1.सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic Functions in Complex Analysis),सम्मिश्र विश्लेषण में सांतत्यता एवं अवकलनीयता (Continuity and Differentiability in Complex Analysis):

Analytic Functions in Complex Analysis

सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic Functions in Complex Analysis) में एकमानी फलन जो किसी प्रान्त D के प्रत्येक बिन्दु पर परिभाषित एवं अवकलनीय है प्रान्त D में विश्लेषिक फलन कहलाता है।विश्लेषिक फलन को होलोमार्फिक फलन (Holomorphic Function) भी कहते हैं।
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2.सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Analytic Functions in Complex Analysis):

Example:12.प्रदर्शित कीजिए कि फलन f(z)=z^n जहाँ n \in I^{+} एक विश्लेषिक फलन है।
(Show that function f(z)=z^n where n \in I^{+} is an analytic function.)
Solution:माना f(z)=z^n \\ f^{\prime}(z)=\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{(z+\Delta z)^n-z^{n}}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{ z^n+n z^{n-1} \Delta z+\frac{1}{2} n(n-1) z^{n-2}(\Delta z)^2+\cdots+(\Delta z)^n-z^n}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{\Delta z\left(n z^{n-1}+\frac{1}{2} n(n-1) z^{n-2} \Delta z+\cdots+(\Delta z)^{n-1}\right)}{\Delta z}\\=\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \left[n z^{n-1}+\frac{1}{2} n(n-1)^{n-2} \Delta z+\cdots+(\Delta z)^{n-1}\right] \\ =n z^{n-1} \\ \therefore z के सभी परिमित मानों के लिए f'(z) का अस्तित्व है।
अतः f(z) एक विश्लेषिक फलन है।
Example:13.यदि f(0)=0 एवं f(z)=u(x,y)+iv(x,y) \left(z \neq 0 \right) जहाँ

u(x, y)=\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}, v(x, y)=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}
प्रदर्शित कीजिए कि f(z) संतत है तथा कोशी-रीमान प्रतिबन्ध मूलबिन्दु पर सन्तुष्ट है परन्तु f(z) का मूलबिन्दु पर अवकलज विद्यमान नहीं है।
(If f(0)=0 and f(z)=u(x,y)+iv(x,y) for z \neq 0 where

u(x, y)=\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}, v(x, y)=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}
Show that f(z) is continuous and that the cauchy-Riemann equations are satisfied at the origin, but f(z) has no derivative at the origin.
Solution: f(z)=\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}+i \frac{\left(x^3+y^3\right)}{x^2+y^2}= u(x,y)+iv(x,y)
जहाँ z \neq 0 ; u तथा v, x तथा y के परिमेय (rational) फलन है जिनके हर शून्य नहीं है।जिससे यह सिद्ध होता है कि u और v दोनों संतत है जब z \neq 0,यह भी दिया हुआ है कि f(0)=0 जिससे z=0 पर u=0,v=0 साथ ही

\underset{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}{\lim} u=0, \underset{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}{\lim} v=0
अतः u तथा v मूलबिन्दु पर संतत हैं,फलतः f(z), z के प्रत्येक मान के लिए संतत है।
अब z=0 पर

\frac{\partial u}{\partial x}=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{u(x, 0)-v(0,0)}{x} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{x-0}{x}=1 \\ \frac{\partial u}{\partial y}=\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \frac{-y-0}{y}=-1
इसी प्रकार  \frac{\partial v}{\partial x}=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{x-0}{x}=1
तथा \frac{\partial v}{\partial y}=\underset{y \rightarrow 0}{\lim} \frac{y-0}{y}=1
अतः \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
कोशी-रीमान समीकरण सन्तुष्ट है।

f^{\prime}(0)=\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(z)-f(0)}{z} \\ =\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{\left(x^3-y^3\right)+i\left(x^3+y^3\right)}{x^2+y^2} \cdot \frac{1}{x+i y}
माना z, y=mx मार्ग पर मूलबिन्दु के निकट आता है तो

