1.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 (Application of Quadratic Equation 10th),कक्षा 10 में द्विघात समीकरण (Quadratic Equation in Class 10):
द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 (Application of Quadratic Equation 10th) के इस आर्टिकल में दैनिक जीवन में काम आनेवाली या दैनिक जीवन से सम्बन्धित समस्याओं पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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2.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 के साधित उदाहरण (Application of Quadratic Equation 10th Solved Illustrations):
Illustration:1.दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल 72 है।पूर्णांकों का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:माना दो क्रमागत पूर्णांक=x,x+1
प्रश्नानुसार: x(x+1)=72 \\ x^2+x-72=0 \\ \Rightarrow x^2+9 x-8 x-72=0 \\ \Rightarrow x(x+9)-8(x+9)=0 \\ \Rightarrow(x-8)(x+9)=0 \\ \Rightarrow x=8,-9
यदि x=8 तो x+1=8+1=9
यदि x=-9 तो x+1=-9+1=-8
8,9 या – 8,-9
Illustration:2.16 को ऐसे दो भागों में विभाजित कीजिए कि बड़े भाग के वर्ग का दुगुना छोटे भाग के वर्ग से 164 अधिक हो।
Solution:माना बड़ा भाग=x,छोटा भाग=16-x
प्रश्नानुसार: 2 x^2=(16-x)^2+164 \\ \Rightarrow 2 x^2=256-32 x+x^2+164 \\ \Rightarrow x^2+32 x-420=0 \\ \Rightarrow x^2+42 x-10 x-420=0 \\ \Rightarrow x(x+42)-10(x+42)=0 \\ \Rightarrow(x-10)(x+42)=0 \\ \Rightarrow x=10, x=-42
x=10,x=-42 (असम्भव है)
छोटा भाग=16-x=16-10=6
Illustration:3.दो अंकों की संख्या ऐसी है कि इसके अंकों का गुणनफल 18 है।यदि इस संख्या में से 63 घटा दिये जाय तो संख्या के अंक अपना स्थान परस्पर बदल लेते हैं।संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:माना इकाई का अंक=x
दहाई का अंक=\frac{18}{x}
संख्या=10 \times \frac{18}{x}+x=\frac{180}{x}+x
प्रश्नानुसार: \frac{180}{x}+x-63=10 x+\frac{18}{x} \\ \Rightarrow \frac{1801 x^2-63 x}{x}=\frac{10 x^2+18}{x} \\ \Rightarrow x^2-63 x+180=10 x^2+18 \\ \Rightarrow 9 x^2+63 x-162=0 \\ \Rightarrow 9\left(x^2+7 x-18\right)=0 \\ \Rightarrow x^2+7 x-18=0 \\ a=1, b=7, c=-18 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ \Rightarrow x=\frac{-7 \pm \sqrt{(7)^2-4 \times 1 \times-18}}{2 \times 1} \\ =\frac{-7 \pm \sqrt{49+72}}{2} \\ =\frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{-7 \pm 11}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{-7+11}{2}, x=\frac{-7-11}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{4}{2}=2, x=-\frac{18}{2}=-9 (असम्भव है)
दहाई का अंक=\frac{18}{x}=\frac{18}{2}=9
संख्या=92
Illustration:4.एक आयताकार मैदान का परिमाप 46 मीटर है तथा उसका क्षेत्रफल 120 वर्ग मीटर है।इसकी लम्बाई तथा चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Solution:माना आयताकार मैदान की लम्बाई=x
परिमाप=2(लम्बाई+चौड़ाई)
\Rightarrow 2(x+चौड़ाई)=46
\Rightarrow x+चौड़ाई=\frac{46}{2}
\Rightarrow चौड़ाई=23-x
प्रश्नानुसार:
आयत का क्षेत्रफल=लम्बाई×चौड़ाई
