1.क्या प्राकृतिक संख्याएं वास्तव में प्राकृतिक हैं का परिचय (Introduction to Are Natural Numbers Actually Natural):

Are Natural Numbers Actually Natural?

• क्या प्राकृतिक संख्याएं वास्तव में प्राकृतिक हैं? (Are Natural Numbers Actually Natural?) में प्रकृति के दो रूप होते हैं मूर्त तथा अमूर्त.जो दिखाई पड़ता है, सुनाई देता है, जिसे छू सकते हैं उसे मूर्त अर्थात् स्थूल कहते हैं और जो दिखाई नहीं देता है,जिसे छू नहीं सकते हैं, जिसे पकड़ा नहीं जा सकता हो, जो अदृश्य है उसे अमूर्त या सूक्ष्म कहते हैं। प्रकृति की बहुत सी चीजें हैं जिनका कोई ठोस आधार नहीं होता है पर होती हैं जैसे वायु। वृक्ष जो बनता है वह सूक्ष्म रूप से बीज में विद्यमान रहता है और उचित पानी, खाद व प्रकाश की उपस्थिति में यदि उसमें वृक्ष बनने की क्षमता है तो वृक्ष बन जाता है क्योंकि भुंजे हुए बीज से वृक्ष नहीं बन सकता है चाहे उचित पानी, प्रकाश, वायु, खाद तथा वातावरण मौजूद क्यों न हो।
• प्राकृत संख्या में प्राकृत शब्द प्रकृति से बना है जिसका अर्थ है जो बनाया जाता है, बनाया जा सकता है, जो बनता है, परिवर्तित होता है, जो बनता, बिगड़ता रहता है वह प्रकृति है। प्रकृति का सन्धि विच्छेद है प्र+कृति अर्थात् प्र का अर्थ पहले और कृति यानि बनी हुई अर्थात् जो पहले से बनी हुई है। तत्त्व रूप में प्रकृति अनादि, अनंत हैं इसका साकार रूप बनता बिगड़ता रहता है लेकिन निराकार अर्थात् अमूर्त रूप बना रहता है। कहने का तात्पर्य यह है कि इस दुनिया में हर चीज के दो पहलू होते हैं, दो पक्ष होते हैं। एक से दूसरा विपरीत दिखाई देता है जैसे स्थूल-सूक्ष्म, आकार-निराकार, मूर्त-अमूर्त, ज्ञात-अज्ञात, हानि-लाभ, जय-पराजय, श्रम-विश्राम, शुभ-अशुभ, दिन-रात इत्यादि।
  हमारी कठिनाई यह होती है कि हम अपने आपको प्रकृति के केन्द्र में अपने आपको रखकर विचार करते हैं जिससे उसका एक पक्ष तो दिखाई दे जाता है और दूसरा पक्ष दिखाई नहीं देता है। जबकि प्रकृति निष्पक्ष होती है जैसे आग से चाहे तो हम हाथ जला सकते हैं तो रोटी भी पका सकते हैं। यह सब हमारे दृष्टिकोण का मामला है और हमारी सबसे बड़ी कमजोरी यह है कि हम हमारे दृष्टिकोण को प्रकृति तथा परमात्मा पर थोपते हैं। जैसे यदि हम महासागर की एक बूंद हैं तो अपना दृष्टिकोण महासागर पर थोपते हैं।
• गणित में प्राकृत संख्याओं का भी इसी प्रकार का मामला है। संख्याएँ जब तक हमारे मस्तिष्क में, विचार में रहती हैं तो वह अमूर्त रूप हैं पर जब हम उनको लिखते हैं तो उनका साकार रूप होता है। जैसे दो घोड़े समान नहीं प्रतीत होते हैं वैसे ही एक ही संख्या को भिन्न भिन्न मनुष्य अलग-अलग आकार में लिखते हैं।
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2.क्या प्राकृतिक संख्याएं वास्तव में प्राकृतिक हैं?(Are Natural Numbers Actually Natural?):

Are Natural Numbers Actually Natural?

