1.त्रिकोणमिति के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Important Examples of Trigonometry),पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of Complementary Angles Class 10):

Important Examples of Trigonometry

त्रिकोणमिति के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Trigonometry) के इस आर्टिकल में पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.त्रिकोणमिति के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Trigonometry):

निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:(प्रश्न 1 से 5 तक)
Example:1(i). \frac{\sin 10^{\circ}}{\cos 80^{\circ}}
Solution: \frac{\sin 10^{\circ}}{\cos 80^{\circ}} \\ =\frac{\sin \left(90^{\circ}-80^{\circ}\right)}{\cos 80^{\circ}} \\ =\frac{\cos 80^{\circ}}{\cos 80^{\circ}}=1
Example:1(ii). \frac{\tan 49^{\circ}}{\cot 41^{\circ}}
Solution: \frac{\tan 49^{\circ}}{\cot 41^{\circ}} \\ =\frac{\tan \left(90^{\circ}-41^{\circ}\right)}{\cot 41^{\circ}} \\ =\frac{\cot 41^{\circ}}{\cot 41^{\circ}} \\ =1
Example:2(i). \cos \theta \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)-\sin \theta \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)
Solution: \cos \theta \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)-\sin \theta \sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \\ =\cos \theta \sin \theta-\sin \cos \theta \left[\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cos \theta, \\ \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin \theta\right] \\ =0
Example:2(ii). \sin \theta \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)+\cos \theta \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)
Solution: \sin \theta \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)+\cos \theta \sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \\=\sin \theta \cdot \sin \theta+\cos \theta \cdot \cos \theta\left[ \because \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin \theta, \sin (90-\theta)=\cos \theta \right] \\ =\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta \\=1
Example:3(i). \operatorname{cosec} 72^{\circ}-\sec 18^{\circ}
Solution: \operatorname{cosec} 72^{\circ}-\sec 18^{\circ} \\ =\operatorname{cosec}\left(90^{\circ} -18^{\circ}\right)-\sec 18^{\circ} \\ =\sec 18^{\circ}-\sec 18^{\circ} \quad\left[ \because \operatorname{cosec} \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sec \theta\right] \\ =0
Example:3(ii). \sin ^2 50^{\circ}+\sin ^2 40^{\circ}
Solution: \sin ^2 50^{\circ}+\sin ^2 40^{\circ} \\ =\sin ^2 50^{\circ}+\sin ^2\left(90^{\circ} -50^{\circ}\right) \\ =\sin ^2 50^{\circ}+\cos ^2 50^{\circ} \quad\left[\because \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cos \theta\right] \\ =1
Example:4(i). \frac{\cos ^2 41^{\circ}+\cos ^2 49^{\circ}}{ \sin ^2 59^{\circ}+\sin ^2 31^{\circ}}
Solution:\frac{\cos ^2 41^{\circ}+\cos ^2 49^{\circ}}{ \sin ^2 59^{\circ}+\sin ^2 31^{\circ}} \\ =\frac{\cos ^2\left(90^{\circ}-49^{\circ}\right)+\cos ^2 49^{\circ}}{\sin ^2 59^{\circ}+\sin ^2\left(90^{\circ} -59^{\circ}\right)} \\ =\frac{\sin ^2 49^{\circ}+\cos ^2 49^{\circ}}{\sin ^2 59^{\circ}+\cos ^2 59^{\circ}}\left[\because \cos (90-\theta)=\sin \theta,\sin (90-\theta)=\cos \theta \right] \\ =\frac{1}{1} \\=1
Example:4(ii). \left(\frac{\sin 27^{\circ}}{\cos 63^{\circ}}\right)^2+\left(\frac{\cos 63^{\circ}}{\sin 27^{\circ}}\right)^2
Solution: \left(\frac{\sin 27^{\circ}}{\cos 63^{\circ}}\right)^2+\left(\frac{\cos 63^{\circ}}{\sin 27^{\circ}} \right)^2 \\ =\left(\frac{\sin 27^{\circ}}{\cos \left(90^{\circ}-27^{\circ}\right)} \right)^2 +\left(\frac{\cos \left(90^{\circ}-27^{\circ}\right)}{\sin 27^{\circ}}\right)^2 \\ = \left(\frac{\sin 27^{\circ}}{\sin 27^{\circ}} \right)^2+\left(\frac{\sin 27^{\circ}}{\sin 27^{\circ}}\right)^2\left[\because \cos \left(90^{\circ}-\theta \right) =\sin \theta \right]\\ =(1)^2+(1)^2 \\ =1+1=2
Example:5. 5 \frac{\sin 17^{\circ}}{\cos 73^{\circ}}+2 \frac{\cos 67^{\circ}}{\sin 23^{\circ}}-6 \frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}
Solution:5 \frac{\sin 17^{\circ}}{\cos 73^{\circ}}+2 \frac{\cos 67^{\circ}}{\sin 23^{\circ}}-6 \frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}} \\ =5 \frac{\sin 17^{\circ}}{\cos \left(90^{\circ}-17^{\circ}\right)}+\frac{2 \cos \left(90^{\circ}-23^{\circ}\right)}{\sin 23^{\circ}}-\frac{6 \sin 15^{\circ}}{\cos \left(90-15^{\circ}\right)} \\ =5 \frac{\sin 17^{\circ}}{\sin 17^{\circ}}+\frac{2 \sin 23^{\circ}}{\sin 23^{\circ}}-\frac{6 \sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ}} \left[\because \cos \left(90^{\circ}-\theta \right) =\sin \theta \right]\\ =5(1)+2(1)-6(1) \\ =7-6=1
Example:6. \sin 81^{\circ}+\sin 71^{\circ} को 0° और 45° के कोणों के बीच के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
Solution: \sin 81^{\circ}+\sin 71^{\circ}\\ =\sin \left(90^{\circ}-9^{\circ}\right)+\sin \left(90^{\circ} -19^{\circ}\right) \\ =\cos 9^{\circ}+\cos 19^{\circ} \quad[\because \sin (90-\theta)=\cos \theta]

