3 Tips of Vogel Approximation Method

Q: प्रश्न:3.परिवहन समस्याओं में रिक्त कोष्ठिका से क्या आशय है? (What Do You Mean by Empty Cell in Transportation Problems?):

उत्तर:जिस कोष्ठिका में नियतन नहीं है वह रिक्त कोष्ठिका (empty cell) कहलाती है। उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स (3 Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Mathematics Satyam April 5, 2025 Linear Programming No Comments

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1 1.वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स (3 Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method):

1.1 2.वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स के उदाहरण (3 Tips of Vogel Approximation Method Illustrations):

1.1.1 3.वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स (Frequently Asked Questions Related to 3 Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.1.2 प्रश्न:1.परिवहन समस्याओं में अपभ्रष्टता की स्थिति कब उत्पन्न होती है? (When Does a Situation of Degeneracy Arise in Transportation Problems?):

1.1.3 प्रश्न:2.परिवहन समस्याओं में अपभ्रष्टता की स्थिति को दूर कैसे करते हैं? (How Do You Overcome the Situation of Degeneracy in Transportation Problems?):

1.1.4 प्रश्न:3.परिवहन समस्याओं में रिक्त कोष्ठिका से क्या आशय है? (What Do You Mean by Empty Cell in Transportation Problems?):

1.1.4.1 (3 Tips of Vogel Approximation Method)

2 वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स(3 Tips of Vogel Approximation Method)

2.1 (3 Tips of Vogel Approximation Method)

1.वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स (3 Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method):

3 Tips of Vogel Approximation Method

वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स (3 Tips of Vogel Approximation Method) के द्वारा परिवहन समस्याओं के सवालों को हल करके उनका अध्ययन करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स के उदाहरण (3 Tips of Vogel Approximation Method Illustrations):

