1.गाॅस और बेसल के अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss and Bessel Interpolation Formula),गाॅस और स्टर्लिंग के अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss and Stirling Interpolation Formula):

Gauss and Bessel Interpolation Formula

गाॅस और बेसल के अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss and Bessel Interpolation Formula) के इस आर्टिकल में गाॅस के अग्र और पश्च अन्तर्वेशन सूत्र से स्टर्लिंग और बेसल के सूत्रों को स्थापित करेंगे तथा बेसल के सूत्र से एक सवाल को भी हल करेंगे।
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2.गाॅस और बेसल के अन्तर्वेशन सूत्र पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Gauss and Bessel Interpolation Formula):

Example:6.गाॅस के अग्रगामी तथा पश्चगामी केन्द्रीय अन्तर अन्तर्वेशन सूत्रों को प्रतिपादित कीजिए।इन सूत्रों को अन्तर सारणी से प्रदर्शित कीजिए:
(Derive Gauss forward and backward interpolation formulae of central differences.Hence or otherwise obtain stirling’s interpolation formula. Show the path of these formulae in difference table):
Solution:(1.)गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss’s forward formula):
सूत्र (Formula): y_u=y_0+u \Delta y_0+\frac{u(u-1)}{2!} \Delta^2 y_{-1}+\frac{u\left(u^2-1\right)}{3 !} \Delta^3 y_{-1}+\frac{u\left(u^2-1\right)(u-2)}{4!} \Delta^4 y_{-2}+\frac{u\left(u^2-1\right)\left(u^2-2^2 \right)}{5 !}\Delta^5 y_{-2}+\cdots \cdots
जहाँ (Where), u=\frac{x-x_0}{h}
प्रमाण (Proof):माना कि f(u),चर u का फलन है,जहाँ u=\frac{x-x_0}{h} ,तथा u के इकाई अन्तराल वाले मान….. – 3,-2,-1,0,1,2,3…..के संगत इसके मान….. f(-3),f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),f(3),…..है।
न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर सूत्रानुसार
f(u)=f(0)+{}^u C_1 \Delta f(0)+{}^u C_2 \cdot \Delta^2 f(0)+{}^u C_3 \cdot \Delta^3 f(0)+\cdots+{}^u C_r \Delta^r f(0)+\cdots(1)
हम जानते हैं कि
\Delta^3 f(-1) =\Delta^2[\Delta f(-1)] \\ =\Delta^2[f(0)-f(-1)] \\ =\Delta^2 f(0)-\Delta^2 f(-1) \\ \therefore \Delta^2 f(0) =\Delta^2 f(-1)+\Delta^3 f(-1) \cdots(2)
इसी प्रकार \Delta^3 f(0)=\Delta^3 f(-1)+\Delta^4 f(-1) इत्यादि।……. (3)
इन मानों का (1) में प्रतिस्थापित करने पर:
f(u)=f(0)+{}^u C_1 \Delta f(0)+{}^u C_2\left[\Delta^2 f(-1)+\Delta^3 f(-1)\right]+{}^u C_3 \left[\Delta^3 f(-1)+\Delta^4+(-1]+\right]+{}^u C_4 \left[\Delta^4 f(-1)+\Delta^5 f(-1)\right]+\cdots+{}^u C_r \left[\Delta^2 f(-1) +\Delta^{5} f(-1)\right]+\cdots \cdots \\ =f(0)+{}^u C_1 \cdot \Delta f(0)+{}^u C_2 \Delta^2 f(-1)+\left({}^u C_2 + {}^u C_3 \right) \Delta^3 f(-1)+\left({}^u C_3+{}^u C_4\right)^4 f(-1)+ \cdots \cdots +\left({}^u C_r + {}^u C_{r+1} \right) \Delta^{r+1} f(-1)+\cdots \cdots\\ =f(0)+{}^u C_1 \cdot \Delta f(0)+{}^u C_2 \cdot \Delta^2 f(-1)+{}^{u+1} C_3 \Delta^3 f(-1)+{}^{u+1} C_4 \Delta^4 f(-1)+\cdots+{}^{u+1} C_{r+1} \Delta^{r+1} f(-1)+\cdots(4)
पुनः \left. \begin{array}{c}\Delta^3 f(-1)=\Delta^3 f(-2)+\Delta^4 f(-2) ; \\ \Delta^4 f(-1)=\Delta^4 f(-2)+\Delta^5 f(-2) \text { इत्यादि }\end{array} \right\} \cdots(5)
इन मानों का (4) में प्रतिस्थापित करने पर:
f(u)=f(0)+{}^u C_1 \cdot \Delta f(0)+{}^u C_2 \Delta^2 f(-1)+{}^{u+1} C_3 \Delta^3 f(-1)+{}^{u+1} C_4 \left[\Delta^4 f(-2)+\Delta^5 f(-2)\right]+ \cdots \cdots \\ \therefore f(u)=f(0)+\left[{}^u C_1 +\Delta f(0)+{}^u C_2 \Delta^2 f(-1)\right]+\left[{}^{u+1} C_3 \Delta^3 f(-1)+{}^{u+1} C_4 \Delta^2 f(-2)\right]+ \cdots \cdots+\left[{}^{u+r-1} C_{2 r-1} \Delta^{2 r-1} f(-r+1)+{}^{u+r-1} C_{2 r} \Delta^{2 r} f(-r)\right] +\cdots \\ f(u)=f(0)+u \Delta f(0)+\frac{u(u-1)}{2!} \Delta^2 f(-1)+\frac{u\left(u^2-1\right)}{3!} \Delta^3 f(-1)+ \frac{u\left(u^2-1\right)(u-2)}{4!} \Delta^4 f(-2)+\frac{u\left(u^2-1\right)\left(u^2-2^2\right)}{5!} \Delta^5 f(-2)+\cdots \cdots (6)