\Rightarrow x(23-x)=120 \\ \Rightarrow 23 x-x^2=120 \\ \Rightarrow x^2-23 x+120=0 \\ a=1, b=-23, c=120 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(-23) \pm \sqrt{(-23)^2-4 \times 1 \times 120}}{2 \times 1} \\ =\frac{23 \pm \sqrt{529-480}}{2} \\ =\frac{23 \pm \sqrt{49}}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{23 \pm 7}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{23+7}{2}, \frac{23-7}{2} \\ =\frac{30}{2}, \frac{16}{2} \\ x=15,8
अतः लम्बाई x=15 मीटर तो चौड़ाई=23-x=23-15=8 मीटर
Illustration:5.उन दो क्रमागत सम पूर्णांकों को ज्ञात कीजिए,जिनके वर्गों का योग 164 हो।
Solution:माना दो क्रमागत सम पूर्णांक=x,x+2
प्रश्नानुसार: x^2+(x+2)^2 =164 \\ \Rightarrow x^2+x^2+4 x+4 =164 \\ \Rightarrow 2 x^2+4 x+4-164=0 \\ \Rightarrow 2 x^2+4 x-160=0 \\ \Rightarrow 2\left(x^2+2 x-80\right)=0 \\ \Rightarrow x^2+2 x-80=0 \\ a=1, b=2, c=-80 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2-4 \times 1 \times-80}}{2 \times 1} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{4+320}}{2} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{324}}{2} \\ =\frac{-2 \pm 18}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{-2+18}{2}, \frac{-2-18}{2} \\ =\frac{16}{2},-\frac{20}{2} \\ \Rightarrow x=8
दूसरा पूर्णांक=x+2=8+2=10
8,10
Illustration:6.एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 63 सेमी है।यदि इसका आधार ऊँचाई से 5 अधिक है,तो त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:माना त्रिभुज की ऊँचाई=x
आधार=x+5
प्रश्नानुसार:
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} ×आधार×ऊँचाई
\Rightarrow \frac{1}{2} \times(x+5) \times x=63 \\ \Rightarrow x^2+5 x=126 \\ \Rightarrow x^2+5 x-126=0 \\ a=1,5=5, c=-126 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\=\frac{-5 \pm \sqrt{(5)^2-4 \times 1 \times-126}}{2 \times 1} \\ =\frac{-5 \pm \sqrt{25+504}}{2} \\ =\frac{-5 \pm \sqrt{529}}{2} \\ =\frac{-5 \pm 23}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{-5+23}{2}, \frac{-5-23}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{18}{2}=9, x=-\frac{28}{2}=-14 (असम्भव है क्योंकि त्रिभुज की भुजाएँ ऋणात्मक नहीं होती है)
अतः ऊँचाई=9 सेमी
Illustration:7.900 किमी यात्रा करने में एक तेज गति की रेलगाड़ी धीमी गति की रेलगाड़ी से 3 घण्टे कम समय लेती है।यदि धीमी गति की गाड़ी की चाल,तेज गति की गाड़ी की चाल से 15 किमी/घण्टा कम हो तो दोनों रेलगाड़ियों की चाल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना धीमी गति की गाड़ी की चाल=x
तेज गति की रेलगाड़ी की चाल=x+15
समय= \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}
धीमी गति की गाड़ी द्वारा लिया गया समय=\frac{900}{x}
तेज गति की गाड़ी द्वारा लिया गया समय=\frac{900}{x+15}
प्रश्नानुसार: \frac{900}{x}-\frac{900}{x+15}=3 \\ \Rightarrow \frac{900(x+15)-900 x}{x(x+15)}=3 \\ \Rightarrow 900 x+13500-900 x=3\left(x^2+15 x\right) \\ \Rightarrow x^2+15 x=\frac{13500}{3} \\ \Rightarrow x^2+15x=4500 \\ \Rightarrow x^2+15 x-4500=0 \\ a=1, b=15, c=-4500 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\\ =\frac{-15 \pm \sqrt{(15)-4 \times 1 \times-4500}}{2 \times 1} \\ =\frac{-15 \pm \sqrt{225+ 18000}}{2} \\=\frac{-15 \pm \sqrt{255+18000}}{2} \\ =\frac{-15 \pm \sqrt{18225}}{2} \\ =\frac{-15 \pm 135}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{-15+135}{2}, x=\frac{-15-135}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{120}{2}, x=\frac{150}{2} \\ \Rightarrow x=60, x=-75(असम्भव है क्योंकि गाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं होती)