Illustration:11.निम्न परिवहन समस्या का वोगल सन्निकटन विधि से आरम्भिक आधारी सुसंगत हल ज्ञात कीजिए तथा इष्टतम हल ज्ञात कीजिए।
(By using Vogel’s approximation method initial basic feasible solution and then find optional solution of the following transportation problem):
$\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|} \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{D_{1}} & \multicolumn{1}{c}{D_{2}} & \multicolumn{1}{c}{D_{3}} & \multicolumn{1}{c}{D_{4}} & \multicolumn{1}{c}{D_{5}} & \multicolumn{1}{c}{a_{i}} \\ \cline{2-7} O_{1} & 4 & 7 & 3 & 8 & 2 & 4 \\ \cline{2-7} O_{2} & 1 & 4 & 7 & 3 & 8 & 7 \\ \cline{2-7} O_{3} & 7 & 2 & 4 & 7 & 9 & 9 \\ \cline{2-7} O_{4} & 4 & 8 & 2 & 4 & 7 & 2 \\ \cline{2-7} b_{j} & 8 & 3 & 7 & 2 & 2 & \\ \cline{2-7} \end{array}$
Solution:चरण (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाला पंचम स्तम्भ है जिसकी शास्ति 5 है।अतः पंचम स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,5) को चुनते है इसमें अधिकतम आवंटन min(4,2)=2 करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाले प्रथम स्तम्भ को चुनते हैं जिसकी शास्ति 3 है।प्रथम स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (2,1) को चुनते हैं इसमें min(7,8)=7 आवंटन करते हैं।और सीमा पूरी नहीं होने पर कोष्ठक (1,1) पर अधिकतम आवंटन करते हैं यहाँ कोष्ठक (1,1) पर min(2,1)=1 आवंटन करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब प्रथम पंक्ति की अधिकतम शास्ति 4 है।प्रथम पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,3) को चुनते हैं इसमें min(1,7)=1 का आवंटन करते हैं।पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली तृतीय,चतुर्थ पंक्ति तथा द्वितीय व तृतीय स्तम्भ है जिनकी शास्ति 2 है।इनमें से तृतीय पंक्ति को चुनते हैं। तृतीय पंक्ति में न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,2) को उपलब्ध इकाई तथा आवश्यकता के अनुसार आवंटन करते हैं अर्थात् min(9,3)=3 इकाइयाँ आवंटन करते हैं इसके पश्चात शेष उपलब्ध इकाईयों में से अगली न्यूनतम लागत 4 वाले कोष्ठक (3,3) में आवश्यकता के अनुसार आवंटन करते हैं अर्थात् min(6,6)=6 इकाइयाँ आवंटित करते हैं।पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं तथा अधिकतम शास्ति वाली चतुर्थ पंक्ति को चुनते हैं जिसकी शास्ति 2 है।चतुर्थ पंक्ति में आवंटन योग्य न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (4,4) पर आवंटन min(2,2)=2 करते हैं।इस प्रकार पूर्ति इकाई व माँग इकाई का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{c|ccccc|c|ccccc|} \multicolumn{1}{c}{} & D_{1} & D_{2} & D_{3} & D_{4} & \multicolumn{1}{c}{D_{5}} & \multicolumn{1}{c}{a_{i}} & \text{Penalty}\\ \cline{2-12} O_{1} & 1(4) & (7) & 1(3) & (8) & 2(2) & 4/ 2 / \not{1} & 1 & 1 & 4 & - & -\\ O_{2} & 7(1) & (4) & (7) & (3) & (8) & \not{7} & 2 & 2 & - & - & - \\ O_{3} & (7) & 3(2) & 6(4) & (7) & (9) & \not{9} & 2 & 2 & 2 & 2 &-\\ O_{4} & (4) & (8) & (2) & 2(4) & 7 & \not{2} & 2 & 2 & 2 & 2 & 2\\ \cline{2-12} b_{j} & \not{8} & \not{3} & 7/\not{6} & \not{2} & \not{2} \\ \cline{2-6} \text{Penalty} & 3 & 2 & 1 & 1 & 5 \\ & 3 & 2 & 1 & 1 & \\ & - & 2 & 1 & 1 & - \\ & - & 2 & 2 & 1 & - \\ & - & - & - & - & - \\ \cline{2-6} \end{array}$
उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:
$\begin{array}{c|ccccc|} \multicolumn{1}{c}{} & D_{1} & D_{2} & D_{3} & D_{4} & \multicolumn{1}{c}{D_{5}} \\ \cline{2-6} O_{1} & 1(4) & & 1(3) & & 2(2) \\ O_{2} & 7(1) & & & & \\ O_{3} & & 3(2) & 6(4) & & \\ O_{4} & & & & 2(4) & \\ \cline{2-6}\end{array}$
अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=1×4+1×3+2×2+7×1+3×2+6×4+2×4
=4+3+4+7+6+24+8=56 रुपए
उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि स्वतन्त्र नियतन की संख्या 7 है जो m+n-1=5+4-1=8 से कम है अतः इष्टतम की शर्त को पूरा नहीं करती।यह समस्या के प्रारम्भ में ही अपभ्रष्टता की स्थिति है।अपभ्रष्टता की स्थिति को दूर करने के लिए स्वतन्त्र रिक्त कोष्ठकों में न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक में अत्यल्प धनात्मक राशि $\theta$ आवंटन करते हैं।यहाँ कोष्ठक (1,2),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5) स्वतन्त्र रिक्त कोष्ठक है जिनमें कोष्ठक (4,3) में न्यूनतम लागत (2) वाला कोष्ठक है अतः (4,3) में $\theta$ आवंटन करते हैं और निम्न सारणी बनाते हैं।
$\begin{array}{c|ccccc|c|} \multicolumn{1}{c}{} & D_{1} & D_{2} & D_{3} & D_{4} & \multicolumn{1}{c}{D_{5}} & \multicolumn{1}{c}{a_{i}} \\ \cline{2-7} O_{1} & 1(4) & & 1(3) & & 2(2) & 4 \\ O_{2} & 7(1) & & & & & 7 \\ O_{3} & & 3(2) & 6(4) & & & 9 \\ O_{4} & & & \theta(2) & 2(4) & & 2+\theta=2 \\ \cline{2-7} b_{j} & 8 & 3 & 7+\theta=7 & 2 & 2 & 22 \\ \cline{2-7} \end{array}$
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स ज्ञात $\left[d_{i j}\right]$ करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली प्रथम पंक्ति को चुनते हैं।अतः $u_{1}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $c_{i j}=u_i+v_j$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|ccccc|c}\multicolumn{1}{c}{} & & & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \downarrow \\ \cline{2-6} & *(4) & & *(3) & & *(2) & 0 \\ & *(1) & & & & &-3 \\ & & *(2) & *(4) & & & 1 \\ & & & *(2) & *(4) & & -1 \\ \cline{2-6} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \longrightarrow & 4 & 1 & 3 & 5 & \multicolumn{1}{c}{2} & \end{array} \\ C_{11}=u_1+v_1 \Rightarrow 4=0+v_1 \Rightarrow v_1=4 \\ C_{13}=u_1+v_3 \Rightarrow 3=0+v_3 \Rightarrow v_3=3 \\ C_{15}=u_1+v_5 \Rightarrow 2=0+v_5 \Rightarrow v_5=2 \\ C_{21}=u_2+v_1 \Rightarrow 1=u_2+4 \Rightarrow u_2=-3 \\ C_{33}=u_3+v_3 \Rightarrow 4=u_3+3 \Rightarrow u_3=1 \\ C_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 2=1+v_2 \Rightarrow v_2=1 \\ C_{43}=u_4+v_3 \Rightarrow 2=u_4+3 \Rightarrow u_4=-1 \\ C_{44}=u_4+v_4 \Rightarrow 4=-1+v_4 \Rightarrow v_4=5$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_i\right]=\left[\begin{array}{ccccc} * & 1 & * & 5 & * \\ * & -2 & 0 & 2 & -1 \\ 5 & * & * & 6 & 3 \\ 3 & 0 & * & * & 1 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{ij}\right]=\left[\begin{array}{ccccc} * & 7 & * & 8 & * \\ * & 4 & 7 & 3 & 8 \\ 7 & * & * & 7 & 9 \\ 4 & 8 & * & * & 7 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$
$\left[d_{i j}\right]=\left[c_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\ =\left[\begin{array}{ccccc}* & 7 & * & 8 & * \\ * & 4 & 7 & 3 & 8 \\ 7 & * & * & 7 & 9 \\ 4 & 8 & * & * & 7\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccccc}* & 1 & * & 5 & * \\ * & -2 & 0 & 2 & -1 \\ 5 & * & * & 6 & 3 \\ 3 & 0 & * & * & 1\end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{i j}\right]=\left[\begin{array}{lllll}* & 6 & * & 3 & * \\ * & 6 & 7 & 1 & 9 \\ 2 & * & * & 1 & 6 \\ 1 & 8 & * & * & 6\end{array}\right]$
चूँकि यहाँ मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ के सभी अवयव धनात्मक है अतः उपर्युक्त आधारी इष्टतमत्व हल है तथा अद्वितीय है।अतः इस हल से प्राप्त कुल लागत