यदि f(u) को y_{4} से निरूपित करें तो उपर्युक्त सूत्र को निम्न प्रकार लिख सकते हैं:
y_u=y_0+u \Delta y_0+\frac{u(u-1)}{2!} \Delta^2 y_{-1}+\frac{u\left(u^2-1\right)}{3!} \Delta^3 y_{-1}+\frac{u\left(u^2-1\right)(u-2)}{4!} \Delta y_{-2}+\frac{u\left(u^2-1\right)\left(u^2-2^2\right)}{5!} \Delta^5 y_{-2} \cdots(7)
यह समान अन्तराल के लिए गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र कहलाता है।
(2.)गाॉस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gausa’s backward interpolation formula):
सूत्र (Formula): y_u=y_0+u \Delta y_{-1}+\frac{(u+1) u}{2!} \Delta^2 y_{-1}+\frac{(u+1)(u)(u-1)}{3!} \Delta^3 y_{-2}+\frac{(u+2)(u+1) u(u-1)}{4!} \Delta^4 y_{-2}+ \ldots \ldots जहाँ u=\frac{x-x_0}{h}
प्रमाण (Proof):न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर सूत्रानुसार:
f(u)=f(0)+{}^u C_{1} \cdot \Delta f(0)+{}^u C_{2} \cdot \Delta^2 f(0)+\ldots+{}^u C_{r} \Delta^r f(r)+\ldots (1)
जहाँ u=\frac{x-x_0}{\hbar} \cdots(2)
अब हम जानते हैं कि
\Delta^2 f(-1)=\Delta[\Delta f(-1)]=\Delta[f(0)-f(-1)] \\ =\Delta f(0)-\Delta f(-1)
अतः \Delta f(0)=\Delta f(-1)+\Delta^2 f(-1) \cdots(3)
इसी प्रकार \Delta^2 f(0)=\Delta^2 f(-1)+\Delta^3 f(-1) \cdots(4)
तथा \Delta^3 f(0)=\Delta^3 f(-1)+\Delta^4 f(-1) इत्यादि।….. (5)
f(u)=f(0)+{}^u C_{1} \left[\Delta f(-1)+\Delta^2 f(-1)\right]+{}^u C_{2} \left[\Delta^2 f(-1)+\Delta^3 f(-1)\right]+\ldots \ldots+ {}^u C_{r} \left[\Delta^r f(-1)+\Delta^{r+1} f(-1)\right] \\ =f(0)+{}^u C_{1} \cdot \Delta f(-1)+{}^{u+1} C_{2} \Delta^2 f(-1)+{}^{u+1} C_{3} \Delta^3 f(-1)+\ldots \ldots+{}^{u+1} C_{r} \cdot \Delta^2 f(-1)+\cdots \cdots(6)
पुनः \left.\begin{array}{l} \Delta^3 f(-1)=\Delta^3 f(-2)+\Delta^4 f(-2) \\ \Delta^4 f(-1)=\Delta^4 f(-2)+\Delta^5 f(-2) \end{array} \right\}
इत्यादि ……..(7)
इन मानों को (6) में प्रतिस्थापित करने पर:
f(u)=f(0)+{}^u C_{1} \cdot \Delta f(-1)+{}^{u+1} C_{2} \Delta^2 f(-1)+{}^{u+1} C_{3} \left[\Delta^3 f(-2)+\Delta^4 f(-2)\right]+{}^{u+1} C_{4} \left[\Delta^4 f(-2)+\Delta^5 f(-2)\right]+\cdots \\ =f(0)+ \left[{}^u C_{1} \cdot \Delta f(-1)+{}^{u+1} C_{2} \Delta^2 f(-1)\right]+\left[{}^{u+1} C_{3} \Delta^3 f(-2)+{}^{u+2} C_{4} \Delta^4 f(-2)\right]+\cdots \cdots+\left[{}^{u+r-1} C_{2 r-1} \Delta^{2r-1} f(-r)+ {}^{u+r} C_{2r} \Delta^{2 r} f(-r)\right]+ \cdots \cdots
अतः f(u)+f(0)+u \Delta f(-1)+\frac{(u+1) u}{2!} \Delta^2 f(-1)+\frac{(u+1)u(u+1)}{3!} \Delta^3 f(-2)+\Delta \frac{(u+2)(u+1)u(u-1)}{4!} \Delta^4 f(-2)+ \cdots \cdots
यदि f(u) को y_u से निरूपित करें,तो उपर्युक्त सूत्र को निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं:
y_u=y_0+u \Delta y_{-1}+\frac{(u+1) u}{2!} \Delta^2 y_{-1}+\frac{(u+1) u(u-1)}{3!} \Delta^2 y_{-2}+\frac{(u+2)(u+1) u(u-1)}{4!} \Delta^4 y_2+\cdots \cdots(9)
यह समान अन्तराल के लिए गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र कहलाता है।
टिप्पणी (Note):यहाँ हम देखते हैं कि गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र में निम्न सीमित अन्तर सारणी में y_{0} से गुजरने वाली केन्द्रीय रेखा (central line) पर सम अन्तर (even differences) तथा इस रेखा के नीचे विषम अन्तर (odd difference) प्रयुक्त किये गये हैं।इस सूत्र में काम आने वाले अन्तर पथ (path) A द्वारा दर्शाए गये हैं।इसी प्रकार गाॅस पश्च अन्तर्वेशन सूत्र में से गुजरने वाली केन्द्रीय रेखा पर सम अन्तर तथा इस रेखा के ऊपर विषम अन्तर प्रयुक्त किये गये हैं।इस सूत्र में काम में आने वाले अन्तर पथ (path) B द्वारा दर्शाए गये हैं।
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

