1.सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic Functions Complex Analysis),विश्लेषिक फलन (Analytic Function):

Analytic Functions Complex Analysis

सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic Functions Complex Analysis) के इस आर्टिकल में फलनों का सांतत्य,विश्लेषिक फलनों की जाँच कोशी-रीमान समीकरणों के आधार पर हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन के साधित उदाहरण (Analytic Functions Complex Analysis Solved Illustrations):

Illustration:1.यदि f(z)=\frac{x y^2(x+i y)}{x^2+y^4} , z \neq 0, f(0)=0 ;  सिद्ध कीजिए कि \frac{f(z)-f(0)}{z} \rightarrow 0 जैसे किसी ध्रुवान्तर रेखा पर z \rightarrow 0 परन्तु यह सत्य नहीं है यदि z किसी भी मार्ग से मूलबिन्दु के निकट आए।
(If f(z)=\frac{x y^2(x+i y)}{x^2+y^4} , z \neq 0, f(0)=0 ; prove that \frac{f(z)-f(0)}{z} \rightarrow 0  as z \rightarrow 0 along any radius vector but not as z \rightarrow 0 in any number.)
Solution:माना ध्रुवान्तर रेखा y=mx के अनुदिश तब

\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(z)-f(0)}{z}=\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{x y^2(x+i y)}{\left(x^2+y^4\right) z} \\ =\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{x(m x)^2}{x^2+(m x)^4} \\ =\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{m^2 x}{1+m^4 x^2}=0
पुनः माना z \rightarrow 0, x=y^2 के अनुदिश तब
\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{f(z)-f(0)}{z} =\underset{z \rightarrow 0}{\lim} \frac{x \cdot x}{x^2+x^2} \\=\frac{1}{2} (जो कि शून्य नहीं है)
Hence Proved
Illustration:2.सिद्ध करो कि अचर मापांक वाला एक विश्लेषिक फलन अचर होता है।
(show that an analytic function with constant modulus is constant)
या (Or)
सिद्ध करो कि एक विश्लेषिक फलन बिना किसी अचर को कम किए अचर मापांक नहीं रख सकता है।
(Show that an analytic function cannot have a constant modulus without reducing to a constant.)
Solution:माना f(z)=u+iv दिया हुआ विश्लेषिक फलन है।
तब u तथा v कोशी-रीमान समीकरणों को सन्तुष्ट करते हैं।
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} तथा \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\cdots(1) \\ |f(z)|=अचर=c (दिया है)
तब u^2+v^2=c^2
दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial x}=0, u \frac{\partial u}{\partial y}+v \frac{\partial v}{\partial y}=0 \\ \Rightarrow u \frac{\partial u}{\partial x}-v \frac{\partial u}{\partial y}=0 तथा  u \frac{\partial u}{\partial y}+v \frac{\partial u}{\partial x}=0 [(1) से ]
उपर्युक्त समीकरणों से \frac{\partial u}{\partial y} का विलोपन करने पर:
\left(u^2+v^2\right) \frac{\partial u}{\partial x}=0 \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=0,  यदि u+i v \neq 0
इसी प्रकार \frac{\partial u}{\partial y}=0, \frac{\partial v}{\partial x}=0, \frac{\partial v}{\partial y}=0
अतः \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x} तथा \frac{\partial v}{\partial y} सभी शून्य हैं।
इसलिए u व v अचर हैं।अतः f(z)=u+iv एक अचर फलन है।

