1.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग (Applications of Quadratic Equation),द्विघात समीकरण कक्षा 10 (Quadratic Equation Class 10):

Applications of Quadratic Equation

द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग (Applications of Quadratic Equation) में हम हमारी दैनिक जीवन से सम्बन्धित कुछ समस्याओं को द्विघात समीकरण के माध्यम से हल करने की विधियाँ सीखेंगे।
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2.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग के साधित उदाहरण (Applications of Quadratic Equation Solved Illustration):

Illustration:1.17 मीटर व्यास वाले एक वृत्ताकार पार्क की परिसीमा के एक बिन्दु पर एक खम्भा इस प्रकार गाड़ना है कि इस पार्क के एक व्यास के दोनों बिन्दुओं पर बने फाटकों A और B से खम्भे की दूरियों का अन्तर 7 मीटर हो।क्या ऐसा करना सम्भव है? यदि है तो दोनों फाटकों से कितनी दूरियों पर खम्भा गाड़ना है?
Solution:माना खम्भे की फाटक B से दूरी=x मीटर है।अर्थात् BP=x
अब खम्भे की दोनों फाटकों की दूरियों का अन्तर AP-BP=7 मीटर है।
\Rightarrow A P=x=7 \Rightarrow A P=x+7

Applications of Quadratic Equation

AB=17 मीटर
AB व्यास है अतः
\angle APB=90^{\circ} \\ A B^2=A P^2+B P^2 (पाइथागोरस प्रमेय से)
17^2=(x+7)^2+x^2 \\ \Rightarrow x^2+14 x+49+x^2=289 \\ \Rightarrow 2 x^2+14 x+49-289=0 \\ \Rightarrow 2 x^2+14 x-240=0 \\ \Rightarrow 2\left(x^2+7 x-120\right)=0 \\ \Rightarrow x^2+7 x-120=0 \\ a=1, b=7, c=-620 \\ b^2-4 a c=(7)^2-4 \times 1 \times-120 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=49+480=529>0
अतः समीकरण के दो वास्तविक मूल विद्यमान हैं।
मानक सूत्र से:
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(7) \pm \sqrt{(7)^2-4 \times 1 \times-120}}{2 \times 1} \\ =\frac{-7 \pm \sqrt{49+480}}{2} \\ =\frac{-7 \pm \sqrt{529}}{2} \\ =\frac{-7 \pm 23}{2} \\ =\frac{-7+23}{2}, \frac{-7-23}{2} \\ =\frac{16}{2}, \frac{-39}{2} \\ \Rightarrow x =8,-15
x=-15 असम्भव है क्योंकि दूरी ऋणात्मक नहीं होती।
अतः BP=x=8
AP=x+7=8+7=15 मीटर
अतः दोनों फाटकों से क्रमशः दूरी 15 मीटर और 8 मीटर है।
Illustration:2.दो स्टेशनों के बीच की 400 किमी यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी सवारी गाड़ी से 2 घंटा समय कम लेती है।(मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में रखते हुए) यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल,सवारी गाड़ी की औसत चाल से 10 किमी/घण्टा अधिक हो,तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना सवारी गाड़ी की चाल=x किमी/घण्टा
एक्सप्रेस गाड़ी की चाल=x+10 किमी/घण्टा
प्रश्नानुसार:समय=\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}
सवारी गाड़ी द्वारा लिया गया समय=\frac{400}{x}
एक्सप्रेस गाड़ी द्वारा लिया गया समय=\frac{400}{x+10} \\ \Rightarrow \frac{400}{x}-\frac{400}{x+10}=2 \\ \Rightarrow \frac{400(x+10)-400 x}{x(x+10)}=2 \\ \Rightarrow 400 x+4000-400 x=2\left(x^2+10 x\right) \\ \Rightarrow \frac{4000}{2}=x^2+10 x \\ \Rightarrow x^2+10 x-2000=0 \\ \Rightarrow x^2+50 x-40 x-2000=0 \\ \Rightarrow x(x+50)-40(x+50)=0 \\ \Rightarrow (x-40)(x+50)=0 \\ \Rightarrow x-40=0 \Rightarrow x=40 \\ \Rightarrow x+50=0 \Rightarrow x=-50
(असम्भव है क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं होती है)
अतः सवारी गाड़ी की चाल=x=40 किमी/घण्टा
एक्सप्रेस गाड़ी की चाल=x+10=40+10=50 किमी/घण्टा
Illustration:3.एक मोटरबोट जिसकी स्थिर जल में चाल 18 किमी/घण्टा है।यह बोट 12 किमी धारा के प्रतिकूल जाने में और वही दूरी धारा के अनुकूल जाने की अपेक्षा \frac{1}{2} घण्टा अधिक समय लेती है।धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना धारा की चाल=x किमी/घण्टा
धारा के प्रतिकूल नाव की चाल=18-x किमी/घण्टा
धारा के अनुकूल नाव की चाल=18+x किमी/घण्टा
धारा के अनुकूल नाव द्वारा लिया गया समय=\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} \\ =\frac{12}{18+x}
धारा के प्रतिकूल नाव द्वारा लिया गया समय=\frac{12}{18-x}
प्रश्नानुसार:

