1.सिम्पसन क्षेत्रकलन सूत्र (Simpson Quadrature Formulas),सिम्पसन एक तिहाई नियम (Simpson One-Third Rule):

Simpson Quadrature Formulas

सिम्पसन क्षेत्रकलन सूत्र (Simpson Quadrature Formulas) के इस आर्टिकल में सिम्पसन एक तिहाई नियम तथा सिम्पसन त्रयष्टकम क्षेत्रकलन सूत्र पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Gauss Quadrature Rule

2.सिम्पसन क्षेत्रकलन सूत्र के साधित उदाहरण (Simpson Quadrature Formulas Solved Illustrations):

Illustration:24.सिम्पसन \left( \frac{1}{3} \right) नियम द्वारा निम्न समाकल का मान,अन्तराल (0.5,0.7) को कम से कम पाँच समान भागों में विभाजित कर ज्ञात कीजिए:
(Apply Simpson one third rule to evaluate the following integral by dividing (0.5,0.7) into at least five equal parts):
\int_{0.5}^{0.7} x^{\frac{1}{2}} e^{-x} d x
Solution:समाकलन परास [0.5,0.7] को चार बराबर भागों में विभाजित करने पर:
h=\frac{0.7-0.5}{4}=0.05
अब प्रत्येक विभाजित बिन्दु पर फलन का अभिकलन मान जो निम्न है:
\begin{array}{|l|l|} \hline x & y=x^{\frac{1}{2}} e^{-x} \\ \hline 0.50 & 0.4288819 \\ 0.55 & 0.4278774 \\ 0.60 & 0.4251076 \\ 0.65 & 0.4208867 \\ 0.70 & 0.4154731 \\ \hline \end{array}
सिम्पसन \frac{1}{3} नियमानुसार:
\int_{x_0}^{x_0+nh} y dx=\frac{h}{3}\left[\left(y_0+y_n\right)+4\left(y_1+y_3+ \cdots\right) +2\left(y_2+y_4+\cdots\right)\right]
प्रश्नानुसार:
\int_{0.5}^{0.7} x^{ \frac{1}{2}} e^{-x} d x=\frac{h}{3}\left[\left(y_0+y_4\right)+4\left(y_1+y_3 \right)+2 y_2\right] \\ =\frac{0.05}{3}[(0.4288819+0.4154331] +4(0.4278774+0.4208867)+2 \times 0.4251076] \\ =\frac{0.05}{3}[0.844355+4 \times 0.8487641 +0.8502152] \\=\frac{0.05}{3}\left[1.6945702 +3.3950564 \right] \\ =\frac{0.05}{3} \times 5.0896266 \\ =\frac{0.25448133}{3} \\ \int_{0.5}^{0.7} x^{ \frac{1}{2}} e^{-x} dx \approx 0.0848271
Illustration:25.निम्न समाकल का मान चार दशमलव स्थान तक ज्ञात कीजिए:
(Find the value of the following integral correct to four decimal places):
\int_0^1 x^x d x
Solution:समाकलन परास [0,1] को दस बराबर भागों में विभाजित करने पर:
h=\frac{1-0}{10}=0.1
अब प्रत्येक विभाजित बिन्दु पर फलन y=x^x का अभिकलन मान जो निम्न है:
\begin{array}{|ll|} \hline x & y=x^x \\ \hline 0 & y_0=0.7000 \\ 0.1 & y_1=0.7943 \\ 0.2 & y_2=0.7248 \\ 0.3 & y_3=0.6968 \\ 0.4 & y_4=0.6931 \\ 0.5 & y_5=0.7071 \\ 0.6 & y_6=0.7360 \\ 0.7 & y_7=0.7791 \\ 0.8 & y_8=0.8365 \\ 0.9 & y_9=0.9095 \\ 1 & y_{10}=1.0000 \\ \hline \end{array}
सिम्पसन \frac{1}{3} नियमानुसार:
\int_{x_0}^{x_0+nh} y d x=\frac{h}{3}\left[\left(y_0+y_n\right)+4\left(y_1+y_3+ \cdots\right)+ 2\left(y_2+y_4+\cdots\right)\right]
प्रश्नानुसार:
\int_0^1 x^x d x =\frac{h}{3}\left[\left(y_0+y_{10}\right)+4\left(y_1+y_3+y_5+ y_7+y_9\right) +2\left(y_2 +y_4 +y_6+y_8\right)\right] \\ =\frac{0.1}{3}[(0.0000+1.0000)+4(0.7943+0.6968+0.7071 +0.7791 +0.9095)+2(0.7248+0.6931+0.7360+0.8365)] \\=\frac{0.1}{3}[1+4 \times 3.8868+2 \times 2.99019] \\ =\frac{0.1}{3}(1+15.5472+5.9808) \\ =\frac{0.1}{3} \times 22.528=\frac{2.2528}{3} \\ =0.75093 \\ \Rightarrow \int_0^1 x^x d x \approx 0.7509