तेज गति की रेलगाड़ी की चाल=x+15=60+15=75 किमी/घण्टा
Illustration:8. एक हवाई जहाज अपनी 1200 किमी कि यात्रा पूरी करने में 1 घण्टा कम लेता हैं यदि उसकी सामान्य चाल में 100 किमी/घण्टा कि वृद्धि कर दी जाए हवाई जहाज कि सामान्य चाल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना हवाई जहाज की सामान्य चाल=x
हवाई जहाज की चाल में वृद्धि करने पर चाल =x+100
समय=\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}
सामान्य चाल से हवाई जहाज द्वारा लिया गया समय=\frac{1200}{x}
चाल में वृद्धि करने पर लिया गया समय=\frac{1200}{x+100}
प्रश्नानुसार: \frac{1200}{x}-\frac{1200}{x+100}=1 \\ \Rightarrow \frac{1200(x+100)-1200 x}{x(x+100)}=1 \\ \Rightarrow 1200 x+120000-1200 x=x^2+100 x \\ \Rightarrow x^2+100 x-120000=0 \\ a=21, b=100, c=-120000 \\ x =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-100 \pm \sqrt{(100)^2-4 \times 1 \times-120000}}{2 \times 1} \\ =\frac{-100 \pm \sqrt{10000+480000}}{2} \\ =\frac{-100 \pm \sqrt{490000}}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{-100 \pm 700}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{-100+700}{2}, x=\frac{-100-700}{2} \\ x=\frac{600}{2}, x=-\frac{800}{2}
x=300 किमी/घण्टा,x=-400 (असम्भव है क्योंकि गाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं होती)
Illustration:9.अंकित तथा उसके पिताजी की आयु में 30 वर्षों का अन्तर है।उनकी आयु के वर्गों का अन्तर 1560 है।अंकित तथा उसके पिताजी की आयु ज्ञात कीजिए।
Solution:माना अंकित की आयु=x
उसके पिताजी की आयु=x+30
प्रश्नानुसार: (x+30)^2-x^2=1560 \\ \Rightarrow x^2+60 x+900-x^2=1560 \\ \Rightarrow 60 x=1560-900 \\ \Rightarrow 60 x=660 \\ \Rightarrow x=\frac{660}{60}=11
अंकित के पिताजी की आयु=x+30=30+11=41 वर्ष
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Application of Quadratic Equation 10th),कक्षा 10 में द्विघात समीकरण (Quadratic Equation in Class 10) को समझ सकते हैं।
3.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 की समस्याएँ (Application of Quadratic Equation 10th Problems):
(1.)एक समकोण त्रिभुज का कर्ण उसकी सबसे छोटी भुजा के दुगुने से 6 मीटर अधिक है।यदि तीसरी भुजा कर्ण से 2 मीटर छोटी हो तो त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
(2.)किसी संख्या तथा उसके व्युत्क्रम का योग \frac{10}{3} है।संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)10,24,26 मीटर (2.)3, \frac{1}{3}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 (Application of Quadratic Equation 10th),कक्षा 10 में द्विघात समीकरण (Quadratic Equation in Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Application of Quadratic Equation 10th),कक्षा 10 में द्विघात समीकरण (Quadratic Equation in Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.द्विघाती सूत्र और मानक सूत्र में क्या अन्तर है? (What is the Difference Between Quadratic Formula and Standard Formula?):
उत्तर:द्विघाती सूत्र को ही मानक सूत्र के नाम से जाना जाता है।इसका एक अन्य नाम श्रीधराचार्य भी है ax^2+bx+c=0 द्विघात समीकरण का मानक सूत्र x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
