1.नियतन समस्याओं को हल करने की 2 टिप्स (2 Tips to Solve Assignment Problems)इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन समस्याएं (Assignment Problems in Optimization Theory):

2 Tips to Solve Assignment Problems

नियतन समस्याओं को हल करने की 2 टिप्स (2 Tips to Solve Assignment Problems) के आधार पर सन्तुलित तथा असन्तुलित नियतन समस्याओं के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.नियतन समस्याओं को हल करने की 2 टिप्स के उदाहरण (2 Tips to Solve Assignment Problems Examples):

Example:18.एक विक्रय मैनेजर को चार क्षेत्र चार विक्रेताओं को निर्दिष्ट करने हैं।उसके पास विभिन्न अनुभव एवं क्षमता वाले 4 विक्रेता हैं।उनकी प्रत्येक क्षेत्र की बिक्री का अनुमान निम्नानुसार है।अधिकतम लाभ हेतु निर्दिष्टीकरण दीजिए:
(A sales manager has to assign salesmen to four territories.He has four candidates of varying experience and capabilities and asses the passible profit for each salesman in each territory as given below.Find the assignment which maximises the profit):

Solution:समस्या को अधिकतम करने को,न्यूनतम में परिवर्तित करने के लिए मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव को -1 से गुणा करने पर
सारणी 1

पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर पंक्ति समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

पद (step):II.सारणी 2 के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 3

पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ पहली और चौथी पंक्ति ऐसी है।इन पंक्तियों के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा पहला स्तम्भ हैं।इस स्तम्भ की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्ति की अन्य शून्यों को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 4 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 4

\begin{array}{c|cccc|} & A & B & C & D \\ \hline 1 & 2 & 10 & 6 & \fbox{0}\\ 2 & 12 & 6 & 8 & \xcancel{0} \\ 3 & \fbox{0} & 11 & \xcancel{0} & 2 \\ 4 & 8 & \fbox{0} & 4 & 4 \\ \hline \end{array}
पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 5

\begin{array}{c|cccc|c} & & & & (2) & \\ & A & B & C & D & \\ \hline 1 & 2 & 10 & 6 & \fbox{0} & (3) \\ & & & & \vdots & \\ 2 & 12 & 6 & 8 & \xcancel{0} & (1) \\ & & & & \vdots & \\ 3 & \fbox{0} \cdots & 11 \cdots & \xcancel{0} \cdots & 2 \cdots & \\ & & & & \vdots & \\ 4 & 8 \cdots & \fbox{0} \cdots & 4 \cdots & 4 \cdots & \\ \hline \end{array}
(i)सारणी 4 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 2 को चिन्हित कीजिए क्योंकि इसमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 2 के 4थे स्तम्भ में शून्य हैं इसलिए स्तम्भ 4 को चिन्हित कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ 4 की पंक्ति 1 में वर्ग  (\square)  अंकित है,को चिन्हित कीजिए।
पद (step):V.अब हम चिन्हित स्तम्भ 4 से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्ति 3,4 जिसमें शून्य है परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 4×4 है परन्तु रेखाओं की संख्या 3 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VI.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है का न्यूनतम अवयव 2 है।इस अवयव (अर्थात् 2) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 6 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 6

\begin{array}{c|cccc|} & A & B & C & D \\ \hline 1 & \fbox{0} & 8 & 4 & \xcancel{0} \\ 2 & 10 & 4 & 6 & \fbox{0} \\ 3 & \xcancel{0} & 11 & \fbox{0} & 4 \\ 4 & 8 & \fbox{0} & 4 & 6 \\ \hline \end{array}
पद (step):VII.
सारणी 6 में प्रत्येक पंक्ति तथा प्रत्येक स्तम्भ में नियतन है।अर्थात् पूर्ण शून्य निर्दिष्टीकरण निम्न अनुसार प्राप्त होता है:
1 \rightarrow A, 2 \rightarrow D, 3 \rightarrow C , 4 \rightarrow B
अधिकतम लाभ=35+40+32+32=139 रुपये

2 Tips to Solve Assignment Problems

Example:19.एक विक्रय मैनेजर को 5 क्षेत्र विक्रेताओं को आवंटित करते हैं।उसके पास विभिन्न अनुभव एवं क्षमता वाले 5 विक्रेता एवं विभिन्न क्षमता वाले 5 क्षेत्र है।विभिन्न विक्रेताओं द्वारा विभिन्न क्षेत्रों में की जाने वाली अनुमानित बिक्री निम्न प्रकार है।अधिकतम बिक्री के लिए नियतन कीजिए।
(A marketing manager has 5 sales man and 5 sales districts considering the capabilities of the salesmen and the nature of districts, the marketing manager estimates that sales per month (in thousand rupees) for each sales man in each salesman in each district would be as follows):