Simpson Quadrature Formulas

Illustration:26.सिम्पसन के (i) \frac{1}{3} नियम से तथा (ii) \frac{3}{8} नियम से निम्न का मान ज्ञात कीजिए:
(Evaluate the following using (i)Simpson’s \frac{1}{3} and (ii)Simpson’s \frac{3}{8} rule):
\int_0^6 \frac{d x}{1+x^2}
Solution:समाकलन परास [0,6] को छः बराबर भागों में विभाजित करने पर:
h=\frac{6-0}{6}=1
अब प्रत्येक विभाजित बिन्दु पर फलन का अभिकलन मान जो निम्न है:
\begin{array}{|ll|} \hline x & \frac{d x}{1+x^2} \\ \hline 0 & y_0=1.00 \\ 1 & y_1=0.500 \\ 0 & y_2=0.200 \\ 3 & y_3=0.100 \\ 4 & y_4=0.058824 \\ 5 & y_5=0.038462 \\ 6 & y_6=0.027027 \\ \hline \end{array}
(i)सिम्पसन '\frac{1}{3}' नियमानुसार:
\int_{x_0}^{x_0+n h} y dx=\frac{h}{3}\left[\left(y_0+y_n\right)+4\left(y_1+y_3+ \cdots\right) +2\left(y_2+y_4+\cdots\right) \right]
प्रश्नानुसार:
\int_0^6 \frac{d x}{1+x^2}=\frac{h}{3}\left[\left(y_0+y_6\right)+4\left(y_1+y_3+y_5\right)+ 2\left(y_2+ y_4\right)\right] \\ =\frac{1}{3}[(1+0.027027)+4(0.5+0.1+0.038462) +2(0.2+0.058824)] \\ =\frac{1}{3}[1.027027+4 \times 0.638462+2 \times0.258824] \\ =\frac{1}{3}[1.027027+2.553848+0.517648] \\ =\frac{1}{3} \times 4.098523=1.366174 \\ \Rightarrow \int_0^6 \frac{d x}{1+x^2} \approx 1.3662
(ii)सिम्पसन '\frac{3}{8}' नियमानुसार:
\int_{x_0}^{x_0+nh} y dx=\frac{3}{8} h \left[\left(y_0+y_n\right)+3\left(y_1+y_2+y_4+y_5 +\cdots+y_{n-1}\right)+2\left(y_3+y_6+\cdots+y_{n-3}\right)\right]
प्रश्नानुसार:
\int_0^6 \frac{d x}{1+x^2}= \frac{3}{8} h\left[\left(y_0+y_6\right)+3\left(y_1+y_2+y_4+y_5\right)+2 y_3\right] \\ = \frac{3}{8} \times 1[(1+0.027027)+3(0.5+0.2+0.058824+0.038462)+2 \times 0.1]\\ =\frac{3}{8}[1.027027+3 \times 0.797284+0.2] \\ =\frac{3}{8}[1.227027+2.391852] \\ = \frac{3}{8} \times 3.618879 \\ =\frac{10.856637}{8}=1.357079 \\ \int_0^6 \frac{d x}{1+x^2} \approx 1.3571
Illustration:27.हल कीजिए (Solve):
\int_0^1 \frac{\arctan x}{x^{\frac{3}{2}}} dx
Solution:समाकलन परास [0,1] को दस बराबर भागों में विभाजित करने पर:
h=\frac{1-0}{10}=0.1
अब प्रत्येक विभाजित बिन्दु पर फलन का अभिकलन मान जो निम्न है:
\begin{array}{|llll|} \hline x & \tan ^{-1} x & x^{\frac{3}{2}} & \frac{\tan ^{-1} x}{x^{\frac{3}{2}}} \\ \hline 0.0 & 0.0000 & 0.00000 & ..... \\ 0.1 & 0.09967 & 0.03162 & y_1=3.152124 \\ 0.2 & 0.19740 & 0.08944 & y_2=2.20707 \\ 0.3 & 0.29146 & 0.16432 & y_3=1.77373 \\ 0.4 & 0.38051 & 0.25298 & y_4=1.50411 \\ 0.5 & 0.46365 & 0.35355 & y_5=1.31141 \\ 0.6 & 0.54042 & 0.46476 & y_6=1.16279 \\ 0.7 & 0.61073 & 0.58566 & y_7=1.04281 \\ 0.8 & 0.67474 & 0.71554 & y_8=0.94298 \\ 0.9 & 0.73282 & 0.85382 & y_9=0.85828 \\ 1.0 & 0.78540 & 1.00000 & y_{10}=0.78540 \\ \hline \end{array}
सिम्पसन \frac{1}{3} नियमानुसार:
\int_{x_0}^{x_0+nh} y dx=\frac{h}{3} \left[\left(y_0+y_n\right)+ 4\left(y_1+y_3 +\cdots \right)+2\left(y_2+y_4+\cdots\right)\right]
प्रश्नानुसार:
\int_0^1 \frac{\arctan x}{x^{\frac{3}{2}}} d x=\frac{h}{3}\left[\left(y_0+y_0\right)+4\left(y_1+y_3 +y_5+y_7+ y_9\right)+2\left(y_2+y_4+y_6+y_8\right)\right] \\=\frac{0.1}{3}[(0+0.78540)+4(3.15112 +1.77373] + 1.31141+1.04281+0.85828)+ 2(2.20707+1.50411+1.16279+0.94298) \\ =\frac{0.1}{3}[0.78540+4 \times 8.13835+2 \times 5.81695] \\ =\frac{0.1}{3}[0.78540+32.5534+11.6339] \\=\frac{0.1}{3} \times 44.9727=\frac{4.49727}{3}=1.49909 \\ \Rightarrow \int_0^1 \frac{\arctan x}{x^{\frac{3}{2}}} d x=1.49909
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सिम्पसन क्षेत्रकलन सूत्र (Simpson Quadrature Formulas),सिम्पसन एक तिहाई नियम (Simpson One-Third Rule) को समझ सकते हैं।

