1.क्रेमर नियम से समीकरण निकाय का हल करें (Solve Equations by Cramer Rule),गाॅस उत्तरोत्तर विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए (Solve by Gauss Successive Elimination Method):

Solve Equations by Cramer Rule

क्रेमर नियम से समीकरण निकाय का हल करें (Solve Equations by Cramer Rule) के इस आर्टिकल में समीकरण निकाय में मूलों का मान क्रेमर नियम,मैट्रिक्स विधि तथा गाॅस उत्तरोत्तर विलोपन विधि से ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.क्रेमर नियम से समीकरण निकाय का हल करें के उदाहरण (Solve Equations by Cramer Rule Examples):

Example:1.क्रेमर नियम का प्रयोग निम्न समीकरण निकाय को हल करने के लिए कीजिए:
(Apply Cramer’s rule to solve the following system of equations):
\begin{aligned} & 14 x_1+5 x_2+6 x_3+8 x_4=75 \\ & 9 x_1+19 x_2+4 x_3+4 x_4=74 \\ & 5 x_1+8 x_2+22 x_3+5 x_4=103 \\ & 9 x_1+10 x_2+4 x_3+18 x_4=110 \end{aligned}
Solution: |A|=\left|\begin{array}{cccc} 14 & 5 & 6 & 8 \\ 9 & 19 & 4 & 4 \\ 5 & 8 & 22 & 5 \\ 9 & 10 & 4 & 18 \end{array}\right| \\ =14\left|\begin{array}{ccc} 19 & 4 & 4 \\ 8 & 22 & 5 \\ 10 & 4 & 18 \end{array}\right|-5\left|\begin{array}{ccc} 9 & 4 & 4 \\ 5 & 22 & 5 \\ 9 & 4 & 18 \end{array}\right|+6 \left|\begin{array}{ccc} 9 & 19 & 4 \\ 5 & 8 & 5 \\ 9 & 10 & 18 \end{array}\right|-8\left|\begin{array}{ccc} 9 & 19 & 4 \\ 5 & 8 & 22 \\ 9 & 10 & 4 \end{array}\right|
=14[19(22×18-4×5)-4(8×18-5×10)+4(8×4-22×10)]-5[9(22×18-5×4)-4(5×18-5×9)+4(5×4-9×22)]+6[9(8×18-5×10)-19(5×18-9×5)+4(5×10-9×8)]-8[9(8×4-22×10)-19(5×4-9×22)+4(5×10-8×9)]
=14[19(396-20)-4(144-50)+4(32-220)]-5[9×(396-20)-4(90-45)+4(20-198)]+6[9(144-50)-19(90-45)+4(50-72)]-8[9(32-220)-19(20-198)+4(50-72)]
=14[19×376-4×94+4×-188]-5[9×376-4×45+4×-178]+6[9×94-19×45+4×-22]-8[9×-188-19×-178+4×-22]
=14[7144-376-752]-5[3384-180-712]+6[846-855-88]-8[-1692+3382-88]
=14×6016-5×2492+6×-97-8×1602
=84224-12460-582-12816
\Rightarrow |A|=58366 \neq 0 \cdots(1)
अतः निकाय का अद्वितीय हल सम्भव है।
अतः क्रेमर नियम सेः
|A| x_1=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} A_i^* b_i
जहाँ A_{11}^*=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{lll} 19 & 4 & 4 \\ 8 & 22 & 5 \\ 10 & 4 & 18 \end{array}\right|=6016 \cdots(2) \\ A_{21}^*=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{ccc} 5 & 6 & 8 \\ 8 & 22 & 5 \\ 10 & 4 & 18 \end{array}\right| \\ =-\left[ 5(22 \times 18-4 \times 5)-6(8 \times 18-10 \times 5) +8(8 \times 4-10 \times 22)\right] \\=-[5 \times 376-6 \times 94+8 \times-188] \\ \Rightarrow A_{21}^*=+188 \cdots(3) \\ A_{31}^*=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{ccc} 5 & 6 & 8 \\ 19 & 4 & 4 \\ 10 & 4 & 18 \end{array}\right| \\ =5(72-16) -6(342-40) +8(76-40) \\ =5 \times 56-6 \times 302+8 \times 36 \\ \Rightarrow A_{31}^* =280-1812+288 \\ \Rightarrow A_{31}^* =-1244 \cdots(4) \\ A_{41}^* =(-1)^{4+1}\left|\begin{array}{ccc}5 & 6 & 8 \\ 19 & 4 & 4 \\ 8 & 22 & 5 \end{array}\right| \\ =-[5(20-88)-6(95-32)+8(418-32) \\ =-[5 \times-68-6 \times 63+8 \times 386] \\ A_{41}^*=-2370 \cdots(5)