$x_{11}=1, x_{13}=1, x_{15}=2, x_{21}=7, x_{32}=3, x_{33}=6, x_{43}=0, x_{44}=2$
परिवहन लागत=1×4+1×3+2×2+7×1+3×2+6×2+ $\theta$ ×2+2×4
=56

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स (3 Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) को समझ सकते हैं।
Illustration:13.एक कम्पनी के पास तीन स्थानों A,B तथा C पर फैक्टियाँ हैं तथा स्थानों D,E, F तथा G पर गोदाम हैं।प्रति इकाई परिवहन लागत (रु. में) निम्न सारणी में दी गई है।परिवहन लागत को न्यूनतम करने हेतु इष्टतम हल ज्ञात कीजिए।
(A company has factories at A,B and C which supply warehouse at D,E,F and G.Unit shipping cost (in Rs) are given in the table.Determine the optimum distribution for this company to minimize shipping costs.)
$\begin{array}{c|cccc|c} \multicolumn{1}{c}{\text{For}} \downarrow & \gets \multicolumn{4}{c}{\text{To}} \to & & & \multicolumn{1}{c}{\text{Capacity}} \\ \multicolumn{1}{c}{} & D & E & F & \multicolumn{1}{c}{G} & \\ \cline{2-5} A & 42 & 48 & 38 & 37 & 160 \\ B & 40 & 49 & 52 & 51 & 150 \\ C & 39 & 38 & 40 & 43 & 190 \\ \cline{2-5} \multicolumn{1}{c}{\text{Demand}} & 80 & 90 & 110 & \multicolumn{1}{c}{160} & \end{array}$
Solution:चरण (Step):I.यहाँ कुल क्षमता इकाइयाँ $\Sigma a_i=160+150+190=500$ ,कुल माँग $\Sigma b_j=80+90+110+160=440$ से अधिक है।हम एक काल्पनिक गोदाम H (Dummy) जिसकी माँग $\Sigma a_i-\Sigma b_j=500-440=60$ इकाई लेते हैं।अब नई परिवर्तन समस्या निम्न प्रकार है:
$\begin{array}{c|ccccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & D & E & F & G & \multicolumn{1}{c}{H} & \text{Capacity} \\ \cline{2-6} A & 42 & 48 & 38 & 37 & 0 & 160 \\ B & 40 & 49 & 52 & 51 & 0 & 150 \\ C & 39 & 38 & 40 & 43 & 0 & 190 \\ \cline{2-6} \multicolumn{1}{c}{D} & 80 & 90 & 110 & 160 & \multicolumn{1}{c}{60} & \end{array}$
पद (Step):II.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):III.अधिकतम शास्ति वाली द्वितीय पंक्ति है जिसकी शास्ति 40 है।अतः द्वितीय पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (2,5) को चुनते है इसमें अधिकतम आवंटन min(150,60)=60 करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर कोष्ठक (2,1) पर min(90,80)=80 आवंटित करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर कोष्ठक (2,2) पर आवंटन (10,90)=10 करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली तृतीय पंक्ति को चुनते हैं जिसकी शास्ति 38 है।अतः तृतीय पंक्ति के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,2) को चुनते हैं इसमें min(190,80)=80 आवंटन करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर कोष्ठक (3,3) पर अधिकतम आवंटन करते हैं यहाँ कोष्ठक (3,3) पर min(110,110)=110 आवंटन करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब प्रथम पंक्ति की अधिकतम शास्ति 37 है।प्रथम पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,4) को चुनते हैं इसमें min(160,160)=160 का आवंटन करते हैं।इस प्रकार क्षमता इकाई व माँग इकाई का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|ccccc|c|c|} \hline & D & E & F & G & H \text{ (Dummy)} & \text{Capacity} & \text{Penalty} \\ \hline A & (42) & (48) & (38) & 160(37) & (0) & 160 & 37/37/37 \\ B & 80(40) & 10(49) & (52) & (51) & 60(0) & 150 & 40 \\ C & (39) & 80(38) & 110(40) & (43) & (0) & 190 & 38/38\\ \hline \text{Demand} & 80 & 90 / 80 & 110 & 160 & 60 \\ \cline{1-6} \text{Penalty} & 1 & 10/10 & 2/2 & 6/6 & 0 \\ \cline{1-6} \end{array}$
उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:
$\begin{array}{c|ccccc|} \multicolumn{1}{c}{} & D & E & F & G & \multicolumn{1}{c}{H \text{ (Dummy)}} \\ \cline{2-6} A & & & & 160(37) & \\ B & 80(40) & 10(49) & & & 60(0) \\ C & & 80(38) & 110(40) & & \\ \cline{2-6} \end{array}$
अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=160×37+80×40+10×49+60×0+80×38+110×40
=5920+3200+490+0+3040+4400
=17050 रुपए
उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि स्वतन्त्र नियतन की संख्या 6 है जो m+n-1=5+3-1=7 से कम है अतः इष्टतम की शर्त को पूरा नहीं करती।यह समस्या के प्रारम्भ में ही अपभ्रष्टता की स्थिति है।अपभ्रष्टता की स्थिति को दूर करने के लिए स्वतन्त्र रिक्त कोष्ठकों में न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक में अत्यल्प धनात्मक राशि $\theta$ आवंटन करते हैं।यहाँ कोष्ठक (1,1),(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,1),(3,4) स्वतन्त्र रिक्त कोष्ठक है जिनमें कोष्ठक (1,3) में न्यूनतम लागत (38) वाला कोष्ठक है अतः (1,3) में $\theta$ आवंटन करते हैं और निम्न सारणी बनाते हैं।
$\begin{array}{c|ccccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & D & E & F & G & \multicolumn{1}{c}{H \text{ (Dummy)}} & \text{Capacity} \\ \cline{2-6} & & \theta(38) & 160(37) & & & 160+\theta=160 \\ & 80(40) & 10(49) & & & 60(0) & 150 \\ & & 80(38) & 110(40) & & & 190 \\ \cline{2-6} \text { Demand } & 80 & 90 & 110+\theta=110 &160 & 60 & 500 \\ \cline{2-6} \end{array}$
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली द्वितीय पंक्ति को चुनते हैं।अतः $u_{2}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $c_{ij} =u_i+v_j$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|ccccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \downarrow\\ \cline{2-6} & & & *(38) & *(37) & & -13 \\ & *(40) & *(49) & & & *(0) & 0 \\ & & *(38) & *(40) & & & -11 \\ \cline{2-6} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \longrightarrow & 40 & 49 & 51 & 50 & \multicolumn{1}{c}{0} & \end{array} \\ C_{21}=u_2+v_1 \Rightarrow 40=0+v_1 \Rightarrow v_1=40 \\ C_{22}=u_2+v_2 \Rightarrow 49=0+v_2 \Rightarrow v_2=49 \\ C_{25}=u_2+v_5 \Rightarrow 0=0+v_5 \Rightarrow v_5=0 \\ C_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 38=u_3+49 \Rightarrow u_3=-11 \\ C_{33}=u_3+v_3 \Rightarrow 40=-11+v_3 \Rightarrow v_3=51 \\ C_{13}=u_1+v_3 \Rightarrow 38=u_1+51 \Rightarrow u_1=-13 \\ C_{14}=u_1+v_4 \Rightarrow 37=-13+v_4 \Rightarrow v_4=50$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{ccccc} 27 & 36 & * & * & -13 \\ * & * & 51 & 50 & * \\ 29 & * & * & 39 & -11 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{i j}\right]=\left[\begin{array}{ccccc} 42 & 48 & * & * & 0 \\ * & * & 52 & 51 & * \\ 39 & * & * & 43 & 0 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$
$\left[d_{ij}\right] =\left[C_{ij}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\=\left[\begin{array}{ccccc} 42 & 48 & * & * & 0\\ * & * & 52 & 51 & * \\ 39 & * & * & 43 & 0 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccccc} 27 & 36 & * & * &-13 \\ * & * & 51 & 50 & * \\ 29 & * & * & 39 & -11 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{ij} \right] =\left[\begin{array}{ccccc} 15 & 12 & * & * & 13 \\ * & * & 1 & 1 & * \\ 10 & * & * & 4 & 11 \end{array}\right]$
चूँकि यहाँ मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ के सभी अवयव धनात्मक है अतः उपर्युक्त आधारी इष्टतमत्व हल है तथा अद्वितीय है।अतः इस हल से प्राप्त कुल लागत
$x_{14}=160, x_{21}=80, x_{22}=10, x_{25}(\text {Dummy})=60, x_{32}=80, x_{33}=110$
परिवहन लागत= $\theta$ ×38+160×37+80×40+10×49+60×0+80×38+110×40
=17050 रुपये $\left[ \because \theta \to 0 \right]$

