Angle between radius vector and tangent

ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण का परिचय ( Introduction to Angle between Radius Vector and Tangent):

Angle between Radius Vector & Tangent

• ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle between Radius Vector and Tangent):वक्र के किसी बिन्दु को ध्रुव (मूलबिन्दु) से मिलाने वाली रेखा को ध्रुवान्तर रेखा कहते हैं।वक्र के जिस बिन्दु पर ध्रुवान्तर रेखा मिलती है उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा तथा ध्रुवान्तर रेखा के मध्य कोण ज्ञात करेंगे।
  
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ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle between Radius Vector and Tangent):

Angle between Radius Vector and Tangent

• माना कि P\left(r,{\theta}\right) कोई एक बिन्दु वक्र r=f(\theta) पर है तथा Q(r+\delta{},\theta{}+\delta{\theta}),P के समीप वक्र पर अन्य बिन्दु है।P तथा Q को मिलाओ।माना कि TPT’ वक्र पर बिन्दु P पर स्पर्श रेखा है।OP को L तक बढ़ाओ।माना \angle{TPT'}=\phi
  अब QM,OP पर लम्ब डालो।त्रिभुज PMQ में
  \phi=\lim_{Q\longrightarrow{P}}\angle{MPQ}
  अर्थात् \phi=\lim_{\delta{\theta}\longrightarrow{0}}\angle{MPQ} [जैसे-जैसे Q\longrightarrow{P},\delta{\theta}\longrightarrow{0}]
  अतः \tan{\phi}=\tan{\left\{\lim_{\delta{\theta}\longrightarrow{0}}\angle{MPQ}\right\}}
  \tan{\phi}=\lim_{\delta{\theta}\longrightarrow{0}}MPQ
  \tan{\phi}=\lim_{\delta{\theta}\longrightarrow{0}}\frac{QM}{PM}
  =\lim_{\delta{\theta}\longrightarrow{0}}\frac{\left(r+\delta{r}\right)\sin{\delta{\theta}}}{\left(r+\delta{r}\right)\cos{\delta{\theta}}-r}
  =\lim_{\delta{\theta}\longrightarrow{0}}\frac{\left(r+\delta{r}\right)\sin{\delta{\theta}}}{\delta{r}\cos{\delta{\theta}}-r\left(1-\cos{\delta{\theta}}\right)}
  =\lim_{\delta{\theta}\longrightarrow{0}}\frac{\left(r+\delta{r}\right)\frac{\sin{\delta}\theta}{\delta{\theta}}}{\frac{\delta{r}}{\delta{\theta}}\cos{\delta{\theta}}-r\frac{2\sin^{2}\left(\frac{1}{2}\delta{\theta}\right)}{\delta{\theta}}}
  =\frac{(r+0).1}{\left(\frac{dr}{d\theta}\right)-r.0}
• [\because lim_{\delta{\theta} \longrightarrow{0}}\frac{\sin\left(\frac{\delta{\theta}}{2}\right)}{\frac{\delta{\theta}}{2}}\sin{\frac{\delta{\theta}}{2}}=1.0] 
  \tan{\phi}=r\frac{dr}{d\theta} 
  Derivative of an Arc and pedal Equation

Angle between Radius Vector and Tangent

Angle between Radius Vector and Tangent

Angle between Radius Vector and Tangent

Figure-Angle between radius vector and tangent 

• उपर्युक्त आर्टिकल में ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle between Radius Vector & Tangent) के बारे में बताया गया है।