1.10वीं में कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Angles in 10th),कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Some Specific Angles):

Trigonometric Ratios of Angles in 10th

10वीं में कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Angles in 10th) के इस आर्टिकल में 0°,30°,45°,60°,90° पर आधारित त्रिकोणमितीय सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.10वीं में कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात के साधित उदाहरण (Trigonometric Ratios of Angles in 10th Solved Examples):

Example:1.यदि A=45° हो तो सिद्ध कीजिए
Example:1(i). \sin 2 A=2 \sin A \cos A
Solution: \sin 2 A=2 \sin A \cos A \\ \text { L.H.S. } \sin 2 A=\sin \left(2 \times 45^{\circ}\right)=\sin 98^{\circ}=1 \\ \text { R.H.S. } 2 \sin A \cos A=2 \sin 45^{\circ} \cos 45^{\circ} \\ =2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{2}=1
L.H.S.=R.H.S.
Example:1(ii). \cos 2 A=1-2 \sin ^2 A=2 \cos ^2 A-1
Solution: \cos 2 A=1-2 \sin ^2 A=2 \cos ^2 A-1 \\ \text { L.H.S. } =\cos 2 A=\cos \left(2 \times 45^{\circ}\right)=\cos 90^{\circ}=0 \\ \text { M.H.S. } =1-2 \sin ^2 A=1-2 \sin ^2 45^{\circ}=1-2 \times\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \\ =1-2 \times \frac{1}{2}=1-1=0 \\ \text { R.H.S } =2 \cos ^2 A-1=2 \cos ^2 45^{\circ}-1 \\ =2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-1=2 \times \frac{1}{2}-1=1-1=0
Example:1(iii). \tan 2 A=\frac{2 \tan A}{1-\tan ^2 A}
Solution: \tan 2 A=\frac{2 \tan A}{1-\tan ^2 A} \\ \text { L.H.S }=\tan 2 A=\tan \left(2 \times 45^{\circ}\right)=\tan 0^{\circ}=0 \\ \text { R.H.S }=\frac{2 \tan A}{1-\tan ^2 A}=\frac{2 \tan 45^{\circ}}{1-\tan ^2 45^{\circ}} \\ =\frac{2(1)}{1-(1)^2}=\frac{2}{1-1}=\infty
मान ज्ञात कीजिए [प्रश्न 2 से 10]
Example:2. \sec ^2 30^{\circ}-\tan ^2 30^{\circ}
Solution: \sec ^2 30^{\circ}-\tan ^2 30^{\circ} \\ =\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1
Example:3. \sin ^2 60^{\circ}+\cos ^2 60^{\circ}
Solution: \sin ^2 60^{\circ}+\cos ^2 60^{\circ} \\ =\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1
Example:4. \operatorname{cosec}^2 60^{\circ}-3 \cot ^2 60^{\circ}
Solution: \operatorname{cosec}^2 60^{\circ}-3 \cot ^2 60^{\circ} \\ =\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2-3 \times\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ =\frac{4}{3}-3 \times \frac{1}{3}=\frac{4}{3}-1=\frac{4-3}{3} \\ =\frac{1}{3}
Example:5. 2 \cos 45^{\circ} \cos 45^{\circ}
Solution: 2 \cos 45^{\circ} \cos 45^{\circ} \\ =2 \cos ^2 45^{\circ} \\ =2 \times\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=2 \times \frac{1}{2}=1
Example:6. \frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^2 30^{\circ}}
Solution: \frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^2 30^{\circ}} \\ =\frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \\ =\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \\ =\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2}=\sqrt{3}
Example:7. \sin 60^{\circ} \cos 30^{\circ}-\cos 60^{\circ} \sin 30^{\circ}
Solution: \sin 60^{\circ} \cos 30^{\circ}-\cos 60^{\circ} \sin 30^{\circ} \\ =\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{2}{2} \\ =\frac{3}{4}-\frac{1}{2} \\ =\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
Example:8. \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ}
Solution: \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} \\ =\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}
Example:9. \frac{\tan 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}+\cos 30^{\circ}}
Solution: \frac{\tan 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}+\cos 30^{\circ}} \\ =\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2} \\ =\frac{2}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\ =\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2-(1)^2}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} \\ =\frac{2(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}-1
Example:10. 4 \cos ^3 45^{\circ}-3 \cos 45^{\circ}
Solution: 4 \cos ^3 45^{\circ}-3 \cos ^{\circ} 45^{\circ} \\ =4 \times\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3-3 \times\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ =4 \times \frac{1}{2 \sqrt{2}}-\frac{3}{\sqrt{2}} \\ =\frac{2-3}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}

Trigonometric Ratios of Angles in 10th

सिद्ध कीजिए [प्रश्न 11 से 20]
Example:11. \frac{\sin 60^{\circ}}{1+\cos 60^{\circ}}=\tan 30^{\circ}
Solution: \frac{\sin 60^{\circ}}{1+\cos 60^{\circ}}=\tan 30^{\circ} \\ \text { L.H.S. } \frac{\sin 60^{\circ}}{1+\cos 60^{\circ}} \\ =\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{3} \\ =\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}
L.H.S = R.H.S
Example:12. \operatorname{cosec}^2 45^{\circ} \sec ^2 30^{\circ} \sin ^3 90^{\circ} \cos 6^{\circ}=\frac{4}{3}
Solution: \operatorname{cosec}^2 45^{\circ} \sec ^2 30^{\circ} \\ \sin ^2 \cos 0^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ}=\frac{4}{3} \\ \text { L.H.S. } \operatorname{cosec}^2 45^{\circ} \sec ^2 30^{\circ} \sin ^3 90^{\circ} \cos 60^{\circ} \\ =(\sqrt{2})^2 \times\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \times(1)^3 \times\left(\frac{1}{2}\right) \\ =2 \times \frac{4}{3} \times 1 \times \frac{1}{2}=\frac{4}{3}=\text { R.H.S }
Example:13. \tan ^2 30^{\circ}+\tan ^2 45^{\circ}+\tan ^2 60^{\circ}
Solution: \tan ^2 30^{\circ}+\tan ^2 45^{\circ}+\tan ^2 60^{\circ}=4 \frac{1}{3} \\ \text{L.H.S. } \tan ^2 30^{\circ}+\tan ^2 45^{\circ}+\tan ^2 60^{\circ} =(\sqrt{3})^2+(1)^2+(\sqrt{3})^2 \\ =\frac{1}{3}+1+3=4 \frac{1}{3}
=R.H.S.
Example:14. \sin ^2 30^{\circ}+\sin ^2 45^{\circ}+\sin ^2 60^{\circ}=\frac{7}{2}
Solution: \sin ^2 30^{\circ}+\sin ^2 45^{\circ}+\sin ^2 60^{\circ}=\frac{3}{2} \\ \text { L.H.S } \sin ^2 30^{\circ}+\sin ^2 45^{\circ}+\sin ^2 60^{\circ} \\ =\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\ =\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{3}{4} \\ =\frac{1+2+3}{4}=\frac{8}{4}=\frac{3}{2}=\text { R.H.S. }
Example:15. \frac{\sin 30^{\circ}-\cos 60^{\circ}+\tan 45^{\circ}}{\sec 0^{\circ}-\cot 45^{\circ}+\operatorname{cosec} 90^{\circ}}=1
Solution: \frac{\sin 30^{\circ}-\cos 60^{\circ}+\tan 45^{\circ}}{\sec 0^{\circ}-\cot 45^{\circ}+\operatorname{cosec} 90^{\circ}}=1 \\=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1}{1-1+1}=\frac{1}{1}-1=\text { R.H.S. }
Example:16. \operatorname{cosec}^2 45^{\circ}+3 \sec ^2 30^{\circ} -3 \tan 45^{\circ}-3 \sin ^3 90^{\circ}-2 \cos ^3 0^{\circ}=-2
Solution: \operatorname{cosec}^2 45^{\circ}+3 \sec ^2 30^{\circ}-3 \tan 45^{\circ}-3 \sin ^3 90^{\circ}-2 \cos ^3 0^{\circ}=-2 \\ \text { L.H.S. } \operatorname{cosec}^2 45^{\circ}+3 \sec ^2 30^{\circ}-3 \tan 45^{\circ}-3 \sin^3 90^{\circ} -2 \cos ^3 0^{\circ} \\ =(\sqrt{2})^2+3\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2-3(1)-3(1)^3-2(1)^3 \\ =2+3 \times \frac{4}{3}-3-3-2 \\ =2+4-8=6-8=-2
R.H.S.
Example:17. \frac{\cos 45^{\circ}-\cos 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}+\sin 30^{\circ}}= \frac{\operatorname{cosec} 45^{\circ}-\cot 45^{\circ}}{\sec 45^{\circ}+\tan 45^{\circ}}
Solution: \frac{\cos 45^{\circ}-\cos 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}+\sin 30^{\circ}}=\frac{\operatorname{cosec} 45^{\circ}-\cot 45^{\circ}}{\sec 45^{\circ}+\tan 45^{\circ}} \\ \text{L.H.S. } \frac{\cos 45^{\circ}-\cos 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}+\sin 30^{\circ}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}} \\ =\frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}}{\frac{2+\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \times \frac{2 \sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \\ =\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)} \\=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}
L.H.S=R.H.S.
Example:18. 2 \sin ^2 60^{\circ}+\tan ^2 60^{\circ}+\sec ^2 44^{\circ}+ \cos ^2 90^{\circ}+\cos 60^{\circ}=7