3 Tips of Vogel Approximation Method

Illustration:14.नीचे दी गई सूचनाओं के आधार पर अनुकूलम आवंटन प्राप्त कीजिए।ताकि कुल परिवहन लागत कम से कम हो।
(On the basis of the information given,obtain the optimal distribution that minimize the total transportation cost.)
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{से (from)} & \text{(To)} & \text{गन्तव्य } & \text{स्थान } & \text{को } & \text{पूर्ति} \\ \hline & D_1 & D_2 & D_3 & D_4 & \\ \hline O_{1} & 7 & 10 & 14 & 8 & 30 \\ \hline O_{2} & 7 & 11 & 12 & 6 & 40 \\ \hline O_{3} & 5 & 8 & 15 & 9 & 30 \\ \hline \text{ माँग } & 20 & 20 & 25 & 30 & 100 \\ \hline \end{array}$
Solution:चरण (Step):I.यहाँ कुल पूर्ति इकाइयाँ $\Sigma a_{i}=30+40+30=100$ ,कुल माँग $\Sigma b_{j}=20+20+25+30=95$ से अधिक है।हम एक काल्पनिक $D_{5}$ (Dummy) जिसकी माँग $\Sigma a_i- \Sigma b_j=100-95=5$ इकाई लेते हैं।अब नई परिवर्तन समस्या निम्न प्रकार है:
$\begin{array}{c|ccccc|c|} \multicolumn{1}{c}{} & D_1 & D_2 & D_3 & D_4 & \multicolumn{1}{c}{D_5 \text{(Dummy)}} & \multicolumn{1}{c}{\text{Supply}} \\ \cline{2-7} O_{1} & 7 & 10 & 14 & 8 & 0 & 30 \\ O_{2} & 7 & 11 & 12 & 6 & 0 & 40 \\ O_{3} & 5 & 8 & 15 & 9 & 0 & 30 \\ \cline{2-7} \text{Dummy} & 20 & 20 & 25 & 30 & 5 & 100 \\ \cline{2-7} \end{array}$
पद (Step):II.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):III.अधिकतम शास्ति वाली प्रथम पंक्ति है जिसकी शास्ति 7 है।अतः प्रथम पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,5) को चुनते है इसमें अधिकतम आवंटन min(30,5)=5 करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर कोष्ठक (1,1) पर अधिकतम आवंटन करते हैं यहाँ कोष्ठक (1,1) पर min(25,20)=20 आवंटित करते हैं।शेष इकाईयाँ कोष्ठक (1,4) पर आवंटन min(5,30)=5 करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली द्वितीय पंक्ति हैं जिसकी शास्ति 6 है।अतः द्वितीय पंक्ति के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (2,4) को चुनते हैं इसमें min(40,25)=25 आवंटन करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर कोष्ठक (2,2) पर अधिकतम आवंटन करते हैं यहाँ कोष्ठक (2,2) पर min(15,20)=15 आवंटन करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली तृतीय पंक्ति है जिसकी शास्ति 5 है।तृतीय पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (3,2) को चुनते हैं इसमें min(30,5)=5 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर शेष इकाईयाँ कोष्ठक (3,3) पर आवंटन min(25,25)=25 करते हैं।इस प्रकार पूर्ति इकाई व माँग इकाई का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|ccccc|c|c|} \hline & D_1 & D_2 & D_3 & D_4 & D_5 \text{(Dummy)} & \text{Supply} & \text{Penalty} \\ \hline O_{1} & 20(7) & (10) & (14) & 5(8) & 5(0) & 30 & 7\\ O_{2} & (7) & 15(11) & (12) & 25(6) & (0) & 40 & 6/6 \\ O_{3} & (5) & 5(8) & 25(15) & (9) & (0) & 30 & 5/5/5\\ \hline \text{Demand} & 20 & 20 / 5 & 25 & 30 / 25 & 50 \\ \cline{1-6} \text{Penalty} & 2 & 2/2/2 & 2/2/2 & 2 / 3 & 0 \\ \cline{1-6} \end{array}$
उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:
$\begin{array}{c|ccccc|} \multicolumn{1}{c}{} & D_1 & D_2 & D_3 & D_4 & \multicolumn{1}{c}{D_5} \\ \cline{2-6} O_{1} & 20(7) & & & 5(8) & 5(0) \\ O_{2} & & 15(11) & & 25(6) & \\ O_{3} & & 5(8) & 25(15) & & \\ \cline{2-6} \end{array}$
अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=20×7+5×8+5×0+15×11+25×6+5×8+25×15
=140+40+0+165+150+40+375
=910 रुपए
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली प्रथम पंक्ति को चुनते हैं।