1.रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग कक्षा 9 (Application of Linear Equations Class9),कक्षा 9 में दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग (Application of Linear Equations in Two Variables in Class 9):

Application of Linear Equations Class9

रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग कक्षा 9 (Application of Linear Equations Class9) (युगपत समीकरण निकाय) की सहायता से हम कुछ व्यावहारिक समस्याओं को हल कर सकते हैं।
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2.रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग कक्षा 9 के उदाहरण (Application of Linear Equations Class9 Examples):

निम्नलिखित समस्याओं को हल कीजिए:
Example:1.दो अंकों की एक संख्या में इकाई का अंक दहाई के अंक का 3 गुना है।संख्या के 2 गुने में 10 जोड़ने पर प्राप्त नई संख्या में अंक परस्पर स्थान बदल लेते हैं।संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:माना दहाई का अंक x तथा इकाई का अंक y है।
3x=y  ….. (1)
संख्या=10x+y
प्रश्नानुसार 2(10x+y)=10y+x \\ \Rightarrow 20x+2y-x-10y=-10 \\ \Rightarrow 19x-8y=-10 \\ \Rightarrow 19x=8y-10 \\ \Rightarrow x=\frac{8}{19} y-\frac{10}{19} \ldots(2)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

\Rightarrow 3\left(\frac{8}{19} y-\frac{10}{19}\right)=y \\ \Rightarrow \frac{24}{19} y-\frac{30}{19}=y \\ \Rightarrow \frac{24}{19} y-y=\frac{30}{19} \\ \Rightarrow \frac{24 y-19 y}{19}=\frac{30}{19} \\ \Rightarrow 5 y=30 \\ \Rightarrow y=6
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:

x=\frac{8}{19} \times 6-\frac{10}{19} \\ =\frac{48}{19}-\frac{10}{19} \\ \Rightarrow x=\frac{38}{19} =2
अतः संख्या=26
Example:2.एक आयत का परिमाप 56 सेमी है।उसकी लम्बाई तथा चौड़ाई का अनुपात 4:3 है।आयत की लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Solution:माना आयत की लम्बाई x तथा चौड़ाई y है।
आयत का परिमाप=2(लम्बाई+चौड़ाई)
\Rightarrow 2(x+y)=56 \\ \Rightarrow x+y=28 \ldots(1) \\ x: y:: 4: 3 \\ \Rightarrow 3 x=4 y \\ \Rightarrow x=\frac{4 y}{3} \ldots(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

\frac{4y}{3}+y=28 \\ \Rightarrow \frac{4y+3y}{3}=28 \\ \Rightarrow 7y=84 \\ \Rightarrow y=\frac{84}{7} =12
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:

x=\frac{4}{3} \times 12=16
अतः लम्बाई=16 सेमी,चौड़ाई=12 सेमी
Example:3.दो संख्याओं का अनुपात 3:4 है।यदि प्रत्येक संख्या में से 5 घटा दिया जाए,तो उनका अनुपात 5:7 हो जाता है।संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:माना दो संख्याएँ x,y है।
x: y:: 3: 4 \\ \Rightarrow 4 x=3 y \\ \Rightarrow 4 x-3 y=0 \\ x-5: y-5:: 5: 7 \\ \Rightarrow 7(x-5)=5(y-5) \\ \Rightarrow 7 x-35=5 y-25 \\ \Rightarrow 7 x-5 y-35+25=0 \\ \Rightarrow 7 x-5 y-10=0 \\ 4 x-3 y+0=0 \ldots(1) \\ 7 x-5 y-10=0 \ldots(2)
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{matrix} -3 & 0 \\ -5 & -10 \end{matrix}}=\frac{y}{\begin{matrix} 4 & 0 \\ 7 & -10 \end{matrix}}=\frac{1}{\begin{matrix} 4 & -3 \\ 7 & -5 \end{matrix}} \\ \Rightarrow \frac{x}{-3 \times-10-0 \times-5}=\frac{y}{7 \times 0-4 \times-10}=\frac{1}{4 \times-5-7 \times -3} \\ \Rightarrow \frac{x}{30-0}=\frac{y}{0+40}=\frac{1}{-20+21} \\ \Rightarrow \frac{x}{30}=\frac{y}{40}=\frac{1}{1}
प्रथम व अन्तिम से:

\frac{x}{30}=\frac{1}{1} \Rightarrow x=30
द्वितीय व अन्तिम से:

\frac{y}{40}=\frac{1}{1} \Rightarrow y=40
अतः दो संख्याएँ 30,40 हैं।
Example:4.पिता की आयु अपने पुत्र की आयु के 6 गुना से 5 वर्ष अधिक है।7 वर्ष पश्चात पिता की आयु पुत्र की आयु के 3 गुना से 3 अधिक होगी।दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
Solution:माना पुत्र की आयु x तथा पिता की आयु y है।
प्रश्नानुसार:6x+5=y
\Rightarrow 6x-y+5=0 …… (1)
7 वर्ष पश्चात पुत्र की आयु=x+7
7 वर्ष पश्चात पिता की आयु=y+7
प्रश्नानुसार:
3(x+7)+3=y+7 \\ \Rightarrow 3x+21+3=y+7 \\ \Rightarrow 3x-y+24-7=0 \\ \Rightarrow 3x-y+17=0 \ldots(2) \\ 6x-y+5=0  \ldots(1)
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\Rightarrow \frac{x}{\begin{matrix} -1 & 17 \\ -1 & 5 \end{matrix}}=\frac{y}{\begin{matrix} 3 & 17 \\ 6 & 5 \end{matrix}}=\frac{1}{\begin{matrix} 3 & -1 \\ 6 & -1 \end{matrix}} \\ \Rightarrow \frac{x}{-1 \times 5-17 \times -1}=\frac{y}{6 \times 17-3 \times 5}=\frac{1}{3 \times 1-6 \times-1} \\ \Rightarrow \frac{x}{-5+17} =\frac{y}{102-15}=\frac{1}{-3+6} \\ \Rightarrow \frac{x}{12}=\frac{y}{87}=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow \frac{x}{12}=\frac{1}{3} \Rightarrow x=4 \\ \Rightarrow \frac{y}{87}=\frac{1}{3} \Rightarrow y=29
पुत्र की आयु=4 वर्ष,पिता की आयु=29 वर्ष
Example:5.राम ने श्याम से कहा कि “तुम मुझे अपने पास से 100 रुपए दे दो तो,मेरे पास तुमसे 2 गुना रुपए हो जाएंगे।तब श्याम ने राम से कहा कि ” तुम यदि अपने पास से मुझे 10 रुपए दे दो तो मेरे पास तुमसे 6 गुना रुपए हो जाएंगे।” ज्ञात कीजिए कि दोनों के पास कितने-कितने रुपए हैं?
Solution:माना राम के पास x रुपए है तथा श्याम के पास y रुपए हैं।
x+100=2(y-100) \\ \Rightarrow x+100=2y-200 \\ \Rightarrow x-2y=-200-100 \\ \Rightarrow x-2y=-300 \ldots(1) \\ \Rightarrow 6(x-10)=y+10 \\ \Rightarrow 6x-60=y+10 \\ \Rightarrow 6x=y+10+60 \\ \Rightarrow x=\frac{y}{6}+\frac{70}{6} \ldots(2) 
x का मान समीकरण (2) से (1) में रखने पर:

\frac{y}{6}+\frac{70}{6}-2 y=-300 \\ \Rightarrow \frac{y}{6}-\frac{2 y}{1}=-\frac{300}{1}-\frac{70}{6} \\ \Rightarrow \frac{y-12 y}{6}=\frac{-1800-70}{6} \\ \Rightarrow-\frac{11 y}{6}=-\frac{1870}{6} \\ \Rightarrow y=\frac{-1870}{6} \times \frac{-6}{11} \\ \Rightarrow y=170
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:

x=\frac{170}{6}+\frac{70}{6} \\ \Rightarrow x=\frac{240}{6}=40
राम के पास 40 रुपए तथा श्याम के पास 170 रुपए है।

Application of Linear Equations Class9

Example:6.4 कुर्सियों और 3 मेजों का मूल्य 2100 रुपए है तथा 5 कुर्सियों और 2 मेजों का मूल्य 1750 रुपए है,तो एक कुर्सी तथा एक मेज का मूल्य ज्ञात कीजिए।
Solution:माना एक कुर्सी का मूल्य x रुपए तथा एक मेज का मूल्य y रुपए है।
प्रश्नानुसार:
4x+3y=2100
5x+2y=1750
\Rightarrow 4x+3y-2100=0  …… (1)
\Rightarrow 5x+2y-1750=0  ……. (2)
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{matrix} 3 & -2100 \\ 2 & -1750 \end{matrix}}=\frac{y}{\begin{matrix} 4 & -2100 \\ 5 & -1750 \end{matrix}}=\frac{1}{\begin{matrix} 4 & 3 \\ 5 & 2 \end{matrix}} \\ \Rightarrow \frac{x}{3 \times-1750-2 \times-2100}=\frac{y}{-4 \times-1750+5 \times-2100}=\frac{1}{4 \times 2-3 \times 5} \\ \Rightarrow \frac{x}{-5250+4200}=\frac{y}{7000-10500}=\frac{1}{8-15} \\ \Rightarrow \frac{x}{-1050} =\frac{y}{-3500}=\frac{1}{-7} \\ \Rightarrow \frac{x}{-1050}=\frac{y}{-3500}=\frac{1}{-7} \\ \Rightarrow \frac{x}{-1050}=\frac{1}{-7} \\ \Rightarrow x=\frac{1050}{7}=150 \\ \frac{y}{-3500}=-\frac{1}{7} \\ \Rightarrow y=\frac{3500}{7}=500
एक कुर्सी का मूल्य=150 रुपए तथा एक मेज का मूल्य=500 रुपए
Example:7.दो संख्याएँ इस प्रकार की है,कि बड़ी संख्या के 3 गुने में छोटी संख्या का भाग दिया जाता है,तो भागफल 4 तथा शेषफल 3 प्राप्त होता है और जब छोटी संख्या के 7 गुने में बड़ी संख्या का भाग दिया जाता है,तो भागफल 5 तथा शेषफल 1 प्राप्त होता है।संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:माना छोटी संख्या x तथा बड़ी संख्या y है।

\frac{3 y-3}{x}=4 \\ \Rightarrow 3 y-3=4 x \\ \Rightarrow 4 x-3 y=-3 \ldots(1) \\ \Rightarrow \frac{7 x-1}{y}=5 \\ \Rightarrow 7 x-1=5 y \\ \Rightarrow 7 x=5 y+1 \\ \Rightarrow x=\frac{5}{7} y+\frac{1}{7} \ldots(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

4\left(\frac{5}{7} y+\frac{1}{7}\right)-3 y=-3 \\ \Rightarrow \frac{20}{7} y+\frac{4}{7}-3 y=-3 \\ \Rightarrow 20 y-\frac{3 y}{7}=\frac{-3}{7}-\frac{4}{7} \\ \Rightarrow \frac{20 y-21 y}{7}=\frac{-21-4}{7} \\ \Rightarrow \frac{-y}{7}=-\frac{25}{7} \\ \Rightarrow y=25
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:

x=\frac{5}{7} \times 25+\frac{1}{7} \\ =\frac{125}{7}+\frac{1}{7} \\ =\frac{126}{7} \\ \Rightarrow x=18
छोटी संख्या=18,बड़ी संख्या=25
Example:8.दो अंकों की संख्या अपने अंकों के योग की 4 गुनी तथा अंकों के गुणनफल की 2 गुनी है।संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:माना इकाई का अंक y तथा दहाई का अंक x है।
संख्या=10x+y
प्रश्नानुसार:
10x+y=4(x+y) \\ \Rightarrow 10x-4x+y-4y=0 \\ \Rightarrow 6x-3y=0 \\ \Rightarrow 3(2x-y)=0 \\ \Rightarrow 2x-y=0 \\ \Rightarrow y=2x  \ldots(1) \\ \Rightarrow 10x+y=2xy  \ldots(2)
समीकरण (1) से समीकरण (2) में y का मान रखने पर:
10 x+2 x=2 x \times 2 x \\ \Rightarrow 4 x^2=12 x \\ \Rightarrow 4 x^2-12 x=0 \\ \Rightarrow 4 x(x-3)=0 \\ \Rightarrow x-3=0, x=0 (असम्भव है)

\Rightarrow x=3
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
y=2×3=6
संख्या=36
Example:9.एक भिन्न के अंश तथा हर में 1 जोड़ने पर पर \frac{4}{5} वह बन जाती है,जबकि अंश व हर दोनों में से 5 घटाते हैं तो वह \frac{1}{2} हो जाती है।भिन्न ज्ञात कीजिए।
Solution:माना भिन्न का अंश x तथा हर y है।
भिन्न=\frac{x}{y}
प्रश्नानुसार:
\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5} \\ \Rightarrow 5x+5=4y+4 \\ \Rightarrow 5x-4y+5-4=0 \\ \Rightarrow 5x-4y+1=0 \ldots(1) \\ \frac{x-5}{y-5}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow 2(x-5)=y-5 \\ \Rightarrow 2x-10=y-5 \\ \Rightarrow 2x-y-10+5=0 \\ \Rightarrow 2x-y-5=0  \ldots(2) \\ \Rightarrow 5x-4y+1=0  \ldots(1)
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{matrix} -1 & -5 \\ -4 & 1 \end{matrix}}=\frac{y}{\begin{matrix} 2 & -5 \\ 5 & 1 \end{matrix}} =\frac{1}{\begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -4 \end{matrix}} \\ \frac{x}{-1 \times 1-(-5)(-4)}=\frac{y}{5 \times-5-2 \times 1}=\frac{1}{2 \times-4-5 \times-1} \\ \Rightarrow \frac{x}{-1-20}=\frac{y}{-25-2}=\frac{1}{-8+5} \\ \Rightarrow \frac{x}{-21}=\frac{y}{-27}=\frac{1}{-3} \\ \Rightarrow \frac{x}{-21}=\frac{y}{-27}=\frac{1}{-3} \\ \Rightarrow \frac{x}{-21}=\frac{1}{-3} \\ \Rightarrow x=\frac{-21}{-3} \\ \Rightarrow x=7 \\ \Rightarrow \frac{y}{-27}=\frac{-1}{3} \Rightarrow y=\frac{-27}{-3} \\ \Rightarrow y=9
भिन्न=\frac{x}{y}=\frac{7}{9}
Example:10.5 वर्ष पूर्व गीता की आयु कमला की आयु की 3 गुना थी।10 वर्ष बाद गीता की आयु कमला की आयु की 2 गुना होगी।दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
Solution:माना गीता की वर्तमान आयु x वर्ष तथा कमला की वर्तमान आयु y वर्ष है।
5 वर्ष पूर्व गीता की आयु=x-5
5 वर्ष पूर्व कमला की आयु=y-5
प्रश्नानुसार:
x-5=3(y-5) \\ \Rightarrow x-5=3y-15 \\ \Rightarrow x-3y-5+15=0 \\ \Rightarrow x-3y+10=0 \ldots(1)
10 वर्ष बाद गीता की आयु=x+10
10  वर्ष बाद कमला की आयु=y+10
प्रश्नानुसार:
x+10=2(y+10) \\ \Rightarrow x+10=2y+20 \\ \Rightarrow x-2y+10-20=0 \\ \Rightarrow x-2y-10=0  \ldots(2) \\ x-3y+10=0 \ldots(1)
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{matrix} -2 & -10 \\ -3 & 10 \end{matrix}}=\frac{y}{\begin{matrix} 1 & -10 \\ 1 & 10 \end{matrix}} =\frac{1}{\begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & -3 \end{matrix}} \\ \Rightarrow \frac{x}{-2 \times 10-(-3)(-10)} =\frac{y}{1 \times-10-1 \times 10}=\frac{1}{1 \times-3-1 \times-2} \\ \Rightarrow \frac{x}{-20-30} =\frac{y}{-10-10}=\frac{1}{-3+2} \\ \Rightarrow \frac{x}{-50}=\frac{y}{-20}=\frac{1}{-1} \\ \Rightarrow \frac{x}{-50}=\frac{1}{-1} \\ \Rightarrow x=\frac{-50}{-1} \\ \Rightarrow x=50 \\ \frac{y}{-20}=\frac{1}{-1} \\ \Rightarrow y=\frac{-20}{-1} \\ y=20
गीता की वर्तमान आयु=50 वर्ष, कमला की वर्तमान आयु=20 वर्ष
Example:11.एक व्यक्ति 370 किमी की यात्रा में से कुछ दूरी रेल द्वारा तथा कुछ दूरी कार द्वारा तय करता है।यदि वह 250 किमी रेल द्वारा तथा शेष दूरी कार द्वारा तय करता है,तो उसे 4 घण्टे लगते है।परन्तु जब वह 130 किमी रेल द्वारा तथा शेष दूरी कार द्वारा तय करता है तो उसे 18 मिनट अधिक लगते है।रेल तथा कार की चाल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना रेल की चाल x किमी प्रति घण्टा तथा कार की चाल y किमी प्रति घण्टा है।
प्रश्नानुसार:समय=\frac{ \text{दूरी} }{ \text{चाल}} \\ \frac{250}{x}+\frac{120}{y}=4 \ldots(1) \\ \frac{130}{x}+\frac{240}{y}=4 \frac{18}{60} \\ \frac{130}{x}+\frac{240}{y}=\frac{43}{10} \\ \frac{1}{x}=u तथा \frac{1}{y}=v रखने पर

250 u+120 v-4=0 \ldots(1)\\ 130 u+240 v=\frac{43}{10} \\ 1300 u+2400 v-43=0 \ldots(2) \\ 250 u+120 v-4=0 \ldots(1)
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{u}{\begin{matrix} 2400 & -43 \\ 120 & -4 \end{matrix}}=\frac{v}{\begin{matrix} 1300 & -43 \\ 250 & -4 \end{matrix}}=\frac{1}{\begin{matrix} 1300 & 2400 \\ 250 & 120 \end{matrix}} \\ \Rightarrow \frac{u}{2400 \times -4-120 \times -43}=\frac{v}{1300 \times -4+250 \times -43}=\frac{1}{1300 \times 120-250 \times 2400} \\ \Rightarrow \frac{u}{-9600+5160}=\frac{v}{5200-10750}=\frac{1}{156000-600000} \\ \Rightarrow \frac{u}{-4440}=\frac{v}{-5550}=\frac{1}{-444000} \\ \Rightarrow \frac{u}{-4440}=\frac{1}{-444000} \\ \Rightarrow u=\frac{-4440}{-444000} \\ \Rightarrow u=\frac{1}{100} \\ \frac{v}{-5550}=\frac{1}{-444000} \\ \Rightarrow v=\frac{-5550}{-444000} \\ \Rightarrow v=\frac{1}{80} \\ \frac{1}{x}=u=\frac{1}{100} \Rightarrow x=100 \\ \frac{1}{y}=v=\frac{1}{80} \Rightarrow y=80
अतः रेल की चाल 100 किमी/घण्टा तथा कार की चाल 80 किमी/घण्टा है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग कक्षा 9 (Application of Linear Equations Class9),कक्षा 9 में दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग (Application of Linear Equations in Two Variables in Class 9) को समझ सकते हैं।

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3.रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग कक्षा 9 की समस्याएँ (Application of Linear Equations Class9 Problems):

Application of Linear Equations Class9

(1.)दो संख्याओं का योग 15 है।यदि उनके व्युत्क्रमों का योग \frac{3}{10} हो तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
(2.)एक संख्या दो अंकों की है तथा इन अंकों का योग 12 है।यदि संख्या में से 18 घटा दिये जाये तो संख्या के अंकों का स्थान परस्पर बदल जाता है।संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)5 और 10 (2.)75
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग कक्षा 9 (Application of Linear Equations Class9),कक्षा 9 में दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग (Application of Linear Equations in Two Variables in Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग कक्षा 9 (Frequently Asked Questions Related to Application of Linear Equations Class9),कक्षा 9 में दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग (Application of Linear Equations in Two Variables in Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग कक्षा 9 (Application of Linear Equations Class9)
(युगपत समीकरण निकाय)की सहायता से हम कुछ व्यावहारिक समस्याओं को हल कर सकते हैं।