1.कक्षा 11 में प्रायिकता (Probability in Class 11),प्रायिकता कक्षा 11 (Probability Class 11):

Probability in Class 11

कक्षा 11 में प्रायिकता (Probability in Class 11) के इस आर्टिकल में अपवर्जी घटनाओं,स्वतन्त्र घटनाओं व आश्रित घटनाओं पर आधारित प्रायिकता के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 11 में प्रायिकता पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Probability in Class 11):

Illustration:1.एक डिब्बे में 10 लाल,20 नीली व 30 हरी गोलियाँ रखी हैं।डिब्बे से 5 गोलियाँ यादृच्छया निकाली जाती हैं।प्रायिकता क्या है कि
(i)सभी गोलियाँ नीली हैं? (ii)कम से कम एक गोली हरी न हो?
Solution:20 नीली गोलियों में से 5 नीली गोलियाँ निकालने के तरीके={}^{20} C_5
कुल 60 गोलियों में से 5 गोलियाँ निकालने के तरीके= {}^{60} C_5
अतः अभीष्ट प्रायिकता=\frac{{}^{20} C_5 }{{}^{60} C_5 } \\ =\frac{\frac{20!}{(20-5)!5!}}{\frac{60!}{(60-5)!5!}} \\ =\frac{\frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!}{15!}}{\frac{60 \times 59 \times 58 \times 57 \times 56 \times 55!}{55 !}} \\ =\frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{60 \times 59 \times 58 \times 57 \times 56} \\=\frac{34}{11977}
(ii)कम से कम एक गोली हरी न हो?
P(कम से कम एक गोली हरी न होने की घटना)=1-P(पाँचों गोली हरी हो)
=1-\frac{{}^{30} C_5}{{}^{60} C_5}
Illustration:2.ताश के 52 पत्तों की एक अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से 4 पत्ते निकाले जाते हैं।इस बात की क्या प्रायिकता है कि निकाले गए पत्तों में 3 ईंट और एक हुकुम का पत्ता है?
Solution:52 ताश के पत्तों में 3 ईंट के पत्ते निकाले जाने के तरीके={}^{13} C_3
एक हुकुम का पत्ता निकाले जाने के तरीके={}^{13} C_1
52 पत्तों में से 4 पत्ते निकाले जाने के तरीके={}^{52} C_4
अतः अभीष्ट प्रायिकता=\frac{{}^{13} C_3 \times {}^{13} C_1 }{{}^{52} C_4 }
Illustration:3.एक पासे के दो फलकों में से प्रत्येक पर संख्या ‘1’ अंकित है,तीन फलकों में प्रत्येक पर संख्या ‘2’ अंकित है और एक फलक पर संख्या ‘3’ अंकित है।यदि पासा एक बार फेंका जाता है,तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i)P(2) (ii)P(1 या 3) (iii)P(3-नहीं)
Solution:(i) P(2)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
(ii) P(1 या 3)=P(1 \cup 3)=P(1)+P(3) \\=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
(iii)P(3-नहीं)=1-P(3) \\ =1-\frac{1}{6} \\ \Rightarrow P(3-\text { नहीं }) =\frac{5}{6}
Illustration:4.एक लाटरी में 10000 टिकट बेचे गए जिनमें दस समान इनाम दिए जाते हैं।कोई भी ईनाम न मिलने की प्रायिकता क्या है यदि आप (a)एक टिकट खरीदते हैं (b)दो टिकट खरीदते हैं (c)10 टिकट खरीदते हैं?
Solution:(a)एक टिकट खरीदते हैं तो कोई भी ईनाम न मिलने की प्रायिकता=\frac{9990}{10000}=\frac{999}{1000}
(b)दो टिकट खरीदते हैं तो ईमान न मिलने के चयन के तरीके={}^{9990} C_2
10000 टिकट में से 2 टिकट के चयन के तरीके={}^{10000} C_2
अतः दो टिकट खरीदने पर ईनाम न मिलने की प्रायिकता=\frac{{}^{9990} C_2 }{{}^{10000} C_2}
(c)10 टिकट खरीदते हैं तो ईनाम न मिलने के चयन के तरीके={}^{9990} C_{10}
10000 टिकटों में से 10 टिकट के चयन के तरीके={}^{10000} C_{10}
अतः 10 टिकट खरीदने पर कोई भी ईनाम न मिलने की प्रायिकता=\frac{{}^{9990} C_{10} }{{}^{10000} C_{10}}
Illustration:5.100 विद्यार्थियों में से 40 और 60 विद्यार्थियों के दो वर्ग बनाए गए हैं।यदि आप और आपका एक मित्र 100 विद्यार्थियों में है तो प्रायिकता क्या है कि
(a)आप दोनों एक ही वर्ग के हों?
(b)आप दोनों अलग-अलग वर्गों में हों?
Solution:(a)दोनों के 40 के ग्रुप में होने पर चयन के तरीके={}^{40} C_2
दोनों के 60 के ग्रुप में होने पर चयन के तरीके={}^{60} C_2
100 में से दोनों के चयन के तरीके={}^{100} C_2
40 में दोनों के होने की प्रायिकता=\frac{{}^{40} C_2}{{}^{100} C_2} \\=\frac{40 \times 39}{100 \times 99}=\frac{26}{165}
60 में दोनों के होने की प्रायिकता=\frac{{}^{60} C_2}{{}^{100} C_2} \\ =\frac{60 \times 59}{100 \times 99}=\frac{59}{165}
दोनों अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः योग नियम से दोनों के एक ही ग्रुप में होने की प्रायिकता=\frac{26}{165}+\frac{59}{165} \\ =\frac{85}{165}=\frac{17}{33}
(b)दोनों के अलग-अलग ग्रुप में होने की प्रायिकता (मिश्र प्रायिकता से) \frac{{}^{40} C_1 \times {}^{60} C_1}{{}^{100} C_2} \\ =\frac{40 \times 60 \times 2}{100 \times 99}=\frac{16}{33}