Find the assignment of salesman to districts that will result in a maximum sale.
Solution:समस्या को अधिकतम करने को,न्यूनतम में परिवर्तित करने के लिए मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव को -1 से गुणा करने पर
सारणी 1

पद (step):II.प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर उपर्युक्त मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
पद (step):III.सारणी के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ दूसरी और चौथी पंक्ति ऐसी है।इन पंक्तियों के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा दूसरा स्तम्भ हैं।इस स्तम्भ की शून्य को वर्ग (\square)  से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्तियों की अन्य शून्य को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 4 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 4

पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 5

\begin{array}{c|ccccc|c} & (4) & & (5) & (6) & \\ & A & B & C & D & E & \\ \hline 1 & 8 & 0 & 7 & 7 & \xcancel{0} & \\ & \vdots & & \vdots & \vdots & \\ 2 & 0 & 14 & 12 & 14 & 4 & (7)\\ & \vdots & & \vdots & \vdots & &\\ 3 & \xcancel{0} & 12 & 8 & 6 & 4 & (1)\\ & \vdots & & \vdots & \vdots & & \\ 4 & 19 & 1 & 0 & 0 & 5 & (2)\\ & \vdots & & \vdots & \vdots & & \\ 5 & 11 & 5 & 0 & 0 & 1 & (3) \\ \hline \end{array}
(i)सारणी 4 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 3,4 व 5 को चिन्हित कीजिए क्योंकि इनमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 3 के पहले स्तम्भ,पंक्ति 4,5 के तीसरे, चौथे स्तम्भ में शून्य हैं इसलिए स्तम्भ 1,3,4 को चिन्हित कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ 1 की पंक्ति 2 में वर्ग (\square)  अंकित है,को चिन्हित कीजिए।
पद (step):V.अब हम सभी चिन्हित स्तम्भों से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्ति 1 जिनमें शून्य हैं परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 5×5 है परन्तु रेखाओं की संख्या 4 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VI.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है,का न्यूनतम अवयव 1 है।इस अवयव (अर्थात् 1) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 6 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 6

\begin{array}{c|ccccc|} & A & B & C & D & E & \\ \hline 1 & 9 & \fbox{0} & 1 & 8 & \xcancel{0} \\ 2 & \fbox{0} & 13 & 12 & 14 & 3 \\ 3 & \xcancel{0} & 11 & 8 & 6 & 3 \\ 4 & 19 & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} & 4 \\ 5 & 11 & 5 & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \fbox{0}\\ \hline \end{array}
पद (step):VII.अब पुनः समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए स्टेप V के अनुसार हंगेरियन विधिनुसार रेखाएँ खींचते हैं।
सारणी 7

\begin{array}{c|ccccc|c} & (2) & & & & \\ & A & B & C & D & E & \\ \hline 1 & 9 \cdots & \fbox{0} \cdots & 1 \cdots & 8 \cdots & \xcancel{0} & \\ & \vdots & & & & \\ 2 & \fbox{0} & 13 & 12 & 14 & 3 & (3)\\ & \vdots & & & & &\\ 3 & \xcancel{0} & 11 & 8 & 6 & 3 & (1)\\ & \vdots & & & & & \\ 4 & 19 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & 4 & \\ & \vdots & & & & & \\ 5 & 11 \cdots & 5 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} & \\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 5×5 है परन्तु रेखाओं की संख्या 4 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता
पद (Step):VIII.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है,का न्यूनतम अवयव 3 है।इस अवयव (अर्थात् 3) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 8 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 8

पद (step):X.अब पुनः समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए स्टेप IV के अनुसार हंगेरियन विधिनुसार रेखाएँ खींचते हैं।
सारणी 9