अब (1),(2),(3),(4) तथा (5) सेः
58366 x_1=A_{11}^* b_1+A_{21}^* b_2+A_{31}^* b_3+A_{41}^* b_1 \\=6016 \times 75+188 \times 74+(-1244) \times 103+(-2310) \times 110 \\ \Rightarrow 58366 x_1=451200+13912-128132-260700 \\ \Rightarrow 58366 x_1=76280 \\ \Rightarrow x_1=\frac{76288}{58366} \approx 1.307 \\ A_{12}^*=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ccc} 9 & 4 & 4 \\ 5 & 22 & 5 \\ 9 & 4 & 18 \end{array}\right|=-2492 \cdots(6) \\ A_{22}^*=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{lll} 14 & 6 & 8 \\ 5 & 22 & 5 \\ 9 & 4 & 18 \end{array}\right| \\ =14(396-20) -6(90-45)+8(20-198) \\ =14 \times 376-6 \times 45+8 \times-178 \\ \Rightarrow A_{22}^* =5264-270-1424=3570 \cdots(7) \\ A_{32}^*=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{ccc} 14 & 6 & 8 \\ 9 & 4 & 4 \\ 9 & 4 & 18 \end{array}\right| \\ =-[14(72-16)-6(162-36)+8(36-36)] \\ \Rightarrow A_{32}^*=-(784-756)=-28 \\ A_{42}^*=(-1)^{4+2}\left|\begin{array}{ccc} 14 & 6 & 8\\ 9 & 4 & 4 \\ 5 & 22 & 5 \end{array}\right| \\ =14(20-88)-6(45-20)+8(198-20) \\ \Rightarrow A_{42}^*=-952-150+1424=322 \cdots(9)
(1),(6),(7),(8) और (9) सेः
58366 x_2=A_{12}^* b_1+A_{22}^* b_2+A_{32}^* b_3+A_{42}^* b_4 \\ =-2492 \times 75+3570 \times 74-28 \times 103+322 \times 110 \\ =-186900+264180-2884+35420 \\ \Rightarrow x_2=\frac{109816}{58366} \approx 1.881 \\ A_{13}^*=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ccc} 9 & 19 & 4 \\ 5 & 8 & 5 \\ 9 & 10 & 18 \end{array}\right|=-97 \\ A_{23}^*=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{cccc} 14 & 5 & 8 \\ 5 & 8 & 5 \\ 9 & 10 & 18 \end{array}\right| \\ =-[14(144-50)-5(90-45)+8(50-72)] \\ =-[14 \times 94-5 \times 45+8 \times-22] \\ \Rightarrow A_{23}^*= -915=14(342-40)-5(162-36)+8(90-171) \\ A_{33}^*=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{ccc} 14 & 5 & 8 \\ 9 & 19 & 4 \\ 9 & 10 & 18 \end{array}\right| \\ =14(342-40)-5(162-36)+8(90-171) \\ =14 \times 302-5 \times 126+8 \times-81 \\ \Rightarrow A_{33}^* =4228-630-648=2950 \\ A_{43}^* =(-1)^{4+3}\left|\begin{array}{ccc} 14 & 5 & 8 \\ 9 & 19 & 4 \\ 5 & 8 & 5 \end{array}\right| \\=-\left[14(95-32)-5(45-20)+8(72-95)\right] \\ =-[14 \times 63-5 \times 25+8 \times-23] \\ \Rightarrow A_{43}^*= -573\\ 