• आज हम संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं से समझने की कोशिश करेंगे। जब हम कहते हैं कि “संख्याओं को समझें”, तो आपको यह विचार मिल सकता है कि संख्याएँ भौतिक रूप से मौजूद हैं और हम उन वस्तुओं को समझना चाहते हैं। इस कारण से, हमें इस बात पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए कि “संख्याओं को समझना” क्या है? हम संख्याओं के बारे में क्या समझ सकते हैं? हम वास्तव में संख्याओं को कितना समझ सकते हैं? हम कैसे जानते हैं कि हम वास्तव में संख्याओं की तरह कुछ समझते हैं? हमारे पास किस प्रकार की समझ है (संख्या जैसी किसी चीज़ के लिए)? हम इन सवालों पर गहन दार्शनिक दृष्टिकोण से ध्यान केंद्रित करेंगे।
• क्या घोड़ों को समझने और संख्याओं को समझने में कोई अंतर है? इसका जवाब है हाँ। शारीरिक रूप से घोड़े मौजूद हैं, वे मूर्त हैं। वे चरते हैं, दौड़ते हैं और दौड़ते हैं, हम उन्हें देख सकते हैं। हम घोड़ों की पाचन प्रणाली को समझ सकते हैं क्योंकि घोड़ों के पेट में ऐसी प्रणाली होती है जो हमारे बारे में जानने के बिना ही अस्तित्व में है।

Are Natural Numbers Actually Natural?

• हालाँकि, हम संख्या को भौतिक रूप से नहीं देखते हैं। मैंने कभी भी कार्रवाई में सात नहीं देखे हैं और मुझे यकीन है, आपने इसे भी नहीं देखा है। किसी ने कभी नहीं कहा “मैंने सड़क के पार एक सुंदर सात को देखा” क्योंकि नंबर सात पैदल नहीं जाता है, उड़ता है, या भूख लगती है। नंबर सात की मौत नहीं होती। सात मूर्त कुछ नहीं करता। लेकिन, घोड़े बहुत सारी चीजें करते हैं; हम उन्हें हर जगह कार्रवाई में देखते हैं। लेकिन, नंबर सात का क्या? हम एक घोड़े के बगल में खड़े हो सकते हैं और इसे देख सकते हैं लेकिन हम नंबर सात के बगल में नहीं खड़े हो सकते हैं।

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3.”मैंने एक सुंदर सात को सड़क पर दौड़ते देखा”(“I saw a beautiful seven running on the street”):

• हालांकि “सात घोड़ों” का एक अर्थ है, “सात” का अपने आप में कोई अर्थ नहीं है। वास्तव में, मैं सही है क्योंकि “एक घोड़ा” का अर्थ और अस्तित्व भी तर्कपूर्ण है। “घोड़ा” का अर्थ भी लगातार बदल रहा है। प्रत्येक घोड़ा दूसरे से अलग है और फिर से, कोई भी घोड़ा कभी भी शारीरिक रूप से बदल सकता है। “एक एकल घोड़ा” नहीं है, ऐसे घोड़े हैं जो हमेशा बदलते रहते हैं। और ऐसे घोड़े हैं जो अभी पैदा नहीं हुए हैं। इसलिए, “घोड़ा” भी वैचारिक है। एक घोड़ा एक सामान्य नाम है जो एक जैसे जीवों (शारीरिक रूप से) के लिए होता है और “घोड़े” का अर्थ एक घोड़े से दूसरे घोड़े में लगातार बदलता रहता है। वास्तव में “घोड़ा” हमारे विचार से अधिक मूर्त है। यदि “घोड़ा” वैचारिक है, तो सात घोड़ों का क्या अर्थ है? क्या एक ही अवधारणा से सात चीजें हो सकती हैं? मुझे लगता है कि सात घोड़े मतलब घोड़े की अवधारणा से सात जीव हैं। और वे सात जीव सात घोड़ों के एक सेट से दूसरे सेट में बदल सकते थे। चूँकि वे जीव (या प्राणियों का समूह) लगातार बदल रहे हैं, हम घोड़ों की अवधारणा को नहीं समझ सकते हैं और इसलिए हम उनमें से सात को कैसे समझ सकते हैं?

4.एक घोड़ा एक घोड़ा है और यह वहाँ है (A horse is a horse and it is there):

• वैसे भी, एक घोड़ा एक घोड़ा है और यह शारीरिक रूप से कहीं मौजूद है। यह स्पष्ट है कि हम इसे अनदेखा नहीं कर सकते। हालाँकि, नंबर घोड़े की तरह कहीं मौजूद नहीं हो सकते हैं। लेकिन क्या हम कह सकते हैं कि कोई संख्या नहीं है क्योंकि हम उन्हें नहीं देख रहे हैं? हम संख्याओं को महसूस करते हैं। भले ही संख्या कहीं भी भौतिक रूप से मौजूद न हो, लेकिन वे हमारे दिमाग में मौजूद हैं। मानसिक होने पर भी उनका अस्तित्व होता है। यदि डेसकार्टेस आज यह पोस्ट लिख रहे थे, तो वह कहेंगे:

5.“मैं सात के बारे में सोचता हूं, इसलिए सात मौजूद हैं।”(“I think of seven, that’s why seven exist”):

• अधिकांश लोगों के प्रत्येक हाथ पर पांच उंगलियां होती हैं, यह एक तथ्य है। हम अपनी उंगलियों के बारे में बयान को समझते हैं और स्वीकार करते हैं जिसमें “पांच” नंबर होता है। तो, हम पाँच के लिए एक सामान्य अर्थ दे रहे हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पाँच का अस्तित्व हमारे अस्तित्व से स्वतंत्र है।
• और यह भी, संख्या “पाँच” की अवधारणा अलग-अलग समय में अलग-अलग समुदायों द्वारा स्वतंत्र रूप से आविष्कार की गई थी। तो संख्या “पाँच” हमारे अस्तित्व से स्वतंत्र कहीं और मौजूद है। पांच मौजूद हैं क्योंकि जब कोई भी समुदाय किसी भी तरह की मानसिक समझ में आता है, तो वे पांच की अवधारणा को समझना और स्वीकार करना शुरू करते हैं। पांच की अवधारणा न केवल हमारी दुनिया के लिए है, बल्कि यह सार्वभौमिक भी है। अगर कहीं एलियंस हैं, तो भी वे पाँच की अवधारणा को स्वीकार करेंगे।
• मुझे लगता है कि पांच केवल एक मानसिक चीज नहीं है। यह कहीं होना चाहिए। मुझे नहीं पता कि वास्तव में कहां है लेकिन यह कहीं न कहीं है, भले ही हम इसे देखें या न सुनें। यदि कोई पाँच नहीं है, तब भी, पाँच की अवधारणा मौजूद है। यह एक विचार के रूप में मौजूद है लेकिन यह मौजूद है। वैसे, क्या ब्रह्मांड में, खदान से अलग कोई पांच विचार है? पांच मौजूद हैं क्योंकि हम “पांच” की अवधारणा के लिए एक ही पृष्ठ पर हैं।
• कुछ या किसी ने फुसफुसाया कि “पांच” मौजूद हैं और जब मैं इसे अपने मस्तिष्क में संसाधित करता हूं, तो मुझे पांच की अवधारणा मिलती है। संख्याओं को समझना एक सरल विषय है लेकिन यह गहन दार्शनिक प्रश्न उठाता है। मैं पूरी तरह से उठाए गए सभी सवालों का जवाब नहीं दे सका, मैंने कुछ अन्य धारणाओं का उपयोग करके संख्याओं के लिए कुछ धारणाएं बनाईं लेकिन फिर भी, मैं अपनी धारणाओं के बारे में 100% सुनिश्चित नहीं हूं। अगर मैं पूरी तरह से आश्वस्त नहीं हूं, तो मैं आपको कैसे मना सकता हूं?
• इस निष्कर्ष पर पहुंचने के दौरान, हमने गणित के बारे में बात करना बंद कर दिया। “पांच” मौजूद हैं या नहीं, मैं सिर्फ पांच को समझना चाहता हूं। पांच को समझने के लिए, पहले, हमें पांच को जानना होगा।
• ऐसा करने की कोशिश करते हैं मान लें कि पाँच एक हाथ में उंगलियों की संख्या है और मान लें कि यह कथन एक पल के लिए सच है और समझने की कोशिश करें। पाँच को परिभाषित करने के बाद, एक सवाल मेरे दिमाग में आता है: “पाँच” को समझने का क्या मतलब है? मैं अकेले पाँच नहीं समझ पा रहा हूँ, मैं पाँच और अन्य संख्याओं के बीच के संबंध को समझने जा रहा हूँ। उदाहरण के लिए, मैं 5 + 3 का पता लगाना चाहता हूं। अगर हम 3 उंगलियों को परिभाषित करते हैं, तो हम कह सकते हैं कि 5 + 3 उंगलियों की कुल संख्या है जब हम 5 उंगलियों और 3 उंगलियों को एक दूसरे के बगल में रखते हैं।

Are Natural Numbers Actually Natural?

