1.सम्मिश्र विश्लेषण में अभिसरण त्रिज्या (Radius of Convergence Complex Analysis),अभिसारी त्रिज्या (Radius of Convergent):

Radius of Convergence Complex Analysis

सम्मिश्र विश्लेषण में अभिसरण त्रिज्या (Radius of Convergence Complex Analysis) के इस आर्टिकल में घात श्रेणी की अभिसरण त्रिज्या व क्षेत्र ज्ञात करने पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.सम्मिश्र विश्लेषण में अभिसरण त्रिज्या के उदाहरण (Radius of Convergence Complex Analysis Illustrations):

Illustration:1.निम्नलिखित घात श्रेणी की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
(Find the radii of covergence of the following power series):
Illustration:1(i). \Sigma\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2} z^n
Solution: \sum \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2} z^n \\ a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2} \\ \frac{1}{R}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(a_n\right)^{\frac{1}{n}} \\=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left[\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}\right]^{\frac{1}{n}} \\ \Rightarrow \frac{1}{R} =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
\log \frac{1}{R}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \log \left(1-\frac{1}{n}\right)^n \\ \log \frac{1}{R}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \log \left(1-\frac{1}{n}\right) \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[-\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^2}-\frac{1}{3 n^3}- \cdots\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \times \frac{1}{n+}\left(-1-\frac{1}{2 n}-\frac{1}{3 n^2}- \cdots\right) \\ \log \frac{1}{R} =-1 \\ \Rightarrow \frac{1}{R} =e^{-1} \\ \Rightarrow R=e
Illustration:1(ii). \sum \frac{z^n}{2^n+1}
Solution: \sum \frac{z^n}{2^n+1} \\ a_n=\frac{1}{2^n+1} , a_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}+1} \\ \therefore R=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{a_n}{a_{n+1}} =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2^{n+1}+1}{2^n+1} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2^n\left(2+2^{-n}\right)}{2^n\left(1+2^{-n}\right)} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{1}{2^n}} \\ =\frac{2+\frac{1}{\infty}}{1+\frac{1}{\infty}} \\ =\frac{2+0}{1+0} \\ R=2
Illustration:1(iii). \sum \frac{i n+2}{2^n} z^n
Solution: \sum \frac{i n+2}{2^n} z^n \\ a_n=\frac{in+2}{2^n}, a_{n+1}=\frac{i(n+1)+2}{2^{n+1}} \\ \frac{1}{R}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{a_{n+1}}{a_n} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{i(n+1)+2}{2^{n+1}}}{\frac{in+2}{2^n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{i(n+1)+2}{2^{n+1}} \times \frac{2^n}{in+2} \\ =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n\left[i(1+\frac{1}{n})+\frac{2}{n}\right]}{n\left(i+\frac{2}{n}\right)} \times \frac{2^n}{2^n \cdot 2} \\ \frac{1}{R}=\frac{i}{i} \times \frac{1}{2} \\ \Rightarrow R=2
Illustration:1(iv). \underset{2}{\overset{\infty}{\sum}} \frac{z^n}{\log n}