\begin{array}{c|ccccc|c} & (1) & (2) & (4) & (5) & (3) \\ & A & B & C & D & E & \\ \hline 1 & 12 & 0 & 1 & 8 & 0 & (1)\\ & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \\ 2 & 0 & 10 & 9 & 11 & 0 & (2) \\ & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \\ 3 & 0 & 8 & 5 & 3 & 0 &(3) \\ & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \\ 4 & 22 & 0 & 0 & 0 & 4 & (4)\\ & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \\ 5 &14 & 5 & 0 & 0 & 0 &(5) \\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 5×5 है तथा रेखाओं की संख्या भी 5 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त होगा।सारणी 9 का शून्य निर्दिष्टीकरण trial and error विधि से निम्न दो प्रकार से कर सकते हैं।
सारणी 10
\begin{array}{c|ccccc|} & A & B & C & D & E \\ \hline 1 & 12 & \fbox{0} & 1 & 8 & \xcancel{0} \\ 2 & \xcancel{0} & 10 & 9 & 11 & \fbox{0} \\ 3 & \fbox{0} & 8 & 5 & 3 & \xcancel{0} \\ 4 & 22 & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} & 4 \\ 5 & 14 & 5 & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
सारणी 11
\begin{array}{c|ccccc|} & A & B & C & D & E \\ \hline 1 & 12 & \fbox{0} & 1 & 8 & \xcancel{0} \\ 2 & \xcancel{0} & 10 & 9 & 11 & \fbox{0} \\ 3 & \fbox{0} & 8 & 5 & 3 & \xcancel{0} \\ 4 & 22 & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \fbox{0} & 4 \\ 5 & 14 & 5 & \fbox{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
सारणी 12
\begin{array}{c|ccccc|} & A & B & C & D & E \\ \hline 1 & 12 & \fbox{0} & 1 & 8 & \xcancel{0} \\ 2 & \fbox{0} & 10 & 9 & 11 & \xcancel{0} \\ 3 & \xcancel{0} & 8 & 5 & 3 & \fbox{0} \\ 4 & 22 & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} & 4 \\ 5 & 14 & 5 & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
सारणी 13
\begin{array}{c|ccccc|} & A & B & C & D & E \\ \hline 1 & 12 & \fbox{0} & 1 & 8 & \xcancel{0} \\ 2 & \fbox{0} & 10 & 9 & 11 & \xcancel{0} \\ 3 & \xcancel{0} & 8 & 5 & 3 & \fbox{0} \\ 4 & 22 & \xcancel{0} & \xcancel{0} & \fbox{0} & 4 \\ 5 & 14 & 5 & \fbox{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
अतः सारणी 10,11,12 व 13 से निम्न इष्टतम हल प्राप्त होता है:
(i) 1 \rightarrow B ; 2 \rightarrow E, 3 \rightarrow A ; 4 \rightarrow C, 5 \rightarrow D
(ii) 1 \rightarrow B, 2 \rightarrow E, 3 \rightarrow A, 4 \rightarrow D, 5 \rightarrow C
(iii) 1 \rightarrow B, 2 \rightarrow A, 3 \rightarrow E, 4 \rightarrow C, 5 \rightarrow D
(iv) 1 \rightarrow B, 2 \rightarrow A, 3 \rightarrow E, 4 \rightarrow D, 5 \rightarrow C
(i)अधिकतम बिक्री=38+36+41+36+40=191 हजार
(ii)अधिकतम बिक्री=38+36+41+36+40=191 हजार
(iii)अधिकतम बिक्री=38+40+37+41+35=191 हजार
(iv)अधिकतम बिक्री=38+40+37+36+40=191 हजार
Example:20.एक क्रिकेट टीम के कप्तान को 5 मध्यक्रम की स्थिति पर 5 बल्लेबाजों के लिए नियत करती है।विभिन्न स्थितियों में 5 बल्लेबाजों द्वारा बनाए गए औसत रन निम्न प्रकार हैं।(i)किस बल्लेबाज को किस क्रम पर खिलाया जाए ताकि अधिकतम रन बन सके।
(The captain of a cricket team has to allot five middle batting position of five batsman.The average runs scored by each batsman at these position as follows:(i)Find the assignment of batsmen to positions,which would give the maximum numbers of runs.)
बल्लेबाज (Batsmen) बैटिंग करने वाले का नाम (Batting position)
Solution:समस्या को अधिकतम करने को,न्यूनतम में परिवर्तित करने के लिए मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव को -1 से गुणा करने पर
सारणी 1

पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर पंक्ति समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

पद (step):II.सारणी 2 के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 3

पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ पहली,दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ ऐसी है।इन पंक्तियों के शून्य को वर्ग (\square)  से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा दूसरा स्तम्भ हैं।इस स्तम्भ की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्ति की अन्य शून्यों को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 4 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 4

\begin{array}{c|ccccc|} & I & II & III & IV & V \\ \hline P &10 & 10 & 14 & 25 & \fbox{0} \\ Q & \fbox{0} & 12 & 25 & 17 & 15 \\ R & 10 & 12 & 19 & \fbox{0} & 10 \\ S & 5 & 6 & 4 & 7 & \xcancel{0} \\ T & 2 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 5 & 7 \\ \hline \end{array}
पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 5

\begin{array}{c|ccccc|c}& & & & & (2) \\ & I & II & III & IV & V & \\ \hline P &10 & 10 & 14 & 25 & \fbox{0} & (3)\\ & & & & & \vdots & \\ Q & \fbox{0} \cdots & 12\cdots & 25 \cdots & 17 \cdots & 15 & \\ & & & & & \vdots & \\ R & 10 \cdots & 12 \cdots & 19 \cdots & \fbox{0} \cdots & 10 \\ & & & & & \vdots & \\ S & 5 & 6 & 4 & 7 & \xcancel{0} &(1) \\ & & & & & \vdots & \\ T & 2 \cdots & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & 5 \cdots & 7 \\ \hline \end{array}
(i)सारणी 4 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 4 को चिन्हित कीजिए क्योंकि इसमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 4 के पाँचवें स्तम्भ में शून्य हैं इसलिए स्तम्भ 5 को चिन्हित कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ 5 की पंक्ति 1 में वर्ग (\square)  अंकित है,को चिन्हित कीजिए।
पद (step):V.अब हम चिन्हित स्तम्भ 5 से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्ति 2,3,5 जिसमें शून्य है परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 5×5 है परन्तु रेखाओं की संख्या 4 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VI.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है का न्यूनतम अवयव 4 है।इस अवयव (अर्थात् 4) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 6 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 6

\begin{array}{c|ccccc|}& I & II & III & IV & V & \\ \hline P & 6 & 6 & 10 & 21 & \fbox{0} \\ Q & \fbox{0} & 2 & 25 & 17 & 19 \\ R & 10 & 12 & 19 & \fbox{0} & 14 \\ S & 1 & 2 & \fbox{0} & 3 & \xcancel{0} \\ T & 2 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 5 & 11 \\ \hline \end{array}
पद (step):VII.
सारणी 6 में प्रत्येक पंक्ति तथा प्रत्येक स्तम्भ में नियतन है।अर्थात् पूर्ण शून्य निर्दिष्टीकरण निम्न अनुसार प्राप्त होता है:
P \rightarrow V, Q \rightarrow I, R \rightarrow I V, S \rightarrow I I I, T \rightarrow I I
कुल रन=50+42+60+20+60=232 रन
Example:20(ii).यदि टीम में अन्य बल्लेबाज U सम्मिलित किया जाता है जिसके द्वारा विभिन्न क्रम की स्थितियों में बनाए गए रनों की संख्या निम्न प्रकार है।जब बल्लेबाज U को किस बल्लेबाज के स्थान पर लिया जाना चाहिए।
(If another batsman ‘U’ with the following average runs in batting position as given is added to the team should be included to play in the team? If so who will be replaced by him?)

Solution:समस्या को अधिकतम करने को,न्यूनतम में परिवर्तित करने के लिए मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव को -1 से गुणा करने तथा सन्तुलित करने पर मैट्रिक्स निम्न होगी:
सारणी 1

पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर पंक्ति समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

पद (step):II.सारणी 2 के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 3

पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ पहली,दूसरी,तीसरी,चौथी,पाँचवीं तथा छठी पंक्तियाँ ऐसी है।इन पंक्तियों के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।
अब कोई पंक्ति तथा स्तम्भ शेष नहीं है जिसका नियतन करना है।इस प्रकार सारणी 4 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 4

\begin{array}{l|llllll|}  & I & II & III & IV & V & \text{Dummy} \\ \hline P & 10 & 10 & 14 & 25 & \fbox{0} & 25 \\ Q & \fbox{0} & 12 & 25 & 17 & 15 & 17 \\ R & 10 & 12 & 19 & \fbox{0} & 10 & 35 \\ S & 5 & 6 & 4 & 7 & \xcancel{0} & \fbox{0} \\ T & 2 & \xcancel{0} & \fbox{0} & 5 & 7 & 35 \\ U & 7 & \fbox{0} & 13 & 2 & 3 & 27 \\ \hline \end{array}
दी गई समस्या का इष्टतम नियतन:
P \rightarrow V, Q \rightarrow I, R \rightarrow I V, S \rightarrow Dummy, T \rightarrow III ,U \rightarrow II
कुल रन=50+42+60+0+59+52=263 रन
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा नियतन समस्याओं को हल करने की 2 टिप्स (2 Tips to Solve Assignment Problems)इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन समस्याएं (Assignment Problems in Optimization Theory) को समझ सकते हैं।

2 Tips to Solve Assignment Problems

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3.नियतन समस्याओं को हल करने की 2 टिप्स (Frequently Asked Questions Related to 2 Tips to Solve Assignment Problems)इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन समस्याएं (Assignment Problems in Optimization Theory) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

नियतन समस्याओं को हल करने की 2 टिप्स (2 Tips to Solve Assignment Problems) के
आधार पर सन्तुलित तथा असन्तुलित नियतन समस्याओं के सवालों को हल करके समझने
का प्रयास करेंगे।