Analytic Functions Complex Analysis

Illustration:3.सिद्ध करो कि अचर कोणांक वाला एक विश्लेषिक फलन अचर होता है।
(show that an analytic function with constant argument is constant.)
Solution: arg f(z)=\tan ^{-1} \frac{v}{u} \\ \Rightarrow \arg f(z)=c (अचर)
\Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{v}{u}\right)=c \\ \Rightarrow \frac{v}{u}=\tan c \\ \Rightarrow u=v \cot c \\ \Rightarrow u=k v  (जहाँ k=\cot c )
u-kv=0 जब v शून्य न हो परन्तु u-kv; (1+ik)f का वास्तविक भाग है अतः फलन f भी अचर है।
Illustration:4.यदि f(z) तथा \phi(z) प्रान्त D में विश्लेषिक फलन हैं,तो सिद्ध करें कि f(z)+\phi(z) तथा f(z) \cdot \phi(z) भी D में विश्लेषिक हैं। साथ ही सिद्ध करें कि \frac{f(z)}{\phi(z)} ,D में विश्लेषिक है, बशर्ते कि \phi(z) वहाँ लुप्त न हो।
(if f(z) and \phi(z) are analytic functions in a domain D, prove that f(z)+\phi(z) and f(z) \cdot \phi(z) are also analytic in D.Also prove that \frac{f(z)}{\phi(z)} is analytic in D, provided that \phi(z) does not vanish there.)
Solution:f(z) तथा \phi(z) , D में विश्लेषिक हैं,इसलिए दोनों D में संतत है।हम जानते हैं कि दो संतत फलनों का योग और गुणा संतत होता है इसलिए f(z)+\phi(z) तथा f(z) \cdot \phi(z) ,D में संतत है।
अब \frac{d}{d z} \cdot[f(z)+\phi(z)]=\frac{d f}{d z}+\frac{d \phi}{d z}
जिनका अद्वितीय अस्तित्व है क्योंकि f(z) व \phi(z) ,D में विश्लेषिक हैं।
\therefore f(z)+\phi(z) ,D में विश्लेषिक है।
पुनः \frac{d}{d z}[f(z)+\phi(z)]=f(z) \frac{d \phi(z)}{d z}+\phi(z) \frac{d f(z)}{d z}
जिनका अद्वितीय अस्तित्व है क्योंकि f(z) तथा \phi(z) विश्लेषिक हैं।
अतः f(z) \cdot \phi(z) , D में विश्लेषिक है।
हम जानते हैं कि दो संतत फलन का भाजक संतत होता है बशर्ते हर शून्य न हो,इसलिए \frac{f(z)}{\phi(z)} संतत है,बशर्ते \phi(z) \neq 0 \\ \frac{d}{d z}\left[\frac{f(z)}{\phi(z)}\right]=\frac{\frac{d f}{d z} \phi(z)-f(z) \frac{d \phi}{d z}}{[\phi(z)]^2} \\ \phi(z) \neq 0
जिनका अद्वितीय अस्तित्व है क्योंकि f(z) तथा विश्लेषिक है।
\therefore \frac{f(z)}{\phi(z)} ,D में विश्लेषिक है बशर्ते \phi(z) \neq 0
Illustration:5.z के किन मानों के लिए z=e^{-v}(\cos u+i \sin u) द्वारा परिभाषित फलन w जहाँ w=u+iv विश्लेषिक होना बंद हो जाता है?
(For what values of z the function w defined by z=e^{-v}(\cos u+i \sin u) where w=u+iv ceases to be analytic?)
Solution: z=e^{-v}(\cos u+i \sin u) \\ \frac{d z}{d w} =\frac{\partial z}{\partial u} \\ =e^{-v}(-\sin u+i \cos u) \\ =i e^{-v}(\cos u+i \sin u) \\ =i z \\ \therefore \frac{d w}{d z} =\frac{1}{i z}
w विश्लेषिक होगा यदि \frac{d w}{d z} परिमित हो
यदि z=0 तो w विश्लेषिक होना समाप्त हो जाता है।
Illustration:6.z के किन मानों के लिए निम्नलिखित समीकरण द्वारा परिभाषित फलन w विश्लेषिक होना बंद हो जाता है:

(i) z=\sinh u \cos v+i \cosh u \sin v, w=u+i v
(ii) z=\sin u \cosh v+i \cos u \sinh v, w=u+i v
(For what values of z do the function w defined by the following equations cease to be analytic):

