Validating Statements Class 11
1.कथनों की वैधता को प्रमाणित करना कक्षा 11 (Validating Statements Class 11),कक्षा 11 में कथनों की वैधता को प्रमाणित करना (Validating Statements in Class 11):
कथनों की वैधता को प्रमाणित करना कक्षा 11 (Validating Statements Class 11) के इस आर्टिकल में ऐसे सवालों को हल करेंगे जिनमें कथनों की वैधता को प्रमाणित करना हो।
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2.कथनों की वैधता को प्रमाणित करना कक्षा 11 पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Validating Statements Class 11):
Illustration:1.सिद्ध कीजिए कि कथन यदि x एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि x^3+4 x=0 ,तो x=0
(i)प्रत्यक्ष विधि द्वारा (ii)विरोधोक्ति द्वारा (iii)प्रतिधनात्मक कथन द्वारा
Solution:(i).प्रत्यक्ष विधि द्वारा
\because x^3+4 x=0 \Rightarrow x\left(x^2+4\right)=0 \\ \therefore x=0 या x^2+4=0
परन्तु x^2+4 \neq 0, x \in R \\ \therefore x=0
(ii).विरोधोक्ति द्वारा
मानाकि x \neq 0 \quad \therefore \quad x=p \neq 0
\therefore p समीकरण x^3+4 x=0 का मूल है।
\Rightarrow p^3+4 p=0 \Rightarrow p\left(p^2+4\right)=0 \\ \therefore p=0 या p^2+4=0 \\ \therefore p^2+4=0 अतः p=0 विरोधात्मक है x \neq p के जो पूर्व निर्धारित है
\Rightarrow p=0 या x=0
(iii).प्रतिधनात्मक कथन द्वारा
मानाकि x=0 सत्य नहीं है
\because x \in R, x^2+4 \neq 0 तथा x \neq 0 \\ \therefore x\left(x^2+4\right) \neq 0
अतः x^3+4 x=0 का एक मूल x=0 है।
Illustration:2.प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि कथन “किसी भी ऐसी वास्तविक संख्याओं a और b के लिए,जहाँ a^2=b^2 ,का तात्पर्य है कि a=b” सत्य नहीं है।
Solution:प्रदत्त कथन यदि p, तो q” के रूप का है।हमें इसे असत्य सिद्ध करना है जिसके लिए हमें यह दर्शाना है कि ‘यदि p, तो ~q’ है।इसके लिए हमें किसी एक ऐसी वास्तविक संख्या को खोजना है जिनका वर्ग तो बराबर हो परन्तु वे आपस में बराबर नहीं हो।
अतः संख्या 3 व -3 एक प्रत्युदाहरण है (3)^2=(-3)^2 परन्तु 3 \neq-3 अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रदत्त कथन असत्य है।
Illustration:3.प्रतिधनात्मक विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है,
p: यदि x एक पूर्णांक है और x^2 सम है,तो x भी सम है।
Solution:माना कि x एक सम संख्या नहीं है।
\therefore x=2 n+1 \\ \Rightarrow x^2=(2 n+1)^2=4 n^2+4 n+1 \\ \Rightarrow x^2=2\left(2 n^2+2 n\right)+1
यह एक विषम संख्या है।अतः यदि q सत्य नहीं है,तो p भी सत्य नहीं है।अर्थात् दिया हुआ कथन सत्य है।
Illustration:4.प्रत्युपदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य नहीं है,
Illustration:4(i).p: यदि किसी त्रिभुज के कोण समान हैं,तो त्रिभुज एक अधिक कोण त्रिभुज है।
Solution:माना कि एक कोण 90+\theta है।चूँकि तीनों कोण समान हैं अतः त्रिभुज के तीनों कोणों का योग
=3(90+\theta) \\ =270+3 \theta
यह 180° के बराबर नहीं है।अतः त्रिभुज का कोई भी कोण अधिक कोण नहीं हो सकता।अर्थात् वह त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज नहीं हो सकता।
Illustration:4(ii).q:समीकरण x^2-1=0 के मूल 0 और 2 के बीच स्थित नहीं है।
Solution:प्रदत्त कथन ‘यदि p तो q के रूप का है।हमें इसे असत्य सिद्ध करना है जिसके लिए हमें यह दर्शाना है कि ‘यदि p तो है।इसके लिए हमें एक ऐसे मूल को खोजना है जो समीकरण का मूल 0 और 2 के बीच हो।संख्या 1 इस प्रकार का मूल है जो 0 और 2 के बीच है।अतः संख्या x=1 एक प्रत्युदाहरण है और हम निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रदत्त कथन असत्य है।
Illustration:5.निम्नलिखित कथनों में से कौन से सत्य हैं और कौन से असत्य हैं? प्रत्येक दशा में अपने उत्तर के लिए वैध कारण बतलाइए:
Illustration:5(i).p:किसी वृत्त की प्रत्येक त्रिज्या वृत्त की जीवा होती है।
Solution:असत्य।परिभाषा से स्पष्ट है कि जीवा वृत्त को दो भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर काटती है।
Illustration:5(ii).q:किसी वृत्त का केन्द्र वृत्त की प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित करता है।
Solution:असत्य।इसे एक प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।एक ऐसी जीवा जो व्यास नहीं है एक प्रत्युदाहरण है।
Illustration:5(iii).r:एक वृत्त, किसी दीर्घवृत्त की एक विशेष स्थिति है।