Important Examples of Trigonometry

सिद्ध कीजिए कि:(प्रश्न 7 से 12)
Example:7. \sin 65^{\circ}+\cos 25^{\circ}=2 \cos 25^{\circ}
Solution: \sin 65^{\circ}+\cos 25^{\circ}=2 \cos 25^{\circ} \\ \text { L.H.S. } \sin 65^{\circ}+\cos 25^{\circ} \\ =\sin \left(90^{\circ}-25^{\circ}\right)+\cos 25^{\circ} \\ =\cos 25^{\circ}+\cos 25^{\circ}  \left[\because \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cos \theta\right] \\ =2 \cos 25^{\circ}=\text { R.H.S. }
Example:8. \sec ^2 \theta-\cot ^2\left(90^{\circ}-\theta\right)=\cos ^2\left(90^{\circ}-\theta\right)+\cos ^2 \theta
Solution: \sec ^2 \theta-\cot ^2\left(90^{\circ}-\theta\right)=\cos ^2\left(90^{\circ}-\theta\right) +\cos ^2 \theta \\ \text { L.H.S. } \sec ^2 \theta-\cot ^2\left(90^{\circ}-\theta\right) \\=\sec ^2 \theta-\tan ^2 \theta\left[\because \cot \left(90^{\circ}-\theta\right)=\tan \theta\right] \\=1 \\ \text { R.H.S. } \cos ^2\left(90-\theta\right)+\cos ^2 \theta \\=\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta \quad\left[ \because \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin \theta\right] \\ =1
L.H.S.=R.H.S.
Example:9. \frac{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \theta}{\tan \theta}+\cos ^2\left(90^{\circ}-\theta\right)=1
Solution: \frac{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \theta}{\tan \theta}+\cos ^2\left(90^{\circ}-\theta\right)=1 \\ \text { L.H.S. } \frac{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \theta}{\tan \theta}+\cos ^2\left(90^{\circ}-\theta\right) \\ =\frac{\sin \theta \cos \theta}{\tan \theta}+\sin ^2 \theta\left[\because \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin \theta\right] \\ =\frac{\sin \theta \cos \theta}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}+\sin ^2 \theta\left[\because \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right] \\ =\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta \\=1
=1=R.H.S.
Example:10. \cot \left(90^{\circ}-\theta\right) \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin \theta
Solution: \cot \left(90^{\circ}-\theta\right) \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin \theta \\ \text { L.H.S. } \cot \left(90^{\circ}-\theta\right) \sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \\ =\tan \theta \cos \theta\left[\because \cot \left(90^{\circ}-\theta\right)=\tan \theta, \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cos \theta\right] \\ =\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cos \theta \\ =\sin \theta=\text { R.H.S.}
Example:11. \sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\frac{\tan \theta}{1+\tan^2 \theta}
Solution: \sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\frac{\tan \theta}{1+\tan^2 \theta} \\ \text { L.H.S } \sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)\\ =\cos \theta \sin \theta \\ \text { R.H.S. }=\frac{\tan \theta}{1+\tan ^2 \theta} \\ =\frac{\tan \theta}{\sec ^2 \theta} \quad\left[ \because 1+\tan ^2 \theta=\sec ^2 \theta\right] \\ =\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos ^2 \theta}} \quad\left[\because \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \sec^2 \theta=\frac{1}{\cos ^2 \theta}\right] \\ =\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \cos ^2 \theta \\ =\sin \theta \cos \theta
L.H.S = R.H.S
Example:12. \frac{\sin \theta \cos \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \theta}{\sec \left(90^{\circ}-\theta\right)}+\frac{\cos \theta \sin \left(9 \theta^{\circ}-\theta\right) \sin \theta}{\operatorname{cosec} \left(90^{\circ}-\theta\right)}=\sin \theta \cos \theta
Solution: \frac{\sin \theta \cos \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \theta}{\sec \left(90^{\circ}-\theta\right)}+\frac{\cos \theta \sin \left(9 \theta^{\circ}-\theta\right) \sin \theta}{\operatorname{cosec} \left(90^{\circ}-\theta\right)}=\sin \theta \cos \theta \\ \text { L.H.S. } \frac{\sin \theta \cos \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \theta}{\sec \left(90^{\circ}-\theta\right)}+\frac{\cos \theta \sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \sin \theta}{\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-\theta\right)} \\ =\frac{\sin \theta \sin \theta \cos \theta}{\operatorname{cosec} \theta}+\frac{\cos \theta \cos \theta \sin \theta}{\sec \theta} \\ =\frac{\sin ^2 \theta \cos \theta}{\frac{1}{\sin \theta}}+\frac{\cos ^2 \theta \sin ^2 \theta}{\frac{1}{\cos \theta}} \\ =\sin ^3 \theta \cos \theta+\cos ^3 \theta \sin \theta \\ =\sin \theta \cos \theta\left(\sin ^2 \theta+\cos^2 \theta\right) \\ =\sin \theta \cos \theta=R.H.S.
Example:13.यदि A और B न्यूनकोण हैं और \sin A=\cos B हो तो सिद्ध कीजिए
A+B=90°
Solution: \sin A=\cos B \\ \Rightarrow \sin A=\sin \left(90^{\circ}-B\right)\left[\because \cos B=\sin \left(90^{\circ}-B\right) \right] \\ \Rightarrow A=90^{\circ}-B \\ \Rightarrow A+B=90^{\circ}
Example:14. \theta का मान ज्ञात कीजिए,यदि
Example:14(i). \tan 2 \theta=\cot \left(\theta+6^{\circ}\right) जहाँ 2 \theta व \left(\theta+6^{\circ}\right) न्यूनकोण है।
Solution: \tan 2 \theta=\cot \left(\theta+6^{\circ}\right)\\ \Rightarrow \tan 2 \theta=\tan \left[90^{\circ}-\left(\theta+6^{\circ}\right)\right]\left[\because \cot \theta=\tan \left(90^{\circ}-\theta\right)\right] \\ \Rightarrow 2 \theta=90^{\circ}-\left(\theta+6^{\circ}\right) \\ \Rightarrow 2 \theta=90^{\circ}-\theta-6^{\circ} \\ \Rightarrow 2 \theta+\theta=84^{\circ} \\ \Rightarrow 3 \theta=84^{\circ} \\ \Rightarrow \theta=\frac{84^{\circ}}{3}=28^{\circ}
Example:14(ii). \sin \left(\theta+36^{\circ}\right)=\cos \theta जहाँ \left(\theta+ 36^{\circ}\right) न्यूनकोण है।
Solution: \sin \left(\theta+36^{\circ}\right)=\cos \theta \\ \Rightarrow \sin \left(\theta+ 36^{\circ}\right) =\sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \quad\left[\because \cos \theta =\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)\right] \\ \Rightarrow \theta+36^{\circ}=90^{\circ}-\theta \\ \Rightarrow \theta+\theta=90^{\circ}-36^{\circ} \\ \Rightarrow 2 \theta=54^{\circ} \\ \Rightarrow \theta=\frac{54^{\circ}}{2} \Rightarrow \theta=27^{\circ}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमिति के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Trigonometry),पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of Complementary Angles Class 10) को समझ सकते हैं।