\frac{12}{18-x}-\frac{12}{18+x}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{12(18+x)-12(18-x)}{(18-x)(18+x)}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow 216+12 x-216+12 x=\frac{(18-x)(18+x}{2} \\ \Rightarrow 24 x \times 2=324-x^2 \\ \Rightarrow x^2+48 x-324=0 \\ a=1, b=48, c=-324 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-48 \pm \sqrt{(48)^2-4 \times 1 \times-324}}{2 \times 1} \\ =\frac{-48 \pm \sqrt{2304+1296}}{2} \\ =\frac{-48 \pm \sqrt{3600}}{2} \\ =\frac{-48 \pm 60}{2} \\ =\frac{-48+60}{2}, \frac{-48-60}{2} \\=\frac{12}{2}, \frac{-108}{2} \\ =6,-54
x=6 तथा x=-54 (असम्भव है क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं होती)
अतः धारा की चाल=6 किमी/घण्टा
Illustration:4.एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 40 मीटर अधिक लम्बा है।यदि बड़ी भुजा छोटी से 20 मीटर अधिक हो तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Applications of Quadratic Equation

Solution:माना आयताकार खेत की छोटी भुजा AD=x मीटर
आयताकार खेत की लम्बी भुजा=AB=x+20 मीटर
आयताकार खेत का विकर्ण DB=x+40 मीटर
आयताकार खेत का प्रत्येक कोण 90° है अर्थात् \angle DAB=90°
अब समकोण \triangle DAB में
(DB)^2=(A D)^2+(A B)^2 \\ \Rightarrow(x+40)^2=x^2+(x+20)^2 \\ \Rightarrow x^2+80 x+1600=x^2+x^2+40 x+400 \\ \Rightarrow x^2-40 x-1200=0 \\ a=1, b=-40, c=-1200
मानक सूत्र से:
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(-40) \pm \sqrt{(-40)^2-4 \times 1 \times-1200}}{2 \times 1} \\ =\frac{40 \pm \sqrt{1600+4800}}{2}\\ =\frac{40 \pm \sqrt{6400}}{2} \\ =\frac{40 \pm 80}{2} \\ =\frac{40+80}{2}, \frac{40-80}{2} \\ =\frac{120}{2}, \frac{-40}{2} \\ \Rightarrow x=60,-20
x=-20 असम्भव है क्योंकि भुजा की लम्बाई ऋणात्मक नहीं होती है।
आयताकार खेत की छोटी भुजा=x=60 मीटर
आयताकार खेत की लम्बी भुजा=x+20=60+20=80 मीटर
Illustration:5.एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 300 किमी की दूरी तय करती है।यदि यह चाल 10 किमी/घण्टा अधिक होती तो वह उसी यात्रा में 1 घण्टा कम समय लेती।रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना रेलगाड़ी की चाल=x किमी/घण्टा
समय=\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} \\ =\frac{300}{x}
यदि चाल 10 किमी/घण्टा अधिक होती तो समय

