1.नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स (3 Tips to Solve Assignment Problems),इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन समस्याएं (Assignment Problems in Optimization Theory):

3 Tips to Solve Assignment Problems

नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स (3 Tips to Solve Assignment Problems) के इस आर्टिकल में यात्री विक्रय प्रतिनिधि समस्या तथा हवाई लाइन में उड़ानों के मध्य अवकाश न्यूनतम होने सम्बन्धी समस्याओं को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स के साधित उदाहरण (3 Tips to Solve Assignment Problems Solved Illustrations):

Illustration:21.एक कम्पनी के पास 4 क्षेत्र तथा 4 विक्रेता उपलब्ध है।विक्रय क्षमता के दृष्टिकोण से क्षेत्र समान रूप से समृद्ध नहीं है।यह अनुमान लगाया गया कि विशेष विक्रेता प्रत्येक क्षेत्र में निम्न बिक्री कर सकता है:
\begin{array}{|lcccc|} \hline \text { क्षेत्र } & A & B & C & D \\ \text { वार्षिक बिक्री } & 1,26,000 & 1,05,000 & 84,000 & 63,000 \\ \hline \end{array}
चारों विक्रेताओं की क्षमता भी भिन्न-भिन्न है तथा समान परिस्थितियों में उनकी वार्षिक बिक्री के अनुसार निम्न अनुपात के अनुसार है:
\begin{array}{|lllll|} \hline \text { विक्रेता : } & P & Q & R & S \\ \text { अनुपात: } & 7 & 5 & 5 & 4 \\ \hline \end{array}
यदि ध्येय कुल वार्षिक बिक्री को अधिकतम करना हो,तो किस विक्रेता को किस क्षेत्र में नियुक्ति देनी चाहिए।
(A company has four zones and four salesman available for assignment.The zones are not equally rich in their sale potentials.It is estimated that a typical operating in each zone would bring in the following annual sales:

\begin{array}{|lllll|} \hline \text { zone : } & A & B & C & D \\ \text { Annual sales: } & 1,26,000 & 1,05,000 & 84,000 & 63,000 \\ \hline \end{array}
The four salesman are also considered to differ in ability it is estimated that working under the same conditions their yearly sales would be proportionately as follows

\begin{array}{|ccccc|} \hline \text { Salesman } & P & Q & R & S \\ \text { Ratio } & 7 & 5 & 5 & 4 \\ \hline \end{array}
If the criterion is maximum expected total sales.find the optimal assessment.)
Solution:सर्वप्रथम प्रभाविता (Effective) मैट्रिक्स का निर्माण करते हैं।चारों विक्रेताओं को बिक्री की बिक्री के अनुपातों का योग=7+5+5+4=21 की बिक्री को बिक्री की इकाई लेते हुए चारों विक्रेताओं की चारों क्षेत्रों की बिक्री होगी:
P के लिए \frac{7}{21} \times 126=882, \frac{7}{21} \times 105=735, \frac{7}{21} \times 84=588, \frac{7}{21} \times 63=441
Q के लिए \frac{5}{21} \times 126=630, \frac{5}{21} \times 105=525, \frac{5}{21} \times 84=420, \frac{5}{21} \times 63=315
R के लिए \frac{5}{21} \times 126=630, \frac{5}{21} \times 105=525, \frac{5}{21} \times 84=420, \frac{5}{21} \times 63=315
S के लिए \frac{4}{21} \times 126=504, \frac{4}{21} \times 105=420, \frac{4}{21} \times 84=336, \frac{4}{21} \times 63=252
भिन्नों से बचने के लिए हम चारों क्षेत्रों की 21 वर्षों की बिक्री लेते हैं तब चारों विक्रेताओं की बिक्री निम्नानुसार होगी:
\begin{array}{|ccccc|} \hline \text { P के लिए } & 882 &735 & 588 & 441 \\ \text { Q के लिए } & 630 & 525 & 420 & 315 \\ \text { R के लिए } &630 & 525 & 420 & 315 \\ \text { S के लिए } & 504 & 420 & 336 & 252 \\ \hline \end{array}
यहाँ समस्या विक्रेताओं का नियतन किस प्रकार किया जाए की बिक्री अधिकतम हो अतः यह समस्या अधिकतम की है और इसकी प्रभाविता (effective) मैट्रिक्स निम्न होगी:
सारणी 1

समस्या को अधिकतम करने को,न्यूनतम में परिवर्तित करने के लिए मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव को -1 से गुणा करने पर
सारणी 2

पद (step):I.पंक्ति समानेत मैट्रिक्स (Row reduced Matrix):प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर उपर्युक्त मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 3

पद (step):II.स्तम्भ समानेत मैट्रिक्स (Column reduced Matrix):सारणी 3 के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 4

पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ पहली पंक्ति ऐसी है।इस पंक्ति के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा दूसरा स्तम्भ हैं।इस स्तम्भ की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्तियों की अन्य शून्य को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 5 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 5

\begin{array}{c|cccc|} & A & B & C & D  \\ \hline P & \fbox{0} & 63 & 126 & 191 \\ Q & \xcancel{0} & 21 & 42 & 63 \\ R & \xcancel{0} & 21 & 42 & 63 \\ S & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0}\\ \hline \end{array}
पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 6

\begin{array}{c|cccc|c} & (3) & & & &\\ & A & B & C & D  & \\ \hline P & \fbox{0} & 63 & 126 & 191 & (4) \\ & \vdots & & & & \\ Q & \xcancel{0} & 21 & 42 & 57 &(1) \\ & \vdots & & & & \\ R & \xcancel{0} & 21 & 42 & 57 & (2)\\ & \vdots & & & & \\ S & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots\\ \hline \end{array}
(i)सारणी 5 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 2,3 को चिन्हित कीजिए क्योंकि इनमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 2,3 के पहले स्तम्भ में शून्य हैं इसलिए स्तम्भ 1 को चिन्हित कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ 1 की पंक्ति 1 में वर्ग (\square) अंकित है,को चिन्हित कीजिए।
पद (step):V.अब हम सभी चिन्हित स्तम्भों से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्ति 4 जिनमें शून्य हैं परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 4×4 है परन्तु रेखाओं की संख्या 2 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VI.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है,का न्यूनतम अवयव 21 है।इस अवयव (अर्थात् 21) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 7 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 7

\begin{array}{c|cccc|} & A & B & C & D  \\ \hline P & \fbox{0} & 42 & 105 & 170 \\ Q & \xcancel{0} & \fbox{0} & 21 & 36 \\ R & \xcancel{0} & \xcancel{0} & 21 & 36\\ S & 21 & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0}\\ \hline \end{array}
पद (step):VII.अब पुनः समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए स्टेप IV,V के अनुसार हंगेरियन विधिनुसार रेखाएँ खींचते हैं।
सारणी 8

\begin{array}{c|cccc|c} & (2) & (3) & & & \\ & A & B & C & D  \\ \hline P & \fbox{0} & 42 & 105 & 170 & (4) \\ & \vdots & \vdots & & & \\ Q & \xcancel{0} & \fbox{0} & 21 & 36 & (5) \\ & \vdots & \vdots & & & \\ R & \xcancel{0} & \xcancel{0} & 21 & 36 & (1)\\ & \vdots & \vdots & & & \\ S & 21 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0}\\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 4×4 है परन्तु रेखाओं की संख्या 3 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता
पद (Step):VIII.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है,का न्यूनतम अवयव 21 है।इस अवयव (अर्थात् 21) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 9 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 9

\begin{array}{c|cccc|} & A & B & C & D  \\ \hline P & \fbox{0} & 42 & 84 & 149 \\ Q & \xcancel{0} & 0 & 0 & 15 \\ R & \xcancel{0} & 0 & 0 & 15 \\ S & 42 & 21 & \xcancel{0} & \fbox{0} \\ \hline \end{array}
पद (step):IX.अब पुनः समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए स्टेप IV,Vके अनुसार हंगेरियन विधिनुसार रेखाएँ खींचते हैं।
सारणी 10

\begin{array}{c|cccc|c}& (3) & (4) & (5) & & \\ & A & B & C & D  \\ \hline P & \fbox{0} & 42 & 84 & 149 & (6) \\ & \vdots & \vdots & \vdots & & \\ Q & \xcancel{0} & 0 & 0 & 15 & (1)\\ & \vdots & \vdots & \vdots & & \\ R & \xcancel{0} & 0 & 0 & 15 & (2) \\ & \vdots & \vdots & \vdots & & \\ S & 42 \cdots & 21 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} \\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 4×4 है तथा रेखाओं की संख्या भी 4 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त होगा।सारणी 10 का शून्य निर्दिष्टीकरण trial and error विधि से निम्न दो प्रकार से कर सकते हैं।
सारणी 11

\begin{array}{c|cccc|} & A & B & C & D  \\ \hline P & \fbox{0} & 42 & 84 & 149 \\ Q & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \fbox{0} & 15 \\ R & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} & 15 \\ S & 42 & 21 & \xcancel{0} & \fbox{0} \\ \hline \end{array}
अतः सारणी 11 से निम्न इष्टतम हल प्राप्त होता है:
P \longrightarrow A , Q \longrightarrow C ,R \longrightarrow B, S \longrightarrow D
Max. Sales=\frac{7}{21} \times 126000+\frac{5}{21} \times 84000+\frac{5}{21} \times 1,05,000 +\frac{4}{21} \times 63000 \\ =42,000+20,000+25,000+12,000 \\ =99,000 (99 thousand units)

3 Tips to Solve Assignment Problems

Illustration:22.एक हवाई लाईन एक सप्ताह में सात दिन उड़ान करती है जिसकी समय-सारणी निम्न प्रकार है।चालकों के दल (क्रू) को दो उड़ानों के मध्य कम से कम पाँच घण्टे का अवकाश चाहिए।उड़ानों के ऐसे जोड़े (युग्म) ज्ञात कीजिए कि जिनमें घर से दूर रहने का अवकाश कम से कम हो।किसी युग्म के लिए दल उस शहर में स्थित होगा जहाँ अवकाश काल न्यूनतम होगा।प्रत्येक युग्म के लिए वह शहर का नाम भी बताइए जहाँ दल स्थित होना चाहिए:
(An air line that operates seven days a week has time table shown below.Crew must have a minimum layover of 5 hours between flights obtain the pairing of flights that minimizes layover time away from home for any given pairing the crew will be based at the city that results in the smaller layover.For each pair also mention the town where crew should be based.)

Solution:सर्वप्रथम हम उड़ानों के मध्य अवकाश समय जब दल देहली तथा बम्बई शहर में है,की सारणी बनाते हैं।
चूँकि उड़ानों के मध्य न्यूनतम अवकाश 5 घण्टे का होना चाहिए अतः उड़ान संख्या 701 तथा 301 के मध्य अवकाश समय 5 घण्टे का होना चाहिए समय 8 बजे प्रातः से अगले दिन 8 बजे प्रातः तक 24 घण्टे हैं।इसी प्रकार उड़ानें 701 तथा 302,उड़ानों 701 तथा 303,उड़ानों 701 तथा 304 के मध्य अवकाश का समय क्रमशः 25 घण्टे,28 घण्टे,9 घण्टे हैं।इसी प्रकार अन्य उड़ानों के मध्य अवकाश समय का कलन किया जा सकता है जो कि सारणी 1 तथा 2 में प्रदर्शित है।
अवकाश समय जब दल निम्न शहर में है (layover times when crew is based at)
(1.)देहली (Delhi)
सारणी 1

(2.)बम्बई (Bombay)

अथवा बम्बई (Bombay)
सारणी 2

सारणी 1 तथा 2 से न्यूनतम अवकाश वाली से युक्त सारणी 3 बनाते हैं।
सारणी 3

पद (step):I.पंक्ति समानेत मैट्रिक्स (Row reduced Matrix):प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर उपर्युक्त मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 4

पद (step):II.स्तम्भ समानेत मैट्रिक्स (Column reduced Matrix):सारणी के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 5

पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ पहली और चौथी पंक्ति ऐसी है।इन पंक्तियों के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा पहला स्तम्भ हैं।इस स्तम्भ की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्तियों की अन्य शून्य को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 6 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 6
\begin{array}{c|cccc|} \text{Flight} & 301 & 302 & 303 &  304  \\ \hline 701 & 13^* & 11^* & 9^* & \fbox{0} \\ 702 & 15 & 13^* & 11^* & \xcancel{0} \\ 703 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 4 & 1^* \\ 704 & 4^* & 2^* & \fbox{0*} & 17 \\ \hline \end{array}
पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 7

\begin{array}{c|cccc|c} & & & & (2)& \\ \text{Flight} & 301 & 302 & 303 &  304  & \\ \hline 701 & 13^* & 11^* & 9^* & \fbox{0} & (3) \\ & & & & \vdots \\ 702 & 15 & 13^* & 11^* & \xcancel{0} & (1) \\ & & & & \vdots \\ 703 & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & 4 \cdots & 1^* & \\ & & & & \vdots \\ 704 & 4^* \cdots & 2^* \cdots & \fbox{0*} \cdots & 17 & \\ \hline \end{array}
(i)सारणी 6 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 2 को चिन्हित कीजिए क्योंकि इनमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 2 के चतुर्थ स्तम्भ इसलिए स्तम्भ 4 को चिन्हित कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ 4 की पंक्ति 1 में वर्ग (\square) अंकित है,को चिन्हित कीजिए।
पद (step):V.अब हम चिन्हित स्तम्भ से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्तियों 3,4 जिनमें शून्य हैं परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 4×4 है परन्तु रेखाओं की संख्या 3 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VI.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है,का न्यूनतम अवयव 9 है।इस अवयव (अर्थात् 9) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 8 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 8
\begin{array}{c|cccc|} \text{Flight} & 301 & 302 & 303 & 304  \\ \hline 701 & 4^* & 2^* & \xcancel{0}^* & \xcancel{0} \\ 702 & 6 & 4^* & 2^* & \fbox{0} \\ 703 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 4 & 10^* \\ 704 & 4^* & 2^* & \fbox{0*} & 26 \\ \hline \end{array}
पद (step):VII.अब पुनः समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए स्टेप IV,V के अनुसार हंगेरियन विधिनुसार रेखाएँ खींचते हैं।
सारणी 9
\begin{array}{c|cccc|c} & & & (2) & (3) & \\ \text{Flight} & 301 & 302 & 303 & 304  \\ \hline 701 & 4^* & 2^* & \xcancel{0}^* & \xcancel{0} \\ & & & \vdots & \vdots \\ 702 & 6 & 4^* & 2^* & \fbox{0} \\ & & & \vdots & \vdots \\ 703 & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & 4 \cdots & 10^* \\ & & & \vdots & \vdots \\ 704 & 4^* & 2^* & \fbox{0*} & 26 \\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 4×4 है परन्तु रेखाओं की संख्या 3 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता
पद (Step):VIII.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है,का न्यूनतम अवयव 2 है।इस अवयव (अर्थात् 2) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 8 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 10
\begin{array}{c|cccc|} \text{Flight} & 301 & 302 & 303 & 304  \\ \hline 701 & 2^* & 0^* & 0^* & \xcancel{0} \\ 702 & 4 & 2^* & 2^* & \fbox{0} \\ 703 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 6 & 12^* \\ 704 & 2^* & 0^* & 0^* & 26 \\ \hline \end{array}
पद (step):IX.अब पुनः समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए स्टेप IV,V के अनुसार हंगेरियन विधिनुसार रेखाएँ खींचते हैं।
सारणी 11
\begin{array}{c|cccc|c} & & (3) & (4) & (5) & \\ \text{Flight} & 301 & 302 & 303 & 304  \\ \hline 701 & 2^* & 0^* & 0^* & \xcancel{0} & (1) \\ & & \vdots & \vdots & \vdots & \\ 702 & 4 & 2^* & 2^* & \fbox{0} & (6) \\ & & \vdots & \vdots & \vdots & \\ 703 & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & 6 \cdots & 12^* & \\ & & \vdots & \vdots & \vdots & \\ 704 & 2^* & 0^* & 0^* & 26 & (2) \\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 4×4 है तथा रेखाओं की संख्या भी 4 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त होगा।सारणी 11 का शून्य निर्दिष्टीकरण trial and error विधि से निम्न दो प्रकार से कर सकते हैं।
सारणी 12
\begin{array}{c|cccc|} \text{Flight} & 301 & 302 & 303 & 304  \\ \hline 701 & 2^* & \fbox{0*} & \xcancel{0}^* & \xcancel{0} \\ 702 & 4 & 2^* & 2^* & \fbox{0} \\ 703 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 6 & 12^* \\ 704 & 2^* & \xcancel{0}^*  & \fbox{0*} & 26 \\ \hline \end{array}
सारणी 13
\begin{array}{c|cccc|} \text{उड़ान सं. (Flight)} & 301 & 302 & 303 & 304  \\ \hline 701 & 2^* & \xcancel{0}^* & \fbox{0*} & \xcancel{0} \\ 702 & 4 & 2^* & 2^* & \fbox{0} \\ 703 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 6 & 12^* \\ 704 & 2^* & \fbox{0*} & \xcancel{0}^* & 26 \\ \hline \end{array}
अतः सारणी 12 व 13 से निम्न इष्टतम हल प्राप्त होता है:
प्रथम नियतन (हल)
\begin{array}{|lll|} \hline \text { उड़ान दल स्थान घण्टे } \\ \hline 701-302 & \text { Bombay } & 21 \text{ Hrs.} \\ 702-304 & \text { Delhi } & 8 \text{ Hrs.} \\ 703-301 & \text { Delhi } & 18 \text{ Hrs.} \\ 704-303 & \text { Bombay } & 5 \text{ Hrs.} \\ \hline \end{array}
द्वितीय नियतन (हल)
\begin{array}{|lll|} \hline \text { उड़ान दल स्थान घण्टे } \\ \hline 701-303 & \text { Bombay } & 18 \text{ Hrs.} \\ 702-304 & \text { Delhi } & 8 \text{ Hrs.} \\ 703-301 & \text { Delhi } & 18 \text{ Hrs.} \\ 704-302 & \text { Bombay } & 8 \text{ Hrs.} \\ \hline \end{array}
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स (3 Tips to Solve Assignment Problems),इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन समस्याएं (Assignment Problems in Optimization Theory) को समझ सकते हैं।

3.नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स पर आधारित सवाल (Questions Based on 3 Tips to Solve Assignment Problems):

3 Tips to Solve Assignment Problems

(1.)प्रत्येक स्टेशन 1,2,3,4,5,6 पर एक कार उपलब्ध है;और प्रत्येक स्टेशन A, B, C, D, E, F पर एक कार की आवश्यकता होती है।विभिन्न स्टेशनों के बीच की दूरी नीचे मैट्रिक्स में दी गई है।यात्रा किए गए कुल माइलेज को कम करने के लिए कारों को कैसे भेजा जाना चाहिए?
(One car is available at each of the stations 1,2,3,4,5,6;and one car is required at each of the stations A,B,C,D,E,F.The distance between the various stations are given in the matrix below.How should the cars be despatched so as to minimize the total mileage travelled?):

(2.)पाँच पुरुषों को पाँच कार्य सौंपने की समस्या पर विचार कीजिए।असाइनमेंट लागत नीचे मैट्रिक्स द्वारा दी गई है।इष्टतम मूल्यांकन अनुसूची निर्धारित करें
(Consider the problem of assigning five jobs to five men.The assignments costs are given by the matrix below.Determine the optimum assessment schedule)

उत्तर (Answers):(1.)(i) 1 \longrightarrow E , 2 \longrightarrow B ,3 \longrightarrow A, 4 \longrightarrow C , 5 \longrightarrow D, 6 \longrightarrow F and minimum mileage=185
(2.)(i) I \longrightarrow C , II \longrightarrow A ,III \longrightarrow B, IV \longrightarrow D , V \longrightarrow E
(ii) I \longrightarrow C , II \longrightarrow A ,III \longrightarrow D, IV \longrightarrow B , V \longrightarrow E
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स (3 Tips to Solve Assignment Problems),इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन समस्याएं (Assignment Problems in Optimization Theory) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स (Frequently Asked Questions Related to 3 Tips to Solve Assignment Problems),इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन समस्याएं (Assignment Problems in Optimization Theory) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

नियतन समस्याओं को हल करने की 3 टिप्स (3 Tips to Solve Assignment Problems) के
इस आर्टिकल में यात्री विक्रय प्रतिनिधि समस्या तथा हवाई लाइन में उड़ानों के मध्य
अवकाश न्यूनतम होने सम्बन्धी समस्याओं को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।