f^{\prime}(0)=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\left(x^3-m^3 x^3\right)+i\left(x^3+m^3 x^3\right)}{x^2+m^2 x^2} \cdot \frac{1}{x+i m x} \\ =\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \frac{x^3\left(1-m^3\right)+i x^3\left(1+m^3\right)}{x^3\left(1+m^2\right)(1+i m)} \\ =\frac{\left(1-m^3\right) +i\left(1+m^3\right)}{\left(1+m^2\right)(1+i m)}
जो कि m पर आश्रित है अतः f'(0) का मान अद्वितीय नहीं है।
Example:15.यदि किसी विश्लेषिक फलन जो कि किसी प्रदेश में परिभाषित है का या तो वास्तविक भाग,काल्पनिक भाग,मापांक या कोणांक अचर हो तो प्रदर्शित करिए कि फलन भी अवश्य अचर होना चाहिए।
(If the real part, imaginary part, modulus or amplitude of an analytic function defined in a domain is constant.Show that the function is necessarily constant.)
Solution:f(z)=u+iv प्रान्त D में विश्लेषिक है अतः यह कोशी-रीमान समीकरणों को सन्तुष्ट करता हैः

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \cdots(1)
(i)R(f(z))=u=अचर

\frac{\partial u}{\partial x}=0=\frac{\partial u}{\partial y} \\ f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}-i \frac{\partial u}{\partial y}[(1) से]
\Rightarrow f^{\prime}(z)=0 \\ \therefore  f(z) अचर फलन है।
(ii)(f(z))=v=अचर 
\frac{\partial v}{\partial x}=0=\frac{\partial v}{\partial y} \\ f^{\prime}(z) =\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x} \\ =\frac{\partial v}{\partial y}+i \frac{\partial v}{\partial x} [(1) से]
\Rightarrow f^{\prime}(z)=0 \\ \therefore f(z) अचर फलन है।
(iii)|f(z)| =अचर \Rightarrow u^2+v^2=अचर
u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial x}=0 तथा u \frac{\partial u}{\partial y}+v \frac{\partial v}{\partial y}=0 \\ u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial x}=0 तथा -u \frac{\partial v}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial y}=0 [(1) से]
हल करने परः
\frac{\partial u}{\partial x}=0 तथा \frac{\partial v}{\partial x}=0 जबकि u^2+v^2 \neq 0
यदि u^2+v^2 \neq 0 तो u और v अचर है।
अतः यदि u^2+v^2 = 0 तो f(z) अचर है।
अतः f(z) अचर है।
(iv) \arg f(z)=\tan ^{-1}\left(\frac{v}{u}\right) \\ \arg f(z)=c ( अचर ) \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{u}{v}\right)=c \\ \Rightarrow \frac{v}{u}=\tan c \\ u=v \cot c \Rightarrow u=k v (माना \cot c=k )
u-kv=0 (यदि v शून्य है)
परन्तु u-kv, (1+ik), f का वास्तविक भाग है।अतः (1+ik)f अचर है।परन्तु (1+ik) अचर है अतः f भी अचर है।
Example:17.प्रदर्शित करिए कि फलन

f(z)=\sin x \cosh y+i \cos x \sinh y
सर्वत्र संतत एवं विश्लेषिक है।
(Show that the function

f(z)=\sin x \cosh y+i \cos x \sinh y
is continuous as well as analytic everywhere.)
Solution: f(z)=\sin x \cosh y+i \cos x \sinh y
माना u(x,y)=\sin x \cosh y, v(x,y)= \cos x \sinh y
यहाँ u तथा v, x तथा y के परिमेय (rational) फलन है जिनके हर शून्य नहीं है।जिससे यह सिद्ध होता है कि u तथा v दोनों सर्वत्र संतत हैं।अतः f(z) सर्वत्र संतत है।

\frac{\partial u}{\partial x}=\cos x \cosh y, \frac{\partial u}{\partial y}=\sin x \sinh y
तथा \frac{\partial v}{\partial x}=-\sin x \sinh y, \frac{\partial v}{\partial y}=\cos x \cosh y
अतः \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}
u और v कोशी-रीमान समीकरणों को सन्तुष्ट करते हैं।फलतः f(z) सर्वत्र विश्लेषिक है।

