1.नियतन समस्या हल कीजिए (Solve Assignment Problems)इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन (अधिन्यासन) समस्याएँ (Assignment Problems in Optimization Theory):

Solve Assignment Problems

नियतन समस्या हल कीजिए (Solve Assignment Problems) के इस आर्टिकल में विशेष प्रकार की समस्याएं जिन्हें नियतन (अधिन्यासन) समस्याएँ कहते हैं,पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.नियतन समस्या हल कीजिए के साधित उदाहरण (Solve Assignment Problems Solved Illustrations):

Illustration:12.पाँच व्यक्ति A,B,C,D तथा E को पाँच कार्य 1,2,3,4 तथा 5 निर्दिष्ट करने हैं।प्रत्येक व्यक्ति द्वारा प्रत्येक कार्य हेतु लिया गया समय (मिनिटों) में निम्न मैट्रिक्स में दर्शाया गया है।इष्टतम हल ज्ञात कीजिए:
(Five jobs 1,2,3,4 and 5 are to be assigned to five persons A,B,C,D and E,the time taken in minute by each person on each job is given in the following matrix.Determine the optimal schedule):

Solution:पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर पंक्ति समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 1

पद (step):II.सारणी के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ पहली व तीसरी पंक्तियाँ ऐसी है।इन पंक्तियों के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा पहला और पाँचवा स्तम्भ हैं।इन स्तम्भों की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्ति की अन्य शून्यों को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 3 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 3

\begin{array}{c|ccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline A & 3 & \fbox{0} & 3 & 3 & 2 \\ B & 2 & \xcancel{0} & \xcancel{0} & 1 & \fbox{0} \\ C & 3 & \xcancel{0} & \fbox{0} & 3 & 2 \\ D & \fbox{0} & \xcancel{0} & 2 & \xcancel{0} & 1 \\ E & 2 & \xcancel{0} & 4 & 2 & 2 \\ \hline \end{array}
पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 4

\begin{array}{c|ccccc|c} & & (2) & & & \\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \\ \hline A & 3 & \fbox{0} & 3 & 3 & 2 & (3) \\ & & \vdots & & & & \\ B & 2 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & 1 \cdots & \fbox{0} \cdots & \\ & & \vdots & & & & \\ C & 3 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} \cdots & 3 \cdots & 2 \cdots & \\ & & \vdots & & & & \\ D & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & 2 \cdots & \xcancel{0} \cdots & 1 \cdots& \\ & & \vdots & & & & \\ E & 2 & \xcancel{0} & 4 & 2 & 2 & (1) \\ \hline \end{array}
(i)सारणी 3 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 5 को चिन्हित कीजिए क्योंकि इसमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 5 के दूसरे स्तम्भ में शून्य हैं इसलिए स्तम्भ 2 को चिन्हित कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ 2 की पंक्ति 1 में वर्ग अंकित है,को चिन्हित कीजिए।
पद (step):V.अब चिन्हित स्तम्भ 2 से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्तियों 2,3,4 जिनमें शून्य है परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 5×5 है परन्तु रेखाओं की संख्या 4 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VI.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है का न्यूनतम अवयव 2 है।इस अवयव (अर्थात् 2) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 5 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 5

\begin{array}{c|ccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline A & 3 & \fbox{0} & 1 & 1 & \xcancel{0} \\ B & 2 & 2 & \xcancel{0} & 1 & \fbox{0} \\ C & 3 & 2 & \fbox{0} & 3 & 2 \\ D & 0 & 2 & 2 & 0 & 1 \\ E & 0 & \xcancel{0} & 2 & 0 & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
पद (step):VII.अब पुनः समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए स्टेप IV के अनुसार हंगेरियन विधि से रेखाएँ खींचते हैं।
सारणी 6