Probability in Class 11

Illustration:6.तीन व्यक्तियों के लिए तीन पत्र लिखवाए गए हैं और प्रत्येक के लिए पता लिखा एक लिफाफा है।पत्रों को लिफाफों में यादृच्छया इस प्रकार डाला गया है कि प्रत्येक लिफाफे में एक ही पत्र है।प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कम से कम एक पत्र अपने सही लिफाफे में डाला गया है।
Solution:तीन पत्रों को तीन लिफाफों में रखने के तरीके=3!=6
एक पत्र को सही लिफाफे में रखने के तरीके={}^3 C_1 \times 1=3
दो पत्रों को लिफाफे में सही रखने के तरीके=1
अतः कम से कम एक पत्र को सही लिफाफे में रखने के तरीके=3+1=4
अतः P(कम से कम एक पत्र के सही लिफाफे में रखने की घटना)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
Illustration:7.A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(A)=0.54,P(B)=0.69 और P(A \cap B)=0.35 ज्ञात कीजिए:
(i) P(A \cup B) (ii)P\left(A^{\prime} \cap B^{\prime}\right) (iii) P\left(A \cap B^{\prime}\right) (iv)P\left(B \cap A^{\prime}\right)
Solution: (i) P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\=0.54+0.69-0.35 \\ \Rightarrow P(A \cup B)=0.88
(ii)P\left(A^{\prime} \cap B^{\prime}\right)\\ P\left(A^{\prime} \cap B^{\prime}\right)=P(A \cup B)^{\prime} \\ =1-P(A \cup B) \\ =1-0.88 \\ \Rightarrow A\left(A^{\prime} \cap B^{\prime}\right)=0.12
(iii) P(A \cap B^{\prime})=P(A)-P(A \cap B) \\ =0.54-0.35 \\ \Rightarrow P\left(A \cap B^{\prime}\right) =0.19
(iv) P\left(B \cap A^{\prime}\right) =P(B)-P(A \cap B) \\ =0.69-0.35 \\ \Rightarrow P\left(B \cap A^{\prime}\right) =0.34
Illustration:8.एक संस्था के कर्मचारियों में से 5 कर्मचारियों का चयन प्रबन्ध समिति के लिए किया गया है।पाँच कर्मचारियों का ब्यौरा निम्नलिखित है:
\begin{array}{|llll|} \hline \text { क्रम } & \text { नाम } & \text { लिंग } & \text { आयु (वर्षों में) } \\ \hline 1 & \text { हरीश } & M & 30 \\ 2 & \text { रोहन } & M & 33 \\ 3 & \text { शीतल } & F & 46 \\ 4 & \text { ऐलिस }& F & 28 \\ 5 & \text { सलीम } & M & 41 \\ \hline \end{array}
इस समूह से एक प्रवक्ता पद के लिए यादृच्छया एक व्यक्ति का चयन किया गया है।प्रवक्ता के पुरुष या 35 वर्ष से अधिक आयु का होने की क्या प्रायिकता है?
Solution:प्रवक्ता के पुरुष होने की घटना=A
प्रवक्ता के 35 वर्ष से अधिक होने की घटना=B
A={हरीश,रोहन,सलीम}
\Rightarrow P(A)=\frac{3}{5}
B={शीतल,सलीम}
P(B) =\frac{2}{5}
A \cap B={सलीम}
P(A \cap B) =\frac{1}{5} \\ P(A \cup B) =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ =\frac{3}{5}+\frac{2}{5}-\frac{1}{5} \\ \Rightarrow P(A \cup B) =\frac{4}{5}
Illustration:9.यदि 0,1,3,5 और 7 अंकों द्वारा 5000 से बड़ी चार अंकों की संख्या का यादृच्छया निर्माण किया गया हो तो पाँच से भाज्य संख्या के निर्माण की क्या प्रायिकता है जब,
(i)अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जाए? (ii)अंकों की पुनरावृत्ति की जाए?
Solution:(i)अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जाए?
माना कि अंकों के स्थान को A,B, C, D से निरूपित किया गया है।5000 से बड़ी संख्या बनाने के लिए स्थान A पर 5 या 7 होगा अर्थात् A के स्थान को भरने के तरीके=2
अब शेष स्थान B,C,D को 4,3 व 2 प्रकार से भर सकते हैं।
5000 से बड़ी संख्याएँ=2×4×3×2=48
\begin{array}{|cccc|} \hline A & B & C & D \\ \hline 5 & & & 0 \\ 7 & & & 0 \\ 7 & & & 5 \\ \hline \end{array}
5 से भाज्य संख्याएँ वे होंगी जब इकाई स्थान (स्थान D) पर 0 या 5 हो।5 को स्थान A पर तथा 0 को स्थान D पर रखने के बाद 3 अंक बचते हैं।स्थान B तथा C को 3×2=6 तरीकों से भरा जा सकता है।
इस प्रकार स्थान A पर जब 7 हो और D पर 0 हो,तो कुल 6 तरीकों से B व C को भरा जा सकता है।इसी प्रकार स्थान A पर 7 और स्थान D पर 5 हो तो भी C व D को 6 तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः 5000 से बड़ी और 5 से भाज्य संख्याएँ=6+6+6=18
अतः अभीष्ट प्रायिकता (5000 से बड़ी तथा 5 से भाज्य 0,1,3,5 और 7 अंकों से बनने वाली संख्याओं की प्रायिकता)
=\frac{18}{48}=\frac{3}{8}
(ii)अंकों की पुनरावृत्ति की जाए?
स्थान A पर 5 या 7 रख सकते हैं जो 5000 से बड़ी संख्या होगी।
अतः स्थान A को भरने के तरीके=2
क्योंकि अंकों की पुनरावृत्ति हो सकती है अतः B,C,D को 5 तरीकों से भर सकते हैं।अंकों से A,B,C,D चारों स्थानों को भरने के तरीके (अर्थात् 5000 से बड़ी संख्याएँ)
=2×5×5×5=250
संख्या 5 से भाज्य है तो इकाई के स्थान (D) पर 0 या 5 रखना होगा।अतः इकाई के स्थान को 2 तरीकों से भर सकते हैं।C और D को 5×5 तरीकों से भर सकते हैं।
अतः 5000 से बड़ी और 5 से भाज्य बनने वाली संख्याओं की प्रायिकता=\frac{100}{250}=\frac{2}{5}
Illustration:10.किसी अटैची के ताले में चार चक्र लगे हैं जिनमें प्रत्येक पर 0 से 9 तक 10 अंक अंकित हैं।ताला चार अंकों के एक विशेष क्रम (अंकों की पुनरावृत्ति नहीं) द्वारा ही खुलता है।इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई व्यक्ति अटैची खोलने के लिए सही क्रम का पता लगा ले?
Solution:अटैची के ताले को खोलने के अनुकूल तरीके=1
कुल तरीके={}^{10} P_4=5040
अभीष्ट प्रायिकता=\frac{1}{5040}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 11 में प्रायिकता (Probability in Class 11),प्रायिकता कक्षा 11 (Probability Class 11) को समझ सकते हैं।

