1.सम्मिश्र समाकलन के उदाहरण का परिचय (Introduction to Examples of Complex Integration),सम्मिश्र समाकलन (Complex Integration):

Examples of Complex Integration

सम्मिश्र समाकलन के उदाहरण (Examples of Complex Integration) के इस आर्टिकल में सम्मिश्र समाकलन पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.सम्मिश्र समाकलन के उदाहरण (Examples of Complex Integration):

Example:1. \int_{(0,1)}^{(3,10)}[(3 x+y) d x+(2 y-x) d y] का मान
(i)वक्र y=x^2+1
(ii)(0,1) and (3,10) को जोड़ने वाली रेखा साथ ज्ञात करें।
(Evaluate along
(i)the curve y=x^2+1
(ii)The line joining (0,1) and (3,10).)
Solution:(i).वक्र y=x^2+1 के अनुदिश dy=2xdx
x का मान 0 से 3 तक परिवर्तित होता है
\therefore \int_{(0,1)}^{(3,10)}[(3 x+y) d x+(2 y-x) d y] \\ \Rightarrow \int_0^3\left[\left(3 x+x^2 +1 \right) d x+\left(2 x^2+2-x\right) 2 x d x\right] \\ \Rightarrow \int_0^3\left(3 x+x^2+1+4 x^3+4 x-2 x^2 \right) d x \\ \Rightarrow \int_0^3\left(4 x^3-x^2+7 x+1\right) d x \\ \Rightarrow \left[\frac{4 x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{7 x^2}{2}+x\right]_0^3 \\ =3^4-\frac{3^3}{3}+\frac{7}{2} \times 3^2+3 \\ =\frac{81}{1}-\frac{9}{1}+\frac{63}{2}+\frac{3}{1} \\ =\frac{162-18+63+6}{2} \\=\frac{213}{2}
(ii).(0,1) तथा (3,10) को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-1 =\frac{(0-1)}{3-0}(x-0) \\ \Rightarrow y-1=3(x) \\ \Rightarrow y=3 x+1 \\ \Rightarrow d y=3 d x \\ \therefore \int_{(0,1)}^{(3,10)}[(3 x+y) d x+(2 y-x) d y] \\ =\int_0^3[(3 x+3 x+1) d x+(6 x+2-x) 3 d x] \\ =\int_0^3(6 x+1+15 x+6) d x \\ =\int_0^3(21 x+7) d x \\ =\left[\frac{21 x^2}{2}+7 x\right]_0^3 \\ =\frac{21}{2}(3)^2+7 \times 3 \\ =\frac{189}{2}+\frac{21}{1} \\ =\frac{189+42}{2}= \frac{231}{2}
Example:2.दर्शाइए कि -1 से 1 तक अर्धवृत्ताकार चाप |z|=1 के अनुदिश \bar{z} के समाकलन का मान -\pi i या \pi i है,क्योंकि चाप वास्तविक अक्ष के ऊपर या नीचे स्थित है।
(Show that the integral of \bar{z} along a semi-circular arc from -1 to 1 has the value -\pi i or \pi i according as the arc lies above or below the real axis.)

Examples of Complex Integration

Solution:वृत्त |z|=1 का प्राचलिक समीकरण है:
z=e^{i \theta} जहाँ 0 \leq \theta \leq 2 \pi \\ \Rightarrow dz=i e^{i \theta} d \theta तथा \bar{z}=e^{-i \theta}
चूँकि z वास्तविक अक्ष के ऊपर अर्धवृत्तीय चाप के अनुदिश -1 से 1 की ओर गति करता है, \theta, \pi से 0 तक परिवर्तित होता है:
\therefore \int_{\operatorname{CBA}} \bar{z} d z=\int_\pi^0 e^{-i \theta} i e^{i \theta} d \theta \\ =i \int_{\pi}^0 d \theta=-\pi i
पुनः जब z वास्तविक अक्ष के नीचे अर्धवृत्तीय चाप के अनुदिश -1 से 1 की ओर गति करता है, \theta, \pi से 2 \pi तक परिवर्तित होता है।
\therefore \int_{CDA} \bar{z} d z =\int_\pi^{2 \pi} e^{-i \theta} i e^{i \theta} d \theta \\ =i \int_\pi^{2 \pi} d \theta=\pi i
वृत्त |z|=1 के चारों ओर \bar{z} का समाकल:
\int_{ABCD} \bar{z} d x=\int_{ABC} \bar{z} d z+\int_{CDA} \bar{z} d z \\ =-\int_{CBA} \bar{z} d z+\int_{CDA} z dz=2 \pi i
Example:3. I=\int_{(0,1)}^{(2,5)}(3 x+y) d x+(2 y-x) d y का मान ज्ञात कीजिए
(i)वक्र y=x^2+1
(ii)(0,1) और (2,5) को जोड़ने वाली रेखा
(iii).(0,1) से (0,5) रेखा और फिर (0,5) से (2,5) तक,के अनुदिश।
(Evaluate along I=\int_{(0,1)}^{(2,5)}(3 x+y) d x+(2 y-x) d y
(i).The curve y=x^2+1
(ii)The line joining (0,1) and (2,5)
(iii).The line from (0,1) to (0,5) and then from (0,5) to (2,5).)
Solution:(i) y=x^2+1 तथा d y=2x d x \\ \therefore I=\int_0^2(3 x+y) d x+(2y-x) d y \\ =\int_0^2\left(3 x+x^2+1\right) d x+\left(2 x^2+2-x\right) 2x dx \\ =\int_0^2\left(3 x+x^2+1+4 x^3+4 x-2 x^2\right) dx\\ =\int_0^2\left(4 x^3-x^2+7x+1\right) d x \\ =\left[x^4 -\frac{x^3}{3}+\frac{7 x^2}{2}+x\right]_0^2 \\ =2^4-\frac{2^3}{3}+\frac{7}{2} \times 2^2+2 \\ =\frac{16}{1}-\frac{8}{3}+\frac{14}{1}+\frac{2}{1} \\ =\frac{48-8+42+6}{3}=\frac{88}{3}
(ii).(0,1) तथा (2,5) को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण:
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-1 =\frac{5-1}{2-0}(x-0) \\ \Rightarrow y-1=\frac{4}{2}(x) \\ \Rightarrow y=2 x+1
तथा dy=2 d x \\ I=\int_0^2[(3 x+y) d x+(2 y-x) d y] \\ =\int_0^2(3 x+2 x+1) d x+(4 x+2-x) 2 d x \\ =\int_0^2(3 x+2 x+1+8 x+4-2 x) d x \\ =\int_0^2(11 x+5) d x \\ =\left[\frac{11x^2}{2}+5 x\right]_0^2 \\ =\frac{11}{2} \times 2^2+5 \times 2=22+10=32
(iii)(0,1) से (0,5) के अनुदिश
जब x=0 तो y,1 से 5 तक परिवर्तित होता है तथा रेखा का समीकरण x=0 है और dx=0
I=\int_1^5[(3 x+y) d x+(2 y-x) d y] \\ =\int_1^5(3 \times 0+y)(0)+(2 y-0) d y \\ =\int_1^5 2 y dy \\=\left[y^2\right]_1^5 =5^2-1^2=24
(0,5) से (2,5) के अनुदिश y=5 और dy=0 तथा x,0 से 2 तक परिवर्तित होता है।
\therefore I=\int_0^2[3 x+y) d x+(2 y-x) d y] \\ =\int_0^2(3 x+5) d x+(2 \times 5-x)(0) \\ =\int_0^2(3 x+5) d x \\=\left[\frac{3 x^2}{2}+5 x\right]_0^2 \\=\frac{3}{2} \times 2^2+5 \times 2 \\ =6+10=16
अतः दिया गया समाकल रेखा (0,1) से (0,5) तथा (0,5) से (2,5) के अनुदिश
=24+16=40
Example:4.समाकल का मान ज्ञात कीजिए
\int_0^{1+i}\left(x-y+i x^2\right) dz
(i) सरल रेखा z=0 से z=1+i के अनुदिश।
(ii) वास्तविक अक्ष के अनुदिश z = 0 से z = 1 तक और फिर काल्पनिक अक्ष के समानांतर एक रेखा के अनुदिश z=1 से z = 1+i तक
(Find the value of the integral \int_0^{1+i}\left(x-y+i x^2\right) dz
(i) Along the straight line from z=0 to z=1+i.
(ii) Along the real axis from z=0 to z=1 and then along a line parallel to the imaginary axis from z=1 to z=1+i.)

Examples of Complex Integration

Solution: z=x+iy \Rightarrow dz=dx+idy
मान लीजिए कि आर्गैन्ड तल में अनुलग्न (affix) 1 का बिंदु A और अनुलग्न (affix) 1+i का बिंदु B है।OB और AB को मिलाया।
(i).OB,z=0 से z=1+i को जोड़ने वाली सीधी रेखा है।
जाहिर है OB पर, हम y = x लेते हैं
\therefore dy=dx \\ \int_{0 B}\left(x-y+a^2\right) d z=\int_0^1\left(x-x+i x^2\right)(1+i) d x \\ =\int_0^1 i(1+i) x^2 d x=(-1+i)\left[\frac{1}{3} x^3\right]_0^1 \\ =\frac{1}{3}(-1+i)
(ii) OA वास्तविक अक्ष के समानांतर z = 0 से z = 1 तक की रेखा है और AB काल्पनिक अक्ष के समानांतर z=1 से z=1 + i तक की रेखा है।रेखा OA पर,y = 0
z=x+iy तथा dz=dx
\therefore z=x+i y=x तथा  d z=d x \\ \therefore \int_{0 A}\left(x-y+i x^2\right) d z \\ =\int_0^1\left(x+i x^2\right) d x \\ =\left[\frac{x^2}{2}+\frac{i x^3}{3}\right]_0^1 \\=\frac{1}{2}+\frac{i}{3}
AB रेखा पर, x=1, \therefore z=1+i y \Rightarrow dz=i dy \\ \int_{A B}\left(x-y+i x^2\right) d z= \int_0^1(1+i-y) d y \\ =i\left[(1+i) y-\frac{y^2}{2}\right]_0^1 \\ =-1+\frac{i}{2} \\ \int_0^{1+i}\left(x-y+i x^2\right) dz कन्टूर OAB के अनुदिश
=\int_{O A}\left(x-y+i x^2\right) d z+\int_{A B}\left(x-y+i x^2\right) d z \\ =\frac{1}{2}+\frac{i}{3}-1+\frac{i}{2} \\ =-\frac{1}{2}+\frac{5}{6} i
Example:5.वृत्त |z|=2 के अनुदिश \int_C\left(z^2+3 z\right) dz का मान ज्ञात करें (2,0) से (0,2) तक
(Evaluate \int_C\left(z^2+3 z\right) dz along the circle |z|=2 from (2,0) to (0,2).)
Solution: z=x+i y \Rightarrow d z=d x+i d y \\ |z|=2 \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=2 \\ \Rightarrow x^2+y^2=4
Put x=2 \cos t, y=2 \sin t
\theta, 0 से \frac{\pi}{2} तक परिवर्तित होता है।
\therefore d x=-2 \sin t d t, d y=2 \cos t dt \\ z=2(\cot t+i \sin t)=2 e^{i t} \\ dz=(-2 \sin t+2 \cos t) d t \\ \Rightarrow d z =2 e^{i\left(\frac{\pi}{2}+i\right)} dt \\ \int_c\left(z^2+3 z\right) d z= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[\left(2 e^{i t}\right)^2+3 \cdot 2 e^{i t}\right] z e^{i(\frac{\pi}{2}+t)} dt \\=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(4 e^{2 i t}+6 e^{i t}\right) e^{i\left(\frac{\pi}{2}+t\right)} d t \\ =8 \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{i\left( \frac{\pi}{2}+3 t\right)} d t+12 \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2 t\right)} dt \\ =\left[8 \frac{e^{i\left(\frac{\pi}{2}+3 t\right)}}{3 i}+12 \frac{e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2 i\right)}}{2 i}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ =\frac{8}{3 i}\left(e^{2 \pi i}-e^{\frac{\pi i}{2}}\right)+\frac{12}{2 i}\left(e^{\frac{3 \pi i}{2}}-e^{\frac{i \pi}{2}}\right) \\ =\frac{8}{3 i}(1-i)+\frac{6}{i}(-1-i) \\=\frac{8}{3 i}-\frac{8}{3}-12 \\=-\frac{8 i}{3}-\frac{44}{3} \\ =-\left(\frac{44}{3}+\frac{8 i}{3}\right)
Example:6. \int_C f(z) dz का मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(z)=y-x-3 x^2 i और C
(i) z = 0 से z = 1+i तक रेखाखंड है।
(ii) दो रेखाखंडों से मिलकर बनता है,एक z=0 से z=i तक और दूसरा z=i से z=1+i तक।
(Evaluate \int_C f(z) d z Where f(z)=y-x-3 x^2 i and C
(i) is the line segment from z=0 to z=1+i
(ii)consists of two line segments,one from z=0 to z=i and the other from z=i to z=1+i.)

Examples of Complex Integration

Solution: f(z)=y-x-3 x^2 i
(i).z=0 तथा z=1+i को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण y=x है
\therefore d y=d x \\ \therefore dz=(1+i) dx तथा x, 0 से 1 तक परिवर्तित होता है।
\therefore \int_C f(z) d z=\int_0^1 -3 x^2i(1+i) d y \\ =-i(1+i)[x^3]_0^1 \\ =-i(1+i) =1-i
(ii).रेखा z=0 से z=i के अनुदिश
x=0,y, 0 से 1 तक परिवर्तित होता है।
\therefore dx=0 तथा dz=i d y \\ \therefore \int_C f(z) d z=\int_0^1 y i dy \\ =i\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^1=\frac{i}{2}
रेखा z=i से z=1+i के अनुदिश,y=0 तथा x,0 से 1 तक परिवर्तित होता है।
\therefore dy=0 तथा dz=dx \\ \therefore \int_c f(z) d z=\int_0^1\left(1-x-3 x^2 i\right) dx \\ =\left[x-\frac{x^2}{2}-x^3 i\right]_0^1 \\=\frac{1}{2}-i \\ \Rightarrow \int_C f(z) d z=\frac{i}{2}+\frac{1}{2}-i=\frac{1-i}{2}
Example:7. \int_L \frac{d z}{L} का मान ज्ञात कीजिए जहाँ L धनात्मक अर्थ में वर्ग को निरूपित करता है जिसकी भुजाएँ अक्षों के समांतर हैं तथा लंबाई 2a है तथा जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है।
(Evaluate \int_L \frac{d z}{L} where L represents the square described in the positive sense with sides parallel to the axes and of length 2a and having its centre at the origin.)

Examples of Complex Integration

Solution:माना ABCD दिया गया वर्ग है जिसका वर्णन धनात्मक अर्थ में किया गया है जिसकी भुजाएँ अक्षों के समानांतर हैं और लंबाई 2a है और जिसका केंद्र मूल बिंदु O पर है।रेखा BC पर,x = a,dx=0 और y,-a से a तक परिवर्तित होता हैं।
रेखा CD पर,y=a,dy= 0 और x,a से -a तक बदलता है।अंत में रेखा DA पर x=-a,dx=0 और y,a से -a तक परिवर्तित होता हैं।
\int_L \frac{d z}{z}=\int_{A B C D} \frac{d z}{z} \\ =\int_{A B} \frac{d z}{z}+\int_{B C} \frac{d z}{z}+\int_{C D} \frac{d z}{z}+\int_{D A} \frac{d z}{z} \\=\int_{-a}^a \frac{d x}{x-i a}+\int_{-a}^a \frac{i d y}{a+i y}+\int_a^{-a} \frac{d x}{x+i a}+\int_a^{-a} \frac{i d y}{-a+i y} \\ =\int_{-a}^a \frac{x+i a}{x^2+a^2} d x+i \int_{-a}^a \frac{a-i y}{a^2+y^2} d y+\int_a^{-a} \frac{x-ia}{x^2+a^2} dx+i \int_a^{-a} \frac{(a+i y)}{a^2+y^2} dy \\ =\left[\frac{1}{2} \log \left(x^2+a^2\right)+i \tan ^{-1} \frac{x}{a}\right]_{-a}^a+i\left[\tan ^{-1} \frac{y}{a}-\frac{i}{2} \log \left(a^2+y^2\right)\right]_{-a}^a +\left[\frac{1}{2} \log \left(x^2+a^2 \right)-i \tan ^{-1} \frac{x}{a}\right]_a^{-a}+i\left[\tan ^{-1} \frac{y}{a}+\frac{i}{2} \log \left(a^2+y^2 \right)\right]_a^{-a} \\ =2 \pi i
Example:8. \int_L \frac{z+2}{z} d z का मान ज्ञात कीजिए जहाँ L अर्धवृत्त z=2 e^{it}, 0 \leq t \leq \pi है।
(Evaluate \int_L \frac{z+2}{z} d z where L is the semi-circle z=2 e^{it}, 0 \leq t \leq \pi .)
Solution: z=2 e^{i t}, 0 \leq t \leq \pi\\ dz=2 i e^{i t} d t \\ \int_L \frac{z+2}{2} d z=\int_0^\pi \frac{\left(2 e^{i t}+2\right)}{2 e^{i t}} 2 i e^{i t} d t \\ =2 i \int_0^\pi\left(1+\bar{e}^{i t}\right) e^{i t} d t \\ =2 i \int_0^\pi\left(e^{i t}+1\right) dt \\ =2 i\left[\frac{e^{i t}}{i}+t\right]_0^\pi=2 i\left(\frac{e^{i \pi}}{i}-\frac{1}{i}+\pi\right) \\ =2 e^{i \pi}-2+2 i \pi=-4+2 i \pi
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र समाकलन के उदाहरण (Examples of Complex Integration),सम्मिश्र समाकलन (Complex Integration) को समझ सकते हैं।

Examples of Complex Integration

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3.सम्मिश्र समाकलन के उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Examples of Complex Integration),सम्मिश्र समाकलन (Complex Integration) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सम्मिश्र समाकलन के उदाहरण (Examples of Complex Integration) के इस आर्टिकल
में सम्मिश्र समाकलन पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।