\begin{array}{c|ccccc|c} & (3) & (5) & & (4) & (6) \\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \\ \hline A & 3 & \fbox{0} & 1 & 1 & \xcancel{0} & (7) \\ & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \\ B & 2 & 2 & \xcancel{0} & 1 & \fbox{0} & (8) \\ & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \\ C & 3 \cdots & 2 \cdots & \fbox{0} \cdots & 3 \cdots & 2 \cdots & \\ & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \\ D & 0 & 2 & 2 & 0 & 1 & (1) \\ & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \\ E & 0 & \xcancel{0} & 2 & 10 & \xcancel{0} & (2) \\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 5×5 है तथा रेखाओं की संख्या भी 5 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त होता है।फलतः सारणी 6 का शून्य निर्दिष्टीकरण trial and error विधि से निम्न प्रकार से कर सकते हैं:
सारणी 6
\begin{array}{c|ccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline A & 3 & \fbox{0} & 1 & 1 & \xcancel{0} \\ B & 2 & 2 & \xcancel{0} & 1 & \fbox{0} \\ C &3 & 2 & \fbox{0} & 3 & 2 \\ D &\fbox{0} & 2 & 2 & \xcancel{0} & 1 \\ E &\xcancel{0} & \xcancel{0} & 2 & \fbox{0} & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
अतः सारणी 7 से निम्न इष्टतम हल प्राप्त होता है:
1 \rightarrow D, 2 \rightarrow A, 3 \rightarrow C, 4 \rightarrow E, 5 \rightarrow B
न्यूनतम समय (Min. Time)=5+13+12+8+17=55 मिनट
Illustration:13.एक कम्पनी के पास 4 कार्यकर्ता हैं जो चार विभिन्न कार्य विभिन्न समय में कार्य कर सकते हैं।आवश्यक सूचना निम्न सारणी में दी गई है।इष्टतम नियतन ज्ञात कीजिए।
(A factory has four workers who can perform four different jobs in different times. Relevant information is given in the following table. Find optimal assignment.)

Solution:पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर पंक्ति समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 1

पद (step):II.सारणी के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ पहली व दूसरी पंक्तियां ऐसी है।इस पंक्तियों के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा दूसरा स्तम्भ हैं।इन स्तम्भ की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्ति की अन्य शून्यों को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 3 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 3

पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 4

\begin{array}{c|cccc|c} & (2) & & & \\ & A & B & C & D & \\ \hline W & 2 \cdots & 28 \cdots & \fbox{0} \cdots& 6 \cdots & \\ & \vdots & & & & \\ X & \fbox{0} & 2 & 27 & 36 & (3) \\ & \vdots & & & & \\ Y & \xcancel{0} & 7 & 33 & 17 & (1) \\ & \vdots & & & & \\ Z & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} \cdots & 3 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \\ \hline \end{array}
(i)सारणी 3 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 3 को चिन्हित कीजिए क्योंकि इसमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 3 के पहले स्तम्भ में शून्य हैं इसलिए स्तम्भ 1 को चिन्हित कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ 1 की पंक्ति 2 में वर्ग (\square) अंकित है,को चिन्हित कीजिए।
पद (step):V.अब हम सभी चिन्हित स्तम्भ 1 से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्तियों 1,4 जिनमें शून्य है परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 4×4 है परन्तु रेखाओं की संख्या 3 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VI.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है का न्यूनतम अवयव 2 है।इस अवयव (अर्थात् 2) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 5 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 5

\begin{array}{c|ccccc|} & A & B & C & D \\ \hline W & 4 & 28 & \fbox{0} & 6 \\ X & \xcancel{0} & \fbox{0} & 25 & 34 \\ Y & \fbox{0} & 5 & 31 & 15 \\ Z & 2 & \xcancel{0} & 3 & \fbox{0} \\ \hline \end{array}
पद (step):VII.सारणी 5 में पद (step) III के अनुसार शून्य नियतन करने पर हमें प्रत्येक पंक्ति में एक तथा प्रत्येक स्तम्भ में एक शून्य नियतन प्राप्त होता है।अतः दी गई समस्या का इष्टतम नियतन निम्न है:

W \rightarrow C, X \rightarrow B, Y \rightarrow A, Z \rightarrow D
कुल समय=39+29+27+52=147 घण्टे
Illustration:14.एक कम्प्यूटर केन्द्र पर चार कुशल प्रोग्रामर है।इस केन्द्र पर चार अनुप्रयोग प्रोग्राम विकसित करने की आवश्यकता है।केन्द्र के अध्यक्ष द्वारा विकसित करने हेतु प्रोग्राम का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने के पश्चात विभिन्न कुशल प्रोग्रामर द्वारा प्रत्येक प्रोग्राम हेतु अनुमानित समय (मिनिटों) निम्नानुसार है।प्रत्येक प्रोग्रामर को किस प्रकार प्रोग्राम निर्दिष्ट किये जाये कि कम्प्यूटर समय न्यूनतम हो:
(A computer centre got four expert programmers.The centre needs four application programmes to be developed.The head of the computer centre,after studying carefully the programmes to be developed,estimates the computer time in minutes required by respective experts to develop the application programmes as follows:
Assign the programmes to the programmers in such a way that the total computer time is least):

Solution:पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर पंक्ति समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 1

पद (step):II.सारणी के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ पहली पंक्ति ऐसी है।इस पंक्ति के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा दूसरा स्तम्भ है।इन स्तम्भ की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्ति की अन्य शून्यों को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 3 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 3

\begin{array}{c|cccc|} & A & B & C & D \\ \hline 1 & 30 & 10 & \fbox{0} & 10 \\ 2 & 0 & 10 & 40 & 0 \\ 3 & 0 & 30 & 20 & 0 \\ 4 & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} & 10 \\ \hline \end{array}
पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 4

\begin{array}{c|cccc|c} & (3) & & & (4) & \\ & A & B & C & D & \\ \hline 1 & 30 \cdots & 10 \cdots & \fbox{0} \cdots & 10 \cdots & \\ & \vdots & & & \vdots & \\ 2 & 0 & 10 & 40 & 0& (1) \\ & \vdots & & & \vdots & \\ 3 & 0 & 30 & 20 & 0 & (2) \\ & \vdots & & & \vdots & \\ 4 & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & 10 \cdots & \\ \hline \end{array}
(i)सारणी 3 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 2,3 को चिन्हित कीजिए क्योंकि इसमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 2 व 3 के पहले व चौथे स्तम्भ में शून्य हैं इसलिए स्तम्भ 1 व 4 को चिन्हित कीजिए। 
पद (step):V.अब हम सभी चिन्हित स्तम्भ 1 व 4 से रेखाएँ खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्ति 1,4 जिनमें शून्य है परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 4×4 है तथा रेखाओं की संख्या भी 4 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त होता है।फलतः सारणी 4 का शून्य निर्दिष्टीकरण trial and error विधि से निम्न दो प्रकार से कर सकते हैं:
सारणी 5
\begin{array}{c|cccc|} & A & B & C & D \\ \hline 1 & 30 & 10 & \fbox{0} & 10 \\ 2 & \fbox{0} & 10 & 40 & \xcancel{0} \\ 3 & \xcancel{0} & 30 & 20 & \fbox{0} \\ 4 & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} & 10 \\ \hline \end{array}
सारणी 6

\begin{array}{c|cccc|} & A & B & C & D \\ \hline 1 & 30 & 10 & \fbox{0} & 10 \\ 2 & \xcancel{0} & 10 & 40 & \fbox{0} \\ 3 & \fbox{0} & 30 & 20 & \xcancel{0} \\ 4 & \xcancel{0} & \fbox{0} & \xcancel{0} & 10 \\ \hline \end{array}
अतः सारणी 5 व 6 से इष्टतम हल निम्न प्राप्त होता है:
(i) 1 \rightarrow C, 2 \rightarrow A, 3 \rightarrow D, 4 \rightarrow B
तथा (ii) 1 \rightarrow C, 2 \rightarrow D, 3 \rightarrow A, 4 \rightarrow B
न्यूनतम समय (Min. Time):(i)80+80+100+90=350
(ii)80+70+110+90=350

Solve Assignment Problems

Illustration:15.एक कार किराये देने वाली कम्पनी के पाँच आगार a,b,c,d तथा e है जहाँ एक-एक कार है।एक ग्राहक को प्रत्येक शहर A,B,C,D तथा E में एक-एक कार की आवश्यकता है।प्रत्येक आगार (मूलबिन्दु) से शहर (गन्तव्य स्थान) की दूरियाँ (किमी.) निम्न दूरी मैट्रिक्स में दी हुई है।ग्राहकों को कारें किस प्रकार निर्दिष्ट की जाये कि कुल दूरी न्यूनतम हो।
(A car hire company has one car at each town,namely A,B,C,D and E.Distances (in kms.) between depos (origins) and towns (destinations) are given in the following distance matrix.How should the cars be assigned to customers so,as to minimize the distance travelled?)

\begin{array}{l|lllll|} & a & b & c & d & e \\ \hline A & 160 & 130 & 175 & 190 & 200 \\ B & 135 & 120 & 130 & 160 & 175 \\ C & 140 & 110 & 155 & 170 & 185 \\ D & 50 & 50 & 80 & 80 & 110 \\ E& 55 & 35 & 70 & 80 & 105 \\ \hline \end{array}
Solution:पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर पंक्ति समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 1

\begin{array}{l|lllll|} & a & b & c & d & e \\ \hline A & 30 & 0 & 45 & 60 & 70 \\ B & 15 & 0 & 10 & 40 & 55 \\ C & 30 & 0 & 45 & 60 & 75 \\ D & 0 & 0 & 30 & 30 & 60 \\ E &20 & 0 & 35 & 45 & 70 \\ \hline \end{array}
पद (step):II.सारणी के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

\begin{array}{l|lllll|} & a & b & c & d & e \\ \hline A & 30 & 0 & 35 & 30 & 15 \\ B & 15 & 0 & 0 & 10 & 0 \\ C & 30 & 0 & 35 & 30 & 20 \\ D & 0 & 0 & 20 & 0 & 5 \\ E & 20 & 0 & 25 & 15 & 20\\ \hline \end{array}
पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ पहली पंक्ति ऐसी है।इस पंक्ति के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा पहला और तीसरा स्तम्भ हैं।इन स्तम्भों की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्ति की अन्य शून्यों को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 3 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 3

