1.एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण कक्षा 9 (Angle Subtended by Arc of Circle 9th),कक्षा 9 में एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण (Angle Subtended by Arc of Circle in Class 9):

Angle Subtended by Arc of Circle 9th

एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण कक्षा 9 (Angle Subtended by Arc of Circle 9th) के इस आर्टिकल में वृत्त,जीवा द्वारा एक बिन्दु पर अन्तरित कोण,तीन बिन्दुओं से जाने वाला वृत्त,समान जीवाएँ और उनकी केन्द्र से दूरियाँ,एक चाप द्वारा अंतरित कोण तथा चक्रीय चतुर्भुज पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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2.एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण कक्षा 9 के साधित उदाहरण (Angle Subtended by Arc of Circle 9th Solved Examples):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेद करते हुए वृत्तों की केन्द्रों की रेखा दोनों प्रतिच्छेद बिन्दुओं पर समान कोण अन्तरित करती है।
Solution:दिया है (Given):दो वृत्त जिनके केन्द्र A और B हैं,परस्पर C और D पर प्रतिच्छेद करते हैं।

Angle Subtended by Arc of Circle 9th

सिद्ध करना है (To Prove): $\angle ACB=\angle ADB$
उपपत्ति (Proof): $\triangle ACB$ तथा $\triangle ADB$ में
AC=AD  (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
BC=BD  (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
AB=AB  (उभयनिष्ठ है)
भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से
$\triangle ACB \cong \triangle ADB \\ \angle ACB=\angle ADB$ (CPCT से)
Example:2.एक वृत्त की 5cm और 11cm लम्बी दो जीवाएँ AB और CD समान्तर हैं और केन्द्र की विपरीत दिशा में स्थित हैं।यदि AB और CD के बीच दूरी 6cm हो तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Solution:ज्ञात है:O,वृत्त का केन्द्र और AB=5 सेमी तथा CD=11 सेमी है।
रचना (Construction): $OL \perp AB$ तथा $OM \perp CD$ खींचा।

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चूँकि केन्द्र से जीवा पर लम्ब,जीवा को समद्विभाजित करता है।
इसलिए OL=2.5 सेमी और CM=5.5 सेमी
माना वृत्त की त्रिज्या r है।
$\triangle ALO$  में

$AO^2=OL^2+AL^2 \\ \Rightarrow r^2=x^2+(2.5)^2 \\ \Rightarrow r^2=x^2+6.25 \ldots(1) \\ \triangle CMO$ में

$OC^2=LM^2+OM^2 \\ \Rightarrow r^2=(5.5)^2+(6-x)^2 \\ \Rightarrow r^2=30.25+36-12 x+x^2 \\ \Rightarrow r^2=66.25-12 x+x^2 \cdots(2)$
(1) व (2) से:

$x^2+6.25=66.25-12 x+x^2 \\ \Rightarrow 12 x=66.25-6.25 \\ \Rightarrow 12 x=60 \\ \Rightarrow x^2=\frac{60}{12} \\ \Rightarrow x=5$
समीकरण (1) में रखने पर:
$r^2=5^2+6-25 \\ =25+\frac{625}{100} \\=25+\frac{25}{4} \\ =\frac{100+25}{4} \\ =\frac{125}{4} \\ \Rightarrow r =\sqrt{\frac{125}{4}} \\ \Rightarrow r =\frac{5 \sqrt{5}}{2} \text { सेमी }$
Example:3.किसी वृत्त की दो समान्तर जीवाओं की लम्बाईयाँ 6cm और 8cm हैं।यदि छोटी जीवा केन्द्र से 4 सेमी की दूरी पर हो तो दूसरी जीवा केन्द्र से कितनी दूर है?
Solution:ज्ञात है:एक वृत्त जिसका केन्द्र O है।जीवा AB=6 सेमी, जीवा CD=8 सेमी है।

