1.समाकल में बन्द वक्र का क्षेत्रफल (Area of Closed Curve in Integrals),समाकल गणित में बन्द वक्र का क्षेत्रफल (Area of Closed Curve in Integral Calculus):

Area of Closed Curve in Integrals

• समाकल में बन्द वक्र का क्षेत्रफल (Area of Closed Curve in Integrals) ज्ञात करने के लिए प्राचल समीकरणों का प्रयोग करेंगे।हालांकि प्राचलिक समीकरणों को कार्तीय निर्देशांकों में परिवर्तित करके क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है।
• बन्द वक्र का क्षेत्रफल (Area of Closed Curve):
  बन्द वक्र x=f_{1}\left(t\right),y=f_{2}\left(t\right) का क्षेत्रफल \frac{1}{2}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)dt होता है।

Area of Closed Curve in Integrals

• मानलो वक्र AP’BPA एक बन्द वक्र है तथा x=f_{1}\left(t\right),y=f_{2}\left(t\right) इसके समीकरण हैं जहाँ f_{1}\left(t\right)\text{ तथा }f_{2}\left(t\right) चर t के एक-मानीय फलन (single valued function) है और प्रत्येक रेखा जो y-अक्ष के समान्तर (parallel) है इसके केवल दो बिन्दुओं पर मिलती है।
• क्योंकि वक्र बन्द है और f_{1}\left(t\right)\text{ तथा }f_{2}\left(t\right) चर t के एक-मानीय फलन है, इसलिए जैसे-जैसे बिन्दु P वक्र के अनुदिश (along) गमन करता है t का मान सतत (continuously) बदलता है और P जहाँ से चालू होता है वहाँ पर आकर दुबारा मिलता है।अतः वक्र के एक बिन्दु के लिए t के दो मान होंगे।मानलो बिन्दु P के लिए t के दो मान व है।मानलो AD व BC,y-अक्ष के समान्तर वक्र पर दो स्पर्श रेखाएँ (tangents) इस प्रकार है कि OD=a तथा OC=b जहाँ b>a है।
• मानलो y-अक्ष के समान्तर रेखा LRQ वक्र को दो बिन्दुओं R व Q पर इस प्रकार मिलती है कि LQ>LR मानलो OL=x।यह भी मानलो कि बिन्दुओं A व B के लिए t के मान क्रमशः t_{3}\text{ व }t_{4} है।मानलो वक्र द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल A है।
• अभीष्ट क्षेत्रफल (A)=क्षेत्रफल DAQBCD-क्षेत्रफल DARBCD
  =\int_{a}^{b}\text{QL } dx-\int_{a}^{b}\text{RL } dx
  अब \int_{a}^{b}\text{QL } dx=\int_{t_{3}}^{t_{4}}y\frac{dx}{dt} dt
  =-\int_{t_{4}}^{t_{3}}y\frac{dx}{dt}dt
  और \int_{a}^{b}\text{RL } dx=\int_{a}^{x}\text{RL } dx+\int_{x}^{b}\text{RL }dx
  =\int_{t_{1}}^{t_{2}}y\frac{dx}{dt} dt+\int_{t_{1}}^{t_{4}}y\frac{dx}{dt} dt
  A=-\int_{t_{4}}^{t_{3}}y\frac{dx}{dt}dt-\int_{t_{1}}^{t_{2}}y\frac{dx}{dt}dt-\int_{t_{2}}^{t_{4}}y\frac{dx}{dt}dt
  =-[\int_{t_{1}}^{t_{4}}y\frac{dx}{dt}dt+\int_{t_{4}}^{t_{3}}y\frac{dx}{dt}dt+\int_{t_{3}}^{t_{2}}y\frac{dx}{dt}dt]
  =-\int_{t_{1}}^{t_{2}}y\frac{dx}{dt}dt …(1)
  इसी प्रकार x-अक्ष के समान्तर वक्र पर स्पर्श रेखाएँ खींचकर हम सिद्ध कर सकते हैं कि:
  A=\int_{t_{1}}^{t_{2}}x\frac{dy}{dt}.dt …(2)
  (1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है:
  2A=\int_{t_{1}}^{t_{2}}x\frac{dy}{dt}.dt-\int_{t_{1}}^{t_{2}}y\frac{dx}{dt}dt …(1)
  या A=\frac{1}{2}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)dt
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2.समाकल में बन्द वक्र का क्षेत्रफल पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Area of Closed Curve in Integrals):

