1.मिल्ने-थामसन विधि से विश्लेषिक फलन कैसे ज्ञात करें? (How to Find Analytic Functions by Milne Thomson Method?),मिल्न-थामसन रचना विधि (Milne Thomson Construction Method):

Analytic Functions by Milne Thomson

मिल्ने-थामसन विधि से विश्लेषिक फलन कैसे ज्ञात करें? (How to Find Analytic Functions by Milne Thomson Method?) के इस आर्टिकल में जब एक संयुग्मी फलन दिया हो तब विश्लेषिक फलन f(z) का निर्माण करने पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.मिल्ने-थामसन विधि से विश्लेषिक फलन कैसे ज्ञात करें? पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on How to Find Analytic Functions by Milne Thomson Method?):

प्रमेय (Theorem):यदि किसी विश्लेषिक फलन f(z) का वास्तविक भाग एक दिया गया हार्मोनिक फलन u(x,y),

f(z)=2 u\left(\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}\right)-u(0,0)
If the real part of of an analytic function f(z) is a given harmonic function u(x,y)

f(z)=2 u\left(\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}\right)-u(0,0)
उपपत्ति (Proof):माना f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)
तब \overline{f(z)}=\overline{f(x+i y)}=u(x, y)-i v(x, y)
जोड़ने पर: 

f(x+i y)+\overline{f(x+i y)}=2 u(x, y) \cdots(1)
जबकि \overline{f(z)} ,z का स्वतन्त्र फलन है,अतः इसे हम निम्न प्रकार लिख सकते हैं:

\overline{f(z)}=\bar{f}(\bar{z})
समीकरण (1) को पुनः निम्न प्रकार लिख सकते हैं: 

u(x, y)=\frac{1}{2}[f(x+i y)+\overline{f}(x-i y)] \cdots(2)
(2) एक औपचारिक सर्वसमिका है,इसलिए यह सत्य है यदि x तथा y सम्मिश्र है
x=\frac{z}{2} , y=\frac{z}{2 i} रखने पर:

u\left(\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}\right)=\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{z}{2}+i \frac{z}{2 i}\right)+ \overline{f} \left(\frac{z}{2}-i \frac{z}{2 i}\right)\right] \\ =\frac{1}{2}[f(z)+\overline{f}(0)] \\ \therefore f(z)=2 u \left(\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}\right)-f(0)
f(z) शुद्ध काल्पनिक अचर है,माना कि f(0) वास्तविक है

\overline{f}(0)=u(0,0) \\ f(z)=2 u\left(\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}\right)-u(0,0)
शुद्ध काल्पनिक अचर जोड़ने पर:

f(z)=2 u\left(\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}\right)-u(0,0)+c i
जहाँ c वास्तविक है।
Illustration:1.वह विश्लेषिक फलन ज्ञात कीजिए जिसका वास्तविक भाग \frac{\sin 2 x}{\cosh 2 y-\cos 2 x} है।
(Find the analytic function whose real part is \frac{\sin 2 x}{\cosh 2 y-\cos 2 x} .)
Solution: u=\frac{\sin 2 x}{\cosh 2 y-\cos 2 x} \\ \frac{\partial u}{\partial x}= \frac{(\cosh 2 y-\cos 2 x) 2 \cos 2 x-\sin 2 x(2 \sin 2 x)}{(\cosh 2 y-\cos 2 x)^2} \\ =\frac{2 \cos 2 x \cosh 2 y-2 \cos^2 2x-2 \sin^2 2x}{(\cosh 2 y-\cos 2 x)^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{2 \cos 2 x \cosh 2 y-2}{(\cosh 2 y-\cos 2 x)^2}=\phi_{1} (x, y)
तथा \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{(\cosh 2 y-\cos 2 x) 0-\sin 2 x (2 \sinh 2 y) }{(\cosh 2 y-\cos 2 x)^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{-2 \sin 2 x \sinh 2 y}{(\cosh 2 y-\cos 2 x)^2}=\phi_{2} (x y)
मिल्ने विधि से:

f(z)=\int\left[\phi_1(z, 0)-i \phi_2(z, 0)\right] d z+c \\ =\int\left[\frac{2 \cos 2 z-2}{(1-\cos 2 z)^2}-i \cdot 0\right] d z+c \\ =-\int \frac{2}{1-\cos 2 z} d z+c \\ =-2 \int \frac{1}{1-1+2 \sin ^2 z} d z+c \\ =-2 \int \frac{1}{2 \sin ^2 z} d z+c \\ =-\int \operatorname{cosec}^2 z d z+c \\ \Rightarrow f(z)=\cot z+c
Illustration:2.यदि u-v=(x-y)\left(x^2+4 x y+y^2\right) तथा f(z)=u+iv,z=x+iy का विश्लेषिक फलन है,तो z के पदों में f(z) ज्ञात कीजिए।
(If u-v=(x-y)\left(x^2+4 x y+y^2\right) and f(z)=u+iv is an analytic function of z=x+iy,find f(z) in terms of z.)
Solution:f(z)=u+iv, if(z)=iu-v
जोड़ने पर:
f(z)+if(z)=u+iu+iv-v
(1+i)=f(z)=u-v+i(u+v)
अब U=u-v=(x-y)\left(x^2+4 x y+y^2\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial x}=(x-y)(2 x+u y)+x^2+4 x y+y^2 \\ =2 x^2+4xy-2xy-4 y^2+x^2 +4 xy+y^2 \\ \Rightarrow \frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial x}=3 x^2+6 x y-3 y^2=\phi_1(x, y)
तथा \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial y}= (-1)\left(x^2+ 4 x y+y^2\right) +(x-y)(4 x+2 y) \\ =-x^2-4 x y-y^2+4 x^2+2 x y-4 x y-2 y^2 \\ \Rightarrow \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial y}=3 x^2-6 x y-3 y^2=\phi_2(x, y)
मिल्ने विधि से:

(1+i) f(z)=\int\left[\phi_1(z, 0)-i \phi_2(z, 0)\right] d z+C_{1} \\ =\int\left(3 z^2-i 3 z^2\right) d z+C_1 \\ =(3-3 i) \int z^2 d z+C_{1} \\ \Rightarrow f(z)=\frac{3(1-i)}{1+i} \cdot \frac{z^3}{3}+\frac{C_{1}}{1+i} \\ =\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} \cdot z^3+c \\ =\frac{1-2 i+i^2}{1-i^2} \cdot z^3+c \\ =\frac{1-2 i-1}{1+1} z^3+c \\ =\frac{-2 i}{2} z^3+c \\ \Rightarrow f(z)=-i z^3+c
Illustration:3.यदि w=u+iv विद्युत क्षेत्र के लिए सम्मिश्र विभव को दर्शाता है तथा v=x^2-y^2+\frac{x}{x^2+y^2}, तो फलन u निर्धारित कीजिए।
(If w=u+iv represents the complex potential for an electric field and v=x^2-y^2+\frac{x}{x^2+y^2}, determine the function u.)
Solution: v=x^2-y^2+\frac{x}{x^2+y^2} \\ \frac{\partial v}{\partial y}=-2 y-\frac{2 x y}{\left(x^2+y^2\right)^2}
तथा \frac{\partial v}{\partial x}=2 x+\frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot 1-x \cdot 2 x}{\left(x^2+ y^2\right) 2} \\ \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial x}=2 x+\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}
कोशी-रीमान समीकरणों से:

\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y} तथा \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial u}{\partial x} \\ \therefore \frac{\partial u}{\partial x} =-2 y-\frac{2 x y}{\left(x^2+y^2\right)^2}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर:

u=-2 x y+\frac{y}{x^2+y^2}+c_1 \cdots(1)
पुनः \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-2 x+\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} \cdots(2)

(1) से
\frac{\partial u}{\partial y}=-2 x+\frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot 1-y \cdot 2 y}{\left(x^2+ y^2\right)^2} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-2 x+\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} C_{1}^{\prime} \cdots(3)
(2) से
-2 x+\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+C_{1}^{\prime}=-2 x+\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\ \Rightarrow C_1^{\prime}=0 \Rightarrow C_1=C
जहाँ समाकलन नियतांक है
C_1 का मान (1) में रखने पर:

Analytic Functions by Milne Thomson

Illustration:4.यदि f(z)=u+iv किसी भी प्रान्त में z का विश्लेषिक फलन है,तो सिद्ध कीजिए कि
(If f(z)=u+iv is analytic function of z in any domain,prove that)

(i)\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)|f(z)|^p=\left.p^2|f(z)|^{p-2}|f^{\prime}(z)\right|^2
(ii) \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)|u|^p=p(p-1)|u|^{p-2}\left|f^{\prime}(z)\right|^2
Solution:w=f(z),जहाँ z=x+i y ,\overline{z}=x-i y \\ x=\frac{1}{2}(z+\bar{z}), y=-\frac{i}{2}(z-\bar{z}) \\ \frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \\ \Rightarrow \frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i \frac{\partial}{\partial y}\right)
तथा \frac{\partial}{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i \frac{\partial}{\partial y}\right) \\ \therefore \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{4}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i \frac{\partial}{\partial y}\right)\left(\frac{\partial}{\partial x}+i \frac{\partial}{\partial y}\right) \\ \Rightarrow \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)=4 \frac{\partial^2}{\partial z \partial \overline{z}} \cdots(1)
(i)अब \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)|f(z)|^p=4 \frac{\partial^2}{\partial z \partial \overline{z}}|f(z)|^p [(1) से]

