1.समान्तर माध्य के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Important Examples of Arithmetic Mean),कल्पित माध्य की सहायता से समान्तर माध्य कक्षा 10 (Arithmetic Mean Using Assumed Mean Class 10):

Important Examples of Arithmetic Mean

समान्तर माध्य के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Arithmetic Mean) के इस आर्टिकल में कल्पित माध्य की सहायता से बारम्बारता बंटन का समान्तर माध्य ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.समान्तर माध्य के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Arithmetic Mean):

निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य,कल्पित माध्य की सहायता से ज्ञात कीजिए (प्रश्न 1 से 3)
Example:1.
\begin{array}{|cc|} \hline \text{भार (किग्रा में)} &  \\ \hline 59.5-60.5 & 5 \\ 60.5-61.5 & 8 \\ 61.5-62.5 & 14 \\ 62.5-63.5 & 16 \\ 63.5-64.5 & 10 \\ 64.5-65.5 & 7 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean (A=63)

\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{भार (किग्रा में)} & x & \text{मजदूरों की संख्या} & \text{विचलन} & \\ &  & (f) & d=x-A & fd \\ \hline 59.5-60.5 & 60 & 5 & -3 & -15 \\ 60.5-61.5 & 61 & 8 & -2 & -16 \\ 61.5-62.5 & 62 & 14 & -1 & -14 \\ 62.5-63.5 & 63 & 16 & 0 & 0 \\ 63.5-64.5 & 64 & 10 & 1 & 10 \\ 64.5-65.5 & 65 & 7 & 2 & 14 \\ \hline \text { Total } & & 60 & & -21 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य
(\bar{x})=A+\frac{1}{N} \\ =63+\frac{1}{60} \times(-21) \\ =63-0.35 \\ \Rightarrow \bar{x}=62.65
Example:2.
\begin{array}{|cc|} \hline \text{खर्च (रुपयों में)} & \text{मजदूरों की संख्या}\\ \hline 100-150 & 24 \\ 150-200 & 40 \\ 200-250 & 33 \\ 200-300 & 28 \\ 300-350 & 30 \\ 350-400 & 22 \\ 400-450 & 16 \\ 450-500 & 7 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean (A=225)
\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{खर्च (रुपयों में)} & & & \text{विचलन} & \\ & x & f & d=x-A & fd \\ \hline 100-150 & 125 & 24 & -100 & -2400 \\ 150-200 & 175 & 40 & -50 & -2000 \\ 200-250 & 225 & 33 & 0 & 0 \\ 250-300 & 275 & 28 & 50 & 1400 \\ 300-350 & 325 & 30 & 100 & 3000 \\ 350-400 & 375 & 22 & 150 & 3300 \\ 400-450 & 425 & 16 & 200 & 3200 \\ 450-500 & 475 & 7 & 250 & 1750 \\ \hline \text { Total } & & 200 & & 8250 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य
(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d}{\Sigma f} \\ =225+\left(\frac{8250}{200}\right) \\ =225+41.25 \\ \Rightarrow \overline{X}=266.25
Example:3.
\begin{array}{|cc|} \hline \text{पानी पर खर्च (रुपयों में)} & \text{मकानों की संख्या} \\ \hline 15-20 & 7 \\ 20-25 & 5\\ 25-30 & 7 \\ 30-35 & 8\\ 35-40 & 9\\ 40-45 & 11 \\ 45-50 & 7\\ 50-55 & 5\\ 55-60 & 4\\ 60-65 & 4\\ 65-70 & 3\\ \hline\end{array}