उत्तर:द्विघात का शाब्दिक अर्थ वर्ग (square) है तथा द्विघातीय शब्द का आशय ‘वर्ग के समान’ से है।अतः वह द्विघात समीकरण जिसमें अज्ञात राशि (चर) की उच्चतम घात (index) 2 हो,द्विघात या वर्ग समीकरण कहलाती है।
प्रश्न:3.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग पर टिप्पणी लिखो। (Write a Note on the Application of Quadratic Equation):
उत्तर:दैनिक जीवन से सम्बन्धित समस्याओं को हल करने के लिए सर्वप्रथम हम जो समस्या शब्दों में अभिव्यक्त की गई है उसको सांकेतिक (गणितीय कथन) में परिवर्तित कर लेते हैं।इस प्रकार से हमें द्विघात समीकरण प्राप्त हो जाती है जिसे गुणनखण्ड विधि,पूर्णवर्ग विधि या द्विघाती सूत्र में से उपयुक्त विधि से हल कर लेते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 (Application of Quadratic Equation 10th),कक्षा 10 में द्विघात समीकरण (Quadratic Equation in Class 10) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Application of Quadratic Equation 10th
द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10
(Application of Quadratic Equation 10th)
Application of Quadratic Equation 10th
द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 (Application of Quadratic Equation 10th) के
इस आर्टिकल में दैनिक जीवन में काम आनेवाली या दैनिक जीवन से सम्बन्धित समस्याओं
पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
Application of Quadratic Equation 10th
1.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 (Application of Quadratic Equation 10th),कक्षा 10 में द्विघात समीकरण (Quadratic Equation in Class 10):
Application of Quadratic Equation 10th
द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 (Application of Quadratic Equation 10th) के इस आर्टिकल में दैनिक जीवन में काम आनेवाली या दैनिक जीवन से सम्बन्धित समस्याओं पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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2.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 के साधित उदाहरण (Application of Quadratic Equation 10th Solved Illustrations):
Illustration:1.दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल 72 है।पूर्णांकों का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:माना दो क्रमागत पूर्णांक=x,x+1
प्रश्नानुसार: x(x+1)=72 \\ x^2+x-72=0 \\ \Rightarrow x^2+9 x-8 x-72=0 \\ \Rightarrow x(x+9)-8(x+9)=0 \\ \Rightarrow(x-8)(x+9)=0 \\ \Rightarrow x=8,-9
यदि x=8 तो x+1=8+1=9
यदि x=-9 तो x+1=-9+1=-8
8,9 या – 8,-9
Illustration:2.16 को ऐसे दो भागों में विभाजित कीजिए कि बड़े भाग के वर्ग का दुगुना छोटे भाग के वर्ग से 164 अधिक हो।
Solution:माना बड़ा भाग=x,छोटा भाग=16-x
प्रश्नानुसार: 2 x^2=(16-x)^2+164 \\ \Rightarrow 2 x^2=256-32 x+x^2+164 \\ \Rightarrow x^2+32 x-420=0 \\ \Rightarrow x^2+42 x-10 x-420=0 \\ \Rightarrow x(x+42)-10(x+42)=0 \\ \Rightarrow(x-10)(x+42)=0 \\ \Rightarrow x=10, x=-42
x=10,x=-42 (असम्भव है)
छोटा भाग=16-x=16-10=6
Illustration:3.दो अंकों की संख्या ऐसी है कि इसके अंकों का गुणनफल 18 है।यदि इस संख्या में से 63 घटा दिये जाय तो संख्या के अंक अपना स्थान परस्पर बदल लेते हैं।संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:माना इकाई का अंक=x