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रचना (Construction): $OP \perp AB$ और $OQ \perp CD$  खींचा।
AP=3 सेमी तथा OP=4 सेमी
माना OQ=x
माना त्रिज्या=r सेमी
$\triangle AOP$ में

$A O^2=O P^2+A P^2 \\ \Rightarrow r^2=4^2+3^2 \\ \Rightarrow r^2=16+9=25 \cdots(1) \\ \triangle OCQ$ में
$OC^2=O Q^2+C Q^2 \\ \Rightarrow r^2=x^2+4^2 \\ \Rightarrow r^2=x^2+16 \\ x^2+16=25 \\ \Rightarrow x^2=25-16 \\ \Rightarrow x^2=9 \\ \Rightarrow x=\sqrt{9} \\ \Rightarrow x=3$  सेमी
अतः केन्द्र से दूसरी जीवा की दूरी=3 सेमी
Example:4.मान लीजिए कि कोण ABC का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त से बराबर AD और CE काटती हैं।सिद्ध कीजिए कि $\triangle AB$C जीवाओं AC और DE द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोणों के अन्तर का आधा है।
Solution:दिया है (Given):कोण ABC का शीर्ष B एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त से बराबर जीवाएँ AD और CE काटती है।

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सिद्ध करना है (To Prove): $\angle ABC=\frac{1}{2}(\angle A O C-\angle D O E)$
रचना (Construction):CD को मिलाया।
उपपत्ति (Proof): $\triangle BCD$ में

$\angle ADC=\angle DBC+\angle DCB \cdots(1)$
[किसी त्रिभुज में बहिष्कोण अपने दोनों अन्तराभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है]

$\angle ADC=\frac{1}{2} \angle AOC \cdots(2)$
[किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण उसके वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दुगुना होता है।]
इसी प्रकार $\angle DCB=\frac{1}{2} \angle DOE \cdots(3)$
समीकरण (2) व (3) से समीकरण (1) में मान रखने पर:

$\frac{1}{2} \angle A O C=\angle D B C+\frac{1}{2} \angle D O E \\ \Rightarrow \angle DBC=\frac{1}{2} \angle A O C-\frac{1}{2} \angle D O E \\ \Rightarrow \angle D B C=\frac{1}{2}(\angle AOC-\angle DOE)$
Example:5.सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेद बिन्दु से होकर जाता है।
Solution:दिया है (Given):ABCD एक समचतुर्भुज है।AC और BD इसके दो विकर्ण हैं।

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सिद्ध करना है (To Prove):भुजा AB को व्यास मानकर खींचा गया समचतुर्भुज ABCD के विकर्णों के प्रतिच्छेद बिन्दु से होकर जाएगा।
उपपत्ति (Proof):समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

$\therefore \angle AEB=90^{\circ}$
AB वृत्त का व्यास है अतः
$\angle AEB=90^{\circ}$ (अर्धवृत्त का कोण)
(1) व (2) से:
AB को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त E से होकर जाएगा।
Example:6.ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।A,B और C से जाने वाला वृत्त CD (यदि आवश्यक हो तो बढ़ाकर) को E पर प्रतिच्छेद करता है।सिद्ध कीजिए कि AE=AD
Solution:दिया है (Given):ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।A,B और C से जाने वाला वृत्त (यदि आवश्यक हो तो बढ़ाकर) को E पर प्रतिच्छेद करता है।

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सिद्ध करना है (To Prove):AE=AD
उपपत्ति (Proof):चक्रीय चतुर्भुज ABCE में

$\angle AED+\angle ABC=180^{\circ} \cdots(1)$
(चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं)

