Analytic function by Milne Thomson construction Method

मिल्न थाॅमसन रचना विधि द्वारा विश्लेषिक फलन का परिचय (Introduction to Analytic Function by Milne Thomson construction Method):

Analytic Function by Milne Thomson construction Method

• मिल्न थाॅमसन रचना विधि द्वारा विश्लेषिक फलन (Analytic Function by Milne Thomson construction Method):प्रसंवादी फलन (Harmonic Function) द्वारा भी u,v ज्ञात किया जाता है।इस आर्टिकल में मिल्न-थाॅमसन विधि से v ज्ञात करना बताया गया है उसमें सीधा f(z) ज्ञात करते हैं।
  
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मिल्न थाॅमसन रचना विधि द्वारा विश्लेषिक फलन (Analytic Function by Milne Thomson construction Method):

Analytic Function by Milne Thomson construction Method

• माना f(z)=u+iv एक विश्लेषिक फलन हैं जहाँ u तथा v संयुग्मी फलन हैं।यह भी मान लेते हैं कि u दिया हुआ है इसलिए v ज्ञात करना है। यह विधि निम्न अनुसार है:
  चूँकि x=\frac{1}{2}\left(z+\bar{z}\right) तथा y=\frac{1}{2i}\left(z-\bar{z}\right)
  \therefore f(z)=u\left(\frac{z+\bar{z}}{2},\frac{z-\bar{z}}{2i}\right)+iv\left(\frac{z+\bar{z}}{2},\frac{z-\bar{z}}{2i}\right)
• इस सम्बन्ध को दो स्वतन्त्र चर z तथा \bar{z} का सर्वसमिका मान सकते हैं।इसमें z=\bar{z} रखने पर:
  f(z)=u(z,0)+iv(z,0)
  \Rightarrow f'(z)=\frac{dw}{dz}=\frac{\partial{w}}{\partial{x}}=\frac{\partial{u}}{\partial{x}}+i\frac{\partial{v}}{\partial{x}}
  =\frac{\partial{u}}{\partial{x}}-i\frac{\partial{u}}{\partial{y}}[कोशी-रीमान समीकरण से]
• अब यदि हम \frac{\partial{u}}{\partial{x}}=\phi(x,y)\text{ तथा } \frac{\partial{u}}{\partial{y}}=\psi(x,y) लें तो
  f'(z)=\phi(x,y)-i\psi(x,y)
  f'(z)=\phi(z,0)-i\psi(z,0)[\therefore z=\bar{z}\Rightarrow z=x,y=0]
  समाकलन करने पर:
  f(z)=\int[\phi(z,0)-i\psi(z,0)]dz+c[जहाँ c स्वैच्छ अचर है]
  अतः जब u(x,y) दिया हुआ है तब f(z) को उपर्युक्त प्रकार निर्मित किया जा सकता है।
• इसी प्रकार यदि v(x,y) दिया हुआ है तो यह प्रदर्शित कर सकते हैं कि:
  f(z)=\int[g(z,0)+ih(z,0)]dz+c
  \text{ जहाँ }g(z,0)=\frac{\partial{v}}{\partial{y}}\text{ तथा }h(z,0)=\frac{\partial{v}}{\partial{x}}

Analytic Function by Milne Thomson construction Method

• उपर्युक्त आर्टिकल में मिल्न थाॅमसन रचना विधि द्वारा विश्लेषिक फलन (Analytic Function by Milne Thomson construction Method) के बारे में बताया गया है।