(3.)स्टर्लिंग अन्तर्वेशन सूत्र (Stirling’s interpolation formula):
सूत्र (Formula): y_u=y_0+u\left(\frac{\Delta y_0+\Delta y_{-1}}{2}\right)+\frac{u^2}{2 !} \Delta^2 y_{-1}+\frac{u\left(u^2-1\right)}{3!} \frac{\Delta^3 y_{-1}+\Delta^3 y_{-2}}{2}+\frac{u^2\left(u^2-1^2 \right)}{4!} \Delta y_{-2}
जहाँ u=\frac{\left(x-x_0\right)}{h}
प्रमाण (Proof):गाॅस के अग्र एवं पश्च अन्तर्वेशन सूत्रों का औसत लेने पर:
f(u)=f(0)+u \frac{\Delta f(0)+\Delta f(-1)}{2}+\frac{1}{2}\left[\frac{u(u-1)+(u+1) u}{2!}\right] \Delta^2 f(-1)+\frac{1}{2} \frac{(u+1) u(u-1) u}{3!} \left[\Delta^3 f(-1)+\Delta^3f(-2)\right]+\frac{1}{2} \left[ \frac{(u+1)(u)(u-1)(u-2)+(u+2)(u+1)u(u-1)}{4!}\right] \Delta^4 f(-2)+\cdots \cdots
या f(u)=f(0)+u\left[\frac{\Delta f(0)+\Delta f(-1)}{2}\right]+\frac{u^2}{2!} \cdot \Delta^2 f(-1)+ \frac{u\left(u^2-1^2\right)}{3!}\left[\frac{\Delta^3 f(-1)+\Delta^3 f(-1)}{2}\right] +\left[\frac{u(u^2-1^2)}{4!}\right] \Delta^4 f(-2)+\left[\frac{u(u^2-1^2)(u^2-2^2)\ldots \ldots(u^2-(r-1)^2)}{(2r-1)!}\right] \Delta^4 f(-2) \times \frac{\Delta^{2 x-1} \cdot f(-r+1)+\Delta^{2r-1} \cdot f(-r)}{2}+\frac{u^2\left(u^2-1^2\right) \ldots \ldots \left[u^2-(r-1)^2\right]}{2r!}\Delta^{2r} f(-r)+ \cdots \cdots
इस सूत्र को स्टर्लिंग सूत्र (Stirling’s formula) कहते हैं।
टिप्पणी:स्टर्लिंग सूत्र को हम निम्न सारणी की सहायता से आसानी से लिख सकते हैं:

यहाँ अन्तर के माध्य समान्तर रेखाओं के मध्य से निरूपित किया गया है इसके उत्तरोत्तर पद निम्न है:
f(0), \frac{1}{2}[\Delta f(-1)+\Delta f(0)], \Delta^2 f(-1), \frac{1}{2}\left[\Delta^3 f(-2)+\Delta^3 f(-1)\right], \Delta^4 f(-2) \cdots \cdots
इनके क्रमानुसार गुणांक निम्न हैं:
1,u,\frac{u^2}{2!},\frac{u\left(u^2-1^2\right)}{3!}, \frac{u^2\left(u^2-1^2\right)}{4!}
स्टर्लिंग सूत्र को निम्न प्रकार भी लिखा जा सकता है:
y_u=y_0+a \frac{\Delta y_0+\Delta y_{-1}}{2}+\frac{u^2}{2!} \cdot \Delta^2 y_{-1}+\frac{u\left(u^2-1^2\right)}{3!} \frac{\Delta^3 y_{-1}+\Delta^3 y_{-2}}{2}+\frac{\Delta^2\left(u^2-1^2\right)}{4!} \Delta y_{-2}+\cdots (2)
जहाँ u=\frac{(x-x_{0})}{h}
अथवा y_u=y_0+u \quad \mu \cdot \delta y_{0}+\frac{u^2}{2!} \cdot \delta^2 y_{0}+{}^{u+1} C_3 \mu \cdot \delta^3 y_{0}+\frac{u^2\left(u^2-1^2\right)}{4!} \cdot \delta^4 y_{0}+{}^{u+2} C_5 \mu \cdot \delta^5 y_{0}+\frac{u^2\left(u^2-1^2\right)\left(u^2-2^2\right)}{6!} \delta^6 y_0+\cdots \cdots(3)