Example:1.निम्नलिखित वक्रों से घिरे हुए क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(Find the area enclosed by the following curves):
(a):x=a\cos{t}+b\sin{t}+c,x=a'\cos{t}+b'\sin{t}+c'

Solution:x=a\cos{t}+b\sin{t}+c,x=a'\cos{t}+b'\sin{t}+c'

t=0 पर x=a+c,y=a’+c’

तथा t={2\pi} पर x=a+c,y=a’+c’
अतः दिया हुआ वक्र एक बन्द वक्र है और t=0 से के मध्य इसका अनुरेख किया जा सकता है।
अब वक्रों के समीकरण के समीकरण का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{dt}=-a\sin{t}+b\cos{t}
तथा \frac{dx}{dt}=-a'\sin{t}+b'\cos{t}
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)dt
=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}[\left(a\cos{t}+b\sin{t}+c\right)\left(-a'\sin{t}+b'\cos{t}\right)\\-\left(a'\cos{t}+b'\sin{t}+c'\right)\left(-a\sin{t}+b\cos{t}\right)]dt
=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}[-aa'\cos{t}\sin{t}-a'b\sin^{2}t-a'c\sin{t}+ab'\cos^{2}t+bb'\sin{t}\cos{t}+\\b'c\cos{t}+aa'\sin{t}\cos{t}+ab'\sin^{2}t+ac'\sin{t}-a'b\cos^{2}t-bb'\sin{t}\cos{t}-bc'\cos{t}]dt
=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}[-a'b\left(\sin^{2}t+\cos^{2}t\right)+ab'\left(\sin^{2}t\\+\cos^{2}t\right)-a'c\sin{t}+b'c\cos{t}+ac'\sin{t}-bc'\cos{t}]dt
=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}[-a'b+ab'-a'c\sin{t}+b'c\cos{t}+ac'\sin{t}-bc'\cos{t}]dt

\frac{1}{2}\left[\left(-a'b+ab'\right)t\right]_{0}^{2\pi}+\frac{1}{2}\left[a'c\cos{t}+b'c\sin{t}-ac'\cos{t}-bc'\sin{t}\right]_{0}^{2\pi}

\frac{1}{2}\left(-a'b+ab'\right)×{2\pi}+\frac{1}{2}\left[a'c-ac'-a'c+ac'\right]
\left(-a'b+ab'\right)×{\pi}
(b):x=a\left(3\sin{t}-\sin^{3}t\right),y=a\cos^{3}t
Solution:x=a\left(3\sin{t}-\sin^{3}t\right),y=a\cos^{3}t
t=0 पर x=0,y=a
t={2\pi} पर x=0,y=a
अतः दिया हुआ वक्र एक बन्द वक्र है और इसका अनुरेख किया जा सकता है जब
{0}\leq{t}\leq{2\pi}
अब वक्रों के समीकरण का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{dx}{dt}=a\left(3\cos{t}-3\sin^{2}t\cos{t}\right)
\frac{dy}{dt}=-3a\cos^{2}\sin{t}
अभीष्ट क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)dt
=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}[a\left(3\sin{t}-\sin^{3}t\right)\left(-3a\cos^{2}t\sin{t}\right)-a\cos^{3}t\left[a\left(3\sin{t}-\sin^{3}t\right)\right]dt
=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left[-9\sin^{2}t\cos^{2}t+3\sin^{4}t\cos^{2}t-3\cos^{3}t\sin{t}\\+\sin^{3}t\cos^{3}t\right]dt
=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(-9\sin^{2}t\cos^{2}t\right)dt+\frac{3a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin^{4}t\cos^{2}tdt-\frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}3\cos^{3}t\sin{t}dt+\frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin^{3}t\cos^{3}tdt
=-\frac{9a^{2}}{2}×4\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\cos^{2}tdt+\frac{3a^{2}}{2}×4\int_{0}^{2\pi}\sin^{4}t\cos^{2}t-\frac{3a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^{3}t\sin{t}dt+\frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin^{3}t\cos^{3}tdt \left[\because{f\left({2\pi}-t\right)}=f\left(t\right)\right]
=-18a^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{2+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{2+1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{2+2+2}{2}\right)}}+6a^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{4+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{2+1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{4+2+2}{2}\right)}}+\frac{3a^{2}}{2}\left[\frac{\cos^{4}t}{4}\right]_{0}^{2\pi}+\frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(\sin^{3}t-\sin^{5}t\right)\cos{t}dt