अतः $u_{1}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $c_{i j}=u_i+v_j$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|ccccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \downarrow \\ \cline{2-6} & *(7) & & & *(8) & *(0) & 0 \\ & & *(11) & & *(6) & & -2 \\ & & *(8) & *(15) & & & -5 \\ \cline{2-6} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \longrightarrow & 7 & 13 & 20 & 8 & \multicolumn{1}{c}{0} & \end{array} \\ C_{11}=u_1+v_1 \Rightarrow 7=0+v_1 \Rightarrow v_1=7 \\ C_1 u=u_1+v_4 \Rightarrow 8=0+v_4 \Rightarrow v_4=8 \\ C_{15}=u_1+v_5 \Rightarrow 0=0+v_5 \Rightarrow v_5=0 \\ C_{24}=u_2+v_4 \Rightarrow 6=u_2+8 \Rightarrow u_2=-2 \\ C_{22}=u_2+v_2 \Rightarrow 11=-2+v_2 \Rightarrow v_2=13 \\ C_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 8=u_3+13 \Rightarrow u_3=-5 \\ C_{33}=u_3+v_3 \Rightarrow 15=-5+v_3 \Rightarrow v_3=20$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{ccccc} * & 13 & 20 & * & * \\ 5 & * & 18 & * & -2 \\ 2 & * & * & 3 & -5 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{ij}\right]=\left[\begin{array}{ccccc} * & 10 & 14 & * & * \\ 7 & * & 12 & * & 0 \\ 5 & * & * & 9 & 0 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[d_{i j}\right]=\left[C_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\ =\left[\begin{array}{ccccc} * & 10 & 14 & * & * \\ 7 & * & 12 & * & 0 \\ 5 & * & * & 9 & 0 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccccc} * & 13 & 20 & * & * \\ 5 & * & 18 & * & -2 \\ 2 & * & * & 3 & -5 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[d_{ij}\right] =\left[\begin{array}{ccccc} * & -3 & -6 & * & * \\ 2 & * & -6 & * & 2 \\ 3 & * & * & 6 & 5 \end{array}\right]$
मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ में $d_{12}=-3,d_{13}=-6$ तथा $d_{23}=-6$ के अतिरिक्त सभी रिक्त कोष्ठिकाओं से सम्बन्धित मूल्यांकन ऋणेतर है। $d_{13}=-6$ व $d_{23}=-6$ न्यूनतम है अतः इनमें $d_{23}=-6$ को चुनते हैं अतः कोष्ठक (2,3) को आवंटन कर इस हल को सुधारते हैं।
चूँकि $d_{23}=-6$ न्यूनतम है इसलिए इस कोष्ठक की अधिकतम आवंटन किसी भरे हुए कोष्ठक से करते हैं।शेष आवंटन में परिवर्तन करते हुए जैसा कि नीचे सारणी में दर्शाया गया है।यहाँ अधिकतम आवंटन माना $\theta$ है। $\theta$ बन्दलूप के कोने पर $-\theta$ वाले नियतन में से न्यूनतम को शून्य के बराबर रखकर $\theta$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 20(7) & & & 5(8) & 5(0) \\ \hline & 15-\theta(11) \to & +\theta \downarrow & 25(6) \\ \hline & 5+\theta(8) \uparrow & \gets 25-\theta(15) & & \\ \hline \end{array} \\ \min (15-\theta, 25-\theta)=0 \Rightarrow 15-\theta=0 \Rightarrow \theta=15$
इस प्रकार कोष्ठिका (2,2) में आवंटन शून्य हो जाता है अर्थात् यह खाली कोष्ठिका हो जाती है।नया आधारी हल निम्न सारणी में दर्शाया गया है।
$\begin{array}{|ccccc|} \hline 20(7) & & & 5(8) & 5(0) \\ & & 15(12) & 25(6) \\ & 20(8) & 10(15) & \\ \hline \end{array}$
इस आधारी हल (B. F. S.) के लिए कुल परिवहन लागत
=20×7+5×8+5×0+15×12+25×6+20×8+10×15
=140+40+0+180+150+160+150
=820 रुपये
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली प्रथम पंक्ति को चुनते हैं।अतः $u_{1}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $c_{ij} =u_i+v_j$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|ccccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \downarrow \\ \cline{2-6} & *(7)& & & *(8)& *(0) & 0 \\ & & & *(12) & *(6) & & -2 \\ & & *(8) & *(15) & & & 1 \\ \cline{2-6} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \longrightarrow & 7 & 7 & 14 & 8 & \multicolumn{1}{c}{0} & \end{array} \\ C_{11}=u_1+v_1 \Rightarrow 7=0+v_1 \Rightarrow v_1=7 \\ C_{14}=u_1+v_1 \Rightarrow 8=0+v_4 \Rightarrow v_4=8 \\ C_{15}=u_1+v_5 \Rightarrow 0=0+v_5 \Rightarrow v_5=0 \\ C_{24}=u_2+v_4 \Rightarrow 6=u_2+8 \Rightarrow u_2=-2 \\ C_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 12=-2+v_3 \Rightarrow v_3=14 \\ C_{33}=u_3+v_3 \Rightarrow 15=u_3+14 \Rightarrow u_3=1 \\ C_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 8=1+v_2 \Rightarrow v_2=7$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{ccccc} * & 7 & 14 & * & * \\ 5 & 5 & * & * & -2 \\ 8 & * & * & 9 & 1 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{i j}\right]=\left[\begin{array}{ccccc} * & -10 & 14 & * & * \\ 7 & 11 & * & * & 0 \\ 5 & * & * & 9 & 0 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$