Solution: \underset{2}{\overset{\infty}{\sum}} \frac{z^n}{\log n} \\ a_n=\frac{1}{\log n}, a_{n+1}=\frac{1}{\log (n+1)} \\ \therefore R=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{a_n}{a_{n+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{\log n}}{\frac{1}{\log (n+1)}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\log (n+1)}{\log n} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\log n(1+\frac{1}{n})}{\log n} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\log n+\log (1+\frac{1}{n})}{\log n} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} 1+\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^2} +\frac{1}{3 n^3}+\cdots }{\log n} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} 1+\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{3n^3}+\cdots}{\log n} \\ = 1 \\ \Rightarrow R=1
Illustration:2.निम्नलिखित श्रेणी की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए:
(Find the radius of convergence of the following series):
\sum 2^{\sqrt{n}} z^n
Solution: \sum 2^{\sqrt{n}} z^n \\ a_n=2^{\sqrt{n}} \\ \frac{1}{R}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(2^{\sqrt{n}}\right)^{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} 2^{\frac{1}{\sqrt{n}}} \\ =2^{\frac{1}{\infty}}=2^0 \\ \Rightarrow \frac{1}{R}=1 \Rightarrow R=1
Illustration:3.घात श्रेणी \overset{\infty}{\underset{0}{\sum}} \frac{z^n}{2^{n+1}} की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए
और सिद्ध कीजिए कि (2-z) \cdot f(z)-2 \rightarrow 0 , z \rightarrow 2 के रूप में।
(Find the radius of convergence of the power series \overset{\infty}{\underset{0}{\sum}} \frac{z^n}{2^{n+1}}
and prove that (2-z) \cdot f(z)-2 \rightarrow 0 \text { as } z \rightarrow 2 .)
Solution: f(z)=\overset{\infty}{\underset{0}{\sum}} \frac{z^n}{2^{n+1}} \\ a_n=\frac{1}{2^{n}+1} a_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}+1} \\ \therefore R=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{a_n}{a_{n+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2^{n+1}+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2^{n+1}+1}{2^n+1} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2^n \left(2+\frac{1}{2^n}\right)}{2^n\left(1+\frac{1}{2^n}\right)} \\=\frac{2+\frac{1}{\infty}}{1+\frac{1}{\infty}} \\ =\frac{2+0}{1+0} \\ \Rightarrow R=2
अब f(z)=\overset{\infty}{\underset{0}{\sum}} \frac{z^n}{2^{n+1}}=\overset{\infty}{\underset{0}{\sum}} \frac{z^n}{2^n} \\ =1+\frac{z}{2}+\left(\frac{z}{z}\right)^2+\left(\frac{z}{2}\right)^3+\cdots \\ =\frac{1}{1-\frac{z}{2}} \\ =\frac{2}{2-z} \\ \therefore \underset{z \rightarrow 2}{\lim} (2-z) f(z)=\underset{z \rightarrow 2}{\lim} (2-z)\left( \frac{2}{z-2} \right) \\=2
अतः (2-z) f(z)-2 \rightarrow 0 \text { as } z \rightarrow 2
Illustration:4.दिखाइए कि श्रेणी u_n=\left(\frac{i z-1}{2+i}\right)^n के अभिसरण का डोमेन |z+i|<\sqrt{5} द्वारा दिया गया है।
(Show that the domain of convergence of the series u_n=\left(\frac{i z-1}{2+i}\right)^n is given by |z+i|<\sqrt{5} .)
Solution: u_n=\left(\frac{i z-1}{2+i}\right)^n
तथा u_{n+1}=\left(\frac{i z-1}{2+i}\right)^{n+1} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{m}\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left|\frac{\left(\frac{i z-1}{2+i} \right)^{n+1}}{\left(\frac{i z-1}{2+i}\right)^n}\right| \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\left(\frac{i z-1}{2+i}\right)^{n+1} \times\left(\frac{2+i}{i z-1}\right)^n\right| \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{i z-1}{2+i}\right| \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{|i z-1|}{\sqrt{5}}
अतः दी हुई श्रेणी अभिसारी है यदि \left|iz-i\right|<\sqrt{5} \\ \Rightarrow \left|\frac{-z-i}{i}\right|<\sqrt{5} \\ \Rightarrow|z+i|<\sqrt{5}
अतः दी हुई श्रेणी वृत्त के अन्दर z के उन मानों के लिए अभिसारी है जिसकी त्रिज्या \sqrt{5} तथा केन्द्र z=-i है।

Radius of Convergence Complex Analysis

Illustration:5.z के उन मानों का समुच्चय निर्धारित कीजिए जिनके लिए श्रेणी \sum(-1)^n\left(z^n+z^{n+1}\right) अभिसरण करती है।श्रेणी का योग भी ज्ञात कीजिए।
(Determine the set of values of z for which the series \sum(-1)^n\left(z^n+z^{n+1}\right) converges.Also find the sum of the series.)
Solution: u_n=(-1)^n\left(z^n+z^{n+1}\right) \\ u_{n+1}=(-1)^{n+1}\left(z^{n+1}+z^{n+2}\right)
z=0 के अतिरिक्त दी गई श्रेणी अभिसारी है।
\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{\left(-1\right)^{n+1}\left(z^{n+1}+z^{n+2}\right)}{\left(-1\right)^n \cdot \left(z^n+z^{n+1}\right)}\right| \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} |-z|
अतः दी गई श्रेणी अभिसारी है यदि |z| <1
इस प्रकार दी गई श्रेणी z के उन बिन्दुओं के लिए अभिसारी है जो वृत्त के अन्दर है जिसकी त्रिज्या 1 तथा केन्द्र z=0 है।
n पदों तक श्रेणी के योगफल के लिए
S_n(z)=\left(1-z+z^2+\cdots n \text{पद}\right)+ \left(z-z^2+z^3+\cdots n \text{पद} \right) \\ =\frac{1-(-z)^n}{1+z}+\frac{1-(-z)^n}{1+z} \\ =\left[1-(-z)^n\right]\left(\frac{1+z}{1+z}\right) \\ =1-(-z)^n
अभीष्ट योगफल
S(z)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_n(z)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left[1-(-z)^n\right] \\ -1 [\therefore |z|< 1] \\ \Rightarrow S(z)=1
Illustration:6.z के किन मानों के लिए श्रेणी \overset{\infty}{\underset{0}{\sum}} \frac{1}{(z^2+1)^n} अभिसरण करती है।इसका योग भी ज्ञात कीजिए।
(For what values of z does the series \overset{\infty}{\underset{0}{\sum}} \frac{1}{(z^2+1)^n} converge.Also find its sum.)
Solution: u_n=\frac{1}{(z^2+1)^m}, u_{n+1}=\frac{1}{\left(z^2+1\right)^{n+1}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{\frac{1}{\left(z^2+1\right)^{n+1}}}{\frac{1}{\left(z^2+1\right)^n}}\right| \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{1}{z^2+1}\right|
दी गई श्रेणी अभिसरित होती है यदि |z^2+1|>1
यदि दी गई श्रेणी के n पदों का योग S_n(z) है तो
S_n(z)=\frac{1}{z^2+1}+\frac{1}{\left(z^2+1\right)^2}+\cdots+n \text{ पद } \\=\frac{1}{z^2+1} \cdot \frac{1-\frac{1}{\left(z^2+1\right)^n}}{1-\frac{1}{z^2+1}} \\ =\frac{1}{z^2}\left[1-\frac{1}{\left(z^2 +1 \right)^n}\right]
अभीष्ट योगफल
S(z)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_{n}(z) \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{z^2}\left[1-\frac{1}{\left(z^2+1\right)^n}\right] \\ \Rightarrow S(z)=\frac{1}{z^2} जबकि |z^2+1|>1
Illustration:7.घात श्रेणी \sum\left(\frac{2 i}{z+i+1}\right)^n के अभिसरण का डोमेन ज्ञात कीजिए।
Find the domain of convergence of the power series
\sum\left(\frac{2 i}{z+i+1}\right)^n
Solution: u_n=\left(\frac{2 i}{z+i+1}\right)^n \\ u_{n+1}=\left(\frac{2 i}{z+i+1}\right)^{n+1} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{\left(\frac{2 i}{z+i+1}\right)^{n+1}}{\left(\frac{2 i}{z+i+1}\right)^n}\right| \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{2i}{z+i+1}\right| \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2}{|z+i+1|}
दी गई श्रेणी अभिसारी है यदि \frac{2}{|z+1+i|}<1 \\ \Rightarrow|z+1+i|>2
इस प्रकार दी गई श्रेणी उन सभी बिन्दुओं के लिए अभिसारी है जो वृत्त के अन्दर स्थित है जिसकी त्रिज्या 2 तथा केन्द्र z=-(1+i) पर है।
Illustration:8.अभिसरण वृत्त पर निम्न घात श्रेणी के व्यवहार की जाँच कीजिए:
(Examine the behaviour of the following power series on the circle of Convergence):
Illustration:8(i). \overset{\infty}{\underset{2}{\sum}} \frac{z^{4 n}}{4 n+1}
Solution: \overset{\infty}{\underset{2}{\sum}} \frac{z^{4 n}}{4 n+1} \\ R=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{4(n+1)+1}{4 n+1} \\ \Rightarrow R=1 \\ z=\pm 1, \pm i पर \frac{z^n}{4 n+1}=\frac{1}{4 n+1} \\ \sum \frac{1}{4 n+1} अभिसारी है अतः दी गई श्रेणी z=\pm 1, \pm i पर अभिसारी है।