=-9a^{2}\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}{2}+3a^{2}\frac{\frac{3}{2}.\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}{3×2×1}+\frac{3a^{2}}{2}×0+\frac{a^{2}}{2}\left[\frac{\sin^{4}t}{4}-\frac{\sin^{6}t}{6}\right]_{0}^{2\pi}

=-\frac{9{\pi}a^{2}}{16}+\frac{3{\pi}a^{2}}{16}+0+0

=\frac{-18{\pi}a^{2}+3{\pi}a^{2}}{16}

=\frac{15{\pi}a^{2}}{16}

(c):x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},y=\frac{2t}{1+t^{2}}

Solution:x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},y=\frac{2t}{1+t^{2}}

जब t=1 तो x=0,y=0 जब t=-1 तो x=0,y=-1

अतः दिया हुआ वक्र एक बन्द वक्र है और इसका अनुरेख किया जा सकता है जब अब वक्रों के समीकरण का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dx}{dt}=\frac{\left(1+t^{2}\right)\left(-2t\right)-\left(1-t^{2}\right)2t}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}

=\frac{-2t-2t^{3}-2t+2t^{3}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} =\frac{-4t}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}

\frac{dy}{dt}=\frac{\left(1+t^{2}\right).2-2t.2t}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}

=\frac{dy}{dt}=\frac{2+2t^{2}-4t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} =\frac{2-2t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} =\frac{2\left(1-t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}

अभीष्ट क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)dt

=2×\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\left[\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}×\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}-\frac{2t}{1+t^{2}}.\frac{-4t}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}\right]dt
=\int_{-1}^{1}\left[\frac{2\left(1-t^{2}\right)^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}+\frac{8t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}\right]dt
=2\int_{-1}^{1}\left[\frac{1+t^{4}-2t^{2}+4t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}\right]dt
=2\int_{-1}^{1}\frac{\left(1+2t^{2}+t^{4}\right)}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}dt
=2\int_{-1}^{1}\frac{\left (1+t^{2}\right)^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}dt
=2\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}dt
=2\left[\tan^{-1}t\right]_{-1}^{1}

=2\left[\tan^{-1}\left(1\right)-\tan^{-1}\left(-1\right)\right]

=2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)

={\pi}

(d):x=\frac{a\left(1-t^{2}\right)}{1+t^{2}},y=\frac{2at}{1+t^{2}}

Solution:x=\frac{a\left(1-t^{2}\right)}{1+t^{2}},y=\frac{2at}{1+t^{2}}

जब t=1 तो x=0,y=a जब t=-1 तो x=0,y=-a

अतः दिया हुआ वक्र एक बन्द वक्र है और इसका अनुरेख किया जा सकता है जब अब वक्रों के समीकरण का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dx}{dt}=a\left[\frac{\left(1+t^{2}\right)\left(-2t\right)-\left(1-t^{2}\right)2t}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}\right]

=a\frac{\left[-2t-2t^{3}-2t+2t^{3}\right]}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} =\frac{-4at}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}

\frac{dy}{dt}=2a\left[\frac{1+t^{2}-t.2t}{\left(2+t^{2}\right)^{2}}\right]

=2a\left[\frac{1-t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}\right]

अभीष्ट क्षेत्रफल=2×\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)dt

=\int_{-1}^{1}\left[a\frac{\left(1-t^{2}\right)}{1+t^{2}}×2a\frac{\left(1-t^{2}\right)}{\left(2+t^{2}\right)^{2}}-\frac{2at}{1+t^{2}}.\left(\frac{-4at}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}\right)\right]dt
=2a^{2}\int_{-1}^{1}\left[\frac{\left(1-t^{2}\right)^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}+\frac{4t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}\right]dt
=2a^{2}\int_{-1}^{1}\left[\frac{1+t^{4}-2t^{2}+4t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}\right]
=2a^{2}\int_{-1}^{1}\left[\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}\right]dt
=2a^{2}\int_{-1}^{1}\frac{\left(1+t^{2}\right)^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}dt
=2a^{2}\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}dt
=2a^{2}\left[\tan^{-1}t\right]_{-1}^{1}

=2a^{2}\left[\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right]

={\pi}a^{2}

Example:2.निम्नलिखित वक्रों के लूप का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: (Find the area of the loop of the following curves):