3.प्रायिकता की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि (Historical Background of Probability):

प्रायिकता सिद्धांत का विकास,गणित की अन्य शाखाओं की भाँति,व्यावहारिक कारणों से हुआ है।इसकी उत्पत्ति 16वीं शताब्दी में हुई थी जब इटली ने एक चिकित्सक तथा गणितज्ञ Jerome Cardan (1501-1576) ने इस विषय पर पहली पुस्तक ‘संयोग के खेलों’ पर, (Biber de Ludo Aleae) लिखी।यह पुस्तक उनके मरणोपरांत सन् 1633 में प्रकाशित हुई।
सन् 1654 में,Chevaliar de Mere नामक जुआरी ने,पासे से संबंधित कुछ समस्याओं को लेकर सुप्रसिद्ध फ्रांसीसी दार्शनिक एवं गणितज्ञ Blaise Pascal (1623-1662) से संपर्क किया।Pascal इस प्रकार की समस्याओं में रुचि लेने लगे और उन्होंने इसकी चर्चा विख्यात फ्रांसीसी गणितज्ञ Pierre de Fermat (1601-1665) से की।Pascal और Fermat दोनों ने स्वतंत्र रूप से समस्याओं को हल किया।
Pascal और Fermat के अतिरिक्त एक डच निवासी Christian Huygenes (1629-1695),एक स्विस निवासी J. Bernoulli (1651-1705),एक फ्रांसीसी A.De Moivre (1667-1754),एक अन्य फ्रांस निवासी Pierre Laplace (1749-1827) तथा रूसी P. L. Chebyechav (1821-1894), A. A. Morkov (1856-1922) और A. N. Kolmogorove ने भी प्रायिकता सिद्धांत में विशिष्ट योगदान दिया।प्रायिकता सिद्धांत के अभिगृहीतिकरण का श्रेय Kolmogorove को मिला है।सन् 1933 में प्रकाशित उनकी पुस्तक ‘प्रायिकता के आधार’ (Foundation of Probability) में प्रायिकता को समुच्चय फलन के रूप में प्रस्तुत किया गया है और यह पुस्तक एक क्लासिक (Classic) मानी जाती है।

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4.कक्षा 11 में प्रायिकता की समस्याएँ (Probability in Class 11 Problems):

Probability in Class 11

(1.)दो पासे फेंकने पर दोनों के अंकों का योग 7 या 11 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(2.)किसी थैले में 2 सफेद,4 काली और 5 लाल गेंदें हैं।तीन गेंदें यादृच्छया निकाली जाती हैं।तीनों गेंदों के समान रंग की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers): (1 .) \frac{2}{9} (2.) \frac{14}{165}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 11 में प्रायिकता (Probability in Class 11),प्रायिकता कक्षा 11 (Probability Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

5. कक्षा 11 में प्रायिकता (Frequently Asked Questions Related to Probability in Class 11),प्रायिकता कक्षा 11 (Probability Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 11 में प्रायिकता (Probability in Class 11) के इस आर्टिकल में अपवर्जी घटनाओं,
स्वतन्त्र घटनाओं व आश्रित घटनाओं पर आधारित प्रायिकता के सवालों को हल करके
समझने का प्रयास करेंगे।