=\frac{300}{x+10} \\ \Rightarrow \quad \frac{300}{x}-\frac{300}{x+10}=1 \\ \Rightarrow \frac{300 (x+10)-300 x}{x(x+10)}=1 \\ \Rightarrow 300 x+3000-300 x=x(x+10) \\ \Rightarrow 3000=x^2+10 x \\ \Rightarrow x^2+10 x-3000=0 \\ \Rightarrow x^2+60 x-50 x-3000=0 \\ \Rightarrow x(x+60)-50(x+60)=0 \\ \Rightarrow(x-50)(x+60)=0 \\ \Rightarrow x-50=0 \Rightarrow x=50 \\ x+60=0 \Rightarrow x=-60
x=-60 (असम्भव है क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं होती है)
अतः रेलगाड़ी की चाल=x=50 किमी/घण्टा
Illustration:6.एक वर्ष पूर्व एक व्यक्ति की आयु उसके पुत्र की आयु (एक वर्ष पूर्व की) की 8 गुना थी।वर्तमान में उसकी आयु,पुत्र की आयु के वर्ग के बराबर है।उनकी वर्तमान आयु ज्ञात करो।
Solution:माना पुत्र की वर्तमान आयु=x वर्ष
व्यक्ति की वर्तमान आयु=x^2
एक वर्ष पूर्व पुत्र की आयु=x-1
एक वर्ष पूर्व व्यक्ति की आयु=x^2-1 \\  x^2-1=8(x-1) \\ \Rightarrow x^2-1=8 x-8 \\ \Rightarrow x^2-8 x-1+8=0 \\ \Rightarrow x^2-8 x+7=0 \\ \Rightarrow x^2-7 x-x+7=0 \\ \Rightarrow x(x-7)-1(x-7)=0 \\ \Rightarrow (x-1)(x-7)=0 \\ \Rightarrow x=1,7
x=1 असम्भव है
अतः पुत्र की आयु x=7 वर्ष
व्यक्ति की आयु=x^2=7^2=49 वर्ष
Illustration:7.एक व्यक्ति 360 रुपये लेकर कुछ दिनों के प्रवास पर जाता है।यदि वह प्रवास 4 दिन और बढ़ा देता है तो प्रतिदिन के व्यय में 3 रुपये की कटौती करनी पड़ती है।मूल प्रवास के दिनों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:माना मूल प्रवास के दिनों की संख्या=x
प्रतिदिन व्यय= \frac{360}{x}
प्रवास के दिनों की संख्या 4 दिन बढ़ाने पर प्रतिदिन व्यय=\frac{360}{x+4} \\ \Rightarrow \frac{360}{x}-\frac{360}{x+4}=3 \\ \Rightarrow \frac{360(x+4)-360 x}{x(x+4)}=3 \\ \Rightarrow 360 x+1440-360 x=3 x(x+4) \\ \Rightarrow \frac{1440}{3}=x^2+4 x \\ \Rightarrow x^2+4 x-480=0 \\ a=1, b=4, c=-480 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-4 \pm \sqrt{(4)^2-4 \times 1 \times -480}}{2 \times 1} \\ =\frac{-4 \pm \sqrt{16+1920}}{2} \\ =\frac{-4 \pm \sqrt{1936}}{2} \\ =\frac{-4 \pm 44}{2} \\ =\frac{-4+44}{2}, \frac{-4-44}{2} \\ =\frac{40}{2},-\frac{48}{2} \\ \Rightarrow x =20,-24
x=-24 असम्भव है क्योंकि दिनों की संख्या ऋणात्मक नहीं होती है ।
अतः मूल प्रवास के दिनों की संख्या x=20 दिन
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग (Applications of Quadratic Equation),द्विघात समीकरण कक्षा 10 (Quadratic Equation Class 10) को समझ सकते हैं।

3.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग की समस्याएँ (Applications of Quadratic Equation Problems):

Applications of Quadratic Equation

(1.)दो संख्याओं का योग 48 है तथा उनका गुणा 432 है।संख्याएं ज्ञात कीजिए।
(2.)संख्या 5 के दो क्रमागत गुणजों का गुणनफल 300 है।गुणज ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)36,12 (2.)15,20
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग (Applications of Quadratic Equation),द्विघात समीकरण कक्षा 10 (Quadratic Equation Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग (Frequently Asked Questions Related to Applications of Quadratic Equation),द्विघात समीकरण कक्षा 10 (Quadratic Equation Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न: