Examples of Mean and Mode Class 10
1.माध्य और बहुलक कक्षा 10 के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Examples of Mean and Mode Class 10),माध्यिका और बहुलक कक्षा 10 (Median and Mode Class 10):
माध्य और बहुलक कक्षा 10 के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Examples of Mean and Mode Class 10) के इस आर्टिकल में कुछ सवालों को हल करके माध्य,बहुलक और मध्यका ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.माध्य और बहुलक कक्षा 10 के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Examples of Mean and Mode Class 10):
Example:1.किसी कारखाने के 30 श्रमिकों का भार निम्न बारम्बारता बंटन द्वारा दर्शाया गया है।इनका माध्य ज्ञात कीजिए।
\begin{array}{|cccccc|} \hline \text{ भार (किग्रा में) } & \text{ श्रमिकों की संख्या } \\ \hline 40-44 & 5 \\ 44-48 & 6 \\ 48-52 & 5 \\ 52-56 & 9 \\ 56-60 & 3 \\ 60-64 & 1 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Mean (Assumed Mean A=50)
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{ भार (किग्रा में) } & \text{ मध्यमान } & \text{ श्रमिकों की संख्या } & & \\ & x_{i} & f_{i} & d_{i}=x_{i}-50 & f_{i} d_{i} \\ \hline 40-44 & 42 & 5 & 42-50=-8 & -40 \\ 44-48 & 46 & 6 & 46-50=-4 & -24 \\ 48-52 & 50 & 5 & 50-50=0 & 0 \\ 52-56 & 54 & 9 & 54-50=4 & 36 \\ 56-60 & 58 & 3 & 58-50=8 & 24 \\ 60-64 & 62 & 2 & 62-50=12 & 24 \\ \hline \text { Total } & & \Sigma f_{i}=30 & & \Sigma f_{i} d_{i}=20 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य (\overline{X})=A+\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} \\ =50+\frac{20}{30} \\ \approx 50+0.666 \\ \approx 50+0.67 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 50.67
Example:2.गणित की एक परीक्षा में 36 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का बंटन निम्नवत है:
\begin{array}{|cccccc|}\hline \text{ प्राप्तांक } & \text{ विद्यार्थियों की संख्या } \\ \hline 0-10 & 4 \\ 10-20 & 7 \\ 20-30 & 13 \\ 30-40 & 9 \\ 40-50 & 3 \\ \hline \end{array}
इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।साथ ही बहुलक और माध्य की तुलना कीजिए और इनकी व्याख्या कीजिए।
Solution:Calculation Table of Mean (Assumed Mean A=25)
\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{ प्राप्तांक } & \text{ विद्यार्थियों की संख्या } & \text{ मध्यमान } & & \\ & f_i & x_{i} & d_i=x_i-25 & f_i d_i \\ \hline 0-10 & 4 & 5 & -20 & -80 \\ 10-20 & 7 \rightarrow f_0 & 15 & -10 & -70 \\ 20-30 & 13 \rightarrow f_1 & 25 & 0 & 0 \\ 30-40 & 9 \rightarrow f_2 & 35 & 10 & 90 \\ 40-50 & 3 & 45 & 20 & 60 \\ \hline \text { Total } & \Sigma f_i=36 & & & \Sigma f_i d_i=0 \\ \hline \end{array}
बहुलक (Mode):
सर्वाधिक बारम्बारता 13 है।13 का संगत अन्तराल 20-30 है जो बहुलक वर्ग है।
l=20, f_0=7, f_1=13, f_2=9, h=30-20=10
अतः बहुलक (Z)=l+\left(\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0-f_2}\right) \times h \\ =20+\left(\frac{13-7}{2 \times 13-7-9}\right) \times 10 \\ =20+\frac{60}{26-16} \\ =20+\frac{60}{10} \\ \Rightarrow Z=20+6=26
समान्तर माध्य लघु विधि से (Arithmetic Mean by Short-cut Method):
समान्तर माध्य (\overline{X})=A+\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} \\ =25+\frac{0}{36} \\ \Rightarrow \overline{X}=25
अतः अधिकतम विद्यार्थियों का अंक 26 है तथा औसत के रूप में प्रत्येक विद्यार्थी ने 25 अंक प्राप्त किए हैं।
Example:3.किसी स्कूल की कक्षा X के 100 छात्रों के प्राप्तांक निम्न सारणी में दिए गए हैं।माध्यक अंक ज्ञात कीजिए।
\begin{array}{|ll|} \hline \text { प्राप्तांक } & \text{ छात्रों की संख्या } \\ \hline 30 \text { से कम } & 6 \\ 40 \text { से कम } & 26 \\ 50 \text { से कम } & 70 \\ 60 \text { से कम } & 96 \\ 70 \text { से कम } & 99 \\ 80 \text { से कम } & 100 \\ \hline \end{array}
Solution:माध्यक ज्ञात करने के लिए वर्ग अन्तराल और उनकी बारम्बारताओं में परिवर्तित करने पर:
Calculation Table of Median
\begin{array}{|ccc|} \hline \text{प्राप्तांक} & \text{ छात्रों की संख्या } & \text{ संचयी बारम्बारता } \\ & f_i & cf\\ \hline 20-30 & 6 & 6 \\ 30-40 & 26-6=20 & 26 \\ 40-50 & 70-26=44 & 70 \\ 50-60 & 96-70=26 & 96 \\ 60-70 & 99-96=3 & 99 \\ 70-80 & 100-99=1 & 100 \\ \hline \end{array} \\ \frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50
50 से अधिक संचयी बारम्बारता 70 है जिसका संगत वर्ग अन्तराल 40-50 है,अतः माध्यक वर्ग 40-50 होगा।
l=40,C=26,h=50-40=10,f=44
माध्यक (M)=l+\left(\frac{\frac{N}{2}-C}{f}\right) \times h \\ =40+\left(\frac{50-26}{44}\right) \times 10 \\ =40+\frac{240}{44} \\ \approx 40+5.45 \\\Rightarrow M \approx 45.45
Example:4.निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यक 525 है।यदि बारम्बारताओं का योग 100 है तो x और y के मान ज्ञात कीजिएः
\begin{array}{|cc|}\hline \text{ वर्ग अन्तराल } & \text{ बारम्बारता } \\ \hline 0-100 & 2 \\ 100-200 & 5 \\ 200-300 & x\\ 300-400 & 12 \\400-500 & 17 \\ 500-600 & 20 \\ 600-700 & y \\ 700-800 & 9 \\ 800-900 & 7 \\ 900-1000 & 4\\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Median
\begin{array}{|ccc|} \hline \text{ वर्ग अन्तराल } & \text{ बारम्बारता } & \text{ संचयी बारम्बारता } \\ & f & cf \\ \hline 0-100 & 2 & 2 \\ 100-200 & 5 & 7 \\ 200-300 & x & 7+x \\ 300-400 & 12 & 19+x \\ 400-500 & 17 & 36+x \\ 500-600 & 20 & 56+x \\ 600-700 & y & 56+x+y \\ 700-800 & 9 & 65+x+y \\ 800-900 & 7 & 72+x+y \\ 900-1000 & 4 & 76+x+y \\ \hline \text{Total} & 76+x+y & \\ \hline \end{array}
दिया है: \Sigma f=N=100
अतः 76+x+y=100 \\ \Rightarrow x+y=100-76 \\ \Rightarrow x+y=24 \cdots(1)
माध्यक 525 है जो वर्ग 500-600 में स्थित है इसलिए माध्यक वर्ग 500-600 है।
l=500,f=20,C=36+x,h=600-500=100
माध्यक (M)=l+\frac{\left(\frac{N}{2}-C\right)}{f} \times h \\ \Rightarrow 525=500+\left[ \frac{\frac{100}{2}-(36+x)}{20}\right] \times 100 \\ \Rightarrow 525=500+\left(\frac{50-36-x}{20}\right) \times 100 \\ \Rightarrow 525-500=(14-x) 5 \\ \Rightarrow 25=70-5 x \\ \Rightarrow 5 x=70-25 \\ \Rightarrow 5 x=45 \\ \Rightarrow x=\frac{45}{5} \\ \Rightarrow x=9