दहाई का अंक=\frac{18}{x}
संख्या=10 \times \frac{18}{x}+x=\frac{180}{x}+x
प्रश्नानुसार: \frac{180}{x}+x-63=10 x+\frac{18}{x} \\ \Rightarrow \frac{1801 x^2-63 x}{x}=\frac{10 x^2+18}{x} \\ \Rightarrow x^2-63 x+180=10 x^2+18 \\ \Rightarrow 9 x^2+63 x-162=0 \\ \Rightarrow 9\left(x^2+7 x-18\right)=0 \\ \Rightarrow x^2+7 x-18=0 \\ a=1, b=7, c=-18 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ \Rightarrow x=\frac{-7 \pm \sqrt{(7)^2-4 \times 1 \times-18}}{2 \times 1} \\ =\frac{-7 \pm \sqrt{49+72}}{2} \\ =\frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{-7 \pm 11}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{-7+11}{2}, x=\frac{-7-11}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{4}{2}=2, x=-\frac{18}{2}=-9 (असम्भव है)
दहाई का अंक=\frac{18}{x}=\frac{18}{2}=9
संख्या=92
Illustration:4.एक आयताकार मैदान का परिमाप 46 मीटर है तथा उसका क्षेत्रफल 120 वर्ग मीटर है।इसकी लम्बाई तथा चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Solution:माना आयताकार मैदान की लम्बाई=x
परिमाप=2(लम्बाई+चौड़ाई)
\Rightarrow 2(x+चौड़ाई)=46
\Rightarrow x+चौड़ाई=\frac{46}{2}
\Rightarrow चौड़ाई=23-x
प्रश्नानुसार:
आयत का क्षेत्रफल=लम्बाई×चौड़ाई
\Rightarrow x(23-x)=120 \\ \Rightarrow 23 x-x^2=120 \\ \Rightarrow x^2-23 x+120=0 \\ a=1, b=-23, c=120 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-(-23) \pm \sqrt{(-23)^2-4 \times 1 \times 120}}{2 \times 1} \\ =\frac{23 \pm \sqrt{529-480}}{2} \\ =\frac{23 \pm \sqrt{49}}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{23 \pm 7}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{23+7}{2}, \frac{23-7}{2} \\ =\frac{30}{2}, \frac{16}{2} \\ x=15,8
अतः लम्बाई x=15 मीटर तो चौड़ाई=23-x=23-15=8 मीटर
Illustration:5.उन दो क्रमागत सम पूर्णांकों को ज्ञात कीजिए,जिनके वर्गों का योग 164 हो।
Solution:माना दो क्रमागत सम पूर्णांक=x,x+2
प्रश्नानुसार: x^2+(x+2)^2 =164 \\ \Rightarrow x^2+x^2+4 x+4 =164 \\ \Rightarrow 2 x^2+4 x+4-164=0 \\ \Rightarrow 2 x^2+4 x-160=0 \\ \Rightarrow 2\left(x^2+2 x-80\right)=0 \\ \Rightarrow x^2+2 x-80=0 \\ a=1, b=2, c=-80 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2-4 \times 1 \times-80}}{2 \times 1} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{4+320}}{2} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{324}}{2} \\ =\frac{-2 \pm 18}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{-2+18}{2}, \frac{-2-18}{2} \\ =\frac{16}{2},-\frac{20}{2} \\ \Rightarrow x=8
दूसरा पूर्णांक=x+2=8+2=10
8,10
Illustration:6.एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 63 सेमी है।यदि इसका आधार ऊँचाई से 5 अधिक है,तो त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:माना त्रिभुज की ऊँचाई=x
आधार=x+5
प्रश्नानुसार:
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल=\frac{1}{2} ×आधार×ऊँचाई