(i) z=\sinh u \cos v+i \cosh u \sin v, w=u+i v
(ii) z=\sin u \cosh v+i \cos u \sinh v, w=u+i v
Solution:(i). z=\sinh u \cos v+i \cosh u \sin v, w=u+i v \\ \Rightarrow \frac{d z}{d w}= \frac{\partial z}{\partial u}=\cosh u \cos v+i \sinh u \sin v \\ z^2=(\sinh u \cos v+i \cosh u \sin v)^2 \\ =\sinh ^2 u \cos ^2 v-\cosh ^2 u \sin ^2 v+ 2 i \sinh u \cos v \cdot \cosh u \sin v \\ =\left(\cosh ^2 u-1\right) \cos ^2 v-\left(1+\sinh ^2 u\right) \sin ^2 v +2 i \sinh u \cos v \cosh  u \sin v \\ =(\cosh u \cos v+i \sinh u \sin v)^2-1 \\ \Rightarrow\left(\frac{d z}{d w}\right)^2-1 \\ \Rightarrow \left(\frac{dz}{d w}\right)^2=z^2+1 \\ \Rightarrow \frac{d z}{d w}= \pm \sqrt{z^2+1} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d z}= \pm \frac{1}{\sqrt{z^2+1}}
\therefore w विश्लेषिक होने के लिए,\frac{d w}{d z} परिमित होना चाहिए।
\therefore w विश्लेषिक होना समाप्त हो जाता है यदि z^2+1=0 \Rightarrow z= \pm i
Solution:(ii). z=\sin u \cosh v+i \cos u \sinh v, w=u+i v \\ \frac{d z}{d \omega}=\frac{\partial z}{\partial u}=\cos u \cosh v-i \sin u \sinh v \\ z^2=(\sin u \cosh v+i \cos u \sinh v)^2 \\ =\sin ^2 u \cosh ^2 v-\cos ^2 u \sinh ^2 v+2 i \sin u \cos h u \cos u \sinh u \\ =\left(1-\cos ^2 u\right) \cosh^2 v-\left(1-\sin ^2 u\right) \sinh^2 v +2 i \sin u \cosh v \cos u \sinh v \\ =\cosh ^2 v-\cos ^2 u \cosh ^2 v-\sinh ^2 v +\sin ^2 u \sinh ^2 v +2 i \sin u \cosh v \cos u \sinh v \\=\cosh ^2 v-\sinh ^2 v-(\cos ^2 u \cosh ^2 v- \sin ^2 u \sinh ^2 v-2 i \sin u \cosh v \cos u \sinh v) \\ =1-(\cos u \cosh v-i \sin u \sinh v)^2 \\ =1-\left(\frac{d z}{d \omega}\right)^2 \\ \Rightarrow \left(\frac{d z}{d w}\right)^2=1-z^2 \\ \Rightarrow \frac{d z}{d z}= \pm \sqrt{1-z^2} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d z}=\frac{1}{ \pm \sqrt{1-z^2}}
\therefore  w विश्लेषिक होने के लिए,\frac{d w}{d z} परिमित होना चाहिए।
\therefore  w विश्लेषिक होना समाप्त हो जाता है यदि 1-z^2=0 \Rightarrow z= \pm 1
Illustration:7.z के किन मानों के लिए z=\log \rho+i \phi द्वारा परिभाषित फलन w जहाँ w=\rho(\cos \phi+i \sin \phi)  विश्लेषिक होना बंद हो जाता है?
(For what values of z, the function w defined by z=\log \rho+i \phi where w=\rho(\cos \phi+i \sin \phi)
ceases to analytic?)
Solution:हम जानते हैं कि यदि w=f(r, \theta) तथा  z=r(\cos \theta+i \sin \theta)
तब \frac{d w}{d z}=(\cos \theta-i \sin \theta) \frac{\partial w}{\partial r} \\ z=\log \rho+i \phi
तथा \rho(\cos \phi+i \sin \phi) रखने पर:

\therefore \frac{d z}{d w}=\frac{\partial z}{\partial \rho}(\cos \phi-i \sin \phi)=\frac{1}{\rho}(\cos \phi-i \sin \phi) \\ =\frac{(\cos \phi-i \sin \phi) \cdot(\cos \phi+i \sin \phi)}{\rho(\cos \phi+i \sin \phi)} \\ =\frac{1}{w} \\ \therefore \frac{d w}{d z}=w
जो w के विश्लेषिक होने के लिए परिमित होना चाहिए।अब w परिमित है अतः \rho परिमित है I.e. z परिमित है।इस प्रकार w विश्लेषिक फलन है,z का किसी भी परिमित प्रान्त में
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic Functions Complex Analysis),विश्लेषिक फलन (Analytic Function) को समझ सकते हैं।

Analytic Functions Complex Analysis

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3.सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Frequently Asked Questions Related to Analytic Functions Complex Analysis),विश्लेषिक फलन (Analytic Function) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic Functions Complex Analysis) के इस
आर्टिकल में फलनों का सांतत्य,विश्लेषिक फलनों की जाँच कोशी-रीमान समीकरणों के
आधार पर हल करके समझने का प्रयास करेंगे।