x का मान समीकरण (1) में रखने परः
9+y=24 \\ \Rightarrow y=24-9 \\ \Rightarrow y=15
अतः x=9 और y=15
Example:5.निम्न बारम्बारता बंटन से माध्यक ज्ञात कीजिएः
\begin{array}{|cc|} \hline \text{वर्ग} & f_i\\ \hline 0-10 & 2 \\ 10-20 & 6 \\ 20-30 & 10 \\ 30-40 & 17\\ 40-50 & 30\\ 50-60 & 15 \\ 60-70 & 10 \\ 70-80 & 10\\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Median
\begin{array}{|ccc|} \hline \text{ वर्ग } & \text{ बारम्बारता } & \text{ संचयी बारम्बारता } \\ x_i & f_i & cf \\ \hline 0-10 & 2 & 2 \\ 10-20 & 6 & 8 \\ 20-30 & 10 & 18 \\ 30-40 & 17 & 35 \\ 40-10 & 30 & 65 \\ 50-60 & 15 & 80 \\ 60-20 & 10 & 90 \\ 70-80 & 10 & 100 \\ \hline \text { Total } & 100 & \\ \hline \end{array}
50 से ठीक अधिक संचयी बारम्बारता 65 है जिसका संगत वर्ग-अन्तराल 40-50 है,अतः माध्यक वर्ग 40-50 होगा।
अतः l=40,C=35,f=30,h=50-40=10
माध्यक (M)=l+\left(\frac{\frac{N}{2}-C}{f}\right) \\ =40+\left(\frac{50-35}{30}\right) \times 10 \\ =40+\frac{15}{30} \times 10 \\ =40+5 \\ \Rightarrow M=45
Example:6.निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए:
\begin{array}{|cccccc|} \hline \text{वर्ग} & 0-20 & 20-40 & 40-60 & 60-80 & 80-100 \\ \text{बारम्बारता} & 3 & 15 & 24 & 8 & 5 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Mode
\begin{array}{|l|l|} \hline \text { वर्ग } & \text { बारम्बारता } \\ & (f) \\ \hline 0-20 & 3 \\ 20-40 & 15 \rightarrow f_0 \\ 40-60 & 24 \rightarrow f_1 \\ 60-80 & 8 \rightarrow f_2 \\ 80-100 & 5 \\ \hline \end{array}
सबसे अधिक बारम्बारता 24 है,अतः 24 के संगत वर्ग-अन्तराल 40-60 है।फलतः बहुलक वर्ग 40-60 होगा।
l=40, f_0=15, f_1=24, f_2=8, h=60-40=20
बहुलक (Z)=l+\left(\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0-f_2}\right) \times h \\ =40+\left(\frac{24-15}{2 \times 24-15-8}\right) \times 20 \\ =40+\left(\frac{9}{48-23}\right) \times 20 \\ =40+\frac{9}{25} \times 20 \\ =40+\frac{36}{5} \\ =40+7.2 \\ \Rightarrow Z=47.2
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा माध्य और बहुलक कक्षा 10 के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Examples of Mean and Mode Class 10),माध्यिका और बहुलक कक्षा 10 (Median and Mode Class 10) को समझ सकते हैं।
3.माध्य और बहुलक कक्षा 10 के महत्त्वपूर्ण उदाहरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Examples of Mean and Mode Class 10):
(1.)कक्षा X के 60 विद्यार्थियों के अंक निम्नवत हैं,माध्यक ज्ञात कीजिए।
\begin{array}{|cccccc|} \hline \text{ अंक } & 5-10 & 10-15 & 15-20 & 20-25 & 25-30 \\ \text{ विद्यार्थियों की संख्या } & 4 & 8 & 10 & 20 & 18 \\ \hline \end{array}
(2.)किसी मोहल्ले के एक शापिंग काॅम्प्लेक्स (shopping complex) की 30 दुकानों द्वारा अर्जित किए गए वार्षिक लाभों से निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त होता है।इसका माध्यक लाभ ज्ञात कीजिए।