$\left[d_{i j}\right]=\left[c_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\=\left[\begin{array}{lllll} * & 10 & 14 & * & * \\ 7 & 11 & * & * & 0 \\ 5 & * & * & 9 & 0 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc} * & 7 & 14 & * & * \\ 5 & 5 & * & * & -2 \\ 8 & * & * & 9 & 1 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{ij}\right] =\left[ \begin{array}{ccccc} * & 3 & 0 & * & * \\ 2 & 6 & * & * & 2 \\ -3 & * & * & 0 & -1 \end{array}\right]$
मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ में $d_{31}=-3$ तथा $d_{35}=-1$ के अतिरिक्त सभी रिक्त कोष्ठिकाओं से सम्बन्धित मूल्यांकन ऋणेतर है।अतः कोष्ठक (3,1) को आवंटन कर इस हल को सुधारते हैं।
चूँकि $d_{31}=-3$ न्यूनतम $\left[d_{i j}\right]$ है इसलिए इस कोष्ठक की अधिकतम आवंटन किसी भरे हुए कोष्ठक से करते हैं।शेष आवंटन में परिवर्तन करते हुए जैसा कि नीचे सारणी में दर्शाया गया है।यहाँ अधिकतम आवंटन माना $\theta$ है। $\theta$ बन्दलूप के कोने पर $-\theta$ वाले नियतन में से न्यूनतम को शून्य के बराबर रखकर $\theta$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 2 \theta-\theta(7) & \multicolumn{2}{c}{\longleftarrow} & 5+\theta(8) & 5(0) \\ \hline \downarrow & & 15+\theta(12) \to & 25-\theta (6) \uparrow & \\ \hline & & \uparrow & & \\ \hline +\theta & 20(8) & 10-\theta(15) & \\ \hline \end{array} \\ \min (20-\theta, 25-\theta , 10-\theta)=0 \Rightarrow 10-\theta=0 \Rightarrow \theta=10$
इस प्रकार कोष्ठिका (3,3) में आवंटन शून्य हो जाता है अर्थात् यह खाली कोष्ठिका हो जाती है।नया आधारी हल निम्न सारणी में दर्शाया गया है।
$\begin{array}{c|ccccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \downarrow \\ \cline{2-6} & 10(7) & & & 15(8) & 5(0) \\ & & 25(12) & 15(6) & & &\\ \cline{2-6} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \longrightarrow & 10(5) & 20(8) \end{array}$
इस आधारी हल (B. F. S.) के लिए कुल परिवहन लागत
=10×7+15×8+5×0+25×12+15×6+10×5+20×8
=70+120+0+300+90+50+160
=790 रुपये
इस हल के इष्टतमत्व के परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|ccccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \downarrow \\ \cline{2-6} & *(7) & & & *(8) & *(0) & 0 \\ & & & *(12) & *(6) & & -2 \\ & *(5) & *(8) & & & & -2 \\ \cline{2-6} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \longrightarrow & 7 & 10 & 14 & 8 & \multicolumn{1}{c}{0} & \end{array} \\ C_{11}=u_1+v_1 \Rightarrow 7=0+v_1 \Rightarrow v_1=7 \\ C_{14}=u_1+v_4 \Rightarrow 8=0+v_4 \Rightarrow v_4=8 \\ C_{15}=u_1+v_5 \Rightarrow 0=0+v_5 \Rightarrow v_5=0 \\ C_{24}=u_2+v_4 \Rightarrow 6=u_2+8 \Rightarrow u_2=-2 \\ C_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 12=-2+v_3 \Rightarrow v_3=14 \\ C_{31}=u_3+v_1 \Rightarrow 5=7+v_1 \Rightarrow v_1=-2 \\ C_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 8=-2+v_2 \Rightarrow v_2=10$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j \right]=\left[\begin{array}{ccccc} * & 10 & 14 & * & * \\ 5 & 8 & * & * & -2 \\ * & * & 12 & 6 & -2 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{i j}\right]=\left[\begin{array}{ccccc} * & 10 & 14 & * & * \\ 7 & 11 & * & * & 0 \\ * & * & 15 & 9 & 0 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$
$\left[d_{i j}\right]=\left[c_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\=\left[\begin{array}{ccccc} * & 10 & 14 & * & * \\ 7 & 11 & * & * & 0 \\ * & * & 15 & 9 & 0 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccccc} * & 10 & 14 & * & * \\ 5 & 8 & * & * & -2 \\ * & * & 12 & 6 & -2 \end{array}\right] \\ \Rightarrow[d_{ij}] =\left[\begin{array}{lllll} * & 0 & 0 & * & * \\ 2 & 3 & * & * & 2\\ * & * & 3 & 3 & 2 \end{array}\right]$
चूँकि यहाँ मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ के सभी अवयव ऋणेतर हैं अतः उपर्युक्त आधारी इष्टतमत्व हल है।साथ ही $d_{12}=d_{13}=0$ इंगित करता है कि इसका वैकल्पिक इष्टतम हल भी विद्यमान है।अतः इस हल से प्राप्त कुल परिवहन लागत 790 इष्टतम है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स (3 Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) को समझ सकते हैं।