$\angle ABC=\angle ADC \cdots(2)$
(समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
(1) व (2) से:
$\angle AED+\angle ADC=180^{\circ} \cdots(3) \\ \angle ADC+\angle ADE=180^{\circ} \cdots(4)$ (रैखिक कोण युग्म अभिगृहीत से)
(3) व (4) से:
$\angle A E D+\angle A D C=\angle A D C+\angle A D E \\ \Rightarrow \angle A E D=\angle A D E \\ \triangle A D E$ में
$\angle A E D=\angle ADE$ (सिद्ध किया है)
$\therefore$  AE=AD
(त्रिभुज के बराबर कोणों की अभिमुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
Example:7.AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित करती हैं।सिद्ध कीजिए
(i)AC और BD व्यास हैं,
(ii)ABCD एक आयत है।
Solution:दिया है (Given):एक वृत्त की दो जीवाएँ AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करती हैं।

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सिद्ध करना है (To Prove):(i)AC और BD व्यास हैं,
(ii)ABCD एक आयत है।
रचना (Construction):AB,BC,CD और AD को मिलाया।
उपपत्ति (Proof):$\triangle OAB$ और  $\triangle OCD$ में
OA=OC  (दिया है)

$\angle AOB=\angle COD$
OB=OD  (दिया है)
SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से

$\triangle OAB \cong \triangle OCD$
AB=CD (CPCT से) ….(1)
इसी प्रकार $\triangle AOD$ तथा $\triangle BOC$ में
AD=BC …. (2)
(1) व (2) से:
AB+AD=BC+CD
$\Rightarrow$ BAD=BCD
BD वृत्त को दो भागों में बाँटती है।
$\Rightarrow$ BD व्यास है।
इसी प्रकार AC व्यास है।
(2)$\triangle AOB \cong \triangle COD \\ \angle OAB$ अर्थात् $\angle CAB=\angle OCD$ अर्थात् $\angle ACD \\ \Rightarrow AB \parallel CD$
पुन: $\triangle AOD \cong \triangle BOC \\ \Rightarrow AD \| BC \\ \Rightarrow$ ABCD चक्रीय समान्तर चतुर्भुज है।
$\angle DAB=\angle DCB \cdots \cdots(3)$ (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।

$\angle DAB+\angle DCB=180^{\circ} \cdots(4)$
(3) व (4) से:

$\angle DAB=\angle DCB=90^{\circ}$
अतः ABCD एक आयत है।
Example:8.यदि त्रिभुज ABC के कोणों A,B और C के समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमशः D,E और F पर प्रतिच्छेद करते हैं।सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज DEF के कोण $90^{\circ}-\frac{1}{2} A , 90^{\circ}-\frac{1}{2} B$  तथा  $90^{\circ}-\frac{1}{2} C$ हैं।
Solution:दिया है (Given):एक जिसमें तथा के समद्विभाजक AD,BE और CD हैं।

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सिद्ध करना है (To Prove): $\angle D=90^{\circ}-\frac{1}{2} A \\ \angle E=90^{\circ}-\frac{1}{2} B \\ \angle F=90^{\circ}-\frac{1}{2} C$
उपपत्ति (Proof):
$\angle 1=\angle 2=\frac{1}{2} \angle A \\ \angle 3=\angle 4=\frac{1}{2} \angle B \\ \angle 5=\angle 6=\frac{1}{2} \angle C \\ \angle ADE=\angle 3$(एक ही वृत्तखण्ड के कोण)………(1)
$\angle A D F=\angle 6$ (एक ही वृत्तखण्ड के कोण)…………..(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:
$\angle A D E+\angle A D F=\angle 3+\angle 6 \\ \Rightarrow \angle D=\frac{1}{2} \angle B+\frac{1}{2} \angle C \\ \Rightarrow \angle D=\frac{1}{2}(\angle B+\angle C) \\ \Rightarrow \angle D=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle A\right)$ ( $\because \triangle A B C$ के तीनों कोणों का योग=180°)