Gauss and Bessel Interpolation Formula

Example:9.स्टर्लिंग और बेसल के अन्तर्वेशन सूत्रों को समझाइए और तुलना कीजिए।
(Discuss and compare stirling’s and Bessel’s formulae for interpolation.)
Solution:स्टर्लिंग सूत्र गाॅस के अग्र एवं पश्च सूत्रों का औसत लेकर प्राप्त किया जाता है जबकि बेसल का सूत्र गाॅस के पश्च सूत्र में मूलबिन्दु को 0 से 1 पर स्थानांतरित करने पर प्राप्त सूत्र तथा गाॅस के अग्र अन्तर्वेशन सूत्र, दोनों सूत्रों का औसत लेने पर प्राप्त किया जाता है।
स्टर्लिंग सूत्र निम्न है:
y_u=y_0+u \frac{\Delta y_0+\Delta y_{-1}}{2}+\frac{u^2}{2!} \cdot \Delta^2 y_{-1}+\frac{u\left(u^2-1^2\right)}{3!} \cdot \frac{\Delta^3 y_{-1}+\Delta^3 y_{-2}}{2}+\frac{u\left(u^2-1^2\right)}{4!} \Delta^4 y_{-2}+\cdots \cdots जहाँ u=\frac{x-x_0}{h} \cdots(1)
बेसल अन्तर्वेशन सूत्र:
y_{u}=\left(y_0+y_1\right)+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_0+\frac{u(u-1)}{2!}\left[\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}\right]+\frac{u(u-\frac{1}{2})(u-1)}{3!}\Delta y_{-1}+\frac{u\left(u^2-1\right)(u-2)}{4!} \times\left[\frac{\Delta^4 y_{-1}+\Delta^4 y_{-2}}{2}\right]+ \cdots \cdots जहाँ (whene) u=\frac{x-x_{0}}{h}
(1) व (2) की तुलना करने पर:
y_u=y_4, y_0=\frac{1}{2}\left(y_0+y_1\right), u \frac{\Delta y_0+\Delta y_{-1}}{2}+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_0, \frac{u^2}{2!} \Delta^2 y_{-1}=\frac{u(u-1)}{2!} \left[\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta y_0}{2}\right],\frac{u\left(u^2-1^2\right)}{3!} \frac{\Delta^3 y_{-1}+\Delta^3 y_{-2}}{2}=\frac{u(u-\frac{1}{2})(u-1)}{3!} \Delta^3 y_{-1}, \frac{u\left(u^2-1^2\right)}{4!} \Delta^4 y_{-1}=\frac{u\left(u^2-1\right) \left(u-2\right)}{4!} \times\left[\frac{\Delta^4 y_{-2}+\Delta^4 y_{-2}}{2}\right]
Example:16.केन्द्रीय अन्तरों से क्या तात्पर्य है? (What is meant by central differences?):
Solution:जब चरों के लगभग मध्य चर को मूलबिन्दु मानकर अन्तर ज्ञात किए जाते हैं तो उन्हें केन्द्रीय अन्तर कहते हैं।केन्द्रीय अन्तरों को निम्नलिखित सारणी से समझा जा सकता है:
केन्द्रीय अन्तर सारणी (Central Difference Table)