Analytic Functions in Complex Analysis

Example:17.प्रदर्शित करिए कि फलन f(z)=xy+iy सर्वत्र संतत है परन्तु विश्लेषिक नहीं है।
(Show that the function f(z)=xy+iy is everywhere continuous but is not analytic.)
Solution:f(z)=xy+iy
माना u(x,y)=xy तथा v(x,y)=y
यहाँ u तथा v, x तथा y के सर्वत्र संतत फलन है फलतः f(z) भी सर्वत्र संतत फलन है।

\frac{\partial u}{\partial x}=y, \frac{\partial u}{\partial y}=x, \frac{\partial v}{\partial x}=0, \frac{\partial v}{\partial y}=1 \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y} तथा  \frac{\partial u}{\partial y} \neq \frac{\partial v}{\partial x}
कोशी-रीमान समीकरणों को सन्तुष्ट नहीं करता है अतः f(z) विश्लेषिक फलन नहीं है।
Example:27.यदि f(z)=u+iv,z-तल के प्रान्त D में z=x+iy का विश्लेषिक फलन है,तो मिल्न-टाॅमसन से f(z) ज्ञात करिए जबकि u और v में से एक फलन दिया गया है।इस विधि को u=\frac{1}{2} \log \left(x^2+y^2\right) लेकर स्पष्ट करिए।
(If f(z)=u+iv be an analytic function of z=x+iy in a domain D of the z-plane, derive the Milne-Thomson formula for finding f(z) when one of the function u and v is given.Illustrate the method by taking u=\frac{1}{2} \log \left(x^2+y^2\right) )
Solution: u=\frac{1}{2} \log \left(x^2+y^2\right) \\ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{x^2+y^2} =\phi(x, y) (माना)
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{x^2+y^2}=\psi(x, y) (माना)
मिल्न-टाॅमसन विधि सेः

f^{\prime}(z) =\phi(z, 0)-\psi(z, 0) \\ =\frac{1}{z}-0 \\ \Rightarrow f^{\prime}(z) =\frac{1}{z}
दोनों पक्षों का समाकलन करने परः

f(z)=\int \frac{1}{z} d z+c \\ \Rightarrow f(z)=\log z+c
Example:28.सिद्ध कीजिए कि f(z)=\bar{z} विश्लेषिक फलन नहीं है।
(Prove that function f(z)=\bar{z} is not analytic anywhere.)
Solution: f(z)=\bar{z} \\ \Rightarrow f(z)=u+i v=\bar{z}=\overline{x+i y}=x-i y \\ \therefore u=x, v=-y \\ \frac{\partial u}{\partial x}=1, \frac{\partial v}{\partial x}=0, \frac{\partial u}{\partial y}=0, \frac{\partial v}{\partial y}=-1 \\ \frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}
कोशी-रीमान समीकरणों की एक समीकरण सन्तुष्ट नहीं है।अतः विश्लेषिक फलन नहीं है।
Example:29.फलनों f(z)=\bar{z} तथा g(z)=|z|^{2} की अवकलनीयता की जाँच कीजिए।क्या ये मूलबिन्दु पर विश्लेषिक हैं?
(Discuss the differentiability of the function f(z)=\bar{z} and g(z)=|z|^{2} .Are these functions analytic at origin?)
Solution: f(z)=\bar{z} \\ f^{\prime}(z)=\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{\overline{(z+\Delta z)}-\bar{z}}{\Delta z} \\ = \underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{\overline{(x+i y)+(\Delta x+i \Delta y)}-\overline{(x+i y)}}{\Delta z} \\ =\underset{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}}{\lim} \frac{(x+\Delta x)-i(y+\Delta y)-(x-i y)}{\Delta x+i \Delta y} \\ =\underset{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}}{\lim} \frac{\Delta x-i \Delta y}{\Delta x+i \Delta y} \\=\underset{\Delta y \rightarrow 0}{\lim}-\frac{i \Delta y}{i \Delta y} \\ =\underset{\Delta y \rightarrow 0}{\lim} (-1)=-1
इसका मान (-1) होगा जब \Delta z,x-अक्ष के अनुदिश शून्य को अग्रसर होता है अर्थात् \Delta x \rightarrow 0 \\ f^{\prime}(z) =\underset{\Delta x \rightarrow 0}{\lim} \frac{\Delta x}{\Delta x} \\ =\underset{\Delta x \rightarrow 0}{\lim} (1) \\=1
+1 होगा जब \Delta z, y-अक्ष के अनुदिश शून्य को अग्रसर होता है अर्थात् जब \Delta y \rightarrow 0
अतः f(z) का मान अद्वितीय नहीं है फलतः f(z)=\bar{z} किसी भी बिन्दु पर अवकलनीय नहीं है।अतः विश्लेषिक भी नहीं है।