Solution: 2 \sin ^2 60^{\circ}+\tan ^2 60^{\circ}+\sec ^2 45^{\circ}+\cos ^2 90^{\circ}+\cos 60^{\circ}=7 \\ \text{L.H.S. } 2 \sin ^2 60^{\circ}+\tan ^2 60^{\circ}+\sec ^2 45^{\circ}+\cos ^2 90^{\circ}+\cos 60^{\circ} \\ =2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2+(0)^2+\frac{1}{2} \\ =2 \times \frac{3}{4}+3+2+0+\frac{2}{2} \\=\frac{3}{2}+\frac{5}{1}+\frac{1}{2} \\ =\frac{3+60+1}{2}=\frac{14}{2} \\=7=R.H.S.
Example:19. \cos ^2 0^{\circ}-2 \cot ^2 38^{\circ}+ 3 \operatorname{cosec}^2 90^{\circ}=2\left(\sec ^2 45^{\circ}-\tan ^2 60^{\circ}\right)
Solution: \cos ^2 0^{\circ}-2 \cot ^2 30^{\circ}+3 \operatorname{cosec}^2 90^{\circ} =2\left(\sec ^2 45^{\circ}-\tan ^2 60^{\circ}\right) \\ \text{L.H.S. } \cos ^2 0^{\circ}-2 \cot ^2 38^{\circ}+3 \operatorname{cosec}^2 90^{\circ} \\ =(1)^2-2(\sqrt{3})^2+3(1)^2 \\ =1-2 \times 3+3=4-6=-2 \\ \text{ R.H.S. } 2\left(\sec ^2 45^{\circ}-\tan ^2 60^{\circ}\right) \\=2\left((\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2\right) \\ =2(2-3)=2 \times 1=-2
L.H.S =R.H.S.
Example:20. \left(1-\sin 45^{\circ}+\sin 30^{\circ}\right)\left(1+\cos 45^{\circ}+\cos 60^{\circ}\right)=\frac{7}{4}
Solution: \left(1-\sin 45^{\circ}+\sin 30^{\circ}\right)\left(1+\cos 45^{\circ}+\cos 60^{\circ}\right) =\frac{7}{4} \\ \text { L.H.S. }\left(1-\sin 45^{\circ}+\sin 30^{\circ}\right)\left(1+\cos 45^{\circ}+\cos 60^{\circ}\right) \\ =\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right) \\ =\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ =\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\left[ \because (a-b)(a+b)=a^2-b^2\right] \\ =\frac{9}{4}-\frac{1}{2}=\frac{9-2}{4}=\frac{7}{4} =R.H.S. 
Example:21.यदि A=60° और B=30° तो सिद्ध कीजिए:
\cot (A-B)=\frac{\cot A \cot B+1}{\cot B-\cos A}
Solution: \cot (A-B)=\frac{\cot A \cot B+1}{\cot B-\cot A} \\ \text { L.H.S } \cot (A-B) =\cot \left(60^{\circ}-30^{\circ}\right)=\cot 30^{\circ}=\sqrt{3} \\ \text { R.H.S } \frac{\cot A \cot B+1}{\cot B- \cot A}=\frac{\cot 60^{\circ} \cot 30^{\circ}+1}{\cot 30^{\circ}-\cot 60^{\circ}} \\ =\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} +1 }{\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}} \\ =\frac{1+1}{\frac{1-1}{\sqrt{3}}} =2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} =\sqrt{3}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा 10वीं में कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Angles in 10th),कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Some Specific Angles) को समझ सकते हैं।

3.10वीं में कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात पर आधारित सवाल (Questions Based on Trigonometric Ratios of Angles in 10th):

Trigonometric Ratios of Angles in 10th

(1.) \cos 45^{\circ} \cos 60^{\circ}-\sin 45^{\circ} \sin 60^{\circ} का मान ज्ञात कीजिए।
(2.)सिद्ध कीजिए:
\left(\sec^2 30^{\circ}+\operatorname{cosec}^2 45^{\circ}\right)\left(2 \operatorname{cosec} 60^{\circ}+\sin 90^{\circ}+\tan 45^{\circ}\right)=10
उत्तर (Answer): (1.) \frac{1-\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर 10वीं में कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Angles in 10th),कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Some Specific Angles) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.10वीं में कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Frequently Asked Questions Related to Trigonometric Ratios of Angles in 10th),कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Some Specific Angles) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

10वीं में कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Angles
in 10th) के इस आर्टिकल में 0°,30°,45°,60°,90° पर आधारित त्रिकोणमितीय सवालों को
हल करके समझने का प्रयास करेंगे।