\Rightarrow \frac{1}{2} \times(x+5) \times x=63 \\ \Rightarrow x^2+5 x=126 \\ \Rightarrow x^2+5 x-126=0 \\ a=1,5=5, c=-126 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\=\frac{-5 \pm \sqrt{(5)^2-4 \times 1 \times-126}}{2 \times 1} \\ =\frac{-5 \pm \sqrt{25+504}}{2} \\ =\frac{-5 \pm \sqrt{529}}{2} \\ =\frac{-5 \pm 23}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{-5+23}{2}, \frac{-5-23}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{18}{2}=9, x=-\frac{28}{2}=-14 (असम्भव है क्योंकि त्रिभुज की भुजाएँ ऋणात्मक नहीं होती है)
अतः ऊँचाई=9 सेमी
Application of Quadratic Equation 10th
Illustration:7.900 किमी यात्रा करने में एक तेज गति की रेलगाड़ी धीमी गति की रेलगाड़ी से 3 घण्टे कम समय लेती है।यदि धीमी गति की गाड़ी की चाल,तेज गति की गाड़ी की चाल से 15 किमी/घण्टा कम हो तो दोनों रेलगाड़ियों की चाल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना धीमी गति की गाड़ी की चाल=x
तेज गति की रेलगाड़ी की चाल=x+15
समय= \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}
धीमी गति की गाड़ी द्वारा लिया गया समय=\frac{900}{x}
तेज गति की गाड़ी द्वारा लिया गया समय=\frac{900}{x+15}
प्रश्नानुसार: \frac{900}{x}-\frac{900}{x+15}=3 \\ \Rightarrow \frac{900(x+15)-900 x}{x(x+15)}=3 \\ \Rightarrow 900 x+13500-900 x=3\left(x^2+15 x\right) \\ \Rightarrow x^2+15 x=\frac{13500}{3} \\ \Rightarrow x^2+15x=4500 \\ \Rightarrow x^2+15 x-4500=0 \\ a=1, b=15, c=-4500 \\ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\\ =\frac{-15 \pm \sqrt{(15)-4 \times 1 \times-4500}}{2 \times 1} \\ =\frac{-15 \pm \sqrt{225+ 18000}}{2} \\=\frac{-15 \pm \sqrt{255+18000}}{2} \\ =\frac{-15 \pm \sqrt{18225}}{2} \\ =\frac{-15 \pm 135}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{-15+135}{2}, x=\frac{-15-135}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{120}{2}, x=\frac{150}{2} \\ \Rightarrow x=60, x=-75(असम्भव है क्योंकि गाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं होती)
तेज गति की रेलगाड़ी की चाल=x+15=60+15=75 किमी/घण्टा
Illustration:8. एक हवाई जहाज अपनी 1200 किमी कि यात्रा पूरी करने में 1 घण्टा कम लेता हैं यदि उसकी सामान्य चाल में 100 किमी/घण्टा कि वृद्धि कर दी जाए हवाई जहाज कि सामान्य चाल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना हवाई जहाज की सामान्य चाल=x
हवाई जहाज की चाल में वृद्धि करने पर चाल =x+100
समय=\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}
सामान्य चाल से हवाई जहाज द्वारा लिया गया समय=\frac{1200}{x}
चाल में वृद्धि करने पर लिया गया समय=\frac{1200}{x+100}
प्रश्नानुसार: \frac{1200}{x}-\frac{1200}{x+100}=1 \\ \Rightarrow \frac{1200(x+100)-1200 x}{x(x+100)}=1 \\ \Rightarrow 1200 x+120000-1200 x=x^2+100 x \\ \Rightarrow x^2+100 x-120000=0 \\ a=21, b=100, c=-120000 \\ x =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ =\frac{-100 \pm \sqrt{(100)^2-4 \times 1 \times-120000}}{2 \times 1} \\ =\frac{-100 \pm \sqrt{10000+480000}}{2} \\ =\frac{-100 \pm \sqrt{490000}}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{-100 \pm 700}{2} \\ \Rightarrow x =\frac{-100+700}{2}, x=\frac{-100-700}{2} \\ x=\frac{600}{2}, x=-\frac{800}{2}
x=300 किमी/घण्टा,x=-400 (असम्भव है क्योंकि गाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं होती)
Illustration:9.अंकित तथा उसके पिताजी की आयु में 30 वर्षों का अन्तर है।उनकी आयु के वर्गों का अन्तर 1560 है।अंकित तथा उसके पिताजी की आयु ज्ञात कीजिए।