अब हम सिद्ध करेंगे कि दी गई श्रेणी z के अन्य सभी बिन्दुओं के लिए अभिसरण वृत्त पर अभिसारी है।
a_n=z^{4 n} ,u_{n}=\frac{1}{4 n+1}
अब \left| 1+z^4+z^8+\ldots+z^{4 n}\right|=\left|\frac{1-z^{4n+4}}{1-z^4}\right| ,z \neq \pm 1, \pm i \\ \leq \frac{1+|z|^{4 n+4}}{\left|1-z^4\right|} \\ \leq \frac{2}{|-z^4|} \\ \Sigma a_n अनुक्रम का आंशिक योग परिबद्ध है।
u_{n}-u_{n+1}=\frac{1}{4 n+1}-\frac{1}{4 n+5} \\=\frac{4}{(4 n+1)(4 n+5)} \\ \therefore \sum \left|u_n-u_{n+1}\right| अभिसारी है।
\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{4n+1}=0
अतः श्रेणी \sum a_n u_n ,z के बिन्दुओं z= \pm 1 के अतिरिक्त अभिसरण वृत्त पर अभिसरित होती है।
Illustration:8(ii). \overset{\infty}{\underset{1}{\sum}} (- 1)^n \frac{z^n}{n}
Solution: \overset{\infty}{\underset{1}{\sum}} (- 1)^n \frac{z^n}{n} \\ R=1
z=-1 के लिए \frac{(-1)^n z^n}{n}=\frac{1}{n}
श्रेणी \sum \frac{1}{n} अपसारी है अतः दी गई श्रेणी z=-1 के लिए अभिसारी नहीं है
डिक्ले परीक्षण (Drichlet’s Test) से अभिसरण वृत्त के अन्य बिन्दुओं पर अभिसरण की जाँच करने के लिए
a_n=(-1)^n z^n, u_n=\frac{1}{n}
अब \left|-z+z^2-z^3+\cdots+(-1)^n z^n\right| \\ =\left|\frac{-z\left(1-(-z)^n\right)}{1+z}\right|, z \neq -1 \\ \leq \frac{|-z|+\left|(-1)^n z^{n+1}\right|}{|1+z|} \\ \leq \frac{z}{|1+z|}
अनुक्रम \sum a_n का आंशिक योग परिबद्ध है।
u_n-u_{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}
अतः \sum\left|u_n-u_{n+1}\right| अभिसारी है।
\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\lim \frac{1}{n}=0
अतः श्रेणी z=-1 के अतिरिक्त सभी बिन्दुओं के लिए अभिसरण वृत्त पर अभिसारी है।
Illustration:9.श्रेणी के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए
(Find the region of convergence of the series)
\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} n!z^n
Solution: \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} n!z^n \\ u_n=n!z^n ; u_{n+1}=(n+1)! z^{n+1}=(n+1) z u_n \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_n}{u_n+1}\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} (n+1)|z| \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|= \begin{cases}\infty \text { यदि } z \neq 0 \\ 0<1 \text { यदि }\end{cases}
अतः श्रेणी z=0 के अतिरिक्त z के अन्य बिन्दुओं पर अभिसारी नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्मिश्र विश्लेषण में अभिसरण त्रिज्या (Radius of Convergence Complex Analysis),अभिसारी त्रिज्या (Radius of Convergent) को समझ सकते हैं।

3.सम्मिश्र विश्लेषण में अभिसरण त्रिज्या पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Radius of Convergence Complex Analysis):

Radius of Convergence Complex Analysis

(1.)श्रेणी \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} n^n z^n की अभिसरण त्रिज्या है
(The radius of convergence of the series \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} n^n z^n is):
(2.)श्रेणी \sum \frac{n}{2^n} z^n के लिए,अभिसरण त्रिज्या है:
(For the series \sum \frac{n}{2^n} z^n , the radius of convergence is):
उत्तर (Answers):(1.)0 (2.)2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्मिश्र विश्लेषण में अभिसरण त्रिज्या (Radius of Convergence Complex Analysis),अभिसारी त्रिज्या (Radius of Convergent) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सम्मिश्र विश्लेषण में अभिसरण त्रिज्या (Frequently Asked Questions Related to Radius of Convergence Complex Analysis),अभिसारी त्रिज्या (Radius of Convergent) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सम्मिश्र विश्लेषण में अभिसरण त्रिज्या (Radius of Convergence Complex Analysis) के इस
आर्टिकल में घात श्रेणी की अभिसरण त्रिज्या व क्षेत्र ज्ञात करने पर आधारित सवालों को हल
करने के बारे में अध्ययन करेंगे।