58366 x_3=A_{13}^* b_1+A_{23}^* b_2+A_{33}^* b_3+A_{43}^* b_4 \\ =-97 \times 75-915 \times 74+2950 \times 103 -573 \times 110 \\=-7275-67710+303850-63030 \\ \Rightarrow x_3=\frac{165835}{58366} \approx 2.841 \\ A_{14}^*=(-1)^{1+4}\left|\begin{array}{ccc} 9 & 19 & 4 \\ 5 & 8 & 22 \\ 9 & 10 & 4 \end{array}\right|=-1602 \\ A_{24}^*=(-1)^{2+4}\left|\begin{array}{ccc} 14 & 5 & 6 \\ 5 & 8 & 22 \\ 9 & 10 & 4 \end{array}\right| \\ =14(32-220)-5(20-198)+6(50-72) \\ \Rightarrow A_{24}^* =-2632+890-132=-1874 \\ A_{34}^* =(-1)^{3+4} \left[ \begin{array}{ccc} 14 & 5 & 6 \\ 9 & 19 & 4 \\ 9 & 10 & 4 \end{array}\right] \\ =-[14(76-40)-5(36-36)+6(90-171)] \\ =-(14 \times 36-5 \times 0+6 \times-81) \\ \Rightarrow A_{34}^* =-18 \\ A_{44}^*=(-1)^{4+4}\left|\begin{array}{ccc} 14 & 5 & 6 \\ 9 & 19 & 4 \\ 5 & 8 & 22 \end{array}\right| \\=14(418-32)-5(198-20)+6(72-95) \\ =14 \times 386-5 \times 178+6 \times-23 \\ \Rightarrow A_{44}^*=4376 \\ 58366 x_4= A_{14}^* b_1+A_{24}^* b_2+A_{34}^* b_3+A_{44}^* b_4 \\ =-1602 \times 75-1874 \times 74-18 \times 103 + 476 \times 110 \\ =-120150-138676-1854+481360 \\ \Rightarrow x_4=\frac{220680}{58366} \approx 3.781 \\ x_1 \approx 1.307, x_2 \approx 1.881, x_3 \approx 2.841, x_4 \approx 3.781
Example:2.मैट्रिक्स विधि के द्वारा निम्न समीकरणों के निकाय का हल ज्ञात कीजिए:
(Find the solution of the following system of equations by the method of matrices):
\begin{aligned} & x_1-3 x_2+x_3=a \\ & 2 x_1+x_2-x_4=b \\ & 3 x_1-2 x_2-x_3-2 x_4=c \\ & 4 x_1-x_2+3 x_4=d \end{aligned}
Solution: |A|=\left|\begin{array}{cccc} 1 & -3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ 3 & -2 & -1 & -2 \\ 4 & -1 & 0 & 3 \end{array}\right| \\ \Rightarrow |A|=1\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & 3 \end{array}\right|+3\left|\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & -2 \\ 4 & 0 & 3 \end{array}\right| +1\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & -2 \\ 4 & -1 & 3 \end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 4 & -1 & 0 \end{array}\right| \\ = 1(-3+0)-0(-6-2)-1(0-1)+3[2(-3+0) -0(9+8)-1(0+4)]+2(-6+2)-1(9+8)-1(-3+8) \\ =-3+1+3(-6-4)-16-17-5 \\=-3+1-30-16-17-5 \\ \Rightarrow |A|=-70 \neq 0
अतः मैट्रिक्स A व्युत्क्रमणीय है,इसलिए इस निकाय का अद्वितीय हल सम्भव है।अब A का प्रतिलोम ज्ञात करते हैं
\operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{cccc} -2 & 10 & -38 & 6 \\ -17 & -20 & -43 & +16 \\ -2 & 10 & 32 & 6 \\ -7 & 0 & 7 & -14 \end{array}\right]^{T} \\ \Rightarrow \operatorname{adj} A= \left[ \begin{array}{cccc} -2 & -17 & -2 & -7 \\ 10 & -20 & 10 & 0 \\ -38 & -43 & 32 & 7 \\ 6 & +16 & 6 & -14 \end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A \\ =-\frac{1}{70}\left[\begin{array}{cccc}-2 & -17 & -2 & -7 \\ 10 & -20 & 10 & 0 \\ -38 & -43 & 32 & 7 \\ 6 & +16 & 6 & -14 \end{array}\right]
