सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन का परिचय (Introduction to Analytic function in  complex analysis):

Analytic function in  complex analysis

• सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic function in  complex analysis):एक एकमानी फलन जो किसी प्रान्त D के प्रत्येक बिन्दु पर परिभाषित एवं अवकलनीय है प्रान्त D में विश्लेषिक फलन कहलाता है।
  एक फलन एक बिन्दु z_{0} पर विश्लेषिक फलन कहलाता है यदि इसका अवकलज का न केवल उस बिन्दु पर परन्तु उस बिन्दु के प्रतिवेश में भी अस्तित्व हो।विश्लेषिक फलन को होलोमार्फिक फलन (Holomorphic Function) भी कहते हैं।
  
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सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic function in  complex analysis):

Analytic function in  complex analysis

• फलन f(z)=|z|^{2} केवल मूलबिन्दु पर अवकलनीय है अतः यह किसी भी बिन्दु पर विश्लेषिक फलन नहीं है।फलन f(z)=x^{2}y^{2} निर्देशी अक्षों पर प्रत्येक बिन्दु पर अवकलनीय है परन्तु यह कहीं भी विश्लेषिक फलन नहीं है जबकि बहुपद फलन सभी बिन्दुओं पर विश्लेषिक फलन है।
  f(z) के विश्लेषिक फलन होने के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध (The necessary conditions for f(z) to be analytic)
  प्रमेय (Theorem):फलन f(z)=u(x,y)+iv(x,y) के किसी प्रांत D में विश्लेषिक होने के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध है कि उस प्रान्त में u तथा v कोशी रीमान समीकरण सन्तुष्ट करते हैं अर्थात्
  (The necessary condition that a function f(z)=u(x,y)+iv(x,y) be analytic in a domain D is that in D,u and v satisfy the cauchy-Riemann equations i.e.
  \frac{\partial{u}}{\partial{x}}=\frac{\partial{v}}{\partial{y}};\frac{\partial{u}}{\partial{y}}=-\frac{\partial{v}}{\partial{x}}

Analytic function in  complex analysis

• उपर्युक्त आर्टिकल में सम्मिश्र विश्लेषण में विश्लेषिक फलन (Analytic function in  complex analysis) के बारे में बताया गया है।