(a):x=a\sin{2t},y=a\sin{t}

Area of Closed Curve in Integrals

Solution:x=a\sin{2t},y=a\sin{t}

जब t=-\frac{\pi}{2} तो x=0,y=-a

जब t=\frac{\pi}{2} तो x=0,y=a

अतः दिया हुआ वक्र एक लूप बनाता है जब और इसका अनुरेख किया जा सकता है जब -\frac{\pi}{2}\leq{t}\leq{\frac{\pi}{2}}

अब वक्रों के समीकरण का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dx}{dt}=2a\cos{2t}

\frac{dy}{dt}=a\cos{t}

अभीष्ट क्षेत्रफल=2×\frac{1}{2}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)dt

=\frac{1}{2}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(a\sin{2t}a\cos{t}-a\sin{t}2a\cos{2t}\right)dt
=\frac{a^{2}}{2}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos{t}\sin{2t}-2\sin{t}\cos{2t}\right)dt
=\frac{a^{2}}{2}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\sin{\left(2t-t\right)}-\sin{t}\cos{2t}\right]dt
=\frac{a^{2}}{2}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\sin{t}-\sin{t}\cos{2t}\right]dt
=\frac{a^{2}}{2}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin{t}\left(1-\cos{2t}\right)dt
=\frac{a^{2}}{2}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\sin^{3}t dt
={a^{2}}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{3}t dt
=2{a^{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{3}t dt
2a^{2}\frac{\Gamma{\left(\frac{3+1}{2}\right)}\Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{2\Gamma{\left(\frac{3+0+2}{2}\right)}}
=a^{2}\frac{\sqrt{\pi}}{\frac{3}{2}.\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}
=\frac{4}{3}{\pi}a^{2}
(b):x=\frac{a\sin{3t}}{\sin{t}},y=\frac{a\sin{3t}}{\cos{t}}

Area of Closed Curve in Integrals

Solution:x=\frac{a\sin{3t}}{\sin{t}},y=\frac{a\sin{3t}}{\cos{t}}
जब t=-\frac{\pi}{3} तो x=0,y=0
जब t=\frac{\pi}{3} तो x=0,y=0
अतः दिया हुआ वक्र एक लूप बनाता है जब और इसका अनुरेख किया जा सकता है जब -\frac{\pi}{3}\leq{t}{\frac{\pi}{3}}
अब वक्रों के समीकरण का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
x=\frac{a\sin{3t}}{\sin{t}}
=a\frac{\left(3\sin{t}-4\sin^{3}t\right)}{\sin{t}}
=a\left(3-4\sin^{2}t\right)
\frac{dx}{dt}=-8\sin{t}\cos{t}
y=\frac{a\sin{3t}}{\cos{t}}
=y=\frac{a\left(3\sin{t}-4\sin^{3}t\right)}{\cos{t}}
\frac{dy}{dt}=\frac{a\left[\cos{t}\left(3\cos{t}-12\sin^{2}{t}\cos{t}\right)-\left(-\sin{t}\right)\left(3\sin{t}-4\sin^{3}t\right)\right]}{\cos^{2}t}
=\frac{a\left[3\cos^{2}t+3\sin^{2}t-12\sin^{2}t\cos^{2}t+4\sin^{4}t\right]}{\cos^{2}t}
=\frac{a\left(8\cos^{4}t-4\cos^{2}t-4\sin^{4}t\right)}{\cos^{2}t}
=\frac{a\left(8\cos^{4}t-4\cos^{2}t-4\sin^{4}t\right)}{\cos^{2}}
x=a\left(3-4\sin^{t}\right)
=a\left(3-4\left(1-\cos^{2}t\right)\right)
=a\left(4\cos^{2}t-1\right)
अभीष्ट क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\int_{\frac{-\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)dt
=\frac{1}{2}\int_{\frac{-\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}[a\left(4\cos^{2}t-1\right)\frac{a\left(8\cos^{4}t-4\cos^{2}t-4\sin^{4}t\right)}{\cos^{2}}-\frac{a\sin{3t}}{\cos{t}}\left(-8a\sin{t}\cos{t}\right)]dt
=\frac{a^{2}}{2}\int_{\frac{-\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\left[\frac{32\cos^{6}t-24\cos^{4}t+1}{\cos^{2}t}+8\left(3\sin^{2}t-4\sin^{4}t\right)\right]dt
=\frac{a^{2}}{2}\int_{\frac{-\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}[32\cos^{4}t-24\cos^{2}t+\sec^{2}t+24\left(\frac{1-\cos{2t}}{2}\right)-32\left(\frac{1-cos{2t}}{2}\right)]dt
=\frac{a^{2}}{2}\int_{\frac{-\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}32\left(\frac{1+\cos{2t}}{2}\right)^{2}-24\left(\frac{1+\cos{2t}}{2}\right)+\sec^{2}t+12-12\cos{2t}-8-8\cos^{2}2t+16\cos{2t}]dt
=\frac{a^{2}}{2}\int_{\frac{-\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}[8+16\cos{2t}+8\cos^{2}2t-12-12\cos{2t}+\sec^{2}t+4+4\cos{2t}-8\cos^{2}2t]dt
=\frac{a^{2}}{2}\int_{\frac{-\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}[8\cos{2t}+\sec^{2}t]dt
=\frac{a^{2}}{2}\left[4\sin{2t}+\tan{t}\right]_{\frac{-\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}