Solution:माना अंकित की आयु=x
उसके पिताजी की आयु=x+30
प्रश्नानुसार: (x+30)^2-x^2=1560 \\ \Rightarrow x^2+60 x+900-x^2=1560 \\ \Rightarrow 60 x=1560-900 \\ \Rightarrow 60 x=660 \\ \Rightarrow x=\frac{660}{60}=11
अंकित के पिताजी की आयु=x+30=30+11=41 वर्ष
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Application of Quadratic Equation 10th),कक्षा 10 में द्विघात समीकरण (Quadratic Equation in Class 10) को समझ सकते हैं।
3.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 की समस्याएँ (Application of Quadratic Equation 10th Problems):
Application of Quadratic Equation 10th
(1.)एक समकोण त्रिभुज का कर्ण उसकी सबसे छोटी भुजा के दुगुने से 6 मीटर अधिक है।यदि तीसरी भुजा कर्ण से 2 मीटर छोटी हो तो त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
(2.)किसी संख्या तथा उसके व्युत्क्रम का योग \frac{10}{3} है।संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)10,24,26 मीटर (2.)3, \frac{1}{3}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 (Application of Quadratic Equation 10th),कक्षा 10 में द्विघात समीकरण (Quadratic Equation in Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।
4.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Application of Quadratic Equation 10th),कक्षा 10 में द्विघात समीकरण (Quadratic Equation in Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.द्विघाती सूत्र और मानक सूत्र में क्या अन्तर है? (What is the Difference Between Quadratic Formula and Standard Formula?):
उत्तर:द्विघाती सूत्र को ही मानक सूत्र के नाम से जाना जाता है।इसका एक अन्य नाम श्रीधराचार्य भी है ax^2+bx+c=0 द्विघात समीकरण का मानक सूत्र x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
प्रश्न:2.द्विघात पर टिप्पणी लिखो। (Write a Comment on Quadratic):
उत्तर:द्विघात का शाब्दिक अर्थ वर्ग (square) है तथा द्विघातीय शब्द का आशय ‘वर्ग के समान’ से है।अतः वह द्विघात समीकरण जिसमें अज्ञात राशि (चर) की उच्चतम घात (index) 2 हो,द्विघात या वर्ग समीकरण कहलाती है।
प्रश्न:3.द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग पर टिप्पणी लिखो। (Write a Note on the Application of Quadratic Equation):
उत्तर:दैनिक जीवन से सम्बन्धित समस्याओं को हल करने के लिए सर्वप्रथम हम जो समस्या शब्दों में अभिव्यक्त की गई है उसको सांकेतिक (गणितीय कथन) में परिवर्तित कर लेते हैं।इस प्रकार से हमें द्विघात समीकरण प्राप्त हो जाती है जिसे गुणनखण्ड विधि,पूर्णवर्ग विधि या द्विघाती सूत्र में से उपयुक्त विधि से हल कर लेते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 (Application of Quadratic Equation 10th),कक्षा 10 में द्विघात समीकरण (Quadratic Equation in Class 10) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Application of Quadratic Equation 10th
द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10
(Application of Quadratic Equation 10th)
Application of Quadratic Equation 10th
द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग कक्षा 10 (Application of Quadratic Equation 10th) के
इस आर्टिकल में दैनिक जीवन में काम आनेवाली या दैनिक जीवन से सम्बन्धित समस्याओं
पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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