Example:17.बेसल अन्तर्वेशन सूत्र प्राप्त कीजिए और उसकी सहायता से \cos 23^{\circ} का मान ज्ञात कीजिए:
(Obtain Bessel’s interpolation formula and use it to find the value of \cos 23^{\circ} ):
Solution:
प्रमाण (Proof):गाॅस पश्च सूत्र में मूलबिन्दु को 0 से 1 पर स्थानांतरित करने पर:
y_4=y_1+{}^{u-1} C_1 \Delta y_0+{}^{u} C_2 \Delta^2 y_0+{}^{u} C_3 \Delta^3 y_{-1}+{}^{u+1} C_4 \Delta^4 y_{-1}+{}^{u+1} C_5 \Delta^5 y_{-2}+ \cdots \cdots
अर्थात् u=\frac{x-x_1}{h} लिखने पर x_1-h=x_0 तथा u को u-1 से प्रतिस्थापित करने से उपर्युक्त सूत्र प्राप्त होता है।
इसे गाॅस परिवर्तित पश्च अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss’s modified backward interpolation formula) कहते हैं।
अब गाॅस अग्र अन्तर्वेशन सूत्र को पुनः लिखने परः
y_u=y_0+{}^u C_1 \cdot \Delta y_0+{}^u C_2 \cdot \Delta^2 y_{-1}+{}^{u+1} C_3 \cdot \Delta^3 y_{-1}+{}^{u+1} C_4 \cdot \Delta^4 y_{-2}+\cdots \cdots+{}^{u+r-1} C_{2 r-1} \Delta^{2 r-1} y_{-r}+{}^{u+r-1} C_{2 r} \Delta^{2r} y_{-r} +\cdots \cdots(2)
(1) और (2) सूत्रों का औसत लेने पर:
y_{u}=\frac{1}{2}\left(y_0+y_1\right)+\left(u-\frac{1}{2}\right) \Delta y_0+\frac{u(u-1)}{2!} \left[ \frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}\right]+\frac{u(u-\frac{1}{2})(u-1)}{3!}\Delta^3 y_{-1} +\frac{u\left(u^2-1\right)(u-2)}{4!} \times\left[\frac{\Delta^4 y_{-1}+\Delta^4 y_{-2}}{2}\right]+ \frac{u\left(u-\frac{1}{2}\right)(u^2-1)(u-2)}{5!} \times \\ \Delta^5 y_{-2}+ \ldots \ldots +\frac{(u+r-1)(u+r-2) \ldots \ldots(u-r)}{2r!} \times\left[\frac{\Delta^{2r} y_{-r}+\Delta^{2r} y_{-r+1}}{2}\right]+\frac{\left(u-\frac{1}{2}\right)(u+r-1)(u+r-2) \ldots \ldots(u-r)}{(2r+1)!} \Delta^{2r} y_{-r} +\cdots \cdots (3)
इस सूत्र को बेसल अन्तर्वेशन सूत्र (Bessel’s interpolation formula) कहते हैं।
को मूलबिन्दु लेने पर तथा h=5,x=25° के लिए
u=\frac{x-x_0}{h}=\frac{23^{\circ}-20^{\circ}}{5}=\frac{3}{5}=0.6
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table)

सूत्र (3) में वांछित मान रखने पर:
y_{0.6}=\frac{1}{2}(0.939692+0.906307)+(0.6-0.5)(-0.033385)+\frac{0.6(0.6-1)}{4} [-0.007152-0.006897]+\frac{(0.6-0.5)(0.6)(0.6-1)}{6} (0.000255)+\cdots \\ =0.9230005-0.0033385+0.00084294-0.00000102 \\ \Rightarrow \cos 23^{\circ}=0.92050392
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गाॅस और बेसल के अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss and Bessel Interpolation Formula),गाॅस और स्टर्लिंग के अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss and Stirling Interpolation Formula) को समझ सकते हैं।

Gauss and Bessel Interpolation Formula

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3.गाॅस और बेसल के अन्तर्वेशन सूत्र (Frequently Asked Questions Related to Gauss and Bessel Interpolation Formula),गाॅस और स्टर्लिंग के अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss and Stirling Interpolation Formula) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गाॅस और बेसल के अन्तर्वेशन सूत्र (Gauss and Bessel Interpolation Formula) के इस आर्टिकल
में गाॅस के अग्र और पश्च अन्तर्वेशन सूत्र से स्टर्लिंग और बेसल के सूत्रों को स्थापित करेंगे तथा बेसल
के सूत्र से एक सवाल को भी हल करेंगे।