$\Rightarrow \angle D =90^{\circ}-\frac{1}{2} A$
इसी प्रकार $\angle E=90^{\circ}-\frac{1}{2} B \\ \angle F=90^{\circ}-\frac{1}{2} C$
Example:9.दो सर्वांगसम वृत्त परस्पर बिन्दुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं।A से होकर कोई रेखाखण्ड PAQ इस प्रकार खींचा गया है कि P और Q दोनों वृत्तों पर स्थित हैं।सिद्ध कीजिए कि BP=BQ है।
Solution:दिया है (Given):दो वृत्त जो कि सर्वांगसम है और A तथा B पर प्रतिच्छेद करते हैं।A से होकर एक रेखाखण्ड PAQ खींचा गया है जबकि P और Q वृत्त पर स्थित हैं।

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सिद्ध करना है (To Prove):BP=BQ
रचना (Construction):A और B को मिलाया।
उपपत्ति (Proof):चूँकि दो वृत्त सर्वांगसम हैं।
AB इनकी उभयनिष्ठ जीवा है।अर्थात् AB की लम्बाई दोनों वृत्तों में बराबर है।
$\therefore$ चाप ACB=चाप ADB

$\Rightarrow \angle BPA=\angle BQA \\ \Rightarrow BP=BQ$
Example:10.किसी त्रिभुज ABC में यदि का समद्विभाजक तथा BC का लम्ब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें,तो सिद्ध कीजिए कि वे $\triangle ABC$ के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।
Solution:दिया है (Given):O केन्द्र वाले एक वृत्त के अन्दर $\triangle ABC$ है।E वृत्त पर एक बिन्दु इस प्रकार है कि AE,$\angle BAC$ का समद्विभाजक है तथा D,BC का मध्य-बिन्दु है।

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सिद्ध करना है (To Prove):DE,BC का लम्ब समद्विभाजक है।
अर्थात् $\angle BDE=\angle CDE=90^{\circ}$
रचना (Construction):BE तथा EC को मिलाया।
उपपत्ति (Proof): $\angle B A E=\angle C A E$(दिया है)
चाप BE=चाप CE
$\Rightarrow$  जीवा BE=जीवा CE …. (1)
$\triangle BDE$ तथा $\triangle CDE$ में
BE=CE  [(1) से]
BD=CD (दिया है)
DE=DE  (उभयनिष्ठ है)
SSS सर्वांगसमता गुणधर्म से
$\triangle BDE \cong \triangle CDE \\ \Rightarrow \angle BDE=\angle CDE$(CPCT से)
तथा $\angle B D E+\angle C D E=180^{\circ}$ (रैखिक कोण युग्म)

$\therefore \angle B D E=\angle CDE=90^{\circ}$
अतः DE,BC का लम्ब समद्विभाजक है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण कक्षा 9 (Angle Subtended by Arc of Circle 9th),कक्षा 9 में एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण (Angle Subtended by Arc of Circle in Class 9) को समझ सकते हैं।

3.एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण कक्षा 9 पर आधारित सवाल (Questions Based on Angle Subtended by Arc of Circle 9th):

Angle Subtended by Arc of Circle 9th

(1.)एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है।इसकी दो जीवाएँ AB और AC इस प्रकार हैं कि AB=AC=6 सेमी।जीवा BC की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
(2.)एक समद्विबाहु $\triangle ABC$ में AB=AC और BC का मध्य-बिन्दु D है।सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की समान भुजाओं में किसी को भी व्यास मानकर वृत्त खींचने पर यह D से होकर जाएगा।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण कक्षा 9 (Angle Subtended by Arc of Circle 9th),कक्षा 9 में एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण (Angle Subtended by Arc of Circle in Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण कक्षा 9 (Frequently Asked Questions Related to Angle Subtended by Arc of Circle 9th),कक्षा 9 में एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण (Angle Subtended by Arc of Circle in Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले

एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण कक्षा 9 (Angle Subtended by Arc of Circle 9th) के इस
आर्टिकल में वृत्त,जीवा द्वारा एक बिन्दु पर अन्तरित कोण,तीन बिन्दुओं से जाने वाला वृत्त,समान
जीवाएँ और उनकी केन्द्र से दूरियाँ,एक चाप द्वारा अंतरित कोण तथा चक्रीय चतुर्भुज पर