अतः निकाय का हल मैट्रिक्स (solution matrix) निम्न होगा:
X=A^{-1} B \\=-\frac{1}{70}\left[\begin{array}{ccccc} -2 & -17 & -2 & -7 \\ 10 & -20 & 10 & 0 \\ -38 & -43 & 32 & 7 \\ 6 & +16 & 6 & -14 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a \\ b \\ c \\ d \end{array} \right] \\=-\frac{1}{70}\left[\begin{array}{ccc} -2 a-17 b-2 c-7 d \\ 10 a-20 b+10 c \\ -38 a-43 b+32 c+7 d \\ 6 a+16 b+6 c-14 d \end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{llll} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \end{array} \right]=\frac{1}{70}\left[\begin{array}{l} 2 a+17 b+2 c+7 d \\ -10 a+20 b-10 c \\ 38 a+43 b-32 c-7 d \\ -6 a-16 b-6 c+14 d \end{array}\right] \\ \Rightarrow x_1 =\frac{1}{70}(2 a+17 b+2 c+7 d) \\ x_2 =\frac{1}{7}(-a+2 b-c) \\ x_3 =\frac{1}{70}(38 a+43 b-32 c-7 d) \\ x_4 =-\frac{1}{35}(3 a+8 b+3 c-7 d)

Solve Equations by Cramer Rule

Example:3.गाॅस उत्तरोत्तर विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए:
(Solve by Gauss’s successive elimination method):
\begin{aligned} & 15 x_1+3 x_2-4 x_3+2 x_4=49.207 \\ & 3 x_1+7 x_2-5 x_3-4 x_4=18.024 \\ & -4 x_1-5 x_2+16 x_3+5 x_4=-23.871 \\ & 2 x_1-x_2+5 x_3+19 x_4=54.907 \end{aligned}
Solution:उपर्युक्त समीकरण निकाय को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:
\left. \begin{aligned} & x_1+0.2 x_2-0.267 x_3+0.133 x_4=3.280 \\ & 3 x_1+7 x_2-5 x_3-4 x_4=18.024 \\ & -4 x_1-5 x_2+16 x_3+5 x_4=-23.871 \\ & 2 x_1-x_2+5 x_3+19 x_4=54.907 \end{aligned}\right] \cdots(1)
इसके प्रथम समीकरण की सहायता से द्वितीय,तृतीय एवं चतुर्थ से x_1 का विलोपन करने परः
3\left(3.280-0.2 x_2+0.267 x_3-0.133 x_4\right)+7 x_2-5 x_3-4 x_4=18.024\\ \Rightarrow 9.84-0.6 x_2+0.801 x_3-0.399 x_4+7 x_2 -5 x_3-4 x_4=18.024 \\ \Rightarrow 6.4 x_2-4.199 x_3-4.399 x_4=8.184 \\-4\left(3.280-2 x_2+0.267 x_3-0.133 x_4\right)-5 x_2 +16 x_3+5 x_4=-23.871 \\ -13.12+0.8 x_2-1.068 x_3-0.532 x_4-5 x_2 +16 x_3+5 x_4=-23.871 \\ \Rightarrow-4.2 x_2+14.932 x_3+5.532 x_4=-10.751 \\ 2\left(3.280-0.2 x_2+0.267 x_3-0.133 x_4\right)-x_2+5 x_3+19 x_4=54.907 \\ \Rightarrow 6.56-0.4 x_2+0.534 x_3-0.266 x_4-x_2 +5 x_3+19 x_4=54.907 \\ \Rightarrow-1.4 x_2+5.534 x_3+18.734 x_4=48.347 \\ \left. \begin{aligned} & 6.4 x_2-4.199 x_3-4.399 x_4=8.184 \\ & -4.2 x_2+14.932 x_3+5.532 x_4=-10.751 \\ & -1.4 x_2+5.534 x_3+18.734 x_4=48.347 \end{aligned}\right] \cdots(2)