\begin{array}{l|lllll|} & a & b & c & d & e \\ \hline A & 30 & \fbox{0} & 35 & 30 & 15 \\ B & 15 & \xcancel{0} & \fbox{0} & 10 & \xcancel{0} \\ C & 30 & \xcancel{0} & 35 & 30 & 20 \\ D & \fbox{0} & \xcancel{0} & 20 & \xcancel{0} & 5 \\ E & 20 & \xcancel{0} & 25 & 15 & 20\\ \hline \end{array}
पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 4

\begin{array}{c|ccccc|c} & & (3) & & & \\ & a & b & c & d & e & \\ \hline A & 30 & \fbox{0} & 35 & 30 & 15 & (4) \\ & & \vdots & & & & \\ B & 15 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} \cdots & 10 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \\ & & \vdots & & & & \\ C & 30 & \xcancel{0} & 35 & 30 & 20 & (1) \\ & & \vdots & & & & \\ D & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & 20 \cdots & \xcancel{0} \cdots & 5 \cdots & \\ & & \vdots & & & & \\ E & 20 & \xcancel{0} & 25 & 15 & 20 & (2)\\ \hline \end{array}
(i)सारणी 3 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 3,5 को चिन्हित कीजिए क्योंकि इसमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 3 व 5 के के दूसरे स्तम्भ में शून्य हैं इसलिए स्तम्भ 2 को चिन्हित कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ 2 की पंक्ति 1 में वर्ग (\square) अंकित है,को चिन्हित कीजिए।
पद (step):V.अब चिन्हित स्तम्भ 2 से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्ति 2,4 जिनमें शून्य है परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 5×5 है परन्तु रेखाओं की संख्या 3 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VI.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है का न्यूनतम अवयव 15 है।इस अवयव (अर्थात् 15) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 5 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 5

\begin{array}{l|lllll|} & a & b & c & d & e \\ \hline A & 15 & \xcancel{0} & 20 & 15 & \fbox{0} \\ B & 15 & 15 & \fbox{0} & 10 & \xcancel{0} \\ C & 15 & \fbox{0} & 20 & 15 & 5 \\ D & \fbox{0} & 15 & 20 & \xcancel{0} & 5 \\ E & 5 & \xcancel{0} & 10 & \fbox{0} & 5 \\ \hline \end{array}
पद (step):VII.सारणी 5 में पद (step) III के अनुसार शून्य नियतन करने पर हमें प्रत्येक पंक्ति में एक तथा प्रत्येक स्तम्भ में एक शून्य नियतन प्राप्त होता है।अतः दी गई समस्या का इष्टतम नियतन निम्न है:

A \rightarrow e, B \rightarrow c, C \rightarrow b, D \rightarrow a, E \rightarrow d
कुल दूरी=200+130+110+50+80=570 kms.
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा नियतन समस्या हल कीजिए (Solve Assignment Problems)इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन (अधिन्यासन) समस्याएँ (Assignment Problems in Optimization Theory) को समझ सकते हैं।

3.नियतन समस्या हल कीजिए पर आधारित सवाल (Questions Based on Solve Assignment Problems):

Solve Assignment Problems

(1.)निम्न नियतन समस्या को न्यूनतम नियतन के लिए हल कीजिए:
(Solve the following assignment problem for minimum assignment):

(2.)नियतन समस्या को हल कीजिए जो निम्न मैट्रिक्स द्वारा प्रदर्शित की गई है:
(Solve the assignment problem represent by the following matrix):

उत्तर (Answers):(1.) A \rightarrow I, B \rightarrow III, C \rightarrow IV, D \rightarrow II
Minimum assignment cost=2+3+1+7=13
(2.) A \rightarrow V, B \rightarrow I, C \rightarrow IV, D \rightarrow III , E \rightarrow II
Minimum cost=9
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर नियतन समस्या हल कीजिए (Solve Assignment Problems)इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन (अधिन्यासन) समस्याएँ (Assignment Problems in Optimization Theory) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.नियतन समस्या हल कीजिए (Frequently Asked Questions Related to Solve Assignment Problems)इष्टतमीकरण सिद्धान्त में नियतन (अधिन्यासन) समस्याएँ (Assignment Problems in Optimization Theory) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

नियतन समस्या हल कीजिए (Solve Assignment Problems) के इस आर्टिकल में विशेष प्रकार
की समस्याएं जिन्हें नियतन (अधिन्यासन) समस्याएँ कहते हैं,पर आधारित सवालों को हल
करके समझने का प्रयास करेंगे।