3.सिम्पसन क्षेत्रकलन सूत्र के सवाल (Simpson Quadrature Formulas Questions):

Simpson Quadrature Formulas

(1.)परास को आठ समान भागों में विभाजित करते हुए \int_3^5 \frac{4}{\left(2+x^2\right)} d x  का मान ज्ञात कीजिए।
(Evaluate \int_3^5 \frac{4}{\left(2+x^2\right)} d x by dividing the range into eight equal parts.)
(2.)सिम्पसन \frac{1}{3} नियम से \int^5_1 f dx के दिए हुए मानों से मान ज्ञात कीजिए:
(Use Simpson’s \frac{1}{3} rule to find a value of \int^5_1 f dx )
\begin{array}{|llllll|} \hline x: & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ f(x) & 10 & 50 & 70 & 80 & 10 \\ \hline \end{array}
उत्तर (Answers):(1.)26.716  (2.)256.66
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सिम्पसन क्षेत्रकलन सूत्र (Simpson Quadrature Formulas),सिम्पसन एक तिहाई नियम (Simpson One-Third Rule) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Simpson and Weddle Quadrature Formulae

4.सिम्पसन क्षेत्रकलन सूत्र (Frequently Asked Questions Related to Simpson Quadrature Formulas),सिम्पसन एक तिहाई नियम (Simpson One-Third Rule) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सिम्पसन क्षेत्रकलन सूत्र (Simpson Quadrature Formulas) के इस आर्टिकल में
सिम्पसन एक तिहाई नियम तथा सिम्पसन त्रयष्टकम क्षेत्रकलन सूत्र पर आधारित सवालों
को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।