इसके प्रथम समीकरण में x_2 का अधिकतम गुणांक है अतः इसको निम्न प्रकार से लिख सकते हैं:
x_2-0.656 x_3-0.687 x_4=1.279 \cdots(3)
इसकी सहायता से निकाय (2) के द्वितीय व तृतीय समीकरण से x_2 का विलोपन करने परः
-4.2\left(1.279+0.656 x_3+0.687 x_4\right)+ 14.932 x_3+5.532 x_4=-10.751 \\ \Rightarrow-5.372-2.755 x_3-2.885 x_4+14.932 x_3+5.532 x_4=-10.751 \\ 12.171 x_3+2.647 x_4=-5.379 \\ -1.4 \left(1.279+0.656 x_3+0.687 x_4\right)+5.534 x_3 +18.734 x_4=48.347 \\ \Rightarrow -1.791-0.918 x_3-0.962 x_4+5.534 x_3 +18.734 x_4=48.347 \\ \Rightarrow 4.616 x_3+17.772 x_4=50.138 \\ \left.\begin{array}{l} 14.932 x_3+5.532 x_4=-10.751 \\ 4.616 x_3+17.772 x_4=50.138 \end{array}\right] \cdots(4)
इसके प्रथम समीकरण को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं:
x_3+0.217 x_4=-0.441 \cdots(5)
अब निकाय (4) के द्वितीय समीकरण से x_3 का विलोपन करने परः
4.616\left(-0.441-0.217 x_4\right)+17.772 x_4 =50.138 \\ \Rightarrow -2.036-1.002 x_4+17.772 x_4=50.138 \\ \Rightarrow 16.77 x_4=52.174 \cdots(6)
इस प्रकार समानयन किया हुआ समीकरण निकाय (1), (3),(5) और (6) की सहायता से निम्न प्रकार होगा:
\left.\begin{array}{c} x_1+0.2 x_2-0.267 x_3+0.133 x_4=3.280 \\ x_2-0.656 x_3-0.687 x_4=1.279 \\ x_3+0.217 x_4=-0.441 \\ 16.77 x_4=52.174 \end{array}\right] \cdots(7)
अब अन्तिम समीकरण से आरम्भ करके पश्च स्थापन विधि (Backward Substitution) से निकाय का सन्निकटन हल:
x_4=\frac{52.174}{16.77} \approx 3.111 \\ x_3+0.217 \times 3.111=-0.441 \\ \Rightarrow x_3+0.675=-0.441 \\ \Rightarrow x_3=-0.675-0.441 \\ \Rightarrow x_3=-1.116 \\ x_2-0.656 \times-1.116-0.687 \times 3.111=1.279 \\ \Rightarrow x_2+0.732-2.137=1.279 \\ \Rightarrow x_2=1.279-0.732+2.137 \\ \Rightarrow x_2=2.684 \\ x_1+0.2 \times 2.684-0.267 \times-1.116+ 0.133 \times 3.111=3.280 \\ \Rightarrow x_1+0.537+0.298+0.414=3.280 \\ \Rightarrow x_1+1.249=3.280 \\ \Rightarrow x_1=3.280-1.249 \\ \Rightarrow x_1=2.031 \\ x_1 \approx 2.031, x_2 \approx 2.684, x_3 \approx-1.116 , x_4 \approx 3.111
Example:4.गाॅस-जाॅर्डन समानयन विधि से निम्न निकाय का हल ज्ञात कीजिए:
(Find the solution of the following system of equations with the help of Gauss-Jordan reduction method):
\begin{aligned} & 2 x_1+4 x_2+x_3=3 \\ & 3 x_1+2 x_2-2 x_3=-2 \\ & x_1-x_2+x_3=6 \end{aligned}
Solution:यहाँ संवर्धित मैट्रिक्स (augmented matrix) का निम्न रूप है:
\left[A: B\right]=\left[\begin{array}{ccccc} 2 & 4 & 1 & : & 3 \\ 3 & 2 & -2 & : & -2 \\ 1 & -1 & 1 & : & 6 \end{array}\right] \\ R_1=\frac{1}{2} R_1 तथा R_2=\frac{1}{3} R_2 द्वारा
\sim\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & \frac{1}{2} & : & \frac{3}{2} \\ 1 & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & : & -\frac{2}{3} \\ 1 & -1 & 1 & : & 6 \end{array}\right] \\ R_2=R_2-R_1 तथा R_3=R_3-R_1 द्वारा