3 Tips of Vogel Approximation Method

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3.वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स (Frequently Asked Questions Related to 3 Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.परिवहन समस्याओं में अपभ्रष्टता की स्थिति कब उत्पन्न होती है? (When Does a Situation of Degeneracy Arise in Transportation Problems?):

उत्तर:परिवहन समस्याओं के हल ज्ञात करते समय कभी-कभी ऐसा हो जाता है कि सम्भावित हल के संगत सारणी में भरे हुए कोष्ठिकाओं की संख्या m+n-1 से कम रह जाती है।तब अपभ्रष्टता की स्थिति उत्पन्न हो जाती है।अपभ्रष्टता की स्थिति समस्या हल ज्ञात करने के प्रारम्भ में ही अथवा किसी पुनरुक्ति (iteration) के पश्चात उत्पन्न हो सकती है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स (3 Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) को समझ सकते हैं।

प्रश्न:2.परिवहन समस्याओं में अपभ्रष्टता की स्थिति को दूर कैसे करते हैं? (How Do You Overcome the Situation of Degeneracy in Transportation Problems?):

उत्तर:अपभ्रष्टता की स्थिति को दूर करने के लिए अथवा अधिक न्यूनतम लागत वाली खाली कोष्ठिकाओं का एक बहुत छोटी संख्या (शून्य के समीप) आवंटन इस प्रकार करते हैं कि भरी हुई कोष्ठिकाओं की संख्या m+n-1 हो जाए।वह स्वतन्त्र प्रविष्टियाँ होनी चाहिए।इस अत्यल्प धनात्मक राशि को प्रायः $\Delta$ Delta या $\epsilon$ (epsilon) से व्यक्त करते हैं और यह निम्न प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करती है।
(i) $0 < \Delta < x_{ij}$
(ii) $\Delta+0=\Delta=0+\Delta$
(iii) $x_{i j} \pm \Delta=x_{i j} \forall x_{i j}>0$
(iv)यदि हमें एक से अधिक $\Delta$ की आवश्यकता है तो इनको $\Delta, \Delta^{r} , \cdots$ से व्यक्त करते हैं।
(a)यदि $\Delta$ तथा $\Delta^{r}$ एक ही पंक्ति में हो तथा $\Delta < \Delta^{\prime}$ जब $\Delta , \Delta^{\prime}$ के बायीं (left) ओर लेते हैं।
(b)यदि $\Delta$ तथा $\Delta^{r}$ एक ही स्तम्भ में हों,तथा $\Delta < \Delta^{r}$ जब $\Delta , \Delta^{\prime}$ के ऊपर लेते हैं।
उक्त प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करने वाले $\Delta$ को प्रविष्ट करने पर स्वतन्त्र प्रविष्टियों की संख्या m+n-1 हो जाएगी तब समस्या का मूल हल अपरिवर्तित रहता है।

प्रश्न:3.परिवहन समस्याओं में रिक्त कोष्ठिका से क्या आशय है? (What Do You Mean by Empty Cell in Transportation Problems?):

उत्तर:जिस कोष्ठिका में नियतन नहीं है वह रिक्त कोष्ठिका (empty cell) कहलाती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स (3 Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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(3 Tips of Vogel Approximation Method)

वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स
(3 Tips of Vogel Approximation Method)

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वोगल सन्निकटन विधि की 3 टिप्स (3 Tips of Vogel Approximation Method) के द्वारा
परिवहन समस्याओं के सवालों को हल करके उनका अध्ययन करके समझने का प्रयास करेंगे।

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Satyam

About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.