• इसलिए अगर आप पांच उंगलियों के आगे 3 और उंगलियां डालते हैं तो आपको 8 उंगलियां मिलती हैं। जब आप कोशिश करेंगे, तो आप इसे देखेंगे। यदि आप फिर से प्रयास करते हैं, तो आपको वही परिणाम मिलेगा। हालाँकि, यहाँ एक समस्या है; आप केवल कोशिश करके कुछ भी साबित नहीं कर सकते, आप कभी साबित नहीं करेंगे कि जब आप पांच सेब के आगे तीन सेब रखते हैं तो आपको 8 सेब मिलेंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि आपका कथन एक प्रयोग पर निर्भर करता है। आप कभी भी यह साबित नहीं कर सकते हैं कि आपको एक ही परिणाम हमेशा के लिए मिलेगा। वैसे, मैं यह नहीं कह रहा हूं कि जब आप पांच सेब और तीन सेब लगाते हैं, तो आपको आठ सेब नहीं मिलेंगे, मैं सिर्फ यह कह रहा हूं कि आप यह दिखा सकते हैं कि आपको हर समय आठ सेब मिलेंगे। भौतिक प्रयोग गणितीय रूप से चीजों को साबित नहीं कर सकते हैं। अगर ऐसा हुआ तो फिर से होगा यह एक प्रमाण नहीं है, कम से कम गणितीय रूप से!

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6.गणित के पास प्रमाण हैं (Mathematics has evidence):

• लेकिन गणित के पास प्रमाण हैं। हमें 5 + 3 = 8 के समीकरण को साबित करने की आवश्यकता है। हमें करना ही होगा! और अगर मैं एक हाथ में उंगलियों की संख्या के रूप में 5 को परिभाषित करता हूं, तो मैं विशाल संख्याओं को कैसे परिभाषित कर सकता हूं? और हम सामान्य रूप से संख्याओं के विचार को कैसे परिभाषित कर सकते हैं? एक, दो, तीन, चार, पाँच परिभाषित हैं। सात और आठ को भी परिभाषित किया गया है, लेकिन मुझे कुछ बिंदु पर रुकने की आवश्यकता है। हम अनंत तक परिभाषित नहीं कर सकते। एक के बाद एक संख्याओं को परिभाषित करना और एक संख्या की अवधारणा को परिभाषित करना बिल्कुल अलग है। हम क्या करने वाले है? सबसे पहले, हम उन पाँचों को भेद करेंगे जिनका उपयोग हम अपने दैनिक जीवन और संख्या पाँच में करते हैं। नंबर पांच का हमारी उंगलियों से कोई संबंध नहीं है। यह गणितीय रूप से बिल्कुल नई परिभाषा होगी। पर कैसे? इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम पांच नंबर को कैसे परिभाषित करते हैं। हम 3, 5, 8 और हमारे जोड़ को परिभाषित करेंगे और फिर हमारा समीकरण गणितीय रूप से सत्य होगा।
• विधि महत्वपूर्ण नहीं है लेकिन परिणाम हैं! और यह गणित के सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से एक है। गणित में, परिभाषा की विधि महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन गणितीय अवधारणाएं जो बताती हैं या साबित करती हैं वह बहुत महत्वपूर्ण है। यह दृष्टिकोण न केवल संख्याओं पर लागू होता है, बल्कि यह अन्य सभी गणितीय अवधारणाओं पर भी लागू होता है। हम परवाह नहीं करते हैं कि हम एक बिंदु, एक रेखा, एक विमान को कैसे परिभाषित करते हैं लेकिन हम उन अवधारणाओं के बारे में परवाह करते हैं जो हमें समझाते हैं या हमें प्रदान करते हैं।
• जब हम कुछ संख्याओं को परिभाषित करते हैं, तो हम प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को परिभाषित करेंगे। फिर हम प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ेंगे और हमें 2 + 2 = 4 प्राप्त होंगे। इसका तात्पर्य है x + y = y + x, जो सभी को ज्ञात है। महत्वपूर्ण बात यह है कि हम गणितीय रूप से कैसे सोचते हैं, और हम इसे कैसे साबित करते हैं ……
• उपर्युक्त आर्टिकल में क्या प्राकृतिक संख्याएं वास्तव में प्राकृतिक हैं? (Are Natural Numbers Actually Natural?) के बारे में बताया गया है.

क्या प्राकृतिक संख्याएं वास्तव में प्राकृतिक हैं? (Are Natural Numbers Actually Natural?)
में प्रकृति के दो रूप होते हैं मूर्त तथा अमूर्त.