\sim\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \frac{1}{2} & : & \frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{4}{3} & -\frac{7}{6} & : &-\frac{13}{6} \\ 0 & -3 & \frac{1}{2} & : & \frac{9}{2} \end{array}\right] \\ R_2=-\frac{3}{4} R_2 द्वारा
\sim\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & \frac{1}{2} & : & \frac{3}{2} \\ 1 & 0 & \frac{7}{8} & : & \frac{13}{8} \\ 0 & -3 & \frac{1}{2} & : & \frac{9}{2} \end{array}\right] \\ R_1=R_1-2 R_2 तथा R_3=R_3 + 3 R_2 द्वारा
\sim \left[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & -\frac{5}{4} & : & -\frac{7}{4} \\ 0 & 1 & \frac{7}{8} & : & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & \frac{25}{8} & : & \frac{75}{8} \end{array}\right] \\ R_3=\frac{8}{25} R_3 द्वारा
\sim\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & -\frac{5}{4} & : & \frac{-7}{4} \\ 0 & 1 & \frac{7}{8} & : & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & 1 & : & 3 \end{array}\right] \\ R_1=R_1+\frac{5}{4} R_3 तथा R_2=R_2-\frac{7}{8} R_3 द्वारा
\approx \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & : & 2 \\ 0 & 1 & 0 & : & -1 \\ 0 & 0 & 1 & : & 3 \end{array}\right]
अतः निकाय का हल
x_1=2, x_2=-1, x_3=3
Example:5.चोलस्की विधि द्वारा निम्न समीकरण निकाय का हल ज्ञात कीजिए:
(solve the following system of equations by Choleski’s method):
\begin{aligned} & 5 x_1+3 x_2+7 x_3=4 \\ & x_1+5 x_2+2 x_3=2 \\ & 7 x_1+2 x_2+10 x_3=5 \end{aligned}
Solution:दिए हुए निकाय का मैट्रिक्स रूप
\left[\begin{array}{ccc} 5 & 3 & 7 \\ 1 & 5 & 2 \\ 7 & 2 & 10 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right] \cdots(1)
होगा।
माना कि \left[\begin{array}{ccc} 5 & 3 & 7 \\ 1 & 5 & 2 \\ 7 & 2 & 10 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{lll} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} 1 & l_{12} & l_{13} \\ 0 & 1 & l_{23} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \cdots(2)
तो मैट्रिक्स गुणन द्वारा
\left[\begin{array}{lll} 5 & 3 & 7 \\ 1 & 5 & 2 \\ 7 & 2 & 10 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} l_{11} & l_{11} l_{12} & l_{11} l_{13} \\ l_{21} & l_{21} l_{12}+l_{22} & l_{21} l_{13}+l_{22} l_{23} \\ l_{31} & l_{31} l_{12}+l_{32} & l_{31} l_{13}+l_{32} l_{23}+l_{33} \end{array}\right] \cdots(3)
दोनों पक्षों में संगत अवयवों की तुलना करने परः
l_{11}=5 ; l_{11} l_{12}=3 \Rightarrow l_{12}=\frac{3}{5} ; l_{11} l_{13}=7 \Rightarrow l_{13}=\frac{7}{5} \\ l_{21}=1 ; l_{21} l_{12}+l_{22}=5 \Rightarrow l_{22}=\frac{22}{5} ; l_{21} l_{13}+l_{22} 2_{23}=2 \\ \Rightarrow l_{23}=\frac{3}{22} \\ l_{31}=7 ; l_{31} l_{12}+l_{32}=2 \Rightarrow l_{32}=-\frac{11}{5} \\ l_{31} l_{13}+l_{32} l_{23}+l_{33}=10 \Rightarrow l_{33}=\frac{1}{2} \cdots(4)