Solution:सत्य।यदि दीर्घवृत्त के समीकरण में a=b,रखा जाए तो वह वृत्त का समीकरण हो जाता है (प्रत्यक्ष विधि)।
Illustration:5(iv).s: यदि x और y ऐसे पूर्णांक है कि x>y, तो -x<-y है।
Solution:सत्य।असमिका के नियम द्वारा।
Illustration:5(v).t: \sqrt{11} एक परिमेय संख्या है।
Solution:असत्य।क्योंकि 11 एक अभाज्य संख्या है,इसलिए \sqrt{11} अपरिमेय है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कथनों की वैधता को प्रमाणित करना कक्षा 11 (Validating Statements Class 11),कक्षा 11 में कथनों की वैधता को प्रमाणित करना (Validating Statements in Class 11) को समझ सकते हैं।
3.कथनों की वैधता को प्रमाणित करना कक्षा 11 पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Validating Statements Class 11):
(1.)विरोधोक्ति द्वारा निम्नलिखित कथन को सत्यापित कीजिए ‘ \sqrt{3} एक अपरिमेय संख्या है।’
(2.)नीचे लिखे कथनों की वैधता की जाँच उनके सामने लिखित विधि द्वारा कीजिए:
(i)p: एक अपरिमेय संख्या और परिमेय संख्या का योगफल अपरिमेय होता है।(विरोधोक्ति विधि)।
(ii)q: यदि n एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि n>3 तो n^2 > 9 (विरोधोक्ति)।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कथनों की वैधता को प्रमाणित करना कक्षा 11 (Validating Statements Class 11),कक्षा 11 में कथनों की वैधता को प्रमाणित करना (Validating Statements in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.कथनों की वैधता को प्रमाणित करना कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Validating Statements Class 11),कक्षा 11 में कथनों की वैधता को प्रमाणित करना (Validating Statements in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.कथनों की वैधता ज्ञात करने की प्रक्रिया पर टिप्पणी लिखो। (Write a Note on Process of Ascertaining the Validity of the Statements):
उत्तर:नियम:1.p तथा q गणितीय कथन हैं,तो यह सिद्ध करने के लिए कि कथन “p और q” सत्य है,हम निम्नलिखित चरणों का अनुसरण करते हैं।
चरण:1.दर्शाइए कि कथन p सत्य है
चरण:2.दर्शाइए कि कथन q सत्य है
नियम:2.’संयोजक ‘या’ से प्रयुक्त’
यदि p और q गणितीय कथन हैं,तो कथन “p या q” को सत्य सिद्ध करने के लिए हम निम्नलिखित स्थितियों में से किसी एक को सत्य प्रमाणित करते हैं।
स्थिति 1 यह मानते हुए कि p असत्य है,q को अनिवार्यतः सत्य प्रमाणित कीजिए।
स्थिति 2 यह मानते हुए कि q असत्य है, p को अनिवार्यतः सत्य प्रमाणित कीजिए।
नियम:3.वाक्यांश “यदि-तो” से प्रयुक्त कथन
कथन ‘यदि p, तो q’ को सत्य सिद्ध करने के लिए हम निम्नलिखित स्थितियों में से किसी एक को सत्य प्रमाणित करते हैं।
स्थिति 1 यह मानते हुए कि p सत्य है,q को अनिवार्यतः सत्य प्रमाणित कीजिए (प्रत्यक्ष विधि)।
स्थिति 2 यह मानते हुए कि q असत्य है,p को भी अनिवार्यतः असत्य प्रमाणित कीजिए (प्रतिधनात्मक विधि)।
नियम:4.वाक्यांश (प्रतिबन्ध) “यदि और केवल यदि” से प्रयुक्त कथन
कथन “p, यदि और केवल यदि q” को सत्य सिद्ध करने के लिए हमें यह प्रमाणित करने की आवश्यकता है कि,
(i)यदि p सत्य है तो q सत्य है और (ii)यदि q सत्य है, तो p सत्य है।
प्रश्न:2.प्रतिधनात्मक कथन से किसी कथन को कैसे सिद्ध करते हैं? (How Do You Prove a Statement by Contrapositive Statement?):
उत्तर:कथन p \Rightarrow q को सिद्ध करने के लिए \sim q \Rightarrow \sim p सिद्ध कर देना पर्याप्त होता है,जो कि प्रदत्त कथन का प्रतिधनात्मक कथन है।
प्रश्न:3.विरोधोक्ति द्वारा कथन को कैसे सिद्ध करते हैं? (How to Prove a Statement by Contradiction?):
उत्तर:इस विधि में यह सिद्ध करने के लिए कि हमें कोई (प्रदत्त) कथन p सत्य है हम यह मान लेते हैं कि p सत्य नहीं है।अर्थात् ~p सत्य है।इस प्रकार हम एक निष्कर्ष पर पहुँचते हैं जो हमारी मान्यता (पूर्व धारणा) का खण्डन करता है।परिणामतः p को सत्य होना चाहिए।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कथनों की वैधता को प्रमाणित करना कक्षा 11 (Validating Statements Class 11),कक्षा 11 में कथनों की वैधता को प्रमाणित करना (Validating Statements in Class 11) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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कथनों की वैधता को प्रमाणित करना कक्षा 11
(Validating Statements Class 11)
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