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean (A=42.5)
\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{पानी पर खर्च (रुपयों में)} & \text{मकानों की संख्या} & \text{विचलन} & & \\ & x & (f) & d=x-A & fd \\ \hline 15-20 & 17.5 & 7 & -25 & -175 \\ 20-25 & 22.5 & 5 & -20 & -100 \\ 25-30 & 27.5 & 7 & -15 & -105 \\ 30-35 & 32.5 & 8 & -10 & -80 \\ 35-40 & 37.5 & 9 & -5 & -45 \\ 40-45 & 42.5 & 11 & 0 & 0 \\ 45-50 & 47.5 & 7 & 5 & 35 \\ 50-55 & 52.5 & 5 & 10 & 50 \\ 55-60 & 57.5 & 4 & 15 & 60 \\ 60-65 & 62.5 & 4 & 20 & 80 \\ 65-70 & 67.5 & 3 & 25 & 75 \\ \hline \text {Total} & & 70 & & -205 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य 
(\overline{X})=A+\frac{\sum f d}{N} \ =42.5+\frac{(-205)}{70} \\ \approx 42.5-2.928 \\ \approx 39.572 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 39.57
Example:4.कल्पित माध्य 25 मानकर निम्न बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए:
\begin{array}{|cc|} \hline \text{वर्ग} & f \\ \hline 0-10 & 6 \\ 10-20 & 10 \\ 20-30 & 13 \\ 30-40 & 7 \\ 40-50 & 4 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean (A=25)
\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{वर्ग} & & & \text{विचलन} & \\ & x & f & d=x-A & fd\\ \hline 0-10 & 5 & 6 & -20 & -120 \\ 10-20 & 15 & 10 & -10 & -100 \\ 20-30 & 25 & 13 & 0 & 6 \\ 30-40 & 35 & 7 & 10 & 70 \\ 40-50 & 45 & 4 & 20 & 80 \\ \hline \text { Total } & 40 & & & -70 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य
(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d}{\Sigma f} \\ =25+\frac{(-70)}{40} \\ =25-1.75 \\ \Rightarrow \overline{X}=23.25
Example:5.निम्नलिखित सारणी में एक शहर में एक विशेष वर्ग में एक रोग से पीड़ित रोगियों का आयु बंटन दिया गया है।प्रति रोगी औसत आयु (वर्षों में) ज्ञात कीजिए:
\begin{array}{|ll|} \hline \text{आयु (वर्षों में)} & \text{रोगियों की संख्या} \\ \hline 5-14 & 6 \\ 15-24 & 11 \\ 25-34 & 21 \\ 35-44 & 23 \\ 45-54 & 14 \\ 55-64 & 5 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean (A=39.5)
\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{आयु (वर्षों में)} & & \text{रोगियों की संख्या} & \text{विचलन} & \\ & x & (f) & d=x-A & fd \\ \hline 5-14 & 9.5 & 6 & -30 & -180 \\ 15-24 & 19.5 & 11 & -20 & -220 \\ 25-34 & 29.5 & 21 & -10 & -210 \\ 35-44 & 39.5 & 23 & 0 & 0 \\ 45-54 & 49.5 & 14 & 10 & 140 \\ 55-64 & 59.5 & 5 & 20 & 100 \\ \hline \text { Total } & & 80 & & -370 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य
(\overline{x})=A+\frac{\Sigma f d}{N} \\ =39.5+\frac{(-370)}{80} \\ =39.5-4.625 \\ =34.875 \\ \Rightarrow \overline{x} \approx 34.88