=4 \frac{\partial^2}{\partial z \partial \overline{z}}(f(z) f(\overline{z}))^{\frac{p}{2}}\left[\because z \overline{z}=|z|^2\right] \\=4 \frac{\partial^2}{\partial z \partial \overline{z}} \left[[f(z)]^{\frac{p}{2}}[f(\overline{z})]^{\frac{p}{2}}\right] \\ =4 \frac{\partial}{\partial z}\left[[f(z)]^{\frac{p}{2}}\left(\frac{p}{2}\right)\left[f(\overline{z})\right]^{\frac{p}{2}-1} f^{\prime}(\bar{z})\right] \\ =4 \frac{p}{2}[f(z)]^{\frac{p}{2}-1} f^{\prime}(z)\left(\frac{p}{2}\right)[f(\overline{z})]^{\frac{p}{2}-1} f^{\prime}(z) \\ =p^2[f(z) f(\overline{z})]^{\frac{p}{2}-1} f^{\prime}(z) f^{\prime}(\overline{z}) \\ =p^2 \left[\left|f(z) \right|^2 \right]^{\frac{p}{2}-1}\left|f^{\prime}(z)\right|^2 \\ =p^2|f(z)|^{p-2}\left|f^{\prime}(z)\right|^2 \\ \Rightarrow \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)|f(z)|^p=p^2|f(z)|^{p-2}|f^{\prime}(z)|^2
(ii) u=\frac{1}{2}[f(z)+f(\overline{z})] \\ \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)|u|^p=u \frac{\partial^2}{\partial z \partial \overline{z}}\left|\frac{1}{2}[f(z)+ f(\bar{z})] \right|^p [(1) व (2) से]
=4 \frac{\partial^2}{\partial z \partial \overline{z}}\left[\left|\frac{1}{2}(f(z)+f(\overline{z}))\right|^2 \right]^{\frac{p}{2}} \\ =\frac{4}{2^p} \cdot \frac{\partial^2}{\partial z \partial \overline{z}}\left[[f(z)+ f(\overline{z})] [\overline{f(z)+f(\overline{z})}\right] \\ =\frac{4}{2^p} \cdot \frac{\partial^2}{\partial z \partial \overline{z}}\left[[f(z)+f(\overline{z})]^2\right]^{\frac{p}{2}} \\ =\frac{4}{2^p} \frac{\partial^2}{\partial z \partial \overline{z}}[f(z)+f(\overline{z})]^p \\ =\frac{4}{2^p} \frac{\partial}{\partial z}\left[p[f(z) +f(\overline{z})]^{p-1} f^{\prime}(\overline{z})\right] \\ =\frac{1}{2^{p-2}} p(p-1)[f(z)+ f(\bar{z})]^{p-2} f^{\prime}(z) f^{\prime}(\overline{z}) \\=p(p-1)\left[\frac{1}{2}[f(z)+ f(\overline{z})] \right]^{p-2}|f^{\prime}(z)|^2 \\ =p(p-1)(u)^{p-2}\left|f^{\prime}(z)\right|^2 \\=p(p-1)\left[\left(u^2\right)^{\frac{p-2}{2}}\left|f^{\prime}(z)\right|^2\right] \\=p(p-1)\left[ \left|u\right|^2\right]^{\frac{p-2}{2}}\left|f^{\prime}(z)\right|^2 \\=p(p-1)|u|^{p-2}|f^{\prime}(z)^2| \\ \Rightarrow\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)|u|^p=p(p-1)\left|u\right|^{p-2} \left|f^{\prime}(z)\right|^2
Illustration:5.यदि \phi तथा \psi ,x तथा y के वास्तविक फलन हैं,जो \phi+i \psi=f(z) के संबंध से जुड़े हैं, जहाँ z=ix+(1+i)y, तो दर्शाइए कि \phi तथा \psi दोनों ही 2 \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}-2 \frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0 के हल होने चाहिए।
यदि \phi=y-2 x^2-2 x y है,तो \psi तथा f(z) ज्ञात कीजिए,f(z),z का विश्लेषिक फलन है।
(If \phi and \psi are real functions of x and y connected by the relation \phi+i \psi=f(z) , where z=ix+(1+i)y, show that both \phi and \psi must be solutions of 2 \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}-2 \frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0
If \phi=y-2 x^2-2xy , find \psi and f(z),f(z) being analytic function of z.)
Solution: f(z)=\phi+i \psi
z=ix+(1+i)y   …. (1)
और \phi=y-x^2-2xy \cdots(2) \\ f(z)=\phi+i \psi ,z का विश्लेषिक फलन है।
Step:I  2 \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}-2 \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0 \cdots(3)
(1) से: z=y+i(x+y)  
माना X=y,Y=x+y
तब z=X+iY \\ \frac{\partial X}{\partial y}=\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial Y}{\partial y}=1, \frac{\partial Y}{\partial x}=0
अब \frac{\partial V}{\partial x}=\frac{\partial V}{\partial X} \cdot \frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial Y} \cdot \frac{\partial Y}{\partial x} \\ =0 \cdot \frac{\partial V}{\partial X}+1 \cdot \frac{\partial V}{\partial Y} \\ \Rightarrow \frac{\partial V}{\partial x} =\frac{\partial V}{\partial Y} \\ \Rightarrow \frac{\partial}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial Y} \cdots(4)
तथा \frac{\partial V}{\partial y} =\frac{\partial V}{\partial X} \cdot \frac{\partial X}{\partial y}+ \frac{\partial V}{\partial Y} \cdot \frac{\partial Y}{\partial y} \\ =1 \cdot \frac{\partial V}{\partial X}+1 \cdot \frac{\partial V}{\partial Y} \\ \Rightarrow \frac{\partial V}{\partial y}=\frac{\partial V}{\partial X}+ \frac{\partial V}{\partial Y} \\ \Rightarrow \frac{\partial}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial X}+\frac{\partial}{\partial Y} \cdots(5)
L.H.S. of (3)
=2 \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}-2 \frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}
(4) व (5) के प्रयोग से:
=2 \frac{\partial^2 V}{\partial Y^2}-2 \frac{\partial}{\partial Y}\left(\frac{\partial}{\partial X}+\frac{\partial}{\partial Y}\right) V+\left(\frac{\partial}{\partial X}+\frac{\partial}{\partial Y}\right)^2 V \\ =2 \frac{\partial^2 V}{\partial Y^2}-2 \cdot\left(\frac{\partial^2}{\partial Y \partial X}+\frac{\partial^2}{\partial Y^2}\right) V +\left(\frac{\partial^2}{\partial X^2}+\frac{\partial^2}{\partial Y^2}+2 \frac{\partial^2}{\partial X \partial Y}\right) V \\ =\frac{\partial^2 V}{\partial X^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial Y^2} \\=0 यदि V=\phi  या  \psi
=R.H.S. of (3)
अतः \phi तथा \psi दोनों लाप्लास समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं।
Step:II. \psi तथा f(z) को निर्धारित करने के लिए

