1.सांख्यिकी में प्रसामान्य बंटन (Normal Distribution in Statistics),प्रसामान्य बंटन (Normal Distribution):

Normal Distribution in Statistics

सांख्यिकी में प्रसामान्य बंटन (Normal Distribution in Statistics) के इस आर्टिकल में प्रसामान्य बंटन और प्वाॅयसन बंटन पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सांख्यिकी में प्रसामान्य बंटन के उदाहरण (Normal Distribution in Statistics Illustrations):

Illustration:26(ii).यह मानते हुए कि 80 बच्चों में से एक जन्म जुड़वाँ बच्चों का होता है,किसी नगर में 30 जन्मों में से 2 या 2 से अधिक जुड़वाँ बच्चों के समुच्चयों की प्रायिकता का परिगणन कीजिए-(क)द्विपद बंटन,व (ख)प्वाॅयसाँ बंटन का प्रयोग करते हुए परिणामों की तुलना कीजिए।
(Assuming that one is 80 births is a case of twins,calculate the probability of 2 or more sets of twins in a certain town on a day when 30 births occur compare the results obtained by (a)the binomial series, (b)Poisson approximation.)
Solution:(क)एक बच्चा जुड़वाँ होने की प्रायिकता p=\frac{1}{80}
जुड़वां बच्चा न होने की प्रायिकता q=1-\frac{1}{80} \\ q=\frac{79}{80}
द्विपद बंटन के अनुसार=1-\left[p_{(0)}+p_{(1)}\right] \quad 29 \\ =1-\left[\left(\frac{79}{80}\right)^{30}+{}^{30} C_{1}\left(\frac{79}{80}\right)^{29}\left(\frac{1}{80}\right)\right] \\ =1-\left[\left(\frac{79}{80}\right)^{30}+30\left(\frac{79}{80}\right)^{29}\left(\frac{1}{80}\right)\right] \\ \approx 1-[0.6857+0.2604] \\ \approx 1-0.9461 \\ \approx 0.0539
(ख)प्वाॅयसन बंटन के अनुसार
m=n p=30 \times \frac{1}{80}=\frac{3}{8}
2 या 2 से अधिक बच्चे जुड़वां होंगे
x=0 के लिए p(x)=e^{-m} \frac{m^x}{x!}\\ \Rightarrow p_{(0)}=e^{-\frac{3}{8}} \frac{\left(\frac{3}{8}\right)^0}{0!}=0.6872 \\ p_{(1)}=e^{-\left(\frac{3}{8}\right)} \frac{\left(\frac{3}{8}\right)^{1}}{1!} \\ \approx 0.6872 \times 0.375=0.2577
\Rightarrow जब x \geq 2 तो p(x)=1-[p_{(0)}+p_{(1)}] \\ \approx 1-(0.6872+0.2577) \\ \approx 1-0.9449 \\ p(x) \approx 0.0551 \\ \Rightarrow p(x) \approx 0.055
Illustration:27.टेलीविजन मरम्मत करने के एक कारखाने के मालिक को यह ज्ञात है कि TV सेट की मरम्मत करने के लिए इन्जीनियरों की माँग प्रतिदिन औसतन 1.5 है और उस पर प्वाॅयसाँ बंटन लागू होता है।वह दो इन्जीनियर नियुक्त करता है:(i)एक वर्ष के कितने दिनों में दोनों इन्जीनियर खाली रहेंगे? (ii)कितने दिन कुछ माँग अस्वीकार कर दी जाती है? यदि प्रत्येक इन्जीनियर बराबर-बराबर दिनों तक काम करता है तो-(iii)एक वर्ष में कितने दिन एक इन्जीनियर कार्य करता है;(iv)मरम्मत के लिए माँगों का वह अनुपात भी परिकलित कीजिए जिसे अस्वीकृत करना पड़ता है। (एक वर्ष में 360 दिन मानिए)
(The proprietor of a TV servicing unit knows that the number of calls for TV services engineers per day is distributed as a Poisson distribution with mean 1.5.He appoints two engineers. (i)For how many days during the year will both engineers remain idle? (ii)For how many days is some demand refused? If each engineer works for equal number of days; (iii)how many days in a year does one engineer work? Also calculate the proportion of calls for TV service which have to be refused.(Assume 360 working days in a year).
Solution:समान्तर माध्य m=1.5
इन्जीनियरों की माँग प्वाॅयसन बंटन के अनुसार है:
P(x)=e^{-m} \cdot \frac{m^x}{x!}
(i)इन्जीनियर खाली रहेंगे जब कोई भी माँग न आए अर्थात् 0 माँग हो
‘शून्य’ मांग की प्रायिकता p_0=e^{-1.5}=0.2231
अतः एक वर्ष में दिनों की संख्या =360 \times 0.2231 \\ \approx 80.316 \\ \approx 80.3 days
(ii)उन दिनों का अनुपात जब माँग अस्वीकार की गई:
माँग अस्वीकार तब की जाएगी जब एक दिन में 2 से अधिक माँगों की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए 0,1 और 2 की प्रायिकताओ के जोड़ को 1 में से घटा दिया जाएगा
p(>2)=1-\left[p_0+p_1+p_2\right] \\ =1-\left[e^{-m}+e^{-m} \cdot m+e^{-m} \cdot \frac{m^2}{2!}\right] \\ =1-\left[e^{-1.5}+e^{-1.5} \times 1.5+e^{-1.5} \cdot \frac{(1.5)^2}{2}\right] \\ =1-\left[ 0.2231+0.2231 \times 1.5+0.2231 \times \frac{2.25}{2}\right] \\ \approx 1-[0.2231+0.33465+0.25098] \\ \approx 1-0.808 .73 \\ \approx 0.19127
अतः एक वर्ष में दिनों की संख्या =360 \times 0.19127\\ \approx 68.8572 \\ \approx 68.9 days
(iii)एक इन्जीनियर के एक वर्ष में कार्य करने का अनुपात ज्ञात करने के लिए दोनों के खाली रहने के अनुपात और केवल एक के खाली रहने के अनुपात के जोड़ को 1 में से घटाया जाएगा अर्थात् =1-\left[p_0+\frac{1}{2} p_1\right] \\ =1-\left[e^{-1.5}+\frac{1}{2} e^{-1.5} \times 15\right] \\ \approx 1-\left[0.2231+\frac{0.2231 \times 1.5}{2}\right] \\ \approx 1-[0.2231+0.167325] \\ \approx 1-0.3904 \\ \approx 0.6096
अतः एक इन्जीनियर के एक वर्ष में कार्य करने के दिनों की संख्या= 360 \times 0.6836 \\ \approx 219.456 \\ \approx 219.5 days
(iv)अस्वीकृत माँगों का अनुपात:यह निकालने के लिए सर्वप्रथम पूरा प्वाॅयसन बंटन (जिससे \Sigma p(x) \approx 1 हो) लिखना होगा।
\begin{array}{|cccc|} \hline \\ \text{ दैनिक माँग } & \text{परिकलन} & \text{दिनों का } & \text{संचयी योग} \\ x & & \text{अनुपात} P(x) &  \\ \hline 0 & e^{-1.5}=0.2231 & 0.2231 & 0.2231 \\ 1 & P_{(0)} \times m=0.2231 \times 1.5 & 0.3346 & 0.5577 \\ 2 & P_{(1)} \times \frac{m}{2}=0.3346 \times \frac{1.5}{2} & 0.2510 & 0.8087 \\ 3 & P_{(2) }\times \frac{m}{3}=0.2510 \times \frac{1.5}{3} &0.1255 & 0.9342 \\ 4 & P_{(3)} \times \frac{m}{4}=0.1255 \times \frac{1.5}{4} & 0.0471 & 0.9813 \\ 5 & P_{(4)} \times \frac{m}{5}=0.0471 \times \frac{1.5}{5} & 0.0141 & 0.9354 \\ 6 & P_{(5)} \times \frac{m}{6}=0.0141 \times \frac{1.5}{6} & 0.0035 & 0.9589 \\7 & P_{(6)} \times \frac{m}{7}=0.0035 \times \frac{1.5}{7} & 0.0008 & 0.9997 \\ 8 &P_{(7)} \times \frac{m}{8}=0.0008 \times \frac{1.5}{8} & 0.0002 & 0.9999 \approx 1 \\ \hline \end{array}
परिगणन की सुविधा के लिए कुल 1000 दिन (N=1000) मानकर प्रत्याशित आवृत्तियाँ ज्ञात कर ली जाएँगी।
\begin{array}{|cccccc|} \hline \\ \text{दैनिक मांग} & \text{प्रायिकता} & \text{दिनों की संख्या} & \text{कुल माँग} & \text{स्वीकृत माँग} & \text{अस्वीकृत माँग} \\ \text{(संख्या)} & & \text{(प्रति हजार दिन)} & & \text{(संख्या)} & \text{(संख्या)} \\ x & P(x) & f_{e} =[N.P(x)] & x \times f_{e} & & \\ \hline 0 & .2231 & 223 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & .3346 & 335 & 335 & 335 & 0 \\ 2 & .2510 & 251 & 502 & 501 & 0 \\ 3 & .1255 & 126 & 378 & 252 & 126 \\ 4 & .0471 & 47 & 188 & 94 & 94 \\ 5 & .0141 & 14 & 70 & 28 & 42 \\ 6 & .0035 & 3 & 18 & 6 & 12 \\ 7 & .0008 & 1 & 7 & 2 & 5 \\ 8 & .0002 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text { Total } & \approx 1.0 & 1000 & 1498 & 1218 & 279 \\ \hline \end{array}
अस्वीकृत माँग का अनुपात=\frac{\text{अस्वीकृत माँग}}{\text{कुल माँग}} \\ =\frac{279}{1498}=0.186
Illustration:28(i)एक विश्वविद्यालय में एम०काॅम० की एक कक्षा में 100 विद्यार्थी थे।एक परीक्षा में उनके माध्य अंक 40 और प्रमाप विचलन 5 था।बताइए 30 और 40 के बीच अंक पाने वाले कितने विद्यार्थी होंगे? [(दोनों ओर) के क्षेत्रफल की प्रायिकता .9544 है]।
(In a test conducted in a university,it was found that in a class of 100 students of M. Com., the mean marks obtained were 40 with a standard deviation of 5 marks. Find the number of students getting marks between 30 and 40.The probability of area lying between \overline{X}\pm 2 \sigma (both sides) is 0.9544 )
Solution: \overline{X}=40, \sigma=5
30 और 40 के बीच क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
Z=\frac{X-\overline{X}}{5} ; z_1=\frac{30-40}{5}=-2 \\ z_2=\frac{40-40}{5}=0
-2 और 0 के मध्य क्षेत्रफल=0.4772 या 47.72%
अतः 30 और 40 के मध्य 47.7% या 48% विद्यार्थी हैं।
Illustration:28(ii).सिपाहियों की औसत ऊँचाई 68.22″ है और प्रसरण 10.8″।1000 सिपाहियों के दल में कितने सिपाहियों के आप 6 फिट से अधिक लम्बा होने की प्रत्याशा करते हैं?
(If the mean height is 68.22 inches with a variance of 10.8 inches, how many soldiers in a regiment of 1000 can be expected to be over 6 ft. fail?)
Solution: \overline{X}=68.22^{\prime \prime}, \sigma^2=10.8^{\prime \prime}
X=6 फिट=12″×6=72″
Z=\frac{X-\overline{X}}{\sigma}=\frac{72-68 \cdot 22}{\sqrt{10.8}} \\ =\frac{3.78}{\sqrt{10.8}} =1.15
Z=+1.15 तक क्षेत्रफल=0.3749
दाहिने अर्द्ध-भाग का क्षेत्रफल=0.5000
Z=+1.15 से अधिक भाग वाले भाग का क्षेत्रफल=0.5000-0.3749=0.1251
अतः 1000 सिपाहियों में 6 फीट से लम्बा होने की प्रत्याशा=0.1251×1000=125.1
Illustration:29.एक विश्वविद्यालय सर्वेक्षण से ज्ञात हुआ कि 1000 स्नातकोत्तर विद्यार्थियों की औसत आयु 20 वर्ष थी और प्रमाप विचलन 2 वर्ष।18-24 वर्षों की आयु वाले विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(A survey conducted in a university revealed that the average age of the 1000 P.G. students was 20 years with a s.d. of 2 years.Estimate the number of students in age-group 18-24 years. (Given: area within \overline{X} \pm \sigma=0.34134 (one side), \overline{X} \pm 2 \sigma =0.47725, \overline{X} \pm 3 \sigma=0.49865)
Solution: \overline{X}=20 वर्ष , \sigma=2 वर्ष
Z=\frac{X-\overline{X}}{\sigma} ; z_1=\frac{18-20}{2}=-1
-1 से माध्य कोटि (0) तक का क्षेत्रफल=0.34134
Z_{2}=\frac{24-20}{2}=2
0 से 2 तक का क्षेत्रफल=.47725
Z_1=-1 से Z_2=+2 तक का क्षेत्रफल=0.34134+0.47725=0.81859
अतः 18 से 24 वर्षों की आयु वाले विद्यार्थियों की संख्या=0.81859×1000=818.59
=819

Normal Distribution in Statistics

Illustration:30.एक कम्पनी द्वारा निर्मित 20,000 बल्बों का परीक्षण करने पर यह ज्ञात हुआ कि बल्ब का जीवन-क्रम प्रसामान्य रूप से बंटित है जिसका माध्य 2040 घण्टे और प्रमाप विचलन 60 घण्टे है।उक्त सूचना के आधार पर ऐसे बल्बों की संख्या अनुमानित कीजिए जो (क)2150 घण्टों से अधिक जलें, और (ख) जो 1960 घण्टों से कम के लिए जलें-
(As a result of tests on 20,000 electric bulbs manufactured by a company it was found that the lifetime of the bulb was normally distributed with an average life of 2040 hours and s.d. of 60 hours. On the basis of above information estimate the numbers of the bulbs that are expected to burn for (a)more than 2150 hours, and (b)less than 1960 hours. Area under the normal curve-

\begin{array}{|ll|} \hline Z & \text{Area} \\ \hline 1.23 & 0.3917 \\ 1.33 & 0.4082 \\ 1.43 & 0.4236 \\ 1.63 & 0.4484 \\ 1.73 & 0.4582 \\ 1.81 & 0.4664 \\ \hline \end{array}
Solution: \overline{X}=2040, \sigma=6.0
(क)X=2150
Z=\frac{X-\overline{X}}{\sigma}=\frac{2150-2040}{60} \\ \Rightarrow Z=\frac{110}{60}=1.833
माध्य कोटि से +1.833 तक का क्षेत्रफल=0.4664
दाहिने अर्द्ध भाग का क्षेत्रफल=0.5000
Z=+1.833 से अधिक जलने वाले भाग का क्षेत्रफल
=0.5000-0.4664=0.0336
2450 घण्टों से अधिक जलने वाले बल्बों की संख्या= 0.0336×20,000=672
(ख)X=1960
Z=\frac{X-\overline{X}}{\sigma}=\frac{1960-2040}{60} \\ \Rightarrow Z=\frac{-80}{60}=-1.3333
-1.333 से माध्य कोटि तक का क्षेत्रफल=0.4082
बायीं ओर के अर्द्ध-भाग का क्षेत्रफल=0.5000
Z=-1.333 से कम वाले भाग का क्षेत्रफल= 0.5000-0.4082=0.0918
1960 घण्टों से कम जलने वाले बल्बों की संख्या=0.0918×20,000=1836
Illustration:31.एक कम्पनी द्वारा उत्पादित इस्पात की छड़ों का समान्तर माध्य 10 मीटर और प्रमाप विचलन 20 सेन्टीमीटर है।एक ठेकेदार ने 10,000 छड़ें खरीदी हैं।बतलाइए इसमें से कितनी छड़ों के 9.76 मीटर से छोटी होने की संभावना है।अपने उत्तर के लिए यह मानिए कि छड़ों की लम्बाई प्रसामान्य रूप से वितरित है और प्रसामान्य वक्र में माध्य और माध्य से \left(\frac{X-\bar{X}}{\sigma}\right) दूरी के बीच क्षेत्रफल बताने वाली सारणी के निम्न अंश का उपयोग कीजिए:
(The mean length of steel bars produced by a company is 10 meters with a standard deviation of 20 centimeters 10,000 bars are purchased by a building contractor.How many of these bars are expected to be shorter than 9.76 meters in length? For your answer assume that the lengths of steel bars are normally distributed and use the following extract from the table of areas from mean to a distance of \left( \frac{X-\bar{X}}{\sigma}\right) from mean under the normal curves):

\begin{array}{|ll|} \hline \left(\frac{X-\bar{X}}{\sigma}\right) & \text { Area } \\ \hline 1.15 & 0.3749 \\ 1.20 & 0.3849 \\ 1.25 & 0.3944 \\ 1.30 & 0.4032 \\ \hline \end{array}
Solution: X=9.76 मीटर, \overline{X}=10 मीटर , \sigma= 0.2 मीटर 
Z=\frac{X-\overline{X}}{\sigma} \\ =\frac{9.76-10}{0.20}=-\frac{0.24}{0.20} \\ Z \approx -1.2
माध्य कोटि से -1.2 तक का क्षेत्रफल=0.3849
अतः आरम्भ से Z=-1.2 तक का क्षेत्रफल=0.5000-0.3849=0.1151
इस प्रकार 9.76 मीटर से कम लम्बाई की छड़ों का अनुपात 0.1151 है और उनकी संख्या=0.1151×10,000=1151
Illustration:32.एक प्रसामान्य बंटन में 7% मदों का मूल्य 35 से कम और 89% मदों का मूल्य 63 से कम है।इस बंटन का माध्य तथा प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए।
In a normal distribution, 7% of the items have values under 35 and 89% of the items have values under 63.Find the mean and standard deviation of the distribution.
(In a normal distribution the area between the mean and X=1.4757 is 0.43 and the area between the mean and X=1.2263 is 0.39.)
Solution:7% मद 35 से कम मूल्य के है अर्थात् 35 पर स्थित कोटि के बाईं ओर का क्षेत्रफल 0.07 है।इसलिए माध्य कोटि से 35 पर स्थित कोटि का क्षेत्रफल 0.50-0.07=0.43 है।जिससे सम्बद्ध Z का मान -1.4757 है।
Z=\frac{X-\overline{X}}{\sigma}=\frac{35-\overline{X}}{\sigma}=-1.4757 \\ \Rightarrow 35-\overline{X}=-1.4757 \sigma \cdots(1)
89% मूल्य 63 से कम है अतः माध्य कोटि से 63 तक का क्षेत्रफल=0.89-0.50=0.39 है।
इससे सम्बन्धित Z का मूल्य -1.2263 है।माध्य कोटि बायीं ओर होने के कारण ये ऋणात्मक हैं।
Z=\frac{63-\overline{X}}{\sigma}=-1.2263 \\ 63-\overline{X}=-1.2263 \sigma
(1) को (2) में से घटाने पर:
63-35=-1.2263 \sigma+1.4757 \sigma \\ \Rightarrow 28=0.2494 \sigma \\ \Rightarrow \sigma=\frac{28}{0.2494} \approx 112.269 \\ \sigma का मान (1) में रखने परः
35-\overline{X}=-1.4757 \times 112.269 \\ \Rightarrow \overline{X}=35+165.675 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 200.68
Illustration:33.निम्न सारणी निश्चित सीमाओं में एक चर x की आवृत्तियाँ प्रस्तुत करती है।बंटन प्रसामान्य है।x के माध्य और प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए। (x=30  और x=40 के मध्य की आवृत्तियाँ निकालिए)।
(The following table gives frequencies of occurrence of a variate x between certain limit. The distribution is normal. Find the average and s.d. of x. (Also calculate the frequencies following between x=30 and x=40 and between x=50 and x=60):

\begin{array}{|ll|} \hline \text{variate x} & \text{frequencies} \\ \text{ Less than 40 } & 30 \\ \text{40 or more but less than 50} & 33 \\ \text{50 and more} & 37 \\ \hline \end{array}
Solution:30% मद 40 से कम मूल्य के हैं अर्थात् 40 पर स्थित कोटि के बाईं ओर का क्षेत्रफल 0.30 है।इसलिए माध्य कोटि से 40 पर स्थित कोटि का क्षेत्रफल 0.50-0.30=0.20 है।जिससे सम्बद्ध Z का मान -0.53 है।
Z=\frac{X-\overline{X}}{\sigma}=\frac{40-\overline{X}}{\sigma}=-0.53 \\ \Rightarrow 40-\overline{X}=-0.53 \sigma \cdots(1)
37% मूल्य 50 से अधिक है अतः माध्य कोटि से 50 तक का क्षेत्रफल=0.50-0.37=0.13 है।इससे सम्बन्धित Z का मूल्य +0.34 है।माध्य कोटि दाहिनी ओर होने के कारण यह धनात्मक है।
Z=\frac{50-\overline{X}}{\sigma}=+0.34 \\ \Rightarrow 50-\overline{X}=+0.34 \sigma \cdots(2)
(2) में से (1) घटाने पर:
10=0.87 \sigma \\ \Rightarrow \sigma=\frac{10}{0.87} \approx 11.49
\sigma का मान (1) में रखने पर:
\Rightarrow 40-\overline{X}=-0.53 \times 11.49 \\ \Rightarrow \overline{X}=40+6.0897 \approx 46.09 \\ Z_1=\frac{30-46.09}{11.49} \approx \frac{-16.09}{11.49} \approx-1.4708 \\ Z_2=\frac{40-46.09}{11.49} \approx \frac{-6.09}{11.49} \approx-0.5300 \\ Z_1 =-1.4708 का क्षेत्रफल=0.4192
Z_2=-0.5300 का क्षेत्रफल=0.2019
Z_1=-1.4708 और Z_2=-0.53 के बीच का क्षेत्रफल=0.4192-0.2019=0.2173=21.73%
Z_1=\frac{50-46.09}{11.49} \approx \frac{3.91}{11.49} \approx 0.3402 \\ Z_2=\frac{60-46.09}{11.49} \approx \frac{13.91}{11.49} \approx 1.2106
Z_1=0.3402 का क्षेत्रफल=0.1331
Z_2=1.2106 का क्षेत्रफल=0.38369
Z_1=0.3402 और Z_2=1.2106 के बीच का क्षेत्रफल
=0.3869-0.1331=0.2538=25.38%
,21.73% तथा 25.38%
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में प्रसामान्य बंटन (Normal Distribution in Statistics),प्रसामान्य बंटन (Normal Distribution) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में प्रसामान्य बंटन की समस्याएँ (Normal Distribution in Statistics Problems):

Normal Distribution in Statistics

(1.)एक कम्पनी द्वारा उत्पादित इस्पात की छड़ों का समान्तर माध्य 10 मीटर एवं प्रमाप विचलन 20 से०मी० है।एक ठेकेदार ने 5000 छड़ें खरीदी है।बताइए इनमें से कितनी छड़ों के 9.75 से छोटी होने की संभावना है।अपने उत्तर के लिए यह मान लीजिए कि इस्पात की छड़ों की लम्बाई प्रसामान्य रूप से फैली हुई है तथा प्रसामान्य वक्र में माध्य और माध्य से \frac{(X-\overline{X})}{\sigma} दूरी के बीच क्षेत्रफल बताने वाली सारणी के निम्न उद्धहरण का उपयोग कीजिए:

\begin{array}{|ll|} \hline \frac{(X-\overline{X})}{\sigma} & \text{Area} \\ 1.10 & .3643 \\ 1.15 & .3749 \\ 1.20 & .3849 \\ 1.25 & .3944 \\ 1.30 & .4032 \\ \hline \end{array}
(2.)एक परीक्षा में बैठने वाले 1000 विद्यार्थियों के औसत प्राप्तांक 34.4 और प्रमाप विचलन 16.6 है।प्रसामान्य बंटन मानते हुए यह बताइए कि 30 और 60 के बीच अंक पाने वाले कितने छात्र होंगे।केन्द्रीय 70% छात्रों के प्राप्तांकों की सीमाएँ निर्धारित कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)528 (2.)30 से 60 के मध्य अंक पाने वालों की संख्या=543
मध्य के 70% विद्यार्थियों के प्राप्तांक 17.2 (17) और 51.6 (52) के बीच होंगे।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में प्रसामान्य बंटन (Normal Distribution in Statistics),प्रसामान्य बंटन (Normal Distribution) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में प्रसामान्य बंटन (Frequently Asked Questions Related to Normal Distribution in Statistics),प्रसामान्य बंटन (Normal Distribution) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

सांख्यिकी में प्रसामान्य बंटन (Normal Distribution in Statistics) के इस आर्टिकल में प्रसामान्य
बंटन और प्वाॅयसन बंटन पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।