g(z)=|z|^2 \\ g^{\prime}(z)=\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{|z+\Delta z|^2-|z|^2}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{(z+\Delta z)(\bar{z}+\Delta \bar{z}) \cdot z \bar{z}}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \frac{z \bar{z}+z \Delta \bar{z}+\bar{z} \Delta z+\Delta z \overline{\Delta z}-z\bar{z}}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \bar{z}+\overline{\Delta z}+z \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} \\ =\underset{\Delta z \rightarrow 0}{\lim} \bar{z}+z \frac{\Delta \bar{z}}{\Delta^2}\left[\because \Delta z \rightarrow 0 \text { तब } \overline{\Delta z} \rightarrow 0 \right]
यदि z=0 तो f'(0)=0
अब यदि z \neq 0
माना \Delta z=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r e^{i \theta} \\ \overline{\Delta z}=r(\cos \theta-i \sin \theta)=r e^{-i \theta} \\ \therefore \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}=e^{-2 i \theta}
जो कि अद्वितीय सीमा की ओर अग्रसर नहीं होता है जब सीमा \theta पर निर्भर है।अतः दिया गया फलन z=0 पर अवकलनीय है तथा अन्यत्र अवकलनीय तथा विश्लेषिक नहीं है।
विकल्पतः f(z)=\bar{z} \\ u+i v=x-i y \\ \Rightarrow u=x, v=-y \\ \frac{\partial u}{\partial x}=1, \frac{\partial v}{\partial x}=0, \frac{\partial u}{\partial y}=0, \frac{\partial v}{\partial y}=-1 \\ \frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}
कोशी-रीमान समीकरणों की एक समीकरण सन्तुष्ट नहीं हैं अतः फलन f(z) विश्लेषिक नहीं है

g(z)=|z|^2 \\ \Rightarrow u+i v=x^2+y^2 \\ \Rightarrow u=x^2+y^2, v=0 \\ \frac{\partial u}{\partial x}=2 x, \frac{\partial v}{\partial x}=0, \frac{\partial u}{\partial y}=2 y, \frac{\partial v}{\partial y}=0 \\ \frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x} \neq \frac{\partial u}{\partial y}
कोशी-रीमान समीकरणों को सन्तुष्ट नहीं करता है अतः g(z) विश्लेषिक फलन नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic Functions in Complex Analysis),सम्मिश्र विश्लेषण में सांतत्यता एवं अवकलनीयता (Continuity and Differentiability in Complex Analysis) को समझ सकते हैं।

3.सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन के सवाल (Analytic Functions in Complex Analysis Questions):

Analytic Functions in Complex Analysis

(1.)सिद्ध कीजिए कि फलन u=x^3-3 x y^2 प्रसंवादी है तथा संगत विश्लेषिक फलन भी ज्ञात करो।
(Show that the function u=x^3-3 x y^2 is harmonic and find corresponding analytic function)
(2.)सिद्ध करो कि निम्न फलन प्रसंवादी है तथा संयुग्मी प्रसंवादी भी ज्ञात कीजिए।
(Prove that the following function is harmonic and find the harmonic conjugate):

e^{-x}(x \cos y+y \sin y)
उत्तर (Answers): (1.) f(z)=z^3+c
(2.)v=e^{-x}(y \cos y-x \sin y)+c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic Functions in Complex Analysis),सम्मिश्र विश्लेषण में सांतत्यता एवं अवकलनीयता (Continuity and Differentiability in Complex Analysis) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Frequently Asked Questions Related to Analytic Functions in Complex Analysis),सम्मिश्र विश्लेषण में सांतत्यता एवं अवकलनीयता (Continuity and Differentiability in Complex Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic Functions in Complex Analysis) में एकमानी
फलन जो किसी प्रान्त D के प्रत्येक बिन्दु पर परिभाषित एवं अवकलनीय है