3.त्रिकोणमिति के महत्त्वपूर्ण उदाहरण पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Important Examples of Trigonometry):

Important Examples of Trigonometry

(1.)निम्न का मान ज्ञात कीजिए।
(i) \frac{\cos 59^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}
(ii) \tan 39^{\circ}-\cot 51^{\circ}
(iii) \sin^2 28^{\circ}+\sin ^2 70^{\circ}
(2.)यदि \sin 3 \theta=\cos \left(\theta-6^{\circ}\right) जहाँ 3 \theta और \left(\theta-6^{\circ}\right) न्यूनकोण हों,तो \theta का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)(i)1 (ii).0 (iii).1 (2.)24°
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमिति के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Trigonometry),पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of Complementary Angles Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.त्रिकोणमिति के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Important Examples of Trigonometry),पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of Complementary Angles Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.पूरक कोण किसे कहते हैं? (What is Complementary Angles?):

उत्तर:कोई दो कोण परस्पर पूरक कहलाते हैं यदि इनकी माप का योगफल 90° हो।

प्रश्न:2.पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के सूत्र लिखिए। (Write the Formulae for Trigonometric Ratios of Complementary Angles):

उत्तर:
\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cos \theta \quad\text { जब } \theta^{\circ} \leq \theta \leq 90^{\circ}
\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin \theta \quad \text { जब } 0^{\circ} \leq \theta \leq 90^{\circ}
\tan \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cot \theta \quad\text { जब } 0^{\circ} < \theta \leq 90^{\circ}
\cot \left(90^{\circ}-\theta\right)=\tan \theta \quad \text { जब } 0^{\circ} \leq \theta <90^{\circ}
\sec \left(90^{\circ}-\theta\right)=\operatorname{cosec} \theta \quad \text { जब } 0^{\circ} < \theta \leq 90^{\circ}
\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-\theta\right)=\sec \theta \quad \text { जब } 0^{\circ} \leq \theta < 90^{\circ}

प्रश्न:3.त्रिकोणमिति में किसी समकोण त्रिभुज की सम्मुख भुजा और आसन्न भुजा कौन-सी होती है?

उत्तर:चित्र के अनुसार कोण \theta की सम्मुख भुजा BC,आसन्न भुजा AB तथा कर्ण AC है।तब पूरक कोण 90^{\circ}-\theta की सम्मुख भुजा AB,आसन्न भुजा BC और कर्ण AC होगा।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिकोणमिति के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Trigonometry),पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of Complementary Angles Class 10) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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