d \psi=\frac{\partial \psi}{\partial X} dX+\frac{\partial \psi}{\partial Y} dY
या \Rightarrow d \psi =-\frac{\partial \phi}{\partial Y} \cdot dX+\frac{\partial \phi}{\partial X} d Y \cdots(6)
(2) से
\phi =y-x^2-2 x y \\ \Rightarrow \phi=y-(x+y)^2+y^2 \\ \Rightarrow \phi=X-Y^2+X^2 \cdots(7) \\ \Rightarrow \frac{\partial \phi}{\partial X}=1+2 X, \frac{\partial \phi}{\partial Y}=-2 Y
अब (6) परिवर्तित हो जाता है:

d \psi=2 Y dX+(1+2X) dY \\ =2(Y dX+X dY)+dY \\ =2 d(XY)+dY \\ =d(2 XY+Y)
समाकलन करने पर:

\psi=2 XY+y+c \\ \Rightarrow \psi=2 y(x+y)+(x+y)+c \cdots(8) \\ \Rightarrow f(z)=\phi+i \psi \\ =X-Y^2+X^2+i (2 XY+Y+c) [(7) व (8) से]
=X+i Y+(X+i Y)^2+i c_{1} \\ =z+z^2+i c_1 \\ \Rightarrow f(z)=z+z^2+c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा मिल्ने-थामसन विधि से विश्लेषिक फलन कैसे ज्ञात करें? (How to Find Analytic Functions by Milne Thomson Method?),मिल्न-थामसन रचना विधि (Milne Thomson Construction Method) को समझ सकते हैं।

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3.मिल्ने-थामसन विधि से विश्लेषिक फलन कैसे ज्ञात करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Find Analytic Functions by Milne Thomson Method?),मिल्न-थामसन रचना विधि (Milne Thomson Construction Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

मिल्ने-थामसन विधि से विश्लेषिक फलन कैसे ज्ञात करें? (How to Find Analytic Functions by
Milne Thomson Method?) के इस आर्टिकल में जब एक संयुग्मी फलन दिया हो तब विश्लेषिक
फलन f(z) का निर्माण करने पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।