चतुर्भुज के शीर्षलम्ब को परिभाषित कीजिए। (Define the Altitude to a Parallelogram):

उत्तर:समान्तर चतुर्भुज के प्रत्येक आधार के संगत शीर्ष-लम्ब (Altitude) वह रेखाखण्ड है जो आधार के किसी बिन्दु से सम्मुख भुजा को समाहित करने वाली रेखा पर लम्ब हो।

प्रश्न:3.चतुर्भुज के मुख्य बिन्दुओं को लिखिए। (Write the Main Points of Quadrilateral):

उत्तर:(1.)समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समान्तर होती हैं।
(2.)समलम्ब चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान्तर होता है।
(3.)समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
(4.)समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते हैं।
(5.)समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटते हैं।
(6.)आयत एक समान्तर चतुर्भुज होता है जिसके कोण समकोण होते हैं।
(7.)आयत के विकर्ण लम्बाई में बराबर होते हैं।
(8.)समचतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज होता है जिसकी भुजाएँ बराबर होती हैं।
(9.)समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्बवत होते हैं।
(10.)एक ही आधार और दो समान्तर रेखाओं के बीच समान्तर चतुर्भुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।
(11.)एक ही आधार और दो समान्तर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।
(12.)समान आधार और समान क्षेत्रफल के त्रिभुजों की ऊँचाई बराबर होती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिभुज और समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 9वीं (Area of Triangle and Parallelogram 9th),समान्तर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल कक्षा 9 (Area of Parallelograms and Triangles Class 9) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

त्रिभुज और समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 9वीं (Area of Triangle and Parallelogram 9th)
के इस आर्टिकल में एक ही समान्तर भुजाओं व समान आधार पर स्थित त्रिभुजों व समान्तर
चतुर्भुजों के क्षेत्रफल पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।