Analytic function by Milne Thomson

मिल्न थाॅमसन रचना विधि द्वारा विश्लेषिक फलन का परिचय (Introduction to Analytic function by Milne Thomson):

Analytic function by Milne Thomson

• मिल्न थाॅमसन रचना विधि द्वारा विश्लेषिक फलन (Analytic function by Milne Thomson):जब एक संयुग्मी फलन दिया हो तब विश्लेषिक फलन f(z) का निर्माण करना (To construct an analytic function f(z) when one conjugate function is given)
• माना f(z)=u+iv एक विश्लेषिक फलन हैं जहाँ u तथा v संयुग्मी फलन है।यह भी माना कि u तथा v में एक का मान ज्ञात है।यहाँ यह मान लेते हैं कि u दिया हुआ है इसलिए v ज्ञात करना है।v ज्ञात करने की एक विधि पहले ही बताई जा चुकी है।इस आर्टिकल में दूसरी विधि जो मिल्न-टायसन विधि के नाम से जानी जाती है उसमें सीधा f(z) ज्ञात करते हैं।
  
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मिल्न थाॅमसन रचना विधि द्वारा विश्लेषिक फलन (Analytic function by Milne Thomson):

Analytic function by Milne Thomson

• मिल्न-थाॅमसन रचना विधि निम्न अनुसार है:
  चूँकि x=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) तथा y=\frac{1}{2i}(z-\bar{z})
  \therefore{f(z)}=u(\frac{z+\bar{z}}{2},\frac{z-\bar{z}}{2i})+iv(\frac{z+\bar{z}}{2},\frac{z-\bar{z}}{2i})
• इस सम्बन्ध को दो स्वतन्त्र चर z तथा \bar{z} का सर्वसमिका मान सकते हैं।इसमें z=\bar{z} रखने परः
  f(z)=u(z,0)+iv(z,0)
  पुनः w=f(z)=u+iv
  \Rightarrow{f'(z)}=\frac{\partial{w}}{\partial{x}}=\frac{\partial{w}}{\partial{x}}=\frac{\partial{u}}{\partial{x}}+i\frac{\partial{v}}{\partial{x}}=\frac{\partial{u}}{\partial{x}}-i\frac{\partial{u}}{\partial{y}} [कोशी-रीमान समीकरण से]
• अतः यदि हम \frac{\partial{u}}{\partial{x}}=\phi(x,y) तथा \frac{\partial{u}}{\partial{y}}=\psi(x,y) लें तो
  f'(z)=\phi(x,y)-i\psi(x,y)
  f'(z)=\phi(z,0)-i\psi(z,0)
  \left[\because{z=\bar{z}}\Rightarrow{z=x,y=0}\right]
  समाकलन करने परः
  f(z)=\int[\phi(z,0)-i\psi(z,0)]dz+c [जहाँ c स्वेच्छ अचर है]
  अतः जब u(x,y) दिया हुआ तब f(z) को उपर्युक्त प्रकार निर्मित किया जा सकता है।
  इसी प्रकार यदि v(x,y) दिया हुआ है तो यह प्रदर्शित कर सकते हैं कि
  f(z)=\int[g(z,0)+ih(z,0)]dz+c
  जहाँ g(z,0)=\frac{\partial{v}}{\partial{y}} तथा h(z,0)=\frac{\partial{v}}{\partial{x}}
• When one conjugate function is given of analytic function

Analytic function by Milne Thomson

• उपर्युक्त आर्टिकल में मिल्न थाॅमसन रचना विधि द्वारा विश्लेषिक फलन (Analytic function by Milne Thomson) के बारे में बताया गया है।