Simplification in Mathematics
1.गणित में सरलीकरण (Simplification in Mathematics),अंकगणित में सरलीकरण (Simplification in Arithmetic):
गणित में सरलीकरण (Simplification in Mathematics) के इस आर्टिकल में एक साथ कई संक्रियाएँ हो यथा जोड़,गुणा,भाग,व्यवकलन आदि तो व्यंजक को सरल करने के लिए विशेष नियमों का पालन करना होता है।ऐसे ही व्यंजकों के सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.गणित में सरलीकरण के साधित उदाहरण (Simplification in Mathematics Solved Illustrations):
Illustration:1. 5-\left[\frac{3}{4}+\left\{2 \frac{1}{2}-\left(0.5+\overline{\frac{1}{6}-\frac{1}{7}}\right)\right\}\right]
(a) 1 \frac{19}{84} (b) 2 \frac{61}{84} (c) 2 \frac{23}{84} (d) 2 \frac{47}{84}
solution: 5-\left[\frac{3}{4}+\left\{2 \frac{1}{2}-\left(0.5+\overline{\frac{1}{6}-\frac{1}{7}}\right)\right\}\right] \\ =5-\left[\frac{3}{4}+\left\{\frac{5}{2}-\left(0.5+\frac{7-6}{42}\right)\right\}\right] \\ =5-\left[\frac{3}{4}+\left\{\frac{5}{2}-\left(\frac{21+1}{42}\right)\right\}\right] \\ =5-\left[\frac{3}{4}+\left\{\frac{5}{2}-\frac{22}{42}\right\}\right] \\=5-\left[\frac{3}{4}+\left\{\frac{5}{2}-\frac{11}{21}\right\}\right] \\ =5-\left[\frac{3}{4}+\frac{105-22}{42}\right] \\ =5-\left[\frac{3}{4}+\frac{83}{42}\right] \\ =5-\left(\frac{63+ 166}{84} \right) \\ =5-\frac{229}{84} \\ =\frac{420-229}{84} \\ =\frac{191}{84}=2 \frac{23}{84}
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:2. \frac{0 .0347 \times 0.0347 \times 0.0347+(0.9653)^3}{(0.0347)^2-(0.0347)(0.9653)+(0.9653)^2}
(a) 0.9306 (b) 1.0009 (c) 1.0050 (d) 1
solution: \frac{0 .0347 \times 0.0347 \times 0.0347+(0.9653)^3}{(0.0347)^2-(0.0347)(0.9653)+(0.9653)^2} \\ =\frac{(0.0447+0.9653)\left[(0.0347)^2-0.0347 \times 0.9653+(0.9653)^2\right]}{\left[(0.0347)^2-0.0347 \times 0.9653+(0.9653)^2\right]} \\ =1
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:3.\left[\frac{2\frac{3}{4}}{1\frac{5}{6}} \div \frac{7}{8} \times\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\frac{5}{7} \div \frac{3}{7}\right] का \frac{3}{4} मान है:
(a) \frac{55}{77} (b) \frac{49}{80} (c) \frac{2}{3} (d) 3 \frac{2}{9} (e)इनमें से कोई नहीं
solution: =\left[\frac{2\frac{3}{4}}{1\frac{5}{6}} \div \frac{7}{8} \times\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\frac{5}{7} \div \frac{3}{7}\right] \text { का } \frac{3}{4} \\ = \left[\frac{\frac{11}{4}}{\frac{11}{6}} \div \frac{7}{8} \times\left(\frac{4+3}{12}\right)+\frac{5}{7} \times \frac{7}{3}\right] \times \frac{3}{4}\\=\left[\frac{11}{4} \times \frac{6}{11} \div\left(\frac{7}{8}\right) \times \frac{7}{12}+\frac{5}{3}\right] \times \frac{3}{4} \\ =\left[\frac{3}{2} \times \frac{8}{7} \times \frac{7}{12}+\frac{5}{3}\right] \times \frac{3}{4} \\ =\left(1+\frac{5}{3}\right) \times \frac{3}{4} \\ =\frac{8}{3} \times \frac{3}{4}=2
अतः विकल्प (e) सही है।
Illustration:4. \frac{0.051 \times 0.051 \times 0.051+0.041 \times 0.041 \times 0.041}{0.051 \times 0.051-0.051 \times 0.041+0.04 \times 0.04}
(a) 0.92 (b) 0.092 (c) 0.0092 (d) 0.00092