अतः \left[\begin{array}{ccc} 5 & 3 & 7 \\ 1 & 5 & 2 \\ 7 & 2 & 10 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0 \\ 1 & \frac{22}{5} & 0 \\ 7 & -\frac{11}{5} & \frac{1}{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 1 & \frac{3}{5} & \frac{7}{5} \\ 0 & 1 & \frac{3}{22} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ \Rightarrow A=L.U
अब निकाय (1) सेः
L U X=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right] \cdots(6)
माना कि UX=C   ….. (7)
समीकरण निकाय (6) सेः
L C=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0 \\ 1 & \frac{22}{5} & 0 \\ 7 & -\frac{11}{5} & \frac{1}{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right]
अतः \left[\begin{array}{l} 5 C_1 \\ C_1+\frac{22}{5} C_2 \\ 7 C_1-\frac{11}{5} C_2+\frac{1}{2} C_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right] \\ 5 C_1=4 \Rightarrow C_1=4 \\ C_1+\frac{22}{5} C_2=2 \Rightarrow \frac{4}{5}+\frac{22}{5} C_2=2 \\ \Rightarrow C_2=\left(2-\frac{4}{5}\right) \frac{5}{22}=\frac{3}{11} \\ 7 C_1-\frac{11}{5} C_2+\frac{1}{2} C_3=5 \\ \Rightarrow 7 \times \frac{4}{5}-\frac{11}{5} \times \frac{3}{11}+\frac{1}{2} C_3=5 \\ \Rightarrow C_3=0
अब समीकरण निकाय (7) सेः
U X=\left[\begin{array}{c} \frac{4}{5} \\ -\frac{3}{11} \\ 0 \end{array}\right]
अथवा \left[\begin{array}{ccc} 1 & \frac{3}{5} & \frac{7}{5} \\ 0 & 1 & \frac{3}{22} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \frac{4}{5} \\ \frac{3}{11} \\ 0 \end{array}\right] \\ x_1+\frac{3}{5} x_2+\frac{7}{5} x_3=\frac{4}{5} \\ x_2+\frac{3}{22} x_3=\frac{3}{11} \\ x_3=0 \\ x_2=\frac{3}{11} , x_1=\frac{7}{11}
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा क्रेमर नियम से समीकरण निकाय का हल करें (Solve Equations by Cramer Rule),गाॅस उत्तरोत्तर विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए (Solve by Gauss Successive Elimination Method) को समझ सकते हैं।

Solve Equations by Cramer Rule

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3.क्रेमर नियम से समीकरण निकाय का हल करें (Frequently Asked Questions Related to Solve Equations by Cramer Rule),गाॅस उत्तरोत्तर विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए (Solve by Gauss Successive Elimination Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

क्रेमर नियम से समीकरण निकाय का हल करें (Solve Equations by Cramer Rule) के इस
आर्टिकल में समीकरण निकाय में मूलों का मान क्रेमर नियम,मैट्रिक्स विधि तथा गाॅस उत्तरोत्तर
विलोपन विधि से ज्ञात करना सीखेंगे।