\begin{array}{|ll|}\hline \text{ वर्ग अन्तराल } & \text{ दुकानों की संख्या } \\ \hline 5-10 & 2 \\ 10-15 & 12 \\ 15-20 & 2 \\ 20-25 & 4 \\ 25-30 & 3 \\ 30-35 & 4 \\ 35-40 & 3 \\ \hline \end{array}
उत्तर (Answers):(1.)माध्यक=22 अंक (2.)माध्यक=17.5 लाख रुपये
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर माध्य और बहुलक कक्षा 10 के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Examples of Mean and Mode Class 10),माध्यिका और बहुलक कक्षा 10 (Median and Mode Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.माध्य और बहुलक कक्षा 10 के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Examples of Mean and Mode Class 10),माध्यिका और बहुलक कक्षा 10 (Median and Mode Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.वर्गीकृत बारम्बारता बंटन से समान्तर माध्य ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the Formulas for Finding the Arithmetic Mean From Grouped Frequency Distribution):
उत्तर:(1.)कल्पित माध्य विधि (Assumed mean method) या संक्षेप विधि (Short-cut method)
समान्तर माध्य \overline{X}=A+\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}
जहाँ d_{i}=x_{i}-A , A=कल्पित माध्य
\sum f_i=N=बारम्बारताओं का योग
(2.)पद-विचलन विधि (Step-deviation method):
समान्तर माध्य (\overline{X})=A+\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \times h
जहाँ u_i=\frac{x_i-A}{h}
A=कल्पित माध्य
h=वर्ग माप
\sum f_i=N=बारम्बारताओं का योग
प्रश्न:2.वर्गीकृत बारम्बारता बंटन से माध्यक ज्ञात करने का सूत्र लिखो। (Write the Formula for Finding the Median From Grouped Frequency Distribution):
उत्तर:माध्यक (M)=l+\left(\frac{\frac{N}{2}-C}{f}\right) \times h
l=माध्यक वर्ग की निम्न सीमा
N=कुल बारम्बारता (\sum f_i)
C=माध्यक वर्ग से पूर्व वर्ग की संचयी बारम्बारता
h=माध्यक वर्ग का अन्तराल या वर्ग माप
f=माध्यक वर्ग की बारम्बारता
प्रश्न:3.वर्गीकृत बारम्बारता बंटन से बहुलक ज्ञात करने का सूत्र लिखो। (Write the Formula for Determining the Mode From the Grouped Frequency Distribution):
उत्तर:बहुलक (Z)=l+\left(\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0-f_2}\right) \times h
जहाँ l=बहुलक वर्ग की निम्न सीमा
f_1=बहुलक वर्ग की बारम्बारता
f_0=बहुलक वर्ग से ठीक पूर्व वर्ग की बारम्बारता
f_2=बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता
h=बहुलक वर्ग का अन्तराल
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा माध्य और बहुलक कक्षा 10 के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Examples of Mean and Mode Class 10),माध्यिका और बहुलक कक्षा 10 (Median and Mode Class 10) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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(Examples of Mean and Mode Class 10)
माध्य और बहुलक कक्षा 10 के महत्त्वपूर्ण उदाहरण
(Examples of Mean and Mode Class 10)
माध्य और बहुलक कक्षा 10 के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Examples of Mean and Mode
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ज्ञात करना सीखेंगे।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