Important Examples of Arithmetic Mean

Example:6.निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से माध्य ज्ञात कीजिए:
\begin{array}{|cc|} \hline \text{वर्ग अन्तराल} & \text{बारम्बारता} \\ \hline 40-50 & 10 \\ 50-60 & 25 \\ 60-70 & 28 \\ 70-80 & 12 \\ 80-90 & 10 \\ 90-100 & 15 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean (A=65)
\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{वर्ग अन्तराल} & & \text{बारम्बारता} & \text{विचलन} & \\ & x & f & d=x-A & fd \\ \hline 40-50 & 45 & 10 & -20 & -200 \\ 50-60 & 55 & 25 & -10 & -250 \\ 60-70 & 65 & 28 & 0 & 0 \\ 70-80 & 75 & 12 & 10 & 120 \\ 80-90 & 85 & 10 & 20 & 200 \\ 90-100 & 95 & 15 & 30 & 450 \\ \hline \text{Total} & 100 & & & 320 \\ \hline \end{array}

समान्तर माध्य
(\overline{x}) =A+\frac{\Sigma f d}{\Sigma f} \\ =65+\frac{(320)}{100} \\ =65+3.20 \\ \Rightarrow \overline{x}=68.20
Example:7.नीचे सारणी में कुछ विशेष क्षेत्र के गाँवों की समुद्रतल से ऊँचाई दे रखी है।उस क्षेत्र की समुद्रतल से माध्य ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
\begin{array}{|cc|} \hline \text{ऊँचाई (मीटर में)} & \text{गाँवों की संख्या} \\ \hline 0-400 & 142 \\ 400-800 & 265 \\ 800-1200 & 560 \\ 1200-1600 & 271 \\ 1600-2000 & 89 \\ 2000-2400 & 16 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean (A=1000,h=400)
\begin{array}{|cccccc|} \hline \text{ऊँचाई (मीटर में)} & \text{गाँवों की संख्या} & & \text{विचलन} & \text{विचलन}  & \\ & x & f & d=x-A & u=\frac{x-A}{400} & fu\\ \hline 0-400 & 200 & 142 & -800 & -2 & -284 \\ 400-800 & 600 & 265 & -460 & -1 & -265 \\ 800-1200 & 1000 & 560 & 0 & 0 & 0 \\ 1200-1600 & 1400 & 271 & 400 & 1 & 271 \\ 1600-2000 & 1800 & 89 & 800 & 2 & 178 \\ 2000-2400 & 2200 & 16 & 1200 & 3 & 48 \\ \hline \text { Total } & & 1343 & & & -52 \\ \hline \end{array}
पद विचलन विधि से समान्तर माध्य
\overline{X}=A+\left(\frac{\Sigma fu}{\Sigma f}\right) \times h \\ =1000+\left(\frac{-52}{1343}\right) \times 400 \\ =10000-\frac{20800}{1343} \\ \approx 1000-15.488 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 984.512
Example:8.निम्न बारम्बारता बंटन पद विचलन विधि से समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए:
\begin{array}{|cc|}\hline \text{वर्ग अन्तराल} & \text{बारम्बारता} \\ \hline 0-10 & 7 \\ 10-20 & 10 \\ 20-30 & 15 \\ 30-40 & 8 \\ 40-50 & 10 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean (A=25 तथा h=10)
\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{वर्ग अन्तराल} & x & f & u=\frac{x-25}{10} & fu\\ \hline 0-10 & 5 & 7 & -2 & -14 \\ 10-20 & 15 & 10 & -1 & -10 \\ 20-30 & 25 & 15 & 0 & 0 \\ 30-40 & 35 & 8 & 1 & 8 \\ 40-50 & 40 & 10 & 2 & 20 \\ \hline \text { Total } & \sum f_i=50 & & & \sum f_{i} u_{i}=4 \\ \hline \end{array}
अतः समान्तर माध्य
(\overline{X})=A+\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \\ =25+\left(\frac{4}{50}\right) \times 10 \\ \Rightarrow \overline{X}=25.8 मीटर
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समान्तर माध्य के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Arithmetic Mean),कल्पित माध्य की सहायता से समान्तर माध्य कक्षा 10 (Arithmetic Mean Using Assumed Mean Class 10) को समझ सकते हैं।

3.समान्तर माध्य के महत्त्वपूर्ण उदाहरण के सवाल (Important Examples of Arithmetic Mean Questions):

Important Examples of Arithmetic Mean

(1.)निम्न बारम्बारता बंटन के लिए समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए:
\begin{array}{|cc|} \hline x & f \\ \hline 2.5-7.5 & 20 \\ 7.5-12.5 & 43 \\ 12.5-17.5 & 75 \\ 17.5-22.5 & 67 \\ 22.5-27.5 & 72 \\ 27.5-32.5 & 45 \\ 32.5-37.5 & 39 \\ 37.5-42.5 & 9 \\ 42.5-47.5 & 8 \\ 47.5-52.5 & 6 \\ \hline \end{array}
(2.)निम्न बारम्बारता बंटन 12 विद्यार्थियों के भारों को प्रदर्शित करता है:
\begin{array}{|cc|} \hline \text{भार (किग्रा में)} & \text{विद्यार्थियों की संख्या} \\ \hline 67 & 4 \\ 70 & 3 \\ 72 & 2 \\ 73 & 2 \\ 75 & 1 \\ \hline \end{array}
माध्य भार ज्ञात कीजिए।
Solution: (1.)\overline{X}=22.214 (2.) \overline{X}=70.25 किग्रा
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समान्तर माध्य के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Arithmetic Mean),कल्पित माध्य की सहायता से समान्तर माध्य कक्षा 10 (Arithmetic Mean Using Assumed Mean Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समान्तर माध्य के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Important Examples of Arithmetic Mean),कल्पित माध्य की सहायता से समान्तर माध्य कक्षा 10 (Arithmetic Mean Using Assumed Mean Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समान्तर माध्य के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Arithmetic Mean) के इस
आर्टिकल में कल्पित माध्य की सहायता से बारम्बारता बंटन का समान्तर माध्य ज्ञात करना सीखेंगे।