=\frac{a^{2}}{2}\left[\frac{4\sqrt{3}}{2}+\frac{4\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\right]

=\frac{a^{2}}{2}\left[8\sqrt{3}\right]

=3\sqrt{3}a^{2}

(c):x=\frac{3at}{1+t^{3}},y=\frac{3at^{2}}{1+t^{3}}

Area of Closed Curve in Integrals

Solution:x=\frac{3at}{1+t^{3}},y=\frac{3at^{2}}{1+t^{3}}

जब t=0 तो x=0,y=0 जब t=1 तो x=\frac{3a}{2},y=\frac{3a}{2}

अतः दिया हुआ वक्र एक लूप बनाता है जब और इसका अनुरेख किया जा सकता है जब 1\leq{t}\leq{0} अब वक्रों के समीकरण का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dx}{dt}=\frac{3a\left(1-2t^{3}\right)}{\left(1+t^{3}\right)^{2}} \frac{dy}{dt}=\frac{3a\left(2t-t^{4}\right)}{\left(1+t^{3}\right)^{2}}

अभीष्ट क्षेत्रफल=\frac{1}{2}\int{1}^{0}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)dt

=\frac{1}{2}\int_{1}^{0}[\frac{3at}{\left(1+t^{3}\right)}.\frac{3a\left(2t-t^{4}\right)}{\left(1+t^{3}\right)^{2}}-\frac{3at^{2}}{\left(1+t^{3}\right)}.\frac{3a\left(1-2t^{3}\right)}{\left(1+t^{3}\right)^{2}}]dt
=\frac{9a^{2}}{2}\int_{1}^{0}\frac{\left(2t^{2}-t^{5}-t^{2}+2t^{5}\right)}{\left(1+t^{3}\right)^{3}}dt
=\frac{9a^{2}}{2}\int_{1}^{0}\frac{\left(t^{2}+t^{5}\right)}{\left(1+t^{3}\right)^{3}}dt
=\frac{9a^{2}}{2}\int_{1}^{0}\frac{t^{2}\left(1+t^{3}\right)}{\left(1+t^{3}\right)^{3}}dt
=\frac{9a^{2}}{2}\int_{1}^{0}\frac{t^{2}}{\left(1+t^{3}\right)^{2}}
=\frac{3a^{2}}{2}\left[-\frac{1}{1+t^{3}}\right]{1}^{0}

=\frac{3a^{2}}{2}

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समाकल में बन्द वक्र का क्षेत्रफल (Area of Closed Curve in Integrals),समाकल गणित में बन्द वक्र का क्षेत्रफल (Area of Closed Curve in Integral Calculus) को समझ सकते हैं।

Also Read This Article:Area Bounded by Plane Curves

3.समाकल में बन्द वक्र का क्षेत्रफल (Area of Closed Curve in Integrals),समाकल गणित में बन्द वक्र का क्षेत्रफल (Area of Closed Curve in Integral Calculus) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Area of Closed Curve in Integrals

Area of Closed Curve in Integrals,Area of Closed Curve in Integral Calculus,Write the formula to find the area of the closed curve,Write the formula to find the mass from the double integral in the Quadrature,Write down the formula to find the area bounded by curves and straight lines

• उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समाकल में बन्द वक्र का क्षेत्रफल (Area of Closed Curve in Integrals),समाकल गणित में बन्द वक्र का क्षेत्रफल (Area of Closed Curve in Integral Calculus) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

समाकल में बन्द वक्र का क्षेत्रफल (Area of Closed Curve in Integrals) ज्ञात करने के लिए प्राचल
समीकरणों का प्रयोग करेंगे।हालांकि प्राचलिक समीकरणों को कार्तीय निर्देशांकों में परिवर्तित करके क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है।