solution: \frac{0.051 \times 0.051 \times 0.051+0.041 \times 0.041 \times 0.041}{0.051 \times 0.051-0.051 \times 0.041+0.04 \times 0.04} \\ =\frac{(0.051+0.041)\left[(0.051)^2-0.051 \times 0.041+ (0.041)^2\right]}{(0.051)^2-0.051 \times 0.041+(0.041)^2 } \\ =0.092
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:5. 81 \times 81+68 \times 68-2 \times 81 \times 68
(a)156 (b)169 (c)196 (d) 201
solution: 81 \times 81+68 \times 68-2 \times 81 \times 68= \\ =(81)^2+(68)^2-2 \times 8 \times 68 \\ =(81-68)^2 \\ =(13)^2=169
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:6.-9476.36+4378.67=?-7986.48+1798.24 में प्रश्नचिन्ह का मान है:
(a)1065.24 (b)1080.45 (c)1090.55 (d)1195.45
solution:माना ?=x
\Rightarrow -9476.36+4378.67=x-7986.48+1798.24
\Rightarrow x=-9476.36+4378.67+7986.48-1798.24
\Rightarrow x=1090.55
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:7. \frac{(2.75)^3-(2.25)^3}{(2.75)^2+2.75 \times 2.25+(2.25)^2} का मान है:
(a) 0.3 (b) 0.5 (c) 3 (d) 5
solution: \frac{(2.75)^3-(2.25)^3}{(2.75)^2+2.75 \times 2.25+(2.25)^2} \\ =\frac{(2.75-2.25)\left[(2.75)^2+2.75 \times 2.25+(2.25)^2\right]}{(2.75)^2+2.75 \times 2.25+(2.25)^2} \\ =0.5
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:8. 140 का 5 \frac{2}{5}+ ? =800 में प्रश्नचिन्ह का मान है:
(a) 8 (b) 36 (c) 44 (d) 52
solution: 140 का 5 \frac{2}{5}+?=800
माना ?=x
\Rightarrow 140 \times \frac{27}{5}+x=800 \\ \Rightarrow 28 \times 27+x=800 \\ \Rightarrow x=800-756=44
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:9.963×874 का मान है
(a) 840788 (b) 843588 (c) 839736 (d)इनमें से कोई नहीं
solution:963×874=841662
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:10. 23×(64-24)÷100 का मान होगा:
(a) 92 (b) 8.20 (c) 9.20 (d) 20
solution: 23 \times(64-24) \div 100 \\ =23 \times 40 \times \frac{1}{100}=9.2
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:11.5×?=8042÷4 में प्रश्नचिन्ह का मान है:
(a) 396.1 (b) 6433.6 (c) 10062.5 (d) 402.1 (e)इनमें से कोई नहीं
solution:5×?=8042÷4
माना ?=x
5 \times x=8042 \div 4 \\ \Rightarrow 5 \times x =8042 \div 4 \\ \Rightarrow x=\frac{8042}{5} \times \frac{1}{4}=\frac{8042}{20}=402.1
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:12.206×71-12080 का मान है:
(a) 2546 (b) 2654 (c) 2564 (d) 2645 (e)इनमें से कोई नहीं
solution:206×71-12080=14626-12080=2546
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:13.1000÷100÷10
(a) 1 (b) 0.1 (c) 1000 (d) 100 (e)इनमें से कोई नहीं
solution: 10000 \div 100 \div 10 \\ =10000 \times \frac{1}{100} \times \frac{1}{10}=10
अतः विकल्प (e) सही है।
Illustration:14.8059-7263=?×40 में प्रश्नचिन्ह का मान है:
(a) 19.9 (b) 18.7 (c) 15.9 (d) 17.7 (e)इनमें से कोई नहीं
solution:8059-7263=?×40
माना ?=x
8059-7263=x \times 40 \\ \Rightarrow \frac{8059-7263}{40}=x \\ \Rightarrow x=\frac{796}{40}=19.9
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:15.4×?=4062÷5 में प्रश्नचिन्ह का मान है:
(a) 203.1 (b) 213.1 (c) 205.1 (d) 215.1 (e)इनमें से कोई नहीं
solution:4×?=4062÷5
माना ?=x
\Rightarrow 4 \times x=4062 \div 5 \\ \Rightarrow x=\frac{4062}{4 \times 5}=203.1
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:16.5437-3153+2284=?×50 में प्रश्नचिन्ह का मान है:
(a) 96.66 (b) 91.36 (c) 96.13 (d) 93.16 (e)इनमें से कोई नहीं
solution:5437-3153+2284=?×50
माना ?=x
\Rightarrow 5437-3153+2284=x \times 50 \\ \Rightarrow x=\frac{5437-3153+2284}{50} \\ \Rightarrow x=\frac{4568}{50}=91.36
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:17. ?÷0.5×24=5652 में प्रश्नचिन्ह का मान है:
(a) 171.75 (b) 117.25 (c) 171.25 (d) 117.75 (e)इनमें से कोई नहीं
solution:?÷0.5×24=5652
माना ?=x
\Rightarrow x \div 0.5 \times 24=5652 \\ \Rightarrow \frac{x}{0.50} \times 24=5652 \\ \Rightarrow x=\frac{5652}{24} \times 0.5=117.75
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:18.5×?=4808÷8 में प्रश्नचिन्ह का मान है:
(a) 122.2 (b) 112.2 (c) 120.2 (d) 102.2 (e)इनमें से कोई नहीं
solution:5×?=4808÷8
माना ?=x
\Rightarrow 5 \times x=4808 \div 8 \\ \Rightarrow x=\frac{4808}{5 \times 8}=120.2
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:19.35154-20465-5201 का मान है:
(a) 9488 (b) 9844 (c) 9484 (d) 9848 (e)इनमें से कोई नहीं
solution:35154-20465-5201=9488
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:20.243×124-25340 का मान है:
(a) 4729 (b) 4792 (c) 4972 (d) 4927 (e)इनमें से कोई नहीं
solution:243×124-25340=4792
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:21.3034-(1002÷20.04) का सरल रूप होगा:
(a) 2543 (b) 2984 (c) 2443 (d) 3029
solution: 3034-(1002 \div 20.04) \\ =3034-\frac{1002}{20.04}=3034-50=2984
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:22.540÷180÷2÷0.01=
(a) 1500 (b) 0.0015 (c) 15 (d) 150 (e)इनमें से कोई नहीं
solution: 540 \div 180 \div 2 \div 0.01 \\ =540 \times \frac{1}{180} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{0.01}=\frac{540}{3.6}=150
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:23.887788-778877-101010-113
(a) 7887 (b) 8787 (c) 8877 (d) 7878 (e)इनमें से कोई नहीं
solution:887788-778877-101010-113=7788
अतः विकल्प (e) सही है।
Illustration:24.(?÷39)×13=156 में प्रश्नचिन्ह का मान है:
(a) 468 (b) 456 (c) 568 (d) 556 (e)इनमें से कोई नहीं
solution:(?÷39)×13=156
माना ?=x
\Rightarrow(x \div 39) \times 13=156 \\ \Rightarrow \frac{x}{39} \times 13=156 \\ \Rightarrow \frac{x}{3}=156 \Rightarrow x=468
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:25.23×45÷15 का मान है:
(a) 69 (b) 65 (c) 63 (d) 71 (e)इनमें से कोई
solution: 23 \times 45 \div 15 \\ =\frac{23 \times 45}{15}=69
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:26.96+32×5-31 का मान है:
(a) 223 (b) 225 (c) 229 (d) 221 (e)इनमें से कोई
solution: 96 \div 32 \times 5-31 \\=96+160-31 \\ =225
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:27.17×19×4÷?=1615 में प्रश्नचिन्ह का मान है:
(a) 8 (b) 6 (c) 7 (d) 9 (e)इनमें से कोई नहीं
solution:17×19×4÷?=161.5
माना ?=x
\Rightarrow 17 \times 19 \times 4 \div x=1615 \\ \Rightarrow \frac{17 \times 19 \times 4}{x}=161.5 \\ \Rightarrow x=\frac{17 \times 19 \times 4}{161.5}=\frac{1292}{161.5}=8
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:28.9352-2569+7153=13900+? में प्रश्नचिन्ह का मान है:
(a) 9 (b) 81 (c) 25 (d) 36 (e)इनमें से कोई नहीं
solution:9352-2569+7153=13900+?
माना ?=x
\Rightarrow 9352-2569+7153 = 13900+x \\ \Rightarrow x=9352-2569+7153-13900 \\ \Rightarrow x=36
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:29.73+238÷14-17
(a) 16 (b) 15 (c) 13 (d) 19 (e)इनमें से कोई नहीं
solution: 73+238 \div 14-17 \\ =73+\frac{238}{14}-17=73+17-17=73
अतः विकल्प (e) सही है।
Illustration:30.93+26×3-51 का मान है
(a) 201 (b) 102 (c) 120 (d) 210 (e)इनमें से कोई नहीं
solution: 93+26 \times 3-51 \\ =93+78-51=120
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:31.1682÷58×?=377 में प्रश्नचिन्ह का मान है:
(a) 13 (b) 15 (0)16 (d) 14 (e)इनमें से कोई नहीं
solution:1682÷58×?=377
माना ?=x
\Rightarrow 1682 \div 58 \times x=377 \\ \Rightarrow \frac{1882}{58} \times x=377 \\ \Rightarrow x=\frac{377 \times 58}{1682}=\frac{21866}{1682}=13
अतः विकल्प (a) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा गणित में सरलीकरण (Simplification in Mathematics),अंकगणित में सरलीकरण (Simplification in Arithmetic) को समझ सकते हैं।
3.गणित में सरलीकरण की समस्याएँ (Simplification in Mathematics Problems):
(1.)48 \div\left[12 \times\left(\frac{9}{8} \text { का } \frac{4}{3} \div \frac{3}{4} \text { का } \frac{2}{3}\right)\right] का मान है:
(a) 1 \frac{1}{3} (b) 3 (c) 5 \frac{1}{3} (d) 12
(2.)\frac{9}{20}-\left[\frac{1}{5}+\left\{\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right) \right\}\right] का मान है:
(a)0 (b) \frac{9}{10} (c) \frac{1}{4} (d) \frac{9}{20}
उत्तर (Answers):(1.)(a) (2.)(a)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गणित में सरलीकरण (Simplification in Mathematics),अंकगणित में सरलीकरण (Simplification in Arithmetic) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.गणित में सरलीकरण (Frequently Asked Questions Related to Simplification in Mathematics),अंकगणित में सरलीकरण (Simplification in Arithmetic) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.PEDMAS नियम क्या है? (What is PEDMAS Rule?):
उत्तर:सरलीकरण में PEDMAS का नियम भी प्रयोग किया जाता है।अतः संक्रियाओं का क्रम PEDMAS से हल किया जाता है जो निम्न है:
P=Parenthesis (कोष्ठक बँधनी)
E=Exponents
D=Division
M=Multiplication
A=Addition
S=Subtraction
BODMAS भी सरलीकरण के लिए प्रयोग किया जाता है।
प्रश्न:2.यदि BODMAS के क्रम के बीच की कोई संक्रिया न हो तो सरलीकरण कैसे करते हैं? (How is Simplification Done if There is No Intermediary Operation in the Sequence of BODMAS Rule?):
उत्तर:यदि किसी व्यंजक में कोई विशेष संक्रिया या कोष्ठक न हो,तो क्रम में उसको छोड़कर अगली संक्रिया या कोष्ठक को सरल करते हैं।
प्रश्न:3.बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ लिखो। (Write Algebraic Identities):
उत्तर: (1.)a^2-b^2=(a+b)(a-b)
(2.)(a+b)^2=a^2+2 a b+b^2
(3.)(a-b)^2=a^2-2 a b+b^2
(4.)(a+b)^2+(a-b)^2=2\left(a^2+b^2\right)
(5.)(a+b)^2=(a-b)^2=4 a b
(6.)(a+b)^3=a^3+b^3+3 a b(a+b)
(7.)(a-b)^3=a^3-b^3-3 a b(a-b)
(8.)a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right)
(9.)a^3-b^3=(a-b)\left(a^2-a b+b^2\right)
(10.)(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(a b+b c+c a)
(11.)a^3+b^3+c^3-3 a b c=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-a b)
(12.) \text { यदि } a+b+c=0 \text { तब } a^3+b^3+c^3=3 a b c
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गणित में सरलीकरण (Simplification in Mathematics),अंकगणित